《極坐標(biāo)與參數(shù)》題型歸納

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程高考高頻題型除了簡單的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化外，還涉及（一）有關(guān)圓的題型題型一：圓與直線的位置關(guān)系 （圓與直線的交點個數(shù)問題）-利用圓心到直線的距離與半徑比較d r :相離，無交點；d r :相切，1個交點；d r :相交，2個交點；用圓心（xo,vo）到直線Ax+Bv+C=O的距離d A. B% C ,算出d，在與半徑比較。A2 B2題型二：圓上的點到直線的最值問題 （不求該點坐標(biāo)，如果求該點坐標(biāo)請參照距離最值求法）思路：第一步：利用圓心（xo,vo）到直線Ax+Bv+C=O的距離d IAXO BVO CAV第二步：判斷直線與圓的位置關(guān)系第三步：相離

2、：代入公式：dmax d r， dmin d r相切、相交：d max d r d min 0題型三：直線與圓的弦長問題弦長公式I 2 r2 d2，d是圓心到直線的距離延伸：直線與圓錐曲線（包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的弦長問題（弦長：直線與曲線相交兩點，這兩點之間的距離就是弦長）弦長公式Itlt2,解法參考直線參數(shù)方程的幾何意義（二）距離的最值：-用 參數(shù)法1. 曲線上的點到直線距離的最值問題2點與點的最值問題參數(shù)法”設(shè)點-套公式-三角輔助角設(shè)點：設(shè)點的坐標(biāo)，點的坐標(biāo)用該點在所在曲線的的參數(shù)方程來設(shè)套公式：利用點到線的距離公式輔助角：利用三角函數(shù)輔助角公式進(jìn)行化一為參數(shù)），-）2 2 .例

3、如：【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】在直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線Ci的參數(shù)方程為X 3c0s （y Sin以坐標(biāo)原點為極點，以X軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 sin（I）寫出Cl的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（II）設(shè)點P在Ci上，點Q在C2上，求PQ的最小值及此時P的直角坐標(biāo)2）Ci的普通方程為Xy21，3C2的直角坐標(biāo)方程為X y 4 0.（解說：Ci： X 3cos利用三角消元：移項-化同-平方-相加 y Sin 這里沒有加減移項省去，直接化同，那系數(shù)除到左邊2XX223 c0s兩邊同時平方3 C0S 兩道式子相加Xy2 1.2. 23y Sin y Sin a（）

4、由題意，可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為3 GQS ,Sin ）（解說：點直接用該點的曲線方程的參數(shù)方程來表示）因為C2是直線，所以IPQl的最小值即為P到C2的距離d（）的最小值,IZ X | V3cosSin 41r-1 . Z 、d（） 忑! J2|sin（-） 2|.（歐萌說：利用點到直接的距離列式子，然后就是三角函數(shù)的輔助公式進(jìn)行化一）當(dāng)Sin（）1時即當(dāng) 2k （k Z）時，d（）取得最小值，最小值為.2 ,此時P的直角坐標(biāo)36為（2,1）2 2X0 t COS（三）直線參數(shù)方程的幾何意義1.經(jīng)過點P（xo, yo）,傾斜角為的直線I的參數(shù)方程為八0 ' "J （t為參數(shù)）若

5、A, B為直線I上兩y y° tsin點，其對應(yīng)的參數(shù)分別為t,t2,線段AB的中點為M ,點M所對應(yīng)的參數(shù)為to,則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到:t1+ t2(1)to=廠；t1 + t2(2)|PM|=|t0|=丁;(3)IABI=It2 11;(4)IPAl PB|=|t1 t2|(5) PA PB t1t2t1t1tJ(tj t2 ,當(dāng)址2t2)24t1t2 ,當(dāng)見 00（注：記住常見的形式,P是定點，A、B是直線與曲線的交點,P、A、B三點在直線上）【特別提醒】直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時,t才有幾何意義且其幾何意義為：|t|是直線上任一點 M（x, y）到 M

6、0（x0, y0）的距離，即|M°M|=|t|.直線與圓錐曲線相交，交點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2 ,則弦長lt1t22. 解題思路第一步：曲線化成普通方程，直線化成參數(shù)方程t的一兀二次方程：at2 bt C 0第二步：將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程，整理成關(guān)于第三步：韋達(dá)定理：t1 t2, t1t2a a第四步：選擇公式代入計算X= 5+ 21例如：已知直線I:（t為參數(shù)）,以坐標(biāo)原點為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)y= 13+2t系，曲線C的極坐標(biāo)方程為 尸2cos.（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；設(shè)點M的直角坐標(biāo)為（5, 3）,直線I與曲線C的交點為A, B

7、,求IMAl MBl的值.解 （1） P= 2cos 等價于 P= 2os.將P= X2+ y2, cos= X代入即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為X2+ y2- 2x= 0.X= 5+ 貝,將代入式，得t2+ 53t+ 18= 0.y=3+ *設(shè)這個方程的兩個實根分別為t1, t2,貝U由參數(shù)t的幾何意義即知，MA MBI= It1t2= 18.（四）一直線與兩曲線分別相交，求交點間的距離思路：一般采用直線極坐標(biāo)與曲線極坐標(biāo)聯(lián)系方程求出2個交點的極坐標(biāo)，利用極徑相減即可。:L（其中為參y=2+7sia數(shù)），曲線C2：（ X - 1） 2+y2=1 ,以坐標(biāo)原點0為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

8、系.（）求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程；ITT（）若射線= （ P> 0）與曲線C1, C2分別交于A , B兩點，求AB.曲線C1的普通方程為X2+ （y - 2） 2=7.曲線 C2：( X - 1) 2+y2=1,把 X= P cos, y= P Sin 代入(X - 1) 2+y2=1,得到曲線C2的極坐標(biāo)方程(P COS-I) 2+ ( P Sin) 2=1, 化簡，得P =2cos.()依題意設(shè)A (pl, 6),B (p2, 6),曲線Ci的極坐標(biāo)方程為P2 - 4 P Sin 3=0,將( p> 0)代入曲線Ci的極坐標(biāo)方程，得P2 - 2 P- 3=0

9、,6解得Pi =3,同理，將(> 0)代入曲線C2的極坐標(biāo)方程，得P 2-IJ,AB= ip p=3- U.(五) 面積的最值問題面積最值問題一般轉(zhuǎn)化成弦長問題+點到線的最值問題例題2016?包頭校級二模)在平面直角坐標(biāo)系XOy 中,圓C的參數(shù)方程為篇篇挈(t為參數(shù))，在以原點O為極點，X軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線 I的極坐標(biāo)方程為Tr_ITTPs (Q+p)二-L A，B 兩點的極坐標(biāo)分別為 A (2F I B (2,.(1)求圓C的普通方程和直線I的直角坐標(biāo)方程;(2)點P是圓C上任一點，求PAB面積的最小值.(1)由求二 +2cs-t 尸3+逅“門t,化簡得:I !c

10、+S=Vscosufc |_y- 3=-/2Sint，t,得(x+5)2+ (y-3) 2=2,圓C的普通方程為(x+5) 2+ (y - 3) 2=2.+）=-近，化簡得22P cos-P Sin -=?，由 P co( P點的坐標(biāo)為即 P cos- P Sin -=,卩 X - y+2=0,則PAB面積的最小值是×2×2 :=4.則直線I的直角坐標(biāo)方程為X - y+2=0 ；（）將A （2,兀2），B （2， 化為直角坐標(biāo)為 A （0, 2），B （- 2，0），|AB|彳） 沁=l,P 點到直線I的距離為硏岳口航-3 - 2sit+2 L=TTI - 6+2cs (t

11、+-) IJS '"I255+隆cost, 3+：J ISint)5dmi n=-i=V2， 2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、直角坐標(biāo)的伸縮 設(shè)點P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換XXO):, Z、的作用下，點P(, y)對應(yīng)到點P' (y'',)稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮y y(0)變換，簡稱伸縮變換平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換來表示在伸縮變換X '= X >0Z下，直線仍然變成直線，拋物線仍然變成拋物線，雙曲線仍然變成雙曲線，圓y'= ) >0可以變成橢圓，橢圓也可以變成圓(重點考

12、察)【強(qiáng)化理解】1 曲線C經(jīng)過伸縮變換*習(xí)'后，對應(yīng)曲線的方程為:y二知x2+y2=1 ,則曲線C的方程為(2.22 2÷9yB.4心1C.占D . 4x2+9y2=11A.【解答】解：曲線C經(jīng)過伸縮變換2“后，對應(yīng)曲線的方程為: i 二;X 2+y2=1 ,把代入得到:-故選：A4x2+ 9y2= 36 變成曲線 x'2+ y22、在同一直角坐標(biāo)系中，求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線=1.x'= XX 2>0)，【解答】解：設(shè)變換為: Z可將其代入X 2+ y 2= 1，得x2+ 2y2= 1.y = y >0)>x2 y2將 4x2+

13、 9y2= 36 變形為 9 + ； = 1，1 1比較系數(shù)得=3， = 2X = 3X，II所以 I 將橢圓4x2+ 9y2= 36上的所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,可 y=1y.得到圓X '2+ y 2= 1.亦可利用配湊法將4x2+ 9y2 = 36化為32+1-2y-2與X2 + y2= 1對應(yīng)項比較即可得3、(2015春?浮山縣校級期中)曲線x2+y2=1經(jīng)過伸縮變換【解答】解：由伸縮變換,化為*LV=3yA. 25x2+9y2=1 B. 9x2+25y2=1 C. 25x+9y=1,代入曲線 x2+y2=1 可得 25 (X ) 2+9 (y ) 2=1,

14、故選：A.二、極坐標(biāo)1. 公式：(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如下表:點M直角坐標(biāo)x,y極坐標(biāo) ，互化XCOS2 2 2X y公式y(tǒng)Sintan x 0 X已知極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)已知直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)2. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化(1)點：有關(guān)點的極坐標(biāo)與直角轉(zhuǎn)化的思路2 2 2X y運用tan - X 0 X在0,2 內(nèi)由tan xO求 時，由直角坐標(biāo)的符號特征判斷點所在的象限.XB：極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),y的步驟，運用XCOSySin（2）直線：直線的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的思路A :直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)思路：直接利用公式COSSin，將式子里面的X和y用COS和Sin轉(zhuǎn)化，最后整理化簡即可例

15、如：x+3y-2=0:用公式將X和y轉(zhuǎn)化，即 CoS 3 Sin -2 OB:極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)類型：直接轉(zhuǎn)化-直接利用公式轉(zhuǎn)化 例如：p2cos + Sin ) = 1思路：第一步：去括號，p2cos+ PSin = 1XCOS第二步：用公式轉(zhuǎn)化，即2x y 1y Sin類型：利用三角函數(shù)的兩角和差公式，即2 Sink或2 cosk例如：直線I的極坐標(biāo)方程是2 Sin3, 3思路：第一步：利用兩角和差公式把sin（ 或c） ±開，特殊角的正余弦值化成數(shù)字，整理化簡XCos第二步：利用公式y(tǒng)Sin轉(zhuǎn)化解：第一步：利用兩角和差公式把 sin（ ±s ±開特殊角的正

16、余弦值化成數(shù)字，整理化簡,2 (Sin CoS CQS Sin) 3、32(一Sin-CQS ) 3 3 Sin I 3 CQS 3 33 322X CQS第二步：第二步：利用公式y(tǒng) Sin轉(zhuǎn)化Sin .3 CQS3.3即 y . 3x 3.3, 3x y 3.3 0類型：（為傾斜角，可以是特殊 角可以不是特殊角），該直線經(jīng)過原點（極點），對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為y tan OCX即y kx例如： 一（0）3思路：直接代入 ytan 3X即y233y3x3yx， X3y033（注：直線的直角坐標(biāo)方程一般要求寫成一般式：Ax+By+C=O）三、曲線極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互換（一）圓的直角與極坐標(biāo)互換1.

17、圓的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)類型一：CQS Sin詳解：一般CQS ,Sin要轉(zhuǎn)化成X、y都需要跟 搭配，一對一搭配。所以兩邊同時乘以，即2 CQS Sin , X2 y2 X y即x2 y2-x-y 0類型沒有三角函數(shù)時，可以考慮兩邊同時平方24即X2 y242. 圓的直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)2 2(X 4) (y 1)3解題方法一：拆開-公式代入X2 8x 16y2 2y 1 30即 X22y8x2y 1402C8 CQS2 Sin140解題方法二：代入-拆-合(CQS 4)22(Sin1)3即 22CQS8CQS162 . 2Sin2Sin 1302 2(CQSsin2 )8 CQS2Sin14

18、0即28CQS2 Sin14 0【強(qiáng)化理解】1.將下列點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)進(jìn)行互化.14將點M的極坐標(biāo)4, § 化成直角坐標(biāo)；將點N的直角坐標(biāo)(4,- 43)化成極坐標(biāo)(Q 0<2 )142 1142 廠【解答】 解：X=4cos = 4cos3 = 4 ×-2 = 2, y= 4siny = 4sin3 = 2 I 3,點 A 的直角坐標(biāo) 是(2, 2.3).P= 742+(- 4/3) 2 = 8, tan= 4 =一3, 0 2 ,)又點(4, 4寸"3)在第四象限，5 5 = y,對應(yīng)的極坐標(biāo)為8, § .2、將下列直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程

19、進(jìn)行互化 y2=4x； = 3（ R）；1 PCOS2 = 4; P=.2 cos 【解答】 解：將 X= pcos, y= PSin 代入 y2 = 4x,得（Pin 2= 4 pcos.化簡得 in2 = 4cos.當(dāng)x0時，由于tan=y,故 tan5=y= 3 ,化簡得 y=3x（x 0）當(dāng) X= 0 時，y= 0.顯然（0, 0）在y= 3x上，故= PiR）的直角坐標(biāo)方程為y= 3x.因為 pcos2= 4,所以 p2cos2 - psin2 = 4, 即 x2 y2 = 4.1因為P=,所以2 P- PCos= 1,因此2 cos 2 X2+ y2-X= 1,化簡得 32+ 4y

20、2 2x 1= 0.3. 化極坐標(biāo)方程cos - P =（為直角坐標(biāo)方程為（）A. x2+y2=0或 y=1 B . x=1 C. x2+y2=0 或 x=1 D . y=1【解答】解：Pcos - P =0 P co d=0 或 P =0+y2P cos -AP in -y x2+y2=0 或 x=1,故選C.4. 將曲線P COS +2 sin=0的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為（A. y+2x -仁0 B. x+2y- 1=0 C. x2+2y2 - 1=0D . 2y2+x2 -仁0【解答】解：由曲線P cos +2-1=0,及JS=PCOs ,Iy=PSine可得x+2y -仁0.曲線

21、P cos +2 P Sin=的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為 x+2y -仁0.故選：B.5、在極坐標(biāo)系下，已知圓 O: P= cos + Sin 和直線I: Pin -才=#,求圓O和直線I的直角坐標(biāo)方程；【解答】解：圓 O: P= cos + Sin ,即 P= PCOS + Pin ,圓O的直角坐標(biāo)方程為：X2 + y2 = x+y,即 x2 + y2-x y= 0,、x/2直線 I: Pin 4 = 2,即 PSin Pos = 1,則直線I的直角坐標(biāo)方程為：y- X= 1,即x y+ 1= 0.三、參數(shù)方程1.必記的曲線參數(shù)方程已知條件普通方程參數(shù)方程經(jīng)過點P（X0, y0）,傾斜角為y Yq k（x X。）X= xo+tcos ,（為參數(shù)）y= yo + tsin圓心在點 Mo(xo, yo),半徑為r2 2 2（X-XQ）（ y-yo） rx X0+ rcos ,（e為參數(shù)）y y0 + rsin長半軸a和短半軸bX2 y2 橢圓 a2+ 1（a> b> 0）x acos ,（為參數(shù)）y bs in實軸a和虛軸bX2 y2雙曲線孑一詁一1(a>0, b>0)aX