完全平方公式

1、七年級(jí)數(shù)學(xué)完全平方公式教學(xué)案例課題：完全平方公式（第一課時(shí)）（一）教材分析本節(jié)內(nèi)容主要研究的是完全平方公式的推導(dǎo)和公式在整式乘法中的應(yīng)用。 它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了代數(shù)式的概念、 整式的加減法、 冪的運(yùn)算和整式的乘法后進(jìn)行學(xué)習(xí)的，其地位和作用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1、整式是初中代數(shù)研究范圍內(nèi)的一塊重要內(nèi)容，整式的運(yùn)算又是整式中的一大主干， 乘法公式則是在學(xué)習(xí)了單項(xiàng)式乘法、 多項(xiàng)式乘法之后來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)的； 一方面是對(duì)多項(xiàng)式乘法中出現(xiàn)的較為特殊的算式的一種歸納、 總結(jié)； 另一方面， 乘法公式的推導(dǎo)是初中代數(shù)中運(yùn)用推理方法進(jìn)行代數(shù)式恒等變形的開(kāi)端， 通過(guò)乘法公式的學(xué)習(xí)對(duì)簡(jiǎn)化某些整式的運(yùn)算、培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí)

2、有較大好處。2、乘法公式是后繼學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)，不僅對(duì)學(xué)生提高運(yùn)算速度、準(zhǔn)確率有較大作用， 更是以后學(xué)習(xí)分解因式、 分式運(yùn)算的重要基礎(chǔ)， 同時(shí)也具有培養(yǎng)學(xué)生逐漸養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯推理能力的功能。3、公式的發(fā)現(xiàn)與驗(yàn)證給學(xué)生體驗(yàn)規(guī)律發(fā)現(xiàn)的基本方法和基本過(guò)程提供了很好的模式。（二）學(xué)生分析與教法針對(duì)初一學(xué)生的形象思維大于抽象思維， 注意力不能持久等年齡特點(diǎn)， 及本節(jié)課實(shí)際，采用自主探索，啟發(fā)引導(dǎo)，合作交流展開(kāi)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證和交流。同時(shí)考慮到學(xué)生的認(rèn)知方式、思維水平和學(xué)習(xí)能力的差異進(jìn)行分層次教學(xué)， 讓不同層次的學(xué)生都能主動(dòng)參與并都能得到充分發(fā)展。 邊啟發(fā)， 邊探索邊歸納， 突出以學(xué)生

3、為主體的探索性學(xué)習(xí)活動(dòng)和因材施教原則， 教師努力為學(xué)生的探索性學(xué)習(xí)創(chuàng)造知識(shí)環(huán)境和氛圍，遵循知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程，從特殊一般特殊，將所學(xué)的知識(shí)用于實(shí)踐。采用小組討論大組競(jìng)賽等多種形式激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。（三）學(xué)習(xí)任務(wù)分析“完全平方公式”的教學(xué)目的應(yīng)是“熟練掌握”。 為了使“熟練掌握”，一方面要正確理解公式。 讓學(xué)生自己得出公式， 是正確理解公式的措施之一； 同時(shí)還要掃除正確理解的障礙， 即消除一些容易混淆之處。 另一方面， 通過(guò)把公式運(yùn)用到各種情況中去來(lái)達(dá)到熟練運(yùn)用。 對(duì)于易混淆之處， 應(yīng)提高新舊知識(shí)的可分辨性。 通過(guò)變式對(duì)一些以前學(xué)過(guò)的， 對(duì)現(xiàn)在公式容易產(chǎn)生混淆的內(nèi)容 （如積的乘方公式、平方差公式）進(jìn)行

4、分辨，從比較中加深對(duì)正面法則的理解。（四）評(píng)價(jià)方式教師在教學(xué)中關(guān)注的是學(xué)生對(duì)待學(xué)習(xí)的態(tài)度是否積極， 關(guān)注的是學(xué)生想了沒(méi)有，參與了沒(méi)有，關(guān)注的是學(xué)生能否從數(shù)學(xué)的角度思考問(wèn)題，也就是關(guān)注過(guò)程，而不是結(jié)果。另外，在課堂教學(xué)中，給了學(xué)生更多的展示自己的機(jī)會(huì)，并且教師的鼓勵(lì)與欣賞有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)自我，建立自信，發(fā)揮評(píng)價(jià)的教育功能。（五）教學(xué)目標(biāo)1、識(shí)記目標(biāo)：熟記完全平方公式；能運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。2、 能力目標(biāo)： 經(jīng)歷探索完全平方公式的過(guò)程， 并從完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜想等探究創(chuàng)新能力，發(fā)展邏輯推理能力和有條理的表達(dá)能力。3、情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生敢于挑戰(zhàn)，勇

5、于探索的精神和善于觀察，大膽創(chuàng)新的思維品質(zhì)。（六）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)完全平方公式與平方差公式一樣是主要的乘法公式，其本質(zhì)是多項(xiàng)式乘 法，是學(xué)生今后用于計(jì)算的一種重要依據(jù)，因此，本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)如下：本節(jié)的重點(diǎn)是體會(huì)公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過(guò)程，理解公式的本質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用 公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。本節(jié)的難點(diǎn)是從廣泛意義上理解完全平方公式中的字母的含義，判明要 計(jì)算的代數(shù)式是哪兩數(shù)的和（差）的平方。總結(jié)出運(yùn)用法則時(shí)的注意事項(xiàng)予以強(qiáng)化順應(yīng)。（七）教學(xué)準(zhǔn)備投影儀、課件（八）教學(xué)過(guò)程教學(xué)步驟教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)教學(xué) 媒體 （資源） 和教字力 式創(chuàng)設(shè)探索1、從計(jì)算和比較試驗(yàn)田的面積，引出公式（a+b） 2 = a 2+2a

6、b+t20試驗(yàn)田的總面積有多種表示方式，通過(guò)對(duì)比這些表示 方式使學(xué)生對(duì)此公式有一個(gè)直觀的了解。1、探索這個(gè) 問(wèn)題，通過(guò) 小組交流比 較，得到（a+b） 2=投影 課本 P33 引入 問(wèn)公式2、提出新任務(wù)：（課本P33想一想1）。在過(guò)程中注 意了解學(xué)生對(duì)多項(xiàng)式乘法的理解程度，要求學(xué)生說(shuō)明 每一步的理由。3、提高任務(wù)難度：鼓勵(lì)學(xué)生自己探索，鼓勵(lì)學(xué)生算法 的多樣化。學(xué)生既可以按多項(xiàng)式乘法的法則計(jì)算；也 可利用公式并鼓勵(lì)其運(yùn)用自己的語(yǔ)言加以描述。4、師生共同總結(jié)：（a+b） 2=a2+2ab+E（a b） 2=a2 2ab+b2這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。5、觀察這兩個(gè)公式，探討這兩個(gè)公式的特征。師生

7、共同總結(jié)公式結(jié)構(gòu)特征：算式：兩數(shù)和（或差）的平方積：兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩數(shù)積的 2 倍6、進(jìn)一步提出問(wèn)題：你能用自己的語(yǔ)言敘述這兩個(gè)公 式嗎？教師明晰：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方 和加上（或者減去）它們積的兩倍。a2+2ab+t20題。體會(huì)完全平方公式的幾計(jì)算何意義。后與同伴2、根據(jù)多項(xiàng)交式乘法法流。則，獨(dú)立解決此問(wèn)題，并用自己的語(yǔ)言說(shuō)明每個(gè)別一步的理學(xué)習(xí)由，做到有理后據(jù)。讓一名學(xué)生到黑板板演。3、通過(guò)努力，完成任務(wù)，同伴熟悉了完全交流平方公式。仔細(xì)觀察、比較，并用自己的語(yǔ)百描述個(gè)人的觀察結(jié)果，在班內(nèi)進(jìn)行交流。教師在學(xué)生理解的基礎(chǔ)上，結(jié)合公式的特點(diǎn)和語(yǔ)言敘應(yīng)用練習(xí)促進(jìn)述，

8、給出記憶口訣：頭平方，尾平方，兩倍的乘積中 間放。7、比一比，賽一賽加強(qiáng)對(duì)公式中的字母含義的理解?；卮鹣铝袉?wèn)題：(a+2y) 2是哪兩個(gè)數(shù)的和的平方？(a+2y)2= ()2+2()()+()2(2x 5y)2是哪兩個(gè)數(shù)的差的平方？(2x+5y)2=()2+2()()+()2變式(2x 5y)2可以看成哪兩個(gè)數(shù)的和的平方？1、理論之于實(shí)踐展示課本例1,由學(xué)生自行講練，教師輔助。2、放手讓學(xué)生自己獨(dú)立完成課本隨堂練習(xí)1,借以檢驗(yàn)所學(xué)。3、闖關(guān)練習(xí)：下列各式的計(jì)算，錯(cuò)在哪里，應(yīng)怎樣改 正？(a+b) 2=a2+b2；(a b) 2=a2 b2；(a 2b)2=a2+2ab+t204、與在教師投影的

9、指導(dǎo)下總完全結(jié)出完全平平方方公式。公式5、認(rèn)真觀小組察、思考后， 小組討論， 明確公式特 征，加深對(duì) 公式表象的 理解。各小 組派一名代 表闡述結(jié)討論論。同伴交流投影6、在活動(dòng)中完全鞏固了所學(xué)平方知識(shí)，達(dá)成公式了識(shí)記目的語(yǔ)標(biāo)。仔細(xì)言敘觀察公式特述點(diǎn)(二要素、對(duì)比、變化、幫助學(xué)生克服思維定勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生從條件和結(jié)論兩方深化面來(lái)辨析公式特點(diǎn)。左邊和右邊、整體和提煉4、又一輪更大的挑戰(zhàn)，真實(shí)的測(cè)出對(duì)公式的理解程度及熟練程度，培養(yǎng)舉一反三，逆向思維的數(shù)學(xué)品質(zhì)。教育學(xué)生學(xué)習(xí)要多思多想，力求學(xué)深學(xué)透。 a2+b2 +=(a+b) 2局部）；嘗試用自己的語(yǔ)力進(jìn)行描述、交流。 a2+b2=(a+b) 2 a2+

10、b2二(a b)27、記憶與呈“通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你在知識(shí)上有哪些收獲，哪些能力得到了提高？”引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)，組織學(xué)生互相交流各自的收獲與體會(huì)，成功與失敗。明確以下幾點(diǎn):1、2、3、4、完全平方公式是兩數(shù)和與兩數(shù)差的平方公式的統(tǒng)公式中的a、b可以是任意數(shù)或代數(shù)式。公式的條件是：兩數(shù)和的平方或兩數(shù)差的平方。公式的結(jié)果是三項(xiàng)式。即這兩數(shù)的平方和加上（或減去）這兩數(shù)積的2倍。（當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí)取“ +”號(hào),數(shù)數(shù)異號(hào)時(shí)取“一”1、默憶，整理本節(jié)課筆記;2、獨(dú)立完成課本習(xí)題1.13全部習(xí)題3、閱讀課本“讀一讀”交流比賽,加深對(duì)公式字母含義的理解，明確字母意義的廣泛性。投影“比比、賽一賽問(wèn)題分組 比賽小結(jié)4

11、、自編一道最能代表個(gè)人水平的題目,向與你水平相個(gè)別當(dāng)?shù)耐瑢W(xué)發(fā)出挑戰(zhàn)。結(jié)構(gòu)5、課外探索（選做）計(jì)算：（a+b+c）26、預(yù)習(xí)下一節(jié)內(nèi)容。1、具體體會(huì) 公式在解題 中的應(yīng)用， 進(jìn)一步熟悉 公式。2、自我檢 驗(yàn),鞏固反 饋?？疾靷€(gè) 人的實(shí)際運(yùn) 用能力，并 及時(shí)查漏補(bǔ) 缺。學(xué)習(xí) 與同 伴交 流結(jié) 合個(gè)別 學(xué)習(xí)教師 點(diǎn)評(píng)四、布置 作業(yè)延伸 學(xué)習(xí)3、對(duì)比練 個(gè)別 習(xí)。通過(guò)觀學(xué)習(xí) 察、對(duì)比，與同 找出它們的伴交 異同，提高流相 警覺(jué)性，增結(jié)合 強(qiáng)對(duì)公式特點(diǎn)的靈敏性。消除知識(shí)的負(fù)遷移作用，如公式（ab）2=a2b2與與平方差同伴交流小組討論公式的負(fù)遷 移作用，杜 絕錯(cuò)誤的發(fā) 生。4、隨著探討 的步步深 入，對(duì)

12、公式 的理解不斷 加深。充分 發(fā)揮自身的 主觀能動(dòng) 性，思維變 得流暢、變 通，更富有 創(chuàng)造性。掌 握公式的變 形有利于今 后的各種計(jì)條理本節(jié)內(nèi) 容，回顧做 題經(jīng)歷，暢 談個(gè)人體會(huì)，互相交 流借鑒。原 本分散的知 識(shí)更加系統(tǒng) 化、結(jié)構(gòu)化, 初步形成知 識(shí)網(wǎng)絡(luò)。1、培養(yǎng)良好 的學(xué)習(xí)習(xí) 慣。2、全體學(xué)生 獨(dú)立完成， 鞏固所學(xué)知 識(shí)。3、了解一些 數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，經(jīng)歷 探索公式的 過(guò)程，激發(fā) 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的 興趣。4、加深課堂 知識(shí)5、利用已經(jīng) 學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi) 容探索新的 公式。生附：板書設(shè)計(jì)投 影課題：8、完全平方公式屏 幕(1)公式:(a+b) 2=a2+2ab+t2例題板演區(qū)(a b)2=a2 2ab

13、+b2學(xué)生板演區(qū)（九）教學(xué)反思本課的知識(shí)要點(diǎn)是經(jīng)歷探索完全平方公式的過(guò)程， 了解公式的幾何背景， 會(huì)應(yīng)公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，教學(xué)已基本達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)，能突出重點(diǎn)，兼顧難點(diǎn)。本節(jié)課上學(xué)生體會(huì)了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想， 并知道猜想的結(jié)論必須要加以驗(yàn)證； 授課思維流暢， 知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)渡自然， 學(xué)生容易得到一些結(jié)論但在老師的引導(dǎo)下又使問(wèn)題的探討得以不斷深入， 學(xué)生思考積極、 氣氛活躍， 教學(xué)效果較好。 采用以小組自主探究的學(xué)習(xí)方式， 同時(shí)各小組展開(kāi)激烈的比賽。 整節(jié)課都在緊張而愉快的氣氛中進(jìn)行。 學(xué)生非?；钴S。 人人都能積極參與。 先從代數(shù)式的幾何意義出發(fā)， 激發(fā)學(xué)生的圖形觀， 利用拼圖的方法， 使

14、學(xué)生在動(dòng)手的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并通過(guò)小組合作，探究歸納公式，然后強(qiáng)調(diào)數(shù)值的計(jì)算，使學(xué)生掌握公式的計(jì)算技巧。 從而突出以學(xué)生為主體的探索性學(xué)習(xí)原則。 讓學(xué)生自編符合完全平方公式和平方差公式結(jié)構(gòu)的計(jì)算題， 從而有效地將兩類公式區(qū)分開(kāi)， 深刻認(rèn)識(shí)公式的結(jié)構(gòu)特征，并大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。同時(shí)課后感覺(jué)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生用文字概括公式的內(nèi)容， 從而培養(yǎng)學(xué)生抽象的數(shù)學(xué)思維能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。對(duì)需要幫助的學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性的個(gè)別指導(dǎo)較少。 對(duì)于學(xué)生計(jì)算中存在的問(wèn)題應(yīng)讓學(xué)生自己糾錯(cuò)， 教師不應(yīng)全權(quán)代勞。 如利用兩數(shù)和的公式計(jì)算(a+b) 2 環(huán)節(jié)， 兩位學(xué)生分別講述自己的想法之后， 教師應(yīng)該讓全體學(xué)生根據(jù)其方法進(jìn)行計(jì)

15、算， 自主驗(yàn)證， 即使有些學(xué)生寫不出來(lái)， 也會(huì)因?yàn)榻?jīng)過(guò)思考而印象深刻， 如果為了節(jié)省時(shí)間教師自己代勞， 那樣就不能夠充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用，而且效果也較前者差些。在今后的教學(xué)中應(yīng)注意從以下幾個(gè)方面改進(jìn)：1、在教學(xué)中要講法則、公式的應(yīng)用，也要講公式的推導(dǎo)，使學(xué)生在理解公式，法則道理的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶， 比如： 我們要借助面積圖形對(duì)完全平方公式做直觀說(shuō)明。2 . 必須強(qiáng)調(diào)學(xué)生時(shí)刻把握公式的特征及用途:完全平方公式：(a +b)2=a2+ 2ab+ b2 , (a-b) 2=a2-2ab+b2特征 : 左邊是兩個(gè)相同的二項(xiàng)式相乘, 右邊是一個(gè)三項(xiàng)式, 其中兩項(xiàng)是二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方和 , 另一項(xiàng)是二項(xiàng)式中項(xiàng)的乘積的 2 倍或其相反式。 用途 : 用于解決兩個(gè)完全相同的二項(xiàng)式乘積運(yùn)算. 應(yīng)在課堂上大力推行邊啟發(fā)、 邊探索、 邊歸納 ,突出以學(xué)生為主體的探索性學(xué)習(xí)原則 . 既講“法” ,