2015高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)配套文檔：第3章 第7節(jié)　解3角形應(yīng)用舉例

1、【考綱下載】能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.1仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖)2方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖)3方向角相對(duì)于某一正方向的水平角(1)北偏東，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(如圖)；(2)北偏西，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向；(3)南偏西等其他方向角類似4坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角為坡角)；(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比1“仰角、俯角是相對(duì)水平線而

2、言的，而方位角是相對(duì)于正北方向而言的”這種說法正確嗎？提示：正確2“方位角和方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系”，這種說法是否正確？提示：正確1從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則與的關(guān)系為()A> BC90° D180°解析：選B根據(jù)仰角和俯角的定義可知.1 / 62(教材習(xí)題改編)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.a kmC.a km D2a km解析：選B在ABC中，由余弦

3、定理得AB2AC2BC22AC·BC·cosACBa2a22a2cos 120°3a2，故|AB|a.3在上題的條件下，燈塔A在燈塔B的方向?yàn)?)A北偏西5° B北偏西10°C北偏西15° D北偏西20°解析：選B由題意可知AB30°，又CB與正南方向線的夾角為40°，故所求角為40°30°10°，即燈塔A在燈塔B的方向?yàn)楸逼?0°.4一船自西向東航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75°，距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船

4、航行的速度為_海里/小時(shí)解析：由題意知，在PMN中，PM68海里，MPN75°45°120°，MNP45°.由正弦定理，得，解得MN34海里，故這只船航行的速度為海里 海里/小時(shí)答案：5某運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為15°的看臺(tái)上，同一列上的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10 米(如圖所示)，則旗桿的高度為_米解析：如圖，在ABC中，ABC105°，所以ACB30°.由正弦定理得，所以BC20×20 m，在RtCBD中，CDBCsin 6

5、0°20×30 m.答案：30 數(shù)學(xué)思想(六)數(shù)形結(jié)合思想在解三角形中的應(yīng)用三角函數(shù)在實(shí)際生活中有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用題是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函數(shù)等知識(shí)為核心，以測(cè)量、航海、筑路、天文等為代表的實(shí)際應(yīng)用題是高考應(yīng)用題的熱點(diǎn)題型求解此類問題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)審題，提煉題目信息，畫出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)求解典例(2014·廣州模擬)在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)的海域被設(shè)為警戒水域點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A的北偏東45&

6、#176;且與點(diǎn)A相距40 海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A的北偏東(45°)其中sin ，0°90°且與點(diǎn)A相距10 海里的位置C.(1)求該船的行駛速度(單位：海里/小時(shí))；(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說明理由解題指導(dǎo)根據(jù)題意畫出示意圖，然后利用正、余弦定理求解解(1)如圖所示，AB40，AC10，BAC，sin .因?yàn)?90°，所以cos ，BC10.所以該船的行駛速度為15 海里/小時(shí)(2)法一：如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC

7、與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)，得x1y1AB40，x2ACcosCAD10·cos(45°)30，y2ACsinCAD10·sin(45°)20.所以過點(diǎn)B，C的直線l的斜率k2，直線l的方程為y2x40.又點(diǎn)E(0，55)到直線l的距離d37，所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域法二：如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)Q.在ABC中，由余弦定理，得cosABC.所以sinABC .在ABQ中，由正弦定理，得AQ40.由于AE5540AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QEAEAQ15.過點(diǎn)E作EPBC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離在RtQPE中，PEQE&#

8、183;sinPQEQE·sinAQCQE·sin(45°ABC)15×37.所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域題后悟道1.對(duì)于問題(1)，知道兩邊夾一角，由余弦定理求得BC的長，除以行駛時(shí)間即可求得速度；對(duì)于問題(2)，延長BC交直線AE于點(diǎn)Q，然后在ABQ中，由正弦定理求得AQ的長、判斷點(diǎn)Q的位置，最后在QPE中結(jié)合已知條件即可作出判斷2解此類問題，根據(jù)題意合理畫出示意圖是解題關(guān)鍵；將條件歸納到某一三角形中是基本的策略；合理運(yùn)用正、余弦定理并注意與平面幾何相關(guān)知識(shí)結(jié)合有助于問題的解決某海域內(nèi)一觀測(cè)站A，某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東50°且與A相距80海里的位置B，經(jīng)過1小時(shí)又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東50°其中sin ，0°90°且與A相距60海里的位置C. (1)求該船的行駛速度；(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)向前行駛，求船在行駛過程中離觀測(cè)站A的最近距離解：(1)如圖，AB80，AC60，BAC，sin .由于0°90°，所以cos .由余弦定理得BC40海里/小時(shí)，所以該船的行駛速度為40海里/小時(shí) (2)在ABC中