專題07 二次函數(shù)的應(yīng)用-中考數(shù)學(xué)函數(shù)考點(diǎn)全突破

1、1考點(diǎn)分析考點(diǎn)分析：二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用考察銷(xiāo)售利潤(rùn)方案問(wèn)題是最常見(jiàn)的，并且根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，在一定的范圍內(nèi)，求出符合要求的最大值得出最大利潤(rùn)，那么我們就要對(duì)銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題的知識(shí)掌握熟練，以下知識(shí)點(diǎn)能很好的幫助我們解決這類題目。遇到二次函數(shù)的應(yīng)用題我們需要考慮以下問(wèn)題：遇到二次函數(shù)的應(yīng)用題我們需要考慮以下問(wèn)題：1.看清題目，理清楚條件，弄懂題目的意思，知道要求什么，便于我們找準(zhǔn)合適的自變量 X 與相應(yīng)的函數(shù) Y，這是開(kāi)頭也是非常重要的。2.條件整理清楚后，抓住數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，如果要研究面積那就根據(jù)求解面積來(lái)列式，如果要求利潤(rùn)那就列關(guān)于利潤(rùn)的表達(dá)式。3.列完函數(shù)表達(dá)式之后要求最值， 那么這

2、里要首先寫(xiě)清楚自變量的取值范圍，這一點(diǎn)很容易被忽略掉，自變量的取值決定著函數(shù)的最值在哪里可以取?！纠?1】我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運(yùn)輸原因，長(zhǎng)期只能在當(dāng)?shù)劁N(xiāo)售當(dāng)?shù)卣畬?duì)該特產(chǎn)的銷(xiāo)售投資收益為：每投入 x 萬(wàn)元，可獲得利潤(rùn) P1100(x60)241(萬(wàn)元)當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在“十二五”規(guī)劃中加快開(kāi)發(fā)該特產(chǎn)的銷(xiāo)售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對(duì)該項(xiàng)目每年最多可投入 100 萬(wàn)元的銷(xiāo)售投資， 在實(shí)施規(guī)劃 5 年的前兩年中， 每年都從 100 萬(wàn)元中撥出 50 萬(wàn)元用于修建一條公路，兩年修成，通車(chē)前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N(xiāo)售；公路通車(chē)后的 3 年中，該特產(chǎn)既在本地銷(xiāo)售， 也在外地銷(xiāo)售 在外地銷(xiāo)售的投資收益為： 每投入x

3、萬(wàn)元， 可獲利潤(rùn)Q99100(100 x)22945(100 x)160(萬(wàn)元)(1)若不進(jìn)行開(kāi)發(fā)，求 5 年所獲利潤(rùn)的最大值是多少；(2)若按規(guī)劃實(shí)施，求 5 年所獲利潤(rùn)(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根據(jù)(1)、(2)，該方案是否具有實(shí)施價(jià)值？【解析】(1)當(dāng)x60 時(shí)，P最大且為 41 萬(wàn)元，故五年獲利最大值是 415205(萬(wàn)元)總利潤(rùn)=單個(gè)的利潤(rùn) 總數(shù)量單個(gè)的利潤(rùn)= 售價(jià)進(jìn)價(jià)利潤(rùn)率=利潤(rùn) 成本2(2)前兩年：0 x50，此時(shí)因?yàn)镻隨x的增大而增大，所以x50 時(shí)，P值最大且為 40萬(wàn)元，所以這兩年獲利最大為 40280(萬(wàn)元)后三年：設(shè)每年獲利為y萬(wàn)元，當(dāng)?shù)赝顿Y額為x萬(wàn)元，則外地

4、投資額為(100 x)萬(wàn)元，所以yPQ1100 x6024199100 x22945x160 x260 x165(x30)21 065，表明x30 時(shí)，y最大且為 1 065，那么三年獲利最大為 1 06533 195(萬(wàn)元)，故五年獲利最大值為 803 1955023 175(萬(wàn)元)(3)有極大的實(shí)施價(jià)值方法總結(jié)方法總結(jié)運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決生活和實(shí)際生產(chǎn)中的最大值和最小值問(wèn)題是最常見(jiàn)的題目類型，解決這類問(wèn)題的方法是：1列出二次函數(shù)的關(guān)系式，列關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍2在自變量取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值和最小值同步練習(xí)同步練習(xí)某服裝店購(gòu)進(jìn)

5、一批秋衣，價(jià)格為每件 30 元物價(jià)部門(mén)規(guī)定其銷(xiāo)售單價(jià)不高于每件 60 元，不低于每件 30 元經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：日銷(xiāo)售量 y(件)是銷(xiāo)售單價(jià) x(元)的一次函數(shù)，且當(dāng) x60 時(shí)，y80；x50 時(shí)，y100.在銷(xiāo)售過(guò)程中，每天還要支付其他費(fèi)用 450 元(1)求出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 x 的取值范圍；(2)求該服裝店銷(xiāo)售這批秋衣日獲利 W(元)與銷(xiāo)售單價(jià) x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，該服裝店日獲利最大？最大獲利是多少元？【例 2】某公司銷(xiāo)售某一種新型通訊產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為 4 萬(wàn)元，每月銷(xiāo)售該種產(chǎn)品的總開(kāi)支(不含進(jìn)價(jià))總計(jì) 11 萬(wàn)元 在銷(xiāo)

6、售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)， 月銷(xiāo)售量 y(件)與銷(xiāo)售單價(jià) x(萬(wàn)3元)之間存在著如圖 322 所示的一次函數(shù)關(guān)系(1)求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式(直接寫(xiě)出結(jié)果)；(2)試寫(xiě)出該公司銷(xiāo)售該種產(chǎn)品的月獲利 z(萬(wàn)元)關(guān)于銷(xiāo)售單價(jià) x(萬(wàn)元)的函數(shù)關(guān)系式， 當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià) x 為何值時(shí)，月獲利最大？并求這個(gè)最大值(月獲利月銷(xiāo)售額月銷(xiāo)售產(chǎn)品總進(jìn)價(jià)月總開(kāi)支)；圖 322(3)若公司希望該產(chǎn)品一個(gè)月的銷(xiāo)售獲利不低于 5 萬(wàn)元，借助(2)中函數(shù)的圖象，請(qǐng)你幫助該公司確定銷(xiāo)售單價(jià)的范圍在此情況下，要使產(chǎn)品銷(xiāo)售量最大，你認(rèn)為銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為多少萬(wàn)元(2)根據(jù)題意得z(x4)y11(x4)12x81112x210 x4312(

7、x10)27，當(dāng)x10 萬(wàn)元時(shí)，最大月獲利為 7 萬(wàn)元(3)令z5，得 512x210 x43，整理，得x220 x960，解得x18，x212，由圖象(如答圖)可知，要使月獲利不低于 5 萬(wàn)元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)在 8 萬(wàn)元到 12 萬(wàn)元之間銷(xiāo)售單價(jià)越低，銷(xiāo)售量越大，要使銷(xiāo)售量最大，又要使月獲利不低于 5 萬(wàn)元，銷(xiāo)售單價(jià)應(yīng)定為 8 萬(wàn)元第 5 題答圖4同步練習(xí)同步練習(xí)某公司銷(xiāo)售A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，確定兩條信息：信息：銷(xiāo)售A種產(chǎn)品所獲利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與銷(xiāo)售產(chǎn)品重量x(t)之間存在二次函數(shù)關(guān)系， 如圖321所示；信息：銷(xiāo)售B種產(chǎn)品所獲利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與銷(xiāo)售產(chǎn)品重量x(t)之間存在正比例函數(shù)關(guān)系：y

8、0.3x.根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)該公司準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A，B兩種產(chǎn)品共 10 t，求銷(xiāo)售A，B兩種產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)之和最大是多少萬(wàn)元圖 321(2)設(shè)購(gòu)進(jìn)A產(chǎn)品mt，購(gòu)進(jìn)B產(chǎn)品(10m)t，銷(xiāo)售A，B兩種產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)之和為W元，則W0.1m21.5m0.3(10m)0.1m21.2m30.1(m6)26.6，0.10，當(dāng)m6 時(shí)，W取得最大值，最大值為 6.6 萬(wàn)元答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)A產(chǎn)品 6 t，購(gòu)進(jìn)B產(chǎn)品 4 t 時(shí)，銷(xiāo)售A，B兩種產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)之和最大，最大利潤(rùn)是 6.6 萬(wàn)元練習(xí)：51.某商人將進(jìn)價(jià)為 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可銷(xiāo)售 100 件，已知

9、這種商品每提高 2 元，其銷(xiāo)量就要減少 10 件，為了使每天所賺利潤(rùn)最多，該商人應(yīng)將銷(xiāo)售價(jià)(為偶數(shù))提高()A8 元或 10 元B.12 元C8 元D.10 元2某大學(xué)生利用業(yè)余時(shí)間銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為 60 元/件的文化衫，前期了解并整理了銷(xiāo)售這種文化衫的相關(guān)信息如下：(1)月銷(xiāo)量 y(件)與售價(jià) x(元)的關(guān)系滿足：y2x400；(2)工商部門(mén)限制銷(xiāo)售價(jià) x 滿足：70 x150(計(jì)算月利潤(rùn)時(shí)不考慮其他成本)給出下列結(jié)論：這種文化衫的月銷(xiāo)量最小為 100 件；這種文化衫的月銷(xiāo)量最大為 260 件；銷(xiāo)售這種文化衫的月利潤(rùn)最小為 2 600 元；銷(xiāo)售這種文化衫的月利潤(rùn)最大為 9 000 元其中正確的

10、是_(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上)【解析】 由題意知當(dāng) 70 x150 時(shí)，y2x400，20，y 隨 x 的增大而減小，當(dāng) x150 時(shí)，y 取得最小值，最小值為 100，故正確；當(dāng) x70 時(shí)，y 取得最大值，最大值為 260，故正確；設(shè)銷(xiāo)售這種文化衫的月利潤(rùn)為 W，則 W(x60)(2x400)2(x130)29 800， 70 x150， 當(dāng) x70 時(shí)， W 取得最小值， 最小值為2(70130)29 8002 600 元，故正確；當(dāng) x130 時(shí)，W 取得最大值，最大值為 9 800 元，故錯(cuò)誤故答案為.3. 某廠按用戶的月需求量x(件)完成一種產(chǎn)品的生產(chǎn)，其中x0，每件的售價(jià)為

11、18 萬(wàn)元，每件的成本y(萬(wàn)元)是基礎(chǔ)價(jià)與浮動(dòng)價(jià)的和，其中基礎(chǔ)價(jià)保持不變，浮動(dòng)價(jià)與月需求量x(件)成反比，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，月需求量x與月份n(n為整數(shù)，1n12)符合關(guān)系式x62n22kn9(k3)(k為常數(shù))，且得到了表中的數(shù)據(jù)月份n(月)12成本y(萬(wàn)元/件)1112需求量x(件/月)120100(1)求y與x滿足的關(guān)系式，請(qǐng)說(shuō)明一件產(chǎn)品的利潤(rùn)能否是 12 萬(wàn)元；(2)求k，并推斷是否存在某個(gè)月既無(wú)盈利也不虧損；(3)在這一年 12 個(gè)月中，若第m個(gè)月和第(m1)個(gè)月的利潤(rùn)相差最大，求m.(2)將n1，x120 代入x2n22kn9(k3)，得12022k9k27，解得k13，x2n226

12、n144，將n2，x100 代入x2n226n144 也，等式成立，k13.由題意，得 186600 x，解得x50，502n226n144，即n213n470，(13)241470，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，不存在某個(gè)月既不盈利也不虧損；(3)設(shè)第m個(gè)月的利潤(rùn)為W，則Wx(18y)18xx6600 x12(x50)24(m213m47)，第(m1)個(gè)月的利潤(rùn)為W24(m1)213(m1)4724(m211m35)，若WW，則WW48(6m)，m取最小 1，WW取得最大值 240；若WW，則WW48(m6)，由m112 知m取最大 11，WW取得最大值 240.7m1 或 11.4.某公司生產(chǎn)一種新型節(jié)能

13、電水壺并加以銷(xiāo)售，現(xiàn)準(zhǔn)備在甲城市和乙城市兩個(gè)不同地方按不同銷(xiāo)售方案進(jìn)行銷(xiāo)售，以便開(kāi)拓市場(chǎng)若只在甲城市銷(xiāo)售，銷(xiāo)售價(jià)格為y(元/件)，月銷(xiāo)量為x(件)，y是x的一次函數(shù)，如表所示：月銷(xiāo)量x(件)1 5002 000銷(xiāo)售價(jià)格y(元/件)185180成本為 50 元/件， 無(wú)論銷(xiāo)售多少， 每月還需支出廣告費(fèi) 72 500 元， 設(shè)月利潤(rùn)為W甲(元)(利潤(rùn)銷(xiāo)售額成本廣告費(fèi))若只在乙城市銷(xiāo)售，銷(xiāo)售價(jià)格為 200 元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件(a為常數(shù)，40a70)，當(dāng)月銷(xiāo)量為x(件)時(shí)，每月還需繳納1100 x2元的附加費(fèi)，設(shè)月利潤(rùn)為W乙(元)(利潤(rùn)銷(xiāo)售額成本附加費(fèi))(1)當(dāng)x1 000 時(shí)，y甲_190_元/件，W甲_67_500_元；(2)分別求出W甲，W乙與x間的函數(shù)關(guān)系式(不必寫(xiě)出x的取值范圍)；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，在甲城市銷(xiāo)售的月利潤(rùn)最大(銷(xiāo)售價(jià)格不得低于成本)？若在乙城市銷(xiāo)售月利潤(rùn)的最大值與在甲城市銷(xiāo)售月利潤(rùn)的最大值相同，求a的值；(4)如果某月要將