電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解答2

1、電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解各。外一 jQdU _£KR=r S =匂 4亦（” r 竊（£一芻）尸J SKR=2亦/?（1 + ）（）2£（）££o第二章靜電場(chǎng)1. 個(gè)半彳仝為R的電介質(zhì)球，極化強(qiáng)度為P = Kr/r2.電容率為£。（1）計(jì)算束縛電荷的體密度和面密度：（2）計(jì)算自由電荷體密度：（3）計(jì)算球外和球內(nèi)的電勢(shì)：（4）求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場(chǎng)總能量。解：（1） Pp=Yp =皆（/廠2）=一&（/尸閃廠+廠可（1仃2）=K/廠2 （rp = -w - （P2 -Pl）=er-Pr=R=K/R（2）。內(nèi)=£iE + P

2、=P£/（£-£（）Q = 0內(nèi)=刃 P/（£ Y°）=冰/（£一竊）,（3）£內(nèi)=D內(nèi)/w = P/（£ 匂）第1頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解各2. 在均勻外電場(chǎng)中置入半徑為的導(dǎo)體球，試用分離變量法求下列兩種情況的電勢(shì)：（1）導(dǎo)體球上接有電池，使球打地保持電勢(shì)左°：（2）導(dǎo)體球上帶總電荷0解：（1）該問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，對(duì)稱軸為通過(guò)球心沿外電場(chǎng)Z）方向的軸線，取該軸線為 極軸，球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。當(dāng)R> R。時(shí)，電勢(shì)0滿足拉普拉斯方程，通解為0 =工（色疋+船）代（遇&）n”因?yàn)闊o(wú)窮遠(yuǎn)處 E t E

3、y 卩-% - E°Rcos。= 0o Ei）RPl（cos0） 所以5=0°，=_E（an = 0, （7/ > 2）、'i/?>/?（）時(shí)，（p > （）所以 =他（）-久），= £0/?（； , bn =0,（/2 >2）% -E“/?cos& + /?（）（u -%）/? + £（）&： cos0/R2 （R > R烏 （P = ?。≧ s RJ（2）設(shè)球體待是電勢(shì)為°,同理可得叭、-E（）Rcos0 + /?（）（4- J/R + E（）&： cos&/ R（/?&

4、gt;/?（）（p = © （R s RJ當(dāng)RtR°時(shí)，由題意，金屬球帶電量QQ = j-J on=4磯凡（）dS =勺 J（Eo cos& + 2二色 + 2Eo cos8）R： sin6U6b。 R=&A所以（u-%） = Q/4昭幾（po 一 E.Rcos& + Q/4庇°R + （E（）R： /R）cos&（R > R（）（p =,0（）+0/4%R （R 5 RJ3. 均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷0廠球的電容率為£,球外為真空.試用分離變量法求 空間電勢(shì)，把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。提示：空間各點(diǎn)的電勢(shì)

5、是點(diǎn)電荷0/的電勢(shì)QJSeR與球而上的極化電荷所產(chǎn)生的電 勢(shì)的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。解：（一）分離變瑩法空間各點(diǎn)的電勢(shì)是點(diǎn)電荷0/的電勢(shì)QJ4tR與球而上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢(shì) 的迭加。設(shè)極化電荷產(chǎn)生的電勢(shì)為0',它滿足拉普拉斯方程。在球坐標(biāo)系中解的形 式為：/IK處=（/' +令比（COS0）nK當(dāng)7? T S時(shí)，0初T 0,q = 0。當(dāng)RtO時(shí)，為有限，乞=0。所以 滋=工必"代（心&） ,0；卜=£tE（cos0）nn K由于球?qū)ΨQ性，電勢(shì)只與R有關(guān)，所以5=0, （n > 1）” =0, （n > 1）% =% 必=dJR

6、所以空間各點(diǎn)電勢(shì)可寫(xiě)成0內(nèi)=© +04注/?0 外=d0/R + Qf /AtisRpi R t 時(shí)，由 0內(nèi)=0 外 得：5 = d（） / R）由則所以Qf Q（ （ 11、% =一 + （一一一）4亦7?£0 £0外=2-+2-（丄丄）=-4庇R 4欣竊 £4庇店（二）應(yīng)用商斯定理在球外，R>R。，由髙斯泄理得：外&= 0. = Qt + Qp = Qt ,（整個(gè)導(dǎo)體球 Qf的束縛電荷2=0）,所以 E, = I 2 ,積分后得：4亦（）斤0外= dR = j _色"R =-L-外5r外2 4®，4曲在球內(nèi)，R&l

7、t;Ro ,由介質(zhì)中的高斯泄理得：可E內(nèi)心=0,所以<2/Qf Qf . 結(jié)果相同。疋廠聲分后得： 陽(yáng)=扣叫履=呂航+仏4. 均勻介質(zhì)球（電容率為£ ）的中心置一自由電偶極子,球外充滿了另一種介質(zhì)（電容率為匂），求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和極化電荷分布°解：以球心為原點(diǎn)，的方向?yàn)闃O軸方向建立球坐標(biāo)系?？臻g各點(diǎn)的電勢(shì)可分為三種電 荷的貢獻(xiàn)，即球心處自由電偶極子、極化電偶極子及球而上的極化面電荷三部分的 貢獻(xiàn)，其中電偶極子產(chǎn)生的總電勢(shì)為PfR/4庇占彳°所以球內(nèi)電勢(shì)可寫(xiě)成： 卩=0汁p廠RI4tiER' ；球外電勢(shì)可寫(xiě)成:（P。=譏+p廠RI施R 英中0；和0。為

8、球而的極化而電荷激發(fā)的電勢(shì)，滿足拉普拉斯方程。由于對(duì)稱性，化和0。均與0無(wú)關(guān)?？紤]到RtO時(shí)化為有限值：Rts時(shí)故拉普拉 斯方程的解為：0； = 2>,Fcos0）（R gn工為化（cos&）gRJn K由此 © =代，R/4亦疋+©川代（cos&）（/?</?0）（1）n（po = p（R/4碼/?'+工4/TE£（cos&）（R>R）（2）邊界條件為:卯嘶=久|魯(3)(4)將(1) (2)代入(3)和(4),然后比較(cos&)的系數(shù)，可得:"”=°，“ =0("Hl)d

9、 =(£ £2p f / 2 兀 £(£ + 2£2 )/?(jb、=aR =(£ -£i)Pf /2碼(£ +2勺) 于是得到所求的解為：p f R (© 一 RcosO(Pi = ：f + ： 7-4兀2亦(芻+ 2勺)&PfR4 兀2亦（斫+2勺）&PfR(R § R(JP ! R(£ 一 wjp ( COS04 庇 R2庇(£ +26)7?'pR (可 一 $2) PfR4 亦/?' 2 亦(£+2£2)R第7頁(yè)電動(dòng)

10、力學(xué)習(xí)題解各第#頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解各g RJ3pR4 龍(£ +22)/? 3D = (.-1)VD在均勻介質(zhì)內(nèi)部，只在自由電荷不為零的地方，極化電荷才不為零，所以在球體內(nèi)部, 只有球心處存在極化電荷。pp=_V.p = -V-(-o)E = -V-LZfo£ I=（£（）/匂一1）0所以 Pp =（£（）/£】一1）“ 在兩介質(zhì)交界而上，極化電荷面密度為由于嘰Robp = - （Pi - P2）=（芻一筍 X E, 一 （勺 一 % 壇 Eo 卜L。）亂+（g）貂 _ £ MO=罔2_勺）匕COS0/?.2昭（£|+2匂）&

11、amp;|5. 空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為&和/?2,球中心置一偶極子P球殼上帶電0,求空間各 點(diǎn)的電勢(shì)和電荷分布。解；以球心為原點(diǎn)，以卩的方向?yàn)闃O軸方向建立球坐標(biāo)系。在R<&及R>R?兩均勻 區(qū)域，電勢(shì)滿足拉普拉斯方程。通解形式均為第#頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解各第#頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解各工（必”+務(wù)比（COS&）nK當(dāng)Rts時(shí)，電勢(shì)趨于零，所以R>R2時(shí)，電勢(shì)可寫(xiě)為久=工島冊(cè)os 60ii K當(dāng)RtO時(shí)，電勢(shì)應(yīng)趨于偶極子p激發(fā)的電勢(shì)：p, -/?/40/?3 = /7cos6>/4-0/?2所以R<R、時(shí)，電勢(shì)可寫(xiě)為設(shè)球殼的電勢(shì)為則久k =工為代（co

12、s&） = ®.n K?©L = “cosO/4 碼用 +© &出（cos&） = ®.（1）由得: 由（4）得: 所以% = 0、忌：仇=0（心0）勺=? : 5=-卩/4叭疋:an =0 HO, 1）%=譏肢° *10 = pcos&/4oR +（ps 一 pRcosO丨4庇店 再由警蟲(chóng)冷二® 學(xué)4冰2=0得：； uKK化=0/4亦蟲(chóng)將代入得：%=Q【4m）R （R > RJ_ “cos® + Q pRcos0 _1（P R Q"4庇qR 4叭&4碼）用 4亦

13、76; R' R2在R = R2處，電荷分布為：b = D* =_£（）dR在R = R、處，電荷分布為：b'=-D“ =£q”° dRR>3“cos&（7）4晴6.在均勻外電場(chǎng)中置入一帶均勻自由電荷Q/的絕緣介質(zhì)球（電容率為£）,求空間各 點(diǎn)的電勢(shì)。解：以球心為原點(diǎn)，以的方向?yàn)闃O軸方向建立球坐標(biāo)系。將空間各點(diǎn)的電勢(shì)看作由兩 部分迭加而成，一部分0為絕緣介質(zhì)球內(nèi)的均勻自由電荷產(chǎn)生，另一部分®為外電第9頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解各場(chǎng)耳）及感應(yīng)的極化電荷產(chǎn)生。前者可用髙斯泄理求得，后者滿足拉普拉斯方程。 由于對(duì)稱性，的形式為工

14、3F +W-E）P"（cos&）9t對(duì)于當(dāng)R>Rq時(shí)，由高斯定理得： D、=pRJ3R2 , Ey = p,R/3£（）R2當(dāng)R<R°時(shí)，由髙斯定理得：D、= p(R/3 ,= pfR/3s0的球外部分： =(pf & / 3勺)爐)dR + 。恥訶(1)(2)=卩尺13£出-p( R訂3“-p尺應(yīng)0 的球內(nèi)部分：<Pn = £ F, d/? = £(p, R/3slR = -pf R2 /()£ 對(duì)于當(dāng) 7?ts時(shí).(p2 > -E0Rcos0 所以%2 = -E°Rcos

15、& +務(wù)化(cos&) (R > R°) n K當(dāng)7?tO時(shí)，02為有限，所以(p,2 =為勺&"出(COS&)(R < Rq)邊界條件為：R = R°時(shí)，仇2=0"第#頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解各第#頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解各-E°R° cos。+工乞心曲化（COS&）=工色尺出（COS&）IlII-ER cos& -久工+ 1）仇心皿）代（COS&）= £工叫&化（心&） 比較化（COS&）的系數(shù)，解得:«! =-30£

16、0/(+ 20) g =(£ - sJER /(£ + 2匂)山=仇=0(«工1)所以 久2 =EoRcos& +(£ £(JE°&：cos&/(£ + 2Wo)Q (R > 7?0)02 = -30E07?cos/( + 20) 由(1)(2) (3) (4)得:丄+丄)+出£()1£3£()7?PfRj 3£uE(jRcOS&(£ + 2®)/? 2(R'RQ(R § RJ7.在一很大的電解槽中允滿電亍率為

17、6的液體，便其中流著均勻的電;/ 今在液體中 置入一個(gè)電導(dǎo)率為6的小球，求穩(wěn)恒時(shí)電流分布和而電荷分布，討論er, » o-2及 <7, » “兩種情況的電流分布的特點(diǎn)。解：未題雖然不是靜電問(wèn)題，但當(dāng)電流達(dá)到穩(wěn)左后，由于電流密度與電場(chǎng)強(qiáng)度E)成 正比(比例系數(shù)為電導(dǎo)率)，所以民也是穩(wěn)左的。這種電場(chǎng)也是無(wú)旋場(chǎng)，其電勢(shì)也滿 足拉普拉斯方程，因而可以用靜電場(chǎng)的方法求解。(1) 未放入小球時(shí)，電流密度是均勻的，由辦尸仇可知，穩(wěn)恒電場(chǎng)民也是一個(gè)均勻場(chǎng)。因此在未放入小球時(shí)電解液中的電勢(shì)0()便是均勻電場(chǎng)民的電勢(shì)。放入小球后,以球心為原點(diǎn)，的方向?yàn)闃O軸方向，建立球坐標(biāo)系。為方便起見(jiàn)，

18、以坐標(biāo)原點(diǎn)為 電勢(shì)零點(diǎn)。在穩(wěn)恒電流條件下，dp/dt = o,所以：VJ=O由(1)式可推出穩(wěn)恒電流條件下的邊界條件為：n-(J2-J) = 0設(shè)小球內(nèi)的電勢(shì)為0，電解液中的電勢(shì)為則在交界面上有: 呱Fb判=6坐|將J = aE及£=代入(1),得：VJ=V-(oE) = -aVV = 0可見(jiàn)0滿足拉普拉斯方程考慮到對(duì)稱性及Rts時(shí)E t ,球外電勢(shì)的解可寫(xiě)成：臺(tái)心+泮心)其中利用了丿/0 = <20 °考慮到/?0時(shí)電勢(shì)為有限值，球內(nèi)電勢(shì)的解可寫(xiě)成: 卩=2>J?p(cos&)因?yàn)檫xR = 0處為電勢(shì)零點(diǎn)，所以«0=0,將(5) (6)代入(

19、3) (4)得:-他 COS& + 工化（COS&） = 2>,尺化（COS&）0*2n 耳）nb2【-4cos& -（"+1）為出（cos&） = 5叫尺"化（cos &）b?n%n(1)（6）（7）由(7)(8)兩式可得：5 =-3 丿門(mén)/(6 + 2b2)b、=（5 - <r2）Jr（）/?o /（5 + 2b?）65=°，嘰=0（H1）所以：（p =-3J/0/?cos/（cr1 +2b2）= -3J7oR/（b +2ct2） （R<Rq）02 =-幾（）Rcos&/b2 +（b -

20、 6）丿巾屁 cos&/（5 +2cr2）cr27?2=-JfQ-R/<y2 + G 6)點(diǎn)Je Rg + 2cr2)(T2/?3(R n &)由此可得球內(nèi)電流密度：丿=CTE= 3“VV"/?)/(“ +2<T2) = 3crIJ/0/(aI +2a2)電解液中的電流密度為：J2 =6E? =-cr2V2卜(q_b2)尺 3C/or)r(q+2bj F(2) 兩導(dǎo)體交界而上自由電荷而密度3( = er (D2 -£>!)= sQer (E? -d)=昭-= 3(cF| - cr2)0J/0cos/(cr1 + 2a2)<J2(3)

21、當(dāng)“>>6，即球的電導(dǎo)率比周弗I電解液的電導(dǎo)率大的多時(shí)，(5 刃)/© +2<72) a 13b /(5 + 2cf2) q 39所以，丿嚴(yán)3丹。J2 5 +(&/疋)3(打0 K)K/R2 一打。co, w 30J r()cos/cr2當(dāng)時(shí)，同理可得：/嚴(yán)0J2 «J/0/27?3)3(J/O R)R/R2-Jf0co, « -3s0J fi)cos0/2a2&半徑為心的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)s,導(dǎo)體球接地，離球心為“處(“ >RQ豐一點(diǎn)電荷0八試用分離變量法求空間各點(diǎn)電勢(shì)，證明所得結(jié)果與電象法結(jié)果相同。 解：以球心為原

22、點(diǎn)，以球心到點(diǎn)電荷的連線為極軸建立球坐標(biāo)系。將空間各點(diǎn)電勢(shì)看作 由兩部分迭加而成。一是介質(zhì)中點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)5 = Q J4庇pR，+a2 - IRcicqsO 二是球而上的感應(yīng)電荷及極化面電荷產(chǎn)生的02。后者在球內(nèi)和球外分別滿足拉普拉斯 方程?？紤]到對(duì)稱性，卩與0無(wú)關(guān)。由于RtO時(shí)，為有限值，所以球內(nèi)的血解的形式可以寫(xiě)成知='anRl,Pn(cos0)(1)n由于/?TS時(shí)，02應(yīng)趨于零，所以球外的解的形式可以寫(xiě)成久2=工農(nóng)rE(COS&)n八由于+/ 2/?dCOS& =(l/d)工(R/d)"E(cos)n(P = (Q J 4亦 a)(R / a)&q

23、uot; R?(cos)(3)當(dāng)R5&)時(shí)，卩內(nèi)=轉(zhuǎn)+%2(4)=(0./4 亦")為(R/ME(cos) + 工“”尺児(cos&)nn當(dāng)R>&)時(shí),0外=0+0心= (0/4 亦")(R/")”E(cos) +E(cos&)/rk K因?yàn)閷?dǎo)體球接地，所以0內(nèi)=0。外L “內(nèi)L "將(6)代入(4)得： an =QJ4趙嚴(yán)'將(7)代入(5)并利用(8)式得：化=0用間/4卻曲將(8) (9)分別代入(4) (5)得：卩內(nèi)=0(R 5 RJ1 r 0(p(f. =' ,4 庇 lR2 + a2-2R

24、acos0+ (R：/+ 2RR： cos&/ a1,(5)(6)(7)(8)(9)(10)第13頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解各(/?>/?0) (11) 用鏡像法求解：設(shè)在球內(nèi)八)處的像電荷為0仁由對(duì)稱性，0任球心與©的連線上，根 據(jù)邊界條件：球而上電勢(shì)為0,可得：(解略)心=&/"，Q'=-R()Qt /a所以空間的電勢(shì)為(R a R()丄(色+£ = | a _ _ R©4庇 n 44庇 y；R1 + a2-2Racos0 aQQ+(R：/a f+2RR： cos。/”9. 接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為&和凡，在球內(nèi)離球心

25、為"處(“<&)置一點(diǎn)電荷0。 用鏡像法求電勢(shì)。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分布在內(nèi)表而還是外表而？ 解：假設(shè)可以用球外一個(gè)假想電荷0代替球內(nèi)表 而上感應(yīng)電荷對(duì)空間電場(chǎng)的作用，空心導(dǎo)體球接 地，球外表而電量為零，由對(duì)稱性，0應(yīng)在球 心與0的連線上?？紤]球內(nèi)表而上任一點(diǎn)P,邊界條件要求：Q/? + Q7F=0(1)式R為Q到P的距離，RJQ'到P的距離，因此，對(duì)球而上任一點(diǎn)，應(yīng)有R'/R = -Q'/Q =常數(shù)(2)只要選擇0的位置，使O0'PAOPQ,貝ijRTR = RJa =常數(shù)設(shè)0距球心為b，則b/R=RJu,即b = R"

26、由(2) (3)兩式得：Q'=RQ/u第#頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解各（P = - 1 - | O - X0" =4% 丁，+42一2屜心& 尹 +R：心-2R：Rcos*a 導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)為零，由高斯立理可知球而上的感應(yīng)電荷為-0，分布于內(nèi)表而。 由于外表而沒(méi)有電荷，且電勢(shì)為零，所以從球表而到無(wú)窮遠(yuǎn)沒(méi)有電場(chǎng)，卩外=0。10. 上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帯總電荷0,或使具有確定電勢(shì)久，試求這兩種情況的 電勢(shì)。又問(wèn)打是何種關(guān)系時(shí)，兩情況的解是柑等的？解：由上題可知，導(dǎo)體球殼不接地時(shí)，球內(nèi)電荷0和球的內(nèi)表而感應(yīng)電荷-0的總效果是 使球殼電勢(shì)為零。為使球殼總電量為Qo,只需滿足球外表面電

27、量為Q）+ Q即可。因此, 導(dǎo)體球不接地而使球帶總電荷00時(shí)，可將空間電勢(shì)看作兩部分的迭加，一是0與內(nèi)表 面的Q產(chǎn)生的電勢(shì)0,二是外表面Q）+ 0產(chǎn)生的電勢(shì)02。（P =Q_-,R'Qm:I，（R < RJ4亦（）yjR1 + a1 -IRacosO R2 +/a2 - 2RRcosO/a®外=0,（R'R）；卩內(nèi)=（Q + Q（>）/4碼點(diǎn)2， （R < R；02外=（0 + Q）/4）R，（R>R2）,所以0NQ+QJ/4 亦()/?gR0 = (Q+Q)/4砧(點(diǎn)2(% 5R5R防 1 -RM+°+切，(趾&)4亦o E

28、 + / -2屜cos&+ 用/ -2用RcosO/g尺2由以上過(guò)程可見(jiàn)，球而電勢(shì)為（0 + 2）/4足0鳥(niǎo)。若已知球而電勢(shì)久，可設(shè)導(dǎo)體球總電疑為0°,則有:（0 + 0o）/4磯鳥(niǎo)=%，即:（。+ 0）/4碼=0（點(diǎn)2電勢(shì)的解為：R(R>R2)(p = <% (/?,</?</?,)1(QRQ"丄 mQ-Qo4磯 jF+a2 2&cos& yiR2 + R/a2-2RRcos0/a ° .(R 5 RJ當(dāng)久和Q）滿足久= （0 + Q）/4亦時(shí)，兩種情況的解相同。11. 在接地的導(dǎo)體平而上有一半徑為“的半球凸部（如

29、圖），半球 的球心在導(dǎo)體平而上，點(diǎn)電荷。位于系統(tǒng)的對(duì)稱軸上.并與 平而相距為b （b>a）,試用電象法求空間電勢(shì)。解：如圖，根據(jù)一點(diǎn)電荷附近置一無(wú)限大接地導(dǎo)體平板和一點(diǎn)電 荷附近宜一接地導(dǎo)體球兩個(gè)模型，可確左三個(gè)鏡像電荷的電 雖和位宜。八 G八a八 "八a&=bQf°廠評(píng)口 = 一龐所以_ 。11a4碼j 眼 W 2Rbcos8 JR2 +b2 +2Rbcos0 9 ' . a4 a2 n 門(mén) “R+r» + 2 /?cos& V bb(0<6>< zr/2R>a)一吟 Ms。第17頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解各第#頁(yè)電動(dòng)

30、力學(xué)習(xí)題解各證刁.7產(chǎn)嚴(yán): 丫J 112. 有一點(diǎn)電荷Q位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平而所 帀成的直角空間內(nèi)，它到兩個(gè)平而的距離為“和b,求空間電勢(shì)。解：用電像法，可以構(gòu)造如圖所示的三個(gè)象電荷來(lái)代替兩導(dǎo) 體板的作用。Q1（P =，廠一_4啦 J（x-Xu）2 +。-療 +（?-）'1+(y_d)- +(z +方)-g>0)1+1+(y + d)，+(z-")2yl(x-x0)2 +(y + a)2 +(z. + b)213. 設(shè)有兩平而用成的直角形無(wú)窮容器，其內(nèi)充滿電導(dǎo)率為（7的液 體。取該兩平面為疋而和yz面在（心,兒,z°）和（斗），y0，一 z（）兩 點(diǎn)分

31、別置正負(fù)電極并通以電流人求導(dǎo)電液體中的電勢(shì)。解：本題的物理模型是，由外加電源在A、B兩點(diǎn)間建立電場(chǎng)，使 溶液中的載流子運(yùn)動(dòng)形成電流/,當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)泄時(shí)，屬恒是場(chǎng)， 即dp/dt = o, v j=o.對(duì)于恒定的電流，可按靜電場(chǎng)的 方式處理©于是在A點(diǎn)取包用A的髙斯面，則樣 dS=Q/s.0（心，兒，Z（| ）0（ 一兒，）(2( i> - ?(I <<i)0(兒-一0（一心-0（-兀0一兒廠5）-Q（兒廠兒-z（1）- 0（兀，兒）由于/ =j = oE.所以/（7 = Q/£可得：Q = 1£ I b o同理，對(duì)B點(diǎn)有：Qb=S_Q又，在容器壁上，

32、/, = 0 ,即無(wú)電流穿過(guò) 容器壁。由j = oE可知，當(dāng)人=0H寸，EZI = 0 o所以可取如右圖所示電像，其中上半空間三個(gè)像電荷0下半空間三個(gè)像電荷 容器內(nèi)的電勢(shì)分布為：XI-=-11聽(tīng)I(yíng)丄' 、：4力 7(x-x0)- +(y-y0) +(z-z0Y*1J(X_Xo)2 +(y _ 兒)_ +(Z + Z°) yj(x- Xo) + (>' + y0) + (z 0)1 1_J(x 一 X0) + (y + y。)' + (z + Zo? JCr + Xo)，+(y + )b)2 +(Z %)21 1， + 解：(1) J(x)=皿)dx2)

33、x = 0時(shí)，a)對(duì)于¥>(),b)對(duì)于AxvO,7(x + x0)2 +(y + y0)2 +(z + zQ) J(x + Xo)2 + ('一 Ao)，+ (?-勺)' 7(x + x0)2+(y-y0)2 +(z + Zo)，14. 畫(huà)岀函數(shù)d3(x)/dx的圖,說(shuō)明p = -(p-V)J(x)是一個(gè)位 于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。0, x H 0s , x = 0dd(x) . J(x +Ax)-J(x)=lun dxAv xHO時(shí)，ddx)ldx = QJJ(zV)lt 0-OO=lim= s dxato Arddxr 0-oo =lun= +s dxa

34、t) Ax圖象如右圖所示。P = 7P V)J(x) = -(pxXdldxx +px2d/dx2 + px3d/dx3)d(x)pxdV = -J(p 八/ = - (/?vl/dv, + px2d/dx2 + pxid/dxdxdV其中第一項(xiàng)為：QQ- J(/r )MxclV = -j px (3x) J(x2) J(x3) xxex +x2e2 + xye3)dxdx2dx3 Cz A |C/Xi= -pxi 6(Al)<?(xJJ(x3)(x1gI + x2e. + xe3)dxdx.dx = -e f pxx "W/x】J ox jd應(yīng)用如少"(心竺2即如=

35、如少5),可得： dtdt(Itclt一 e J 幾內(nèi)弓巴州=一e Jp“/(xQ3)+e Jp33)如=一6幾內(nèi)»(山)+ 6/" =epx (x=0)同理可得另外兩項(xiàng)分別為e2px2及sp小 所以，Jqt(/U = p，R卩是一個(gè)位于原點(diǎn)的 偶極子的電荷密度。第#頁(yè)電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解各15. 證明:(1) d(ax) = d(x)/a (a > 0),(若a<0,結(jié)果如何?)(2) xJ(x) = 0證明：1)顯然，當(dāng)xHO時(shí)，3ax) = d(x)/a成立：又C5(axdx = C3(ax)些巴=丄6(宓)(俶)=丄jx*ocaa j_haj d(x)dx =

36、 1Xd (ax) _1所以5(g) = 3(x)/a在全空間成立。若gvO, f dax)dx = f 3(-axdx = f 3(-ax)J-xJ-xJ-x即，J(6/A)= -J(X)/« 所以S(OY)= J(X)/|«|在全空間成立。2)由a(x)的選擇性證明。卜5(x)| =忖5(x)二0,而卜p(x)(Zx =()= 0.*. |x0(x) = O ,進(jìn)而 xd(x) = 016塊極化介質(zhì)的極化矢量為P(x'),根據(jù)偶極子靜電勢(shì)的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜 電勢(shì)為卩=JU'""，另外根據(jù)極化電荷公式pp =-V'-P(

37、x*)及=P,極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢(shì)又可表為(P=-V+卩;少,試證明以上T/tS()7*T/IS Q /*兩表達(dá)式是等同的。證明：由第一種表達(dá)式得0 =丄-加"護(hù)=pcx-vf-bv'4磯h r34亦 r) V9 p- = -v'p + pv1(p =4亦o14亦°第19貞電動(dòng)力學(xué)習(xí)題解各所以，兩表達(dá)式是等同的“實(shí)際上，繼續(xù)推演有：f弘a + 空卅 Jv rjs r10=4亦()剛好是極化體電荷的總電勢(shì)和極化而電荷產(chǎn)生的總電勢(shì)之和。17.證明下述結(jié)果，并熟悉而電荷和而偶極層兩側(cè)電勢(shì)和電場(chǎng)的變化。(1)在而電荷兩側(cè)，電勢(shì)法向微商有躍變而電勢(shì)是連續(xù)的.(2在而偶極層兩側(cè)，電勢(shì)有躍變(p2-(p =n-P/£Q,而電勢(shì)的法向微商是連