遼寧省沈陽市2016屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(一)數(shù)學(xué)理試題

1、2016年沈陽市高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（一） 數(shù) 學(xué)（理科）第卷一選擇題:（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在（ ）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 設(shè)全集，集合，,則下列結(jié)論正確的是（ ） A B C D3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是增函數(shù)而且又是奇函數(shù)的是（ ）ABC D4. 已知兩個非零向量滿足，且，則（ ）A. B. C. D. 5. “牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱

2、的側(cè)面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)其直觀圖如下左圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是（ ）DCBA6.設(shè)等差數(shù)列滿足，是數(shù)列的前n項和，則使得最大的自然數(shù)是（ ）第7題圖A9 B. C. D. 7. 某函數(shù)部分圖像如圖所示，它的函數(shù)解析式可能是（ ）A B開始s=0，n=1n2016s=s+n= n +1輸出s結(jié)束是否第8題圖C D8.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果是（ ）A B0 C D9實數(shù)滿足，則的最大值是（ ）A2 B4 C6 D810.已知是雙曲線上任意一點，過點分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線

3、，垂足分別為、，則的值是（ ）ABCD不能確定11.將3本相同的小說，2本相同的詩集全部分給4名同學(xué)，每名同學(xué)至少1本，則不同的分法有（ ）A24種B28種C32種D36種12.已知函數(shù)的圖象在點處的切線為，若也與函數(shù)，的圖象相切，則必滿足（ ）AB CD第卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題第21題為必考題，每個試題考生都必須做答第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答二.填空題:（本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答卷紙的相應(yīng)位置上）13.已知，則=_.14.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點，過作于點，當(dāng)（為坐標(biāo)原點）時, _.15.設(shè)數(shù)列的前項和為，且，則_

4、.16.已知函數(shù) 若方程恰有一個解時，則實數(shù)的取值范圍 .三.解答題：(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17. (本小題滿分12分)在中，角、對應(yīng)的邊分別是、， ，且.()證明：；()若的面積是1，求邊.ACDA1B1C1BD1E18. (本小題滿分12分)已知長方體中，為的中點，如圖所示.()在所給圖中畫出平面與平面的交線（不必說明理由）；()證明：平面；()求平面與平面所成銳二面角的大小.19. (本小題滿分12分) 某中學(xué)根據(jù)20022014年期間學(xué)生的興趣愛好，分別創(chuàng)建了“攝影”、“棋類”、“國學(xué)”三個社團，據(jù)資料統(tǒng)計新生通過考核選拔進入這三個社團成功

5、與否相互獨立.2015年某新生入學(xué)，假設(shè)他通過考核選拔進入該校的“攝影”、“棋類”、“國學(xué)”三個社團的概率依次為、，已知三個社團他都能進入的概率為，至少進入一個社團的概率為，且.()求與的值；()該校根據(jù)三個社團活動安排情況，對進入“攝影”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對進入“棋類”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對進入“國學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分.求該新同學(xué)在社團方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)的分布列及期望.20.（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，左、右焦點、分別在軸上,離心率為，在其上有一動點，到點距離的最小值是1.過、作一個平行四邊形，頂點、都在橢圓上，如圖所示.O()求橢

6、圓的方程；()判斷能否為菱形，并說明理由.()當(dāng)?shù)拿娣e取到最大值時，判斷的形狀，并求出其最大值.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點. ()求的取值范圍；()記兩個極值點分別為，且.已知,若不等式恒成立,求的范圍.請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂黑22.（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講如圖所示，兩個圓相內(nèi)切于點，公切線為，外圓的弦，分別交內(nèi)圓于、兩點，并且外圓的弦恰切內(nèi)圓于點.TABCDM()證明：；()證明：.23.（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方

7、程在以直角坐標(biāo)原點為極點，的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系下，曲線的方程是，將向上平移1個單位得到曲線.()求曲線的極坐標(biāo)方程；()若曲線的切線交曲線于不同兩點,切點為.求的取值范圍.24.（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知命題“，”是真命題，記的最大值為，命題“，”是假命題，其中.()求的值；()求的取值范圍.2016年沈陽市高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（一） 數(shù)學(xué)（理科）參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則.二、對解答題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難

8、度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分.三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.一選擇題1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B 9.B 10.A 11.B 12.D題1A ，其對應(yīng)的點為，故選A.題2D 化簡集合，從而A、C錯，故選D.題3C A雖增卻非奇非偶，B、D是偶函數(shù)，由奇偶函數(shù)定義可知是奇函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在其定義域內(nèi)是增函數(shù)（或），故選C.題4B 由題， 而，故選B.題5B 題6A 解出的公差，于是的通項

9、為，可見是減數(shù)列，且，于是， ，從而該題選A.題7C 不妨令該函數(shù)解析式為，由圖知，于是，即，是函數(shù)減時經(jīng)過的零點，于是，所以可以是，選C.題8B 由框圖知輸出的結(jié)果，因為函數(shù)的周期是6，所以，故選B.xoyABC題9B 依題畫出可行域如圖，可見及內(nèi)部區(qū)域為可行域，令，則為直線在軸上的截距，由圖知在點處取最大值是4，在處最小值是-2，所以，所以的最大值是4,故選B.題10A 令點，因該雙曲線的漸近線分別是，所以，又， 所以，選A.此題可以用特殊位置法解決：令P為實軸右頂點，此時，選A.題11B 由題五本書分給四名同學(xué)，每名同學(xué)至少1本，那么這四名同學(xué)中有且僅有一名同學(xué)分到兩本書，第一步驟，先選

10、出一名同學(xué)，即：；這名同學(xué)分到的兩本書有三種情況：兩本小說，兩本詩集或是一本小說和一本詩集，因為小說、詩集都不區(qū)別，所以在第一情況下有種分法（剩下三名同學(xué)中選一名同學(xué)分到一本小說，其余兩名同學(xué)各分到一本詩集），在第二情況下有1種分法（剩下三名同學(xué)各分到一本小說），在第三情況下有種分法（剩下三名同學(xué)中選一名同學(xué)分到一本詩集，其余兩名同學(xué)各分到一本小說），這樣第二步驟共有情況數(shù)是，故本題的答案是，選B.解法2：將3本相同的小說記為a,a,a; 2本相同的詩集記為b,b,將問題分成3種情況，分別是1、aa,a,b,b,此種情況有種；2、bb,a,a,a, 此種情況有種；3、Ab,a,a,b, 此種情

11、況有種，總共有種，故選B題12D 由題，所以的方程為，因為也與函數(shù)的圖象相切，令切點坐標(biāo)為，所以的方程為，這樣有，所以，,令，所該函數(shù)的零點就是，排除A、B選項，又因為，所以在上單調(diào)增，又，從而，選D.二.填空題13. 14. 15.66 16. 題13 依題，所以，答案為.題14 令與軸交點為，在中，所以，若，則，代入中，則，而，故答案為.幾何法：如圖所示，又 而，故答案為.題15 依題，與原式作差得， ，即，可見，數(shù)列從第二項起是公比為3的等比數(shù)列，所以.故答案為66.題16當(dāng)過點時，則，滿足方程有兩個解；當(dāng)與相切時，則，滿足方程有兩個解；所求范圍.三.解答題17解：（）由，以及正弦定理得

12、， ， 3分又，所以，從而有.6分（）由，所以，即：，9分由余弦定理知， ，11分所以.12分ACDA1B1C1BD1EM18解：幾何解法（）連接交于，則直線即為平面與平面的交線，如圖所示；4分（）由（）因為在長方體中，所以為的中點，又為的中點所以在中是中位線，所以MB1平面圖FC1CB，6分又平面，平面，所以平面；8分（）因為在長方體中，所以，MD11C1BAENF平面圖平面即是平面，過平面上點作的垂線于，如平面圖，因為在長方體中，平面， 平面，所以，所以平面于. 過點作直線的垂線于，如平面圖，連接，由三垂線定理可知，.由二面角的平面角定義可知，在中， 即是平面與平面所成銳二面角的平面角.

13、因長方體中，在平面圖中，10分， ，在平面圖中，由相似可知， 所以，所以平面與平面所成銳二面角的大小為.12分空間向量解法：（）見上述. 4分（）因為在長方體中，所以兩兩垂直，于是以所在直線分別為軸，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為,，所以，ACDA1B1C1BD1Exyz，.所以，6分令平面的一個法向量為所以，從而有，即，不妨令，得到平面的一個法向量為， 而，所以，又因為平面， 所以平面.8分（）由（）知，令平面的一個法向量為,所以，從而有，即，不妨令，得到平面的一個法向量為，10分因為.11分所以平面與平面所成銳二面角的大小為.12分19解：（）依題，解得.6分（）由題令該

14、新同學(xué)在社團方面獲得校本選修課學(xué)分的分?jǐn)?shù)為隨機變量，則的值可以為0，1，2，3，4，5，6. 7分而； ； ；.這樣的分布列為： （每答對兩個，加1分）012345611分于是，. 12分20解：（）依題，令橢圓的方程為，所以離心率，即.2分令點的坐標(biāo)為，所以，焦點，即，（沒有此步，不扣分）因為，所以當(dāng)時，3分由題，結(jié)合上述可知，所以，O于是橢圓的方程為.4分（）由（）知，如圖，直線不能平行于軸，所以令直線的方程為，聯(lián)立方程，得，所以，.5分若是菱形，則，即，于是有，6分又，所以有，7分得到 ，可見沒有實數(shù)解，故不能是菱形. 8分（）由題，而，又 ，即，9分由（）知，.所以，10分,因為函數(shù)，

15、在時，11分即的最大值為6，此時，也就是時，這時直線軸，可以判斷是矩形. 12分xyo1y=lnxy=axA21解：()依題，函數(shù)的定義域為，所以方程在有兩個不同根.即，方程在有兩個不同根.1分（解法一）轉(zhuǎn)化為，函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點，如圖. 3分可見，若令過原點且切于函數(shù)圖像的直線斜率為，只須.令切點，所以，又，所以，解得，于是，所以.6分（解法二）轉(zhuǎn)化為，函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點.又，即時，時，所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減.從而3分又有且只有一個零點是1，且在時，在在時，xyoe a1所以的草圖如下，可見，要想函數(shù)與函數(shù)的圖像在上有兩個不同交點，只須.6分（解法三）令，

16、從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個不同零點，而（）若，可見在上恒成立，所以在單調(diào)增，此時不可能有兩個不同零點. 3分若，在時，在時，所以在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，從而又因為在時，在在時，于是只須：，即，所以.綜上所述，6分（）因為等價于.由（）可知分別是方程的兩個根，即，所以原式等價于，因為，所以原式等價于.7分又由，作差得，即.所以原式等價于，因為，原式恒成立，即恒成立.令，則不等式在上恒成立. 8分令，又,當(dāng)時,可見時,所以在上單調(diào)增,又，在恒成立,符合題意. 10分當(dāng)時, 可見時, 時,所以在時單調(diào)增,在時單調(diào)減, 又,所以在上不能恒小于0,不符合題意,舍去.綜上所述, 若不等式恒成立,只須,又,所以.12分22（）由弦切角定理可知，, 3分同理，,所以，,所以，. 5分TABCDM（）連接TM、AM,因為CD是切內(nèi)圓于點M，所以由弦切角定理知，又由（）知，所以，又,所以. 8分在中,由正弦定理知, ,在中,由正弦定理知, ,因,所以,由知,所以,即, .10分yoT23（）依題,因,所以曲線的直角坐標(biāo)下的方程為,x所以曲線的直角坐標(biāo)下的方程為,3分又，所以,即曲線的極坐標(biāo)方程為.5分()由題令，切線的傾斜角為，所以切線的參數(shù)方程為: (為參數(shù)). 7分聯(lián)立的直角坐標(biāo)方程得, , 8分即由直線參數(shù)方程中,的幾何意義可知, ，因為所以. 10分(解法二)設(shè)點，則由題意可知