陜西省西安市昆侖中學(xué)2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第69課時 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布 理

1、課題：離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布考綱要求： 理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題 ； 利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線及曲線所表示的意義. 教材復(fù)習(xí)離散型隨機變量分布列的兩個性質(zhì)：任何隨機事件發(fā)生的概率都滿足:，并且不可能事件的概率為，必然事件的概率為由此你可以得出離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)：，；對于離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率的和.即數(shù)學(xué)期望: 一般地，若離散型隨機變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則稱 為的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望數(shù)學(xué)期望是離散型隨機變

2、量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機變量的概率分布中，令，則有，所以的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值 .期望的一個性質(zhì):若，則方差: 對于離散型隨機變量，如果它所有可能取的值是，且取這些值的概率分別是，那么,稱為隨機變量的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量的期望標(biāo)準(zhǔn)差:的算術(shù)平方根叫做隨機變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作方差的性質(zhì)： ； .方差的意義：隨機變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；標(biāo)準(zhǔn)差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中

3、應(yīng)用更廣泛.二項分布的期望與方差：若，則 ， 幾何分布的期望和方差：若，其中， 則 ，.正態(tài)分布密度函數(shù)：，（）其中是圓周率；是自然對數(shù)的底；是隨機變量的取值；為正態(tài)分布的均值；是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.正態(tài)分布一般記為。即若，則，正態(tài)分布是由均值和標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布通過固定其中一個值，討論均值與標(biāo)準(zhǔn)差對于正態(tài)曲線的影響 ，亦見課本中圖.通過對三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱.從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線 .正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線在軸的上方，與軸不相交曲線關(guān)于直線對稱 當(dāng)時，曲線位于最高點 當(dāng)時，曲線上升（增函數(shù)）；當(dāng)時，曲線下降（減函數(shù)）.

4、并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以軸為漸近線，向它無限靠近 一定時，曲線的形狀由確定 越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越小曲線越“瘦高”總體分布越集中正態(tài)曲線下的總面積等于.即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)、時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，（），其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位 任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題 典例分析： 考點一 求期望與方差問題1（浙江）隨機變量的分布列如右：其中成等差數(shù)列，若，則的值是 設(shè)是一個離散型隨機變量，其分布列如下表, 則 ，則 (重慶聯(lián)考) 隨機變量的分布列如右：那么等于 (黃崗調(diào)研)

5、已知，則與的值分別為和 和 和 和(天津十校聯(lián)考)某一離散型隨機變量的概率分布如下表，且，則的值為： (四川) 設(shè)離散型隨機變量可能取的值為， （），又的數(shù)學(xué)期望，則 (山東文) 將某選手的個得分去掉個最高分，去掉個最低分，個剩余分?jǐn)?shù)的平均分為，現(xiàn)場做的個分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有一個數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以表示： 8 7 79 4 0 1 0 9 1x則個剩余分?jǐn)?shù)的方差為 問題2設(shè)隨機變量的分布列如右表，求和.問題3（陜西）某食品企業(yè)一個月內(nèi)被消費者投訴的次數(shù)用表示，椐統(tǒng)計，隨機變量的概率分布如下：()求的值和的數(shù)學(xué)期望；（）假設(shè)一月份與二月份被消費者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個月內(nèi)共被

6、消費者投訴次的概率.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 考點二 期望與方差的應(yīng)用問題4（浙江）某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙公司面試的概率為，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的.記為該畢業(yè)生得到面試得公司個數(shù).若，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望 （遼寧）某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種家和品種乙）進行田間試驗。選取兩大塊地，每大塊地分成小塊地，在總共小塊地中，隨機選小塊地種植品種甲，另外小塊地種植品種乙.（）假設(shè)，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）試驗時每

7、大塊地分成小塊，即，試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：）如下表：品種甲品種乙分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？考點三 正態(tài)分布問題5（湖北）已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則 （廣東）已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則 元件1元件2元件3（全國新課標(biāo)）某個部件由三個元件按下圖方式連接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布，且各個元件能否正常相互獨立，那么該部件的使用壽命超過小時的概率為 課后作業(yè)已知的分布列為如右表：則 ， 拋擲一顆骰子，設(shè)所

8、得點數(shù)為，則 ， 設(shè)服從二項分布的隨機變量的期望和方差分別為和，則二項分布的參數(shù)的值為 ， ， ， ，走向高考： （上海）已知總體的各個體的值由小到大依次為，且總體的中位數(shù)為. 若要使該總體的方差最小，則、的取值分別是 （上海）設(shè)非零常數(shù)是等差數(shù)列的公差，隨機變量等可能地取值，則方差 （上海）馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布律如下表請小牛同學(xué)計算的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個“？”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案 （湖北）某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：已知的期望，則的值為 （福建）一個均勻小正方體的個面中，三個面上標(biāo)以數(shù)，兩個面上標(biāo)

9、以數(shù)，一個面上標(biāo)以數(shù).將這個小正方體拋擲次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望是 （四川文）某商場買來一車蘋果，從中隨機抽取了個蘋果，其重量（單位：克）分別為：，由此估計這車蘋果單個重量的期望值是 克 克克克（上海）設(shè)，隨機變量取值的概率均為，隨機變量取值的概率也均為，若記分別為的方差，則 與的大小關(guān)系與的取值有關(guān)（湖北）袋中有個大小相同的球，其中記上號的有個，記上號的有個（）.現(xiàn)從袋中任取一球.表示所取球的標(biāo)號.求的分布列，期望和方差；若，試求的值.（北京）某同學(xué)參加門課程的考試。假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為，()，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立。記為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為()求該生至少有門課程取得優(yōu)秀成績的概率；()求，的值；()求數(shù)學(xué)期望.（全國新課標(biāo)）某花店每天以每枝 元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。若花店一天購進 枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量 （單位：枝， ）的函數(shù)