研一計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、數(shù)值實(shí)驗(yàn)仁1迭代法的設(shè)計(jì)和運(yùn)行一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康牡ㄊ墙飧鞣N方程（含方程組）的基本方法，它常通過構(gòu)造一個(gè)定常的迭代格式，重復(fù) 計(jì)算而產(chǎn)生一個(gè)收斂的解的序列（標(biāo)量序列，向量序列等），逐步逼近問題的真解。對(duì)同一 個(gè)問題，?？稍O(shè)計(jì)不同的迭代格式，這些格式的計(jì)算效果可能相差很大，対初始值的選擇的 要求不同，收斂速度也不同。二、實(shí)驗(yàn)題求方程x3 + 4x2 - 10 = 0在1,1.5內(nèi)的根，設(shè)計(jì)下列3個(gè)迭代格式：k二0,1, xk+i = 10 + xk_4xw_x$（2）xk+1=|j10-x （原迭代格式有誤，根據(jù)方程修改得之。）（3）xk+i =三、實(shí)驗(yàn)步驟和要求1選取若干個(gè)可行的初始值，分別用3種

2、迭代格式進(jìn)行計(jì)算，記錄每步的計(jì)算結(jié)果， 并在坐標(biāo)紙上畫出，分析其變化趨勢，判別其收斂性；2. 觀察和分析迭代法結(jié)果關(guān)于初始值的依賴關(guān)系；3. 你還能設(shè)計(jì)出新的迭代格式嗎？4. 用steffen加速法嘗試下。四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容本次實(shí)驗(yàn)采用matlab編程。1.因求方程在區(qū)間1,1-5內(nèi)的根，不妨選取初始值分別為1丄25,1.5,并對(duì)以上三個(gè)迭 代格式分別進(jìn)行迭代運(yùn)算，序列前后項(xiàng)誤差小于|xl0-4即認(rèn)為該迭代格式下序列收斂。迭 代序列計(jì)算結(jié)果和分析如下：（1）初始值x0=l時(shí)，各迭代格式的迭代序列圖如圖1所示:迭代格式（1）24681012141618201.5迭代格式（2）2468101214161

3、820迭代格式（3）2468101214161820圖1初始值x。"時(shí)各迭代格式下的迭代序列圖初始值x0=l時(shí)，各迭代格式的迭代計(jì)算結(jié)果及分析如下: 迭代格式（1）,發(fā)散。迭代次數(shù)*7。第七個(gè)數(shù)達(dá)到10205數(shù)量級(jí)，導(dǎo)致前面的數(shù)約等于0o1.0e+205 *columns 1 through 80.0000 0.0000 -(3.00000.0000columns 9 through 16nannannannancolumns 17 through 20nannannannan迭代格式（2）,收斂o迭代次數(shù)n“5columns 1 through 81.00001.50001.287

4、01.4025columns 9 through 161.36391.36591.36491.3654columns 17 through 20136521.36521.36521.3652-0.00000.0000 -2.1086nannannannannan1.34551.37521.36011.367813651136531.36521.3652迭代格式（3）,收斂。迭代次數(shù)“7columns 1 through 81.00001.41421.35901.366013651136521.36521.3652columns 9 through 161.36521.36521.36521.3

5、6521.36521.36521.36521.3652columns 17 through 201.36521.36521.36521.3652小結(jié)：從以上計(jì)算結(jié)果以及迭代序列圖可以很明顯的發(fā)現(xiàn)在初始值x。"時(shí)迭代格式（1）發(fā) 散，迭代格式（2）和（3）均收斂，且（3）比（2）收斂速度快。（2）初始值x0=1.25時(shí)，各迭代格式的迭代序列圖如圖2所示：迭代格式（1）24681012141618201.5迭代格式（2）24681012141618201迭代格式（3）columns 1 through 80.0000 0.0000 -0.0000columns 9 through 16n

6、annannancolumns 17 through 20nannannan圖2初始值xo=1.25時(shí)各迭代格式下的迭代序列圖迭代格式（1）,發(fā)散。迭代次數(shù)*7。第七個(gè)數(shù)達(dá)到10a138數(shù)量級(jí),導(dǎo)致前面的數(shù)約等于0o1.0e+138 *0.0000-0.00000.0000-2.0514infnannannannannannan迭代格式（2）,收斂。迭代次數(shù)n=13columns 1 through 81.25001.41841.33671.3795columns 9 through 161.36471.36551.36511.3653columns 17 through 201.36521.

7、36521.36521.3652迭代格式（3）,收斂o迭代次數(shù)25columns 1 through 81.25001.38011.36331.3655columns 9 through 161.36521.36521.36521.3652columns 17 through 201.3652136521.36521.36521.35781.36901.3633136621.36521.36521.36521.36521.36521.36521.36521.36521.36521.36521.365213652小結(jié)：從以上計(jì)算結(jié)果以及迭代序列圖可以很明顯的發(fā)現(xiàn)在初始值xo=1.25時(shí)亦有迭代格

8、式 （1）發(fā)散，迭代格式（2）和（3）均收斂，且（3）比（2）收斂速度快。（3）初始值xo=1.5時(shí)，各迭代格式的迭代序列圖如圖3所示：420-22468101214161820迭代格式（1）x 10216迭代格式（2）2468101214161820迭代格式（3）圖3初始值x0=1.5時(shí)各迭代格式下的迭代序列圖迭代格式（1）,發(fā)散。迭代次數(shù)28。第七個(gè)數(shù)達(dá)到10216數(shù)量級(jí)，導(dǎo)致前面的數(shù)約等于0。1.0e+216 *columns 1 through 8 0.0000 -0.0000 (columns 9 through 16nannancolumns 17 through 20nannan

9、迭代格式(2),收斂columns 1 through 81.50001.2870columns 9 through 161.36591.3649columns 17 through 201.36521.3652迭代格式(3),收斂columns 1 through 81.50001.3484columns 9 through 161.36521.3652columns 17 through 201.36521.36521.3652d.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-2.0827nannannannannannannano迭代次數(shù)n=14o1.40251.3455

10、1.37521.36011.36781.36391.36541.36511.36531.36521.36521.36521.36521.3652o迭代次數(shù)n=6o1.36741.36501.36531.36521.36521.36521.36521.36521.36521.36521.36521.3652nan1.36522.對(duì)于迭代格式(1),經(jīng)驗(yàn)證無論取什么樣的初值，都是發(fā)散的；迭代格式(2)只要其初 值取值范圍為定義域，即-v10, v10,可收斂；迭代格式(3)同樣取其初值范圍為定義 域，即(-4,+8),可收斂。并且迭代格式(3)比(2)收斂速度要快得多。3.新的迭代公式選収。經(jīng)過反

11、復(fù)比較，發(fā)現(xiàn)下迭代公式收斂速度較快。xk+14xk+10(xk+2)2初始值冷日初始值=1.252 ( iiii1>i<i1.5 . j x m 其. 其 并 (：1111111i12468101214161820初始值冷日點(diǎn)2 itiii>>iii5勺c* 帕 4 4*一*一* f f 十 f + + * * * * 卄2468101214161820圖4不同初始值下新的迭代公式的序列圖不同初始值迭代的計(jì)算結(jié)果如下：（1）初始值x。"時(shí),迭代序列收斂，n=13ocolumns 1 through 81.00001.55561.2832columns 9 th

12、rough 161.36451.36561.3651columns 17 through 201.36521.36521.36521.40391.36531.36521.34781.36521.37331.36521.36161.36521.36691.3652（2）初始值xo=1.25時(shí)，迭代序列收斂,n 二 13。columns 1 through 81.25001.42011.34051.37661.3600136761.36411.3657columns 9 through 161.36501.36531.36521.36531.36521.36521.36521.3652column

13、s 17 through 201.36521.36521.36521.3652（3）初始值xo=1.5時(shí)，迭代序列收斂，n=12ocolumns 1 through 81.50001.30611.39291.35271.37101.36261.36641.3647columns 9 through 16136551.36511.36531.36521.36521.36521.36521.3652columns 17 through 201.3652 136521.36521.3652小結(jié)：經(jīng)驗(yàn)證，初始值位于1,1-5內(nèi)時(shí)，該序列在此迭代格式下是收斂的，且收斂速度 和迭代格式（2）近似。在迭代過

14、程中，若出現(xiàn)迭代序列接近2,迭代也會(huì)結(jié)束，故初始值 選在1,1.5內(nèi)，程序運(yùn)行時(shí)不會(huì)因?yàn)槌霈F(xiàn)迭代結(jié)果接近-2的值，而使迭代序列趨向無窮大后 震蕩。4. steffen sen 法加速（1）使用steffensen加速法迭代上述三個(gè)迭代公式，得到迭代序列圖如下:宀迭代格式（1-e w 令 eooe-o2468 10 12迭代格式（2）1416182011iiiii1 1 1iiitii-2468 10 12迭代格式（3）14161820一a 41iiii+- + * *1 1 11rxtiij-2468 10 1214161820圖5初始值xo=1.25時(shí)，經(jīng)steffensen法加速后各迭代格

15、式的迭代序列圖（2）迭代序列計(jì)算結(jié)果和分析如下： 迭代格式（1）,收斂，迭代次數(shù)*5。columns 1 through 81.2500130641.34581.36271.36521.36521.36521.3652columns 9 through 161.36521.36521.36521.36521.36521.36521.365213652columns 17 through 181.3652 1.3652迭代格式(2),收斂，迭代次數(shù)*3。columns 1 through 81.25001.36341.36521.36521.36521.36521.36521.3652columns 9 through 161.36521.36521.36521.36521.36521.36521.36521.3652columns 17 through 181.36521.3652迭代格式（3）,收斂，迭代次數(shù)23。c