大學物理上冊：運動學 02

1、xyorAB1.4 圓周運動圓周運動1.4.1 圓周運動的角量描述圓周運動的角量描述四指環(huán)繞質點的旋轉方向，則拇指的方向既是四指環(huán)繞質點的旋轉方向，則拇指的方向既是 的方向。的方向。在在SI制中，角位置和角位移的單位是弧度，即制中，角位置和角位移的單位是弧度，即rad,角速度是角速度是rad/s，角加速度是，角加速度是rad/s2.tttd)(d)(角速度角速度:角坐標角坐標:)(t角加速度角加速度: tdd1.4.2 變速率圓周運動的加速度變速率圓周運動的加速度AvBvlABRO如圖所示，如圖所示， 一質點作變速率圓周運一質點作變速率圓周運動。動。 t 時刻位于點時刻位于點A，速度為，速度為

2、 ，t+ t 時刻位于時刻位于B點，速度為點，速度為 .AvBv設設 ，t 時間轉過的角時間轉過的角 度為度為 ，AB= l，將將 、 平移交于平移交于C點，作點，作CDCF，則有：，則有： |Bv|AvBvAvtnvvv由三角形相似得：由三角形相似得：CBvAvvFvtvnEDAnvRlv|所以該質點的瞬時加速度為：所以該質點的瞬時加速度為：tnttntaatvtva00limlim（1 1）法向加速度：只改變速度方向）法向加速度：只改變速度方向大小為：大小為：RvRvtltvaaAAtntnn200limlim|方方 向：向：AnvaCDFt20即：指向圓心。即：指向圓心。Rvan/2（2

3、 2）切向加速度：改變速度大?。┣邢蚣铀俣龋焊淖兯俣却笮〈笮椋捍笮椋篸tdvtvtvaattttt|limlim|00即：沿即：沿A A點的切線方向。點的切線方向。方方 向：向：平行同Atvvt00所以質點作變速圓周運動時總的加速度：所以質點作變速圓周運動時總的加速度：dtdvnRvaaatn2大?。捍笮。?2222)()(dtdvRvaaatndtdvat/方向：方向：tnaaarctg如右圖所示。如右圖所示。圓周運動特例：勻速率圓周運動圓周運動特例：勻速率圓周運動特點：速度大小不變，方向時刻在變。加速度只改變速度的特點：速度大小不變，方向時刻在變。加速度只改變速度的 方向，而且永遠指向

4、圓心，稱向心加速度。方向，而且永遠指向圓心，稱向心加速度。tRytRxsin,cos 222Ryx jtRitRr)sin()cos(jtRitRv)cos()sin(jtRitRa)sin()cos(22RvRaaayx2222Aanata 以上關于圓周運動的結果，對任何平面曲線運動都適用。以上關于圓周運動的結果，對任何平面曲線運動都適用?？杀硎緸椋嚎杀硎緸椋篸tdvnvaaatn2式中式中 是曲線在質點處的曲率半徑。是曲線在質點處的曲率半徑。1.4.3 圓周運動中角量與線量的關系圓周運動中角量與線量的關系ABOxrR如圖所示，有如圖所示，有:RrRv Rat2Ran例例1、一質點在、一質點

5、在oxy平面內(nèi)作曲線運動，其加速度是平面內(nèi)作曲線運動，其加速度是時間的函數(shù)。已知時間的函數(shù)。已知ax=2, ay=36t2。設質點設質點t0 時時 r0=0, v0=0。求：求：(1)該該質點的運動方程；質點的運動方程； (2)該該質點的軌道方程質點的軌道方程; (3)該該質點的切向加速度。質點的切向加速度。 dtdva dtdvayyxx)1(dttdvdtdvyx236 2 tvytvxdttdvdtdvyx0200036 2 12 23tvtvyx jti tv3122 解：解：dtdyvdtdxvyx jtitrtytx42423 3所以質點的運動方程為：所以質點的運動方程為：dttd

6、ytdtdx312 2tytxdttdytdtdx0300012 2423 tytx622231444 12 2 )3(ttvvvtvtvyxyx 4262636121621444864821ttttttdtdva (2)(2)上式中消去上式中消去t , ,得軌道方程。得軌道方程。即：即： 可知是拋物線?？芍菕佄锞€。 23 xy6)361(1232232xyy 4223242236124)361 (6)361 (4ttxttvan例例2.已知：質點的運動方程為已知：質點的運動方程為 其中其中A、B、 均為正常數(shù)，均為正常數(shù)，AB。求：求：(1)此質點的軌道方程；此質點的軌道方程； (2)此質

7、點的速度和加速度此質點的速度和加速度; (3)此質點的切向加速度，何時為零。此質點的切向加速度，何時為零。j tBi tArsincos解：解：( (1)1)由運動方程可知：由運動方程可知：12222ByAx（2 2）由運動方程可知：）由運動方程可知： tBtAvvvyx222222cossintBtAtBAtBtAdtddtdvat22222222222cossin22sin)()cossin(（3 3）由定義：）由定義：tBatBvtBytAatAvtAxyyxxsincossincossincos22可見：當可見：當0,2 , 1 , 022tanntnt研究的問題研究的問題: : 在兩

8、個慣性系中考察同一物理事件在兩個慣性系中考察同一物理事件實驗室參照系實驗室參照系 相對觀察者固定相對觀察者固定 S S系系運運 動參照系動參照系 相對上述參照系運動相對上述參照系運動SS系系1.5 相對運動相對運動 伽利略變換伽利略變換1.5.1 伽利略坐標變換伽利略坐標變換 設設S系相對于系相對于S系沿系沿 X 軸方向以軸方向以u 作勻速直線運動作勻速直線運動,O和和 O重合時為記時起點。如下圖所示。重合時為記時起點。如下圖所示。設任意時刻質點設任意時刻質點P P在兩個坐標系的位置分別為在兩個坐標系的位置分別為: :S),(tzyxrrS),(tzyxrryOyOuPrrSSxxrr OO則

9、：則：正變換正變換utxxyy zz tt逆變換逆變換tuxx yy zz tt 分量式：分量式：值得注意的是：關系式值得注意的是：關系式 是根據(jù)矢量迭加而是根據(jù)矢量迭加而成的，但在運用矢量迭加法則時，要求每個矢量必須由同一成的，但在運用矢量迭加法則時，要求每個矢量必須由同一坐標系來測定，而伽利略變換式中的坐標系來測定，而伽利略變換式中的 是在是在 系中的測量系中的測量結果。結果。rr OOr S可見，伽利略變換式成立的條件是：空間兩點的距離不管從可見，伽利略變換式成立的條件是：空間兩點的距離不管從哪個坐標系測量，結果都應該相同。這一結論稱為空間絕對哪個坐標系測量，結果都應該相同。這一結論稱為

10、空間絕對性。性。伽利略變換式中的關系式伽利略變換式中的關系式 表明：質點的同一運動所經(jīng)表明：質點的同一運動所經(jīng)歷的時間，在不同的坐標系中測量時結果均相同，即時間與坐歷的時間，在不同的坐標系中測量時結果均相同，即時間與坐標系無關。這一結論稱為時間絕對性。標系無關。這一結論稱為時間絕對性。tt1.5.2 伽利略速度變換伽利略速度變換根據(jù)速度定義有：根據(jù)速度定義有：uvv上式是經(jīng)典力學中的速度變換公式，只適用于低速運動情況上式是經(jīng)典力學中的速度變換公式，只適用于低速運動情況下的相對運動問題。下的相對運動問題。zzyyxxvvvvuvv分量式為：分量式為：zzyyxxvvvvuvv正變換正變換逆變換逆

11、變換1.5.3 伽利略加速度變換伽利略加速度變換設設S系相對于系相對于S系沿系沿 X 軸方向以軸方向以 a0 作勻加速直線運動，作勻加速直線運動，則有：則有：0aaa若若S系相對于系相對于S系沿系沿 X 軸方向軸方向 作勻速直線運動，則作勻速直線運動，則有有aazzyyxxaaaat dduaa分量式分量式 ：zzyyxxaaaadtduaa正變換正變換逆變換逆變換這一結論說明：質點的加速度對于相對作勻速直線運動的各這一結論說明：質點的加速度對于相對作勻速直線運動的各 個參照系是個絕對量。個參照系是個絕對量。1.6.1 拋體運動拋體運動 1 2 3 4（1）運動方程）運動方程 如圖所示，質點初

12、始時刻位于坐標系原點，初速如圖所示，質點初始時刻位于坐標系原點，初速度度v0與水平方向夾角為與水平方向夾角為 ，由于加速度豎直向下且恒，由于加速度豎直向下且恒為為 ，則由速度定義及拋體的初始條件可得，則由速度定義及拋體的初始條件可得速度公式如下：速度公式如下：jgg1.6 運動的迭加原理運動的迭加原理t gvv0運動方程：運動方程：2021t gtvr上式表明：拋體運動實際上是水平勻速直線運上式表明：拋體運動實際上是水平勻速直線運 動與豎直勻加速直線運動的迭加。動與豎直勻加速直線運動的迭加。yxgv0gt221v0tr( 2 ) 軌跡方程軌跡方程在直角坐標系中運動方程為：在直角坐標系中運動方程

13、為：jgtjtvitvj yi xr20021)sin()cos(分量式分量式20021sincosgttvytvx消去時間參數(shù)消去時間參數(shù) t ,得軌跡方程得軌跡方程2220cos2xvgxtgy1.6.2 運動的疊加原理運動的疊加原理 例如例如1.6.1中的拋體運動中被拋物體同時參加水平方向的中的拋體運動中被拋物體同時參加水平方向的勻速運動和豎直方向的自由落體運動，其軌道為拋物線勻速運動和豎直方向的自由落體運動，其軌道為拋物線 。當。當拋射角為拋射角為 90o 時，稱為時，稱為豎直上拋運動。豎直上拋運動。 當物體同時參與兩個或多個運動時，其總的運動乃是各當物體同時參與兩個或多個運動時，其總

14、的運動乃是各個獨立運動的合成結果。這稱為運動疊加原理，或運動的獨個獨立運動的合成結果。這稱為運動疊加原理，或運動的獨立性原理。立性原理。 對于作曲線運動的物體，以下幾種說法中哪一種對于作曲線運動的物體，以下幾種說法中哪一種是正確的：是正確的： （A）切向加速度必不為零；切向加速度必不為零； （B）法向加速度必不為零（拐點處除外）；法向加速度必不為零（拐點處除外）； （C）由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，由于速度沿切線方向，法向分速度必為零，因此法向加速度必為零；因此法向加速度必為零； （D）若物體作勻速率運動，其總加速度必為零；若物體作勻速率運動，其總加速度必為零； （E）若物體的加速度

15、若物體的加速度 為恒矢量，它一定作勻變?yōu)楹闶噶浚欢ㄗ鲃蜃兯俾蔬\動速率運動 .（如：斜拋）（如：斜拋）a討討 論論oABAvBvr 例例3 如圖一超音速殲擊機在高空如圖一超音速殲擊機在高空 A 時的水平速率為時的水平速率為 1940 km/h , 沿近似于圓弧的曲線俯沖到點沿近似于圓弧的曲線俯沖到點 B ,其速率為其速率為 2192 km/h , 所經(jīng)歷的時間為所經(jīng)歷的時間為 3s , 設圓弧設圓弧 的半徑約為的半徑約為 3.5km , 且飛機從且飛機從A 到到B 的俯沖過程可視為勻變速率圓周運動的俯沖過程可視為勻變速率圓周運動 , 若不若不計重力加速度的影響計重力加速度的影響, 求求: (1) 飛機在點飛機在點B 的加速度的加速度; (2)飛機飛機由點由點A 到點到點B 所經(jīng)歷的路程所經(jīng)歷的路程 .ABatana 解解（1）因飛機作勻變速率）因飛機作勻變速率運動所以運動所以 和和 為常量為常量 .tataddtv分離變量有分離變量有:tta0tddBAvvvoABAvBvratana2tsm3 .23taABvv1hkm1940Av1hkm2192Bvs3tkm5 . 3AB