振型截斷法----振動力學(xué)ppt課件

1、1；. 振型疊加法中，需要求出各個階的固有頻率 和與之對應(yīng)的主振型 ，然后分析響應(yīng)x(t)。 若系統(tǒng)自由度數(shù)n很大時， 及 不便于也不可能全部求出。 若激勵頻率主要包含低頻成分，可撇去高階振型及固有頻率對響應(yīng)的貢獻，只利用較低的前面若干項 及主振型近似分析系統(tǒng)的響應(yīng)，這就是工程上常采用的振型截斷法振型截斷法。 振型疊加法 振型截斷法撇去高階 及 對響應(yīng)的貢獻利用較低的前面若干項 及iiii12, niiii振型截斷法振型位移法振型加速度法1LiLiisx 211( )iiiits-1xK P 主要知識點：1）以上兩類方法的介紹及對比； 2）如何進行截斷，即階數(shù)s的確定。2；.1,2,TLs 若

2、記由前知，有坐標變換公式：i0(0)1( )(0)cossin( )sin(t)dtiiiiiiipiitttQM(i=1,2，s) 假設(shè)已求得系統(tǒng)較低的前s階固有頻率 (i=1,2，s)及相應(yīng)的主振型 (i=1,2，s)，由第4章知系統(tǒng)在第 i 個主坐標的響應(yīng)為：1.1.振型位移法振型位移法ii則有：3；.1(5.89)sLiLiix 撇去高階振型部分，就可以得到下列近似的系統(tǒng)響應(yīng)：其中111222222(5.91)plppsspsdiagMMM C 由于在上式中響應(yīng)是由主振型及主坐標的位移疊加組成的，因而這種振型截斷法稱為振型位移法。i 如果考慮系統(tǒng)的阻尼，并且假定其主阻尼矩陣 是對角陣，

3、那么只需要確定前s階的振型阻尼比 (i=1,2,s)，而將高階的陣型阻尼比 (i=s+1,s+2,n)都假定為零，即有：pCi(5.90)pplC0C00這時，第i (i=1,2，s)個主坐標的響應(yīng)式為：1 1）考慮阻尼時，系統(tǒng)的響應(yīng)）考慮阻尼時，系統(tǒng)的響應(yīng)：4；.di()di0(0)(0)( )(0)cossint1( )sin(t)diiiitiiiiiididittipiditetQeM 而表示系統(tǒng)的阻尼矩陣的表達式為：12()() (5.92)TiiiiipiMsCMM( ) tMxKxP上式可變?yōu)椋?t)(5.93)-1-1xK PK Mx 已知強迫振動的振動方程為：2.2.振型加速

4、度法振型加速度法5；.將式（5.89）代入上式，并結(jié)合下式：L-1-1LLK M 21( )( )1( )(5.94)LLsiiiittt-1-1L-1-1LL-1xK PK M K P K P可得到系統(tǒng)的響應(yīng)近似地為： 上式右端第一項是偽靜態(tài)響應(yīng)，第二項是由前s階主振型及主坐標的加速度疊加而成的，因而這種方法稱為振型加速度法。 由于第二項有 存在，比較起振型位移法，振型加速度法改善了收斂性，即可用更少的主振型和固有頻率求出同樣精度的響應(yīng)。式（5.94）中的 可以用積分號下的微分法算出為：21ii20( )(0)cos(0)sin( )+( )sin()(5.95)iiiiiiitiiiipp

5、itttQ tQtdMM 221siiii(t)-1-1xK PK Mx 6；.利用分部積分，上式也可寫為(備后用)：20( )(0)cos(0)sin(0)1+cos( )cos()(5.96)iiiiiiitiiiipipitttQtQtdMM 當考慮阻尼時，式（5.93）成為：將式（5.89）代入上式，近似地得：結(jié)合第四章公式：故而由式（5.92）及主振型的正交性，上式右端第二項為：21()-1K M(t)(5.97)-1-1-1xK PK CxK Mx(t)(5.98)LLLL-1-1-1xK PK CK M 2 2）考慮阻尼時，系統(tǒng)的響應(yīng)）考慮阻尼時，系統(tǒng)的響應(yīng)：7；.211212s

6、iiipiiipiisiiiiiMM于是系統(tǒng)的響應(yīng)近似地為：21121=(t)-(5.99)ssiiiiiiiii-1x K P1112()()2()()sTiiLLiiLLipisTiiiiLLipiMM-1-1K CKMMK MM8；.下面通過例5.8來觀察使用振型截斷法時如何選取陣型的個數(shù)s。例5.8：如下圖所示，四層樓建筑，簡化為剛性樓板和彈性支柱。其余四張為不同的振型圖。 已知：頂層樓板上作用有簡諧激振力： ； 若激振頻率分別為： 1costP010.531.31） ； 2） ； 3） 1( )x t分別用振型位移法和振型加速度法計算頂層樓板的響應(yīng) 。9；.其中各主振型的歸一化是使最

7、大的元素為1。1100132080002530037K1000020000200003M1.000001.000000.901450.154360.779100.099631.000000.448170.496550.539890.158591.000000.235060.437610.707970.63688211222233244176.7213.294879.7029.6601687.4641.0793122.7955.882系統(tǒng)剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、固有頻率及振型矩陣已知如下。10；.解： 由公式 求出主質(zhì)量、主剛度：2piTpiiipiiMKMM112233442.87288,507.

8、6952.17732,1915.394.36658,7368.433.64239,11374.4ppppppppMKMKMKMK已知激振力向量為：1( )000 costPtP由第4章知：假設(shè) 簡諧激振力P P(t) 與響應(yīng)同頻率，即：( )sintt0PP其中是激振力幅的常數(shù)列向量；0P則系統(tǒng)在主坐標下對該激振力的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值為：0T0Q P故激振力幅為：011021031041,0.90145 ,0.15436QPQPQPQP 11；.又由第4章知，此時主坐標的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：02cos(a)(1)iipiiQtK（1）當采用陣型位移法時，系統(tǒng)的的響應(yīng)近似為：ii1( )(s4)siiitx其

9、中頂層樓板的響應(yīng)為：111(t)( )(s4)(b)siiixt 因為振型疊加法有n項，下面只截取前4項，將 寫出；并指出當所截取振型個數(shù)為s=1,s=2及s=3時的響應(yīng)部分，即：1(t)x其中12；.此時，激振頻率分別取：1121212121.0cos( )507.695(1/176.72)1.0cos1915.39(1/879.70)( 0.90145)( 0.90145cos)7368.43(1/1687.46)(0.15436)(0.15436cos)11374.4(1/3122.79)Ptx tPtPtPt(c)2s3s 1s 130,0.56.6468,1.353.402.將上述頂

10、層樓板的響應(yīng)表示為：11( )cosx tPt下表列出了不同頻率下系數(shù) 的值 ：13；.可以看出： 當振型個數(shù)取s=1時，振型位移法得到的響應(yīng)對三種激振頻率的任何一種都存在較大的誤差； 取s=3時，響應(yīng)在 時是相當精確的，但在時，響應(yīng)的誤差任較大。這是因為 接近于 （前），第四階主坐標的響應(yīng)在 中占重要成分，而振型截斷法卻沒有包括它。100.5或31.331.341( )x t（2）當采用振型加速度法計算響應(yīng)時，先算出柔度矩陣：32.604171.354170.729170.312501.354171.354170.729170.31250100.729170.729170.729170.31

11、2500.312500.312500.312500.31250-1FK14；.由式（5.94），頂層樓板的響應(yīng)近似為：111 11211( )cost(s4)siiiix tf P 將式(a)代入上式，得：2111 1121( )cost(s4)(d)siiiix tf P 為與精確解比較，仍將上式按（c）的形式寫為：311212212( )2.60417*10cos1.0cos176.72 507.695(1/176.72)1.0cos879.701915.39(1/879.70)x tPtPtPt212212( 0.90145)( 0.90145cos)1687.467368.43(1/1

12、687.46)(0.15436)(0.15436cos)(e)3122.79 11374.4(1/3122.79)PtPt2s3s 1s 15；.將上述頂層樓板的響應(yīng)表示為：下表列出了不同頻率下系數(shù) 的值 ：11( )cosx tPt從上表可以看出： 對于 的靜態(tài)載荷，振型加速度法得到精確解，實際上由式(d)得知，這個精確解是由偽靜態(tài)響應(yīng)給出的；010.5 對于 的低頻情況，振型個數(shù)取s=1時已經(jīng)得到相當好的近似解；取s=2時，響應(yīng)的精度相當于振型位移法中取s=3時的精度；31.3 而 時，出于與振型位移法相同的原因，振型加速度法同樣得不到精度較好的解。16；. 根據(jù)上例可知，在使用振型截斷法

13、求系統(tǒng)響應(yīng)時，必須把分布在激振頻率 附近的固有頻率 所對應(yīng)的主振型都包括在內(nèi)。 工程實踐當中，當計入激振頻率值20%范圍內(nèi)的固有頻率對應(yīng)的主振型時，一般已能得到較好的近似解。 另，有結(jié)論：對于低頻激振力，振型加速度法求出的響應(yīng)比振型位移法所得到的更好一些。 下面以無阻尼系統(tǒng)為例說明原因：第4章有公式 ： (m-k)( )TpiipiiiMKtP主坐標下的系統(tǒng) 從而得21( )TiiiipitM P 將上式代入(5.94)，得到：1111( )( )1() ( )(5.100)ssTiiiiiipisTLiiipixttKtK-1-1LK PPKP211( )siiiit-1xK Pn17；.

14、根據(jù)第4章柔度矩陣的模態(tài)展開式可知，上式右端第二項圓括號中的部分可以寫為：11111)1=(5.101)nsTTiiiiiipipinTiiHi spiKKK F 于是式(5.100)可表示為：( )(5.102)LtLHx F P 稱為剩余柔度矩陣，上式右端第二項正是振型加速度法比振型位移法多出的部分。HF 先考慮振型位移法中撇去的高階振型部分：021121isin(1)1() (t)(1)TnniHiiii si spiinTiii spiHPtKK P 18；. 對于低頻激振力，當 (i=s+1,s+2,，n)時，上式近似為i11() ( )( )(5.103)nTHHiii spittK H PF P 正因為振型加速度法中增添了對高階振型部分的近似項 ，因而求出的響應(yīng)比振型位移法求出的要好。( ) tHF P 振型截斷法中包括的主振型個數(shù)不僅與激振頻率有關(guān)，而且與激振力的空間分布有關(guān)。 如果某些主振型與激振力正交，那么