第二章 軸向拉伸和壓縮

1、主講教師主講教師 ：郭慧珍：郭慧珍四川大學(xué)錦城學(xué)院2021年11月25日星期四1軸向拉伸與壓縮的概念軸向拉伸與壓縮的概念受力特征：外力合力的作用線與桿件的軸線重合變形特征：單純的軸向伸長或縮短PPPP2 內(nèi)力、截面法、軸力及軸力圖內(nèi)力、截面法、軸力及軸力圖1、內(nèi)力的概念內(nèi)力：內(nèi)力：外力作用外力作用下，構(gòu)件內(nèi)部同一截面兩側(cè)存在下，構(gòu)件內(nèi)部同一截面兩側(cè)存在的相互作用力。（也可理解為外力作用下引起的的相互作用力。（也可理解為外力作用下引起的“附加內(nèi)力附加內(nèi)力” ” ）內(nèi)力的計算方法：內(nèi)力的計算方法： 截面法：截面法：內(nèi)力的特征：內(nèi)力的特征： （1）隨外力的變化而變化。）隨外力的變化而變化。（2）成對

2、出現(xiàn)。）成對出現(xiàn)。FF、一分為二；1、取一棄一；2NFNF、平衡求解。3FFN2 2、軸力軸力及其求法及其求法截面法截面法軸力：軸力：軸向拉壓桿的軸向拉壓桿的內(nèi)力內(nèi)力。用符號。用符號 表示表示軸力的正負號規(guī)則軸力的正負號規(guī)則同一截面位置，其左、右兩側(cè)內(nèi)力分量必須具有相同的正負號。NFNFNF拉力（背離截面背離截面）為正NFNFNF壓力（指向截面）為負一直桿受力如圖示,試求1-1和2-2截面上的軸力。20KN20KN40KN112220KN20KN1NF01NF20KN20KN40KN112NFkNFN402求圖示直桿1-1和2-2截面上的軸力FF2F2F1122F2F22F課堂練習(xí)：10KN1

3、0KN6KN6KN332211FF2112333 3、軸力圖、軸力圖FAB113F22C2F4KN9KN3KN2KN4KN5KN2KNF2F軸力與截面位置關(guān)系的圖線稱為軸力圖軸力與截面位置關(guān)系的圖線稱為軸力圖. .F2FF2F2F作軸力圖作軸力圖 圖示磚柱，高h=3.5m，橫截面面積A=370370mm2，磚砌體的容重=18KN/m3。柱頂受有軸向壓力F=50KN，試做此磚柱的軸力圖。y3.5Fnn AyG FFNy0NyFAyF yAyFFNy46. 250 5058.6A=10mm2A=100mm210KN10KN100KN100KN哪個桿先破壞?4 4 應(yīng)力應(yīng)力. .拉拉( (壓壓) )

4、桿內(nèi)的應(yīng)力桿內(nèi)的應(yīng)力1、應(yīng)力的概念F1FnF3F2應(yīng)力就是應(yīng)力就是某一截某一截面面上上某一某一點點處，處，內(nèi)力分布的集度內(nèi)力分布的集度 應(yīng)力在數(shù)量上以單位面積上的內(nèi)力表示，其大小與應(yīng)力在數(shù)量上以單位面積上的內(nèi)力表示，其大小與內(nèi)力大小以及點的位置有關(guān)。內(nèi)力大小以及點的位置有關(guān)。dAdFAFNNA0lim dAdFAFQQA0lim 應(yīng)力的國際單位為應(yīng)力的國際單位為N/mN/m2 2 （帕斯卡（帕斯卡）1N/m2=1Pa1MPa=106Pa1N/mm21GPa=109Pa 應(yīng)力在數(shù)量上以單位面積應(yīng)力在數(shù)量上以單位面積上的內(nèi)力表示，其大小與內(nèi)力上的內(nèi)力表示，其大小與內(nèi)力大小以及點的位置有關(guān)。大小以及

5、點的位置有關(guān)。p M o2、應(yīng)力的特征：、應(yīng)力的特征：o（1）明白哪個截面哪個點）明白哪個截面哪個點o（2）應(yīng)力是矢量（拉為正，壓為負）應(yīng)力是矢量（拉為正，壓為負）（順時針方向剪應(yīng)力為正，反之為負）（順時針方向剪應(yīng)力為正，反之為負）p M 3、拉(壓)桿橫截面上的應(yīng)力AdAdAFAAN AFN 平面假設(shè)靜力關(guān)系dAdFAFNNA0lim 變形前后始終為平面變形前后始終為平面PP正應(yīng)力FN軸力A橫截面面積的符號與FN軸力符號相同AFN 思考題思考題AFN 公式的適用條件：公式的適用條件：（1）等直桿）等直桿 （2）均勻材料）均勻材料 （3）軸線加載）軸線加載1、下圖所示桿件，正應(yīng)力計算公式是否適

6、用？、下圖所示桿件，正應(yīng)力計算公式是否適用？ 試計算圖示桿件1-1、2-2、和3-3截面上的正應(yīng)力.已知橫截面面積A=2103mm220KN20KN40KN40KN33221120kN40kNMPa1011 022 MPa2033 圖示支架，AB桿為圓截面桿，d=30mm， BC桿為正方形截面桿，其邊長a=60mm， P=10KN，試求AB桿和BC桿橫截面上的 正應(yīng)力。FNABFNBCMPaAFABNABAB3 .28 MPaAFBCNBCBC8 . 4 FFNAB030sinNBCNABFF030cosCdABFa030試求圖示結(jié)構(gòu)AB桿橫截面上的正應(yīng)力。已知F=30KN，A=400mm2F

7、DBCAaaaFNAB02aFaFABNFFNAB2MPaAFNAB150 0CM計算圖示結(jié)構(gòu)BC和CD桿橫截面上的正應(yīng)力值。已知CD桿為28的圓鋼，BC桿為22的圓鋼。20kN18kNDEC30OBA4m4m1mFNBC以AB桿為研究對像0Am05189NABFkNFNBC10以CDE為研究對像FNCD0Em04208830sin0NBCNCDFFkNFNCD40BCNBCBCAF CDNCDCDAF 2、在圖示受力構(gòu)件中，由力的可傳性原理，將力、在圖示受力構(gòu)件中，由力的可傳性原理，將力P由位置由位置B移到移到C，則，則_ _。A. 固定端固定端A的約束反力不變；的約束反力不變；B. 桿件的

8、內(nèi)力相同，變形不同；桿件的內(nèi)力相同，變形不同；C. 桿件的變形相同，內(nèi)力不同；桿件的變形相同，內(nèi)力不同；D. 桿件桿件AC段的內(nèi)力和變形均保持不變；段的內(nèi)力和變形均保持不變； 答：答：A、D（2 2）在畫軸力圖之前，在畫軸力圖之前，不能沿桿件軸線方向不能沿桿件軸線方向使用力的使用力的平移定理平移定理。（1 1）對于這種有錐度的桿件，當(dāng)對于這種有錐度的桿件，當(dāng)錐度錐度15時，近似用公時，近似用公式式 與彈性力學(xué)精確求解相比誤差在與彈性力學(xué)精確求解相比誤差在5%5%以內(nèi)。以內(nèi)。AFN （3）對于等直桿對于等直桿， 當(dāng)有多段軸力時，最大軸力所對應(yīng)當(dāng)有多段軸力時，最大軸力所對應(yīng) 的截面的截面危險截面。

9、危險截面。注意：注意：coscos0AFANpaa20coscos p2sin2sin0 p全應(yīng)力：全應(yīng)力：正應(yīng)力：正應(yīng)力：切應(yīng)力：切應(yīng)力：1. 公式推導(dǎo)公式推導(dǎo)（采用截面法）（采用截面法）FFKKFNpp4 4 、拉(壓)桿斜截面上的應(yīng)力與桿軸線不垂直的截面與桿軸線不垂直的截面2、討論上述公式、討論上述公式 從上可知 、 均是 的函數(shù)，所以斜截面的方位不同，截面上的應(yīng)力也不同。 0當(dāng) 時，斜截面k-k成為橫截面。 達最大值， 同時 達最小值 0max0min045達到最大值， 當(dāng) 時，2/0max當(dāng) 表明在平行于桿件 090時， 00軸線的縱向截面上無任何應(yīng)力。20coscos p2sin2

10、sin0 p29軸力最大的截面一定是危險截面，對嗎？軸力最大的截面一定是危險截面，對嗎？對于軸向拉壓的等直桿件，對于軸向拉壓的等直桿件，危險截面上的正應(yīng)力危險截面上的正應(yīng)力最大工作應(yīng)力，最大工作應(yīng)力，其計算公式應(yīng)為：其計算公式應(yīng)為：maxmaxAFN軸向拉壓的桿件強度由最大軸力控制，還是由最大應(yīng)力控制？軸向拉壓的桿件強度由最大軸力控制，還是由最大應(yīng)力控制？2.3 2.3 拉壓桿的強度、安全系數(shù)及許用應(yīng)力拉壓桿的強度、安全系數(shù)及許用應(yīng)力 對于等直桿對于等直桿， 當(dāng)有多段軸力時，最大軸力所對應(yīng)當(dāng)有多段軸力時，最大軸力所對應(yīng) 的截面的截面危險截面。危險截面。 一橫截面為正方形的輕型材料柱分為上下兩段

11、，上段一橫截面為正方形的輕型材料柱分為上下兩段，上段面積面積240240，下段面積，下段面積490490，其高度和受力情況如圖，其高度和受力情況如圖，已知已知P=50KN，試求荷載引起的最大工作應(yīng)力。，試求荷載引起的最大工作應(yīng)力。(不計自重）不計自重） 舉例舉例2.9解：解：（一）作軸力圖如圖所示（一）作軸力圖如圖所示（二）由于此柱為變截面桿，上段軸力小，截面積也小，下（二）由于此柱為變截面桿，上段軸力小，截面積也小，下段軸力大，截面積也大，故兩段橫截面上的正應(yīng)力都必須求段軸力大，截面積也大，故兩段橫截面上的正應(yīng)力都必須求出，從而確定最大的正應(yīng)力。出，從而確定最大的正應(yīng)力。2112402405

12、01mmKNAFN26/1087. 0mN（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）2222490490150mmKNAFN26/1062. 0mN（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力） 由上述結(jié)果可見，此柱的最大工作應(yīng)力在柱的上段，其由上述結(jié)果可見，此柱的最大工作應(yīng)力在柱的上段，其值為值為0.87MPa, 是壓應(yīng)力。是壓應(yīng)力。 目錄目錄1. 1. 拉壓桿的強度條件拉壓桿的強度條件n ：許用應(yīng)力u 強度條件 AFN max的統(tǒng)稱或強度極限即屈服極限極限應(yīng)力bsu1恒大于安全系數(shù)nmaxmaxAFN強度計算的三類問題強度計算的三類問題 ：(1)(1)、強度校核、強度校核 AFN max(2)2)、截面設(shè)計、截面設(shè)計 maxNFA(3)

13、(3)、確定許用荷載、確定許用荷載 AFNmax拉壓桿的強度條件拉壓桿的強度條件maxmaxAFN圖示三角形托架，圖示三角形托架，ACAC為剛性桿，為剛性桿，BDBD為斜撐桿，荷載為斜撐桿，荷載F F可沿可沿水平梁移動。為使斜撐桿水平梁移動。為使斜撐桿重量為最輕重量為最輕，問斜撐桿與梁之，問斜撐桿與梁之間夾角應(yīng)取何值？已知桿的許用應(yīng)力為間夾角應(yīng)取何值？已知桿的許用應(yīng)力為 lhADBFC設(shè)F的作用線到A點的距離為xx取ABC桿為研究對象FNBD0Am0sin hctgFFxNBD coshFxFNBDLx cosmaxhFLFNBDBD桿： NBDBDFA coshFLBDBDBDLAV sin

14、coshhFL 2sin2FL045 minV必須注意重量最輕的內(nèi)涵：必須注意重量最輕的內(nèi)涵：體積最小體積最小2.4 拉（壓）桿的變形.胡克定律桿件在軸向拉壓時： 沿軸線方向產(chǎn)生伸長或縮短縱向變形 橫向尺寸也相應(yīng)地發(fā)生改變橫向變形L1L1、縱向變形LL LLL1 縱向線應(yīng)變:絕對變形量縱向線應(yīng)變 (無量綱) L1L實驗表明：在材料的線彈性范圍內(nèi)，L與外力F和桿長L成正比，與橫截面面積A成反比。胡克定律在材料的線彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變呈正比關(guān)系。在材料的線彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變呈正比關(guān)系。EALFLN ：抗拉（壓）剛度EAAFN 注意：注意：當(dāng)拉（壓）桿有兩個以上的外力作用時，需要當(dāng)拉（

15、壓）桿有兩個以上的外力作用時，需要先畫先畫軸力圖軸力圖，然后，然后分段計算分段計算各段的各段的變形變形，各段變形的代數(shù)和即，各段變形的代數(shù)和即為桿的總伸長量。為桿的總伸長量。iiiNiEALFLALLEA E注意：在計算注意：在計算LL時，時，L L長長度內(nèi)，度內(nèi)，F(xiàn) FN N,E,A,E,A均為常數(shù)。均為常數(shù)。E為彈性模量，單位是aGP333b2、橫向變形橫向線應(yīng)變b=b1b 泊松比泊松比（無量綱，其數(shù)值隨材料而異，實驗測定）（無量綱，其數(shù)值隨材料而異，實驗測定）b1 bb 和和 的符號恒相反的符號恒相反4o練習(xí)：練習(xí)：o抗拉剛度為抗拉剛度為EA的拉桿的拉桿AB，其尺寸及受力情況如圖示，在彈

16、性范圍，其尺寸及受力情況如圖示，在彈性范圍內(nèi)，試問下面內(nèi)，試問下面2個算式是否正確？若不正確，寫出其正確的表達式。個算式是否正確？若不正確，寫出其正確的表達式。A. 桿的總伸長是：桿的總伸長是：B. 桿的總應(yīng)變是：桿的總應(yīng)變是：B錯誤錯誤。例：圖示直桿，其抗拉剛度為EA，試求桿件的軸向變形L，B點的位移B和C點的位移CFBCALLFEAFLLABB EAFLBC + +軸向拉壓桿件變形的計算公式、軸向拉壓桿件變形的計算公式、EALFLNmaxmaxAFNEAFN2812.5 拉（壓）桿的剛度1、軸向拉壓剛度條件、軸向拉壓剛度條件 lEALFlN 2、公式應(yīng)用、公式應(yīng)用（1）剛度較核：）剛度較核

17、：( (計算計算l ) ) lEALFlN （2）計算許用荷載：）計算許用荷載： ( (計算計算F FN N ) ) lEAlFN （3）確定截面面積：）確定截面面積： ( (計算計算A A ) ) lElFAN 例例2.12：如下圖求桿件：如下圖求桿件AB、CD及及BC中點的應(yīng)力中點的應(yīng)力與與D點的位移點的位移.已知：桿件截面積已知：桿件截面積A1=400mmA1=400mm2 2,A2=200mm,A2=200mm2 2解：作軸力圖解：作軸力圖-2020+-20KN20KN/m1m2m1m112ABCD15例例2.132.13：如下圖曲桿受力：如下圖曲桿受力F=6KNF=6KN，所有材料的

18、彈性模量，所有材料的彈性模量E=70GPaE=70GPa，許用應(yīng)力許用應(yīng)力 =70MPa=70MPa，AB=400mm,CD=600mmAB=400mm,CD=600mm，BC=100mmBC=100mm，其中，其中ABAB桿件許用伸長量桿件許用伸長量 l l=0.65mm=0.65mm，試確定，試確定ABAB桿件的截面面積。桿件的截面面積。ABCDF F解：如圖受力分析解：如圖受力分析BCDBCD：可知：可知ABAB為拉桿。為拉桿。600100FFABKNFAB36 70100036AAFNABAB 65. 07000040036000lAEALFlN最后確定截面最后確定截面面積面積A A3

19、、桁架節(jié)點的位移計算：、桁架節(jié)點的位移計算： ACFB12AFNACFNAB如何求如何求A點的位移？點的位移？小變形放大圖小變形放大圖與位移的求法：與位移的求法：C怎樣畫小變形放大圖？怎樣畫小變形放大圖？變形圖嚴格畫法，圖中弧線；變形圖嚴格畫法，圖中弧線；求各桿的變形量求各桿的變形量Li ，如圖；，如圖；變形圖近似畫法，圖中弧之切線。變形圖近似畫法，圖中弧之切線。小變形放大圖與位移的求法：小變形放大圖與位移的求法：ABCL1L2P1L2LCC1C2切記：變形圖要與桿件的受力相一致。切記：變形圖要與桿件的受力相一致。圖示的桿系是由兩根圓截面鋼桿鉸接而成。已知300，桿長L2m，桿的直徑d=25m

20、m，材料的彈性模量E2.1105MPa，設(shè)在結(jié)點A處懸掛一重物F100kN，試求結(jié)點A的位移A。 ACFB12A 0XFNACFNAB0sinsin NABNACFF 0Y0coscosFFFNABNAC cos2FFFNABNAC cos2EAFLEALFLLNACACAB AACLABLAAAA cosACL 2cos2EAFL06265330cos1025410101.22210100 mm3.116圖所示結(jié)構(gòu)，剛性橫梁AB由斜桿CD吊在水平位置上，斜桿CD的抗拉剛度為EA，B點處受荷載F作用，試求B點的位移B。ADFBaL/2L/2CNCDFC1CB1112CCBBB 1CC cosC

21、C cosCDL0AmCDFLLF cos21 cos2FFNCDEALFLCDNCDCD 2cos2EAaF331cos4cos222EAFaEAFaCCB311、定義、定義: 在外力作用下，彈性體因變形而儲存的能量，稱在外力作用下，彈性體因變形而儲存的能量，稱為變形能或應(yīng)變能。為變形能或應(yīng)變能。補充：軸向拉伸或壓縮時的變形能補充：軸向拉伸或壓縮時的變形能2、變形能的計算、變形能的計算FFW21（外力做的功）（外力做的功）iiiNiiiiNiNiAELFAELFFU2212（桿件的應(yīng)變能）（桿件的應(yīng)變能）iiiNiFAELFFUW2注意：注意： 是沿力作用是沿力作用線產(chǎn)生的位移線產(chǎn)生的位移F

22、此方法一般用于軸力易求的桿件結(jié)構(gòu)中此方法一般用于軸力易求的桿件結(jié)構(gòu)中. .否則只能用作圖法求解否則只能用作圖法求解. .32如圖所示結(jié)構(gòu)，如圖所示結(jié)構(gòu)， F F已知，已知，ABAB是一剛性橫梁是一剛性橫梁, ,不計自重不計自重.1 .1、2 2號桿的抗拉剛度均為號桿的抗拉剛度均為EAEA。試求。試求1 1、2 2兩桿的軸力。兩桿的軸力。ADFB450aaaC12F1FF2FC382.6 拉壓超靜定問題拉壓超靜定問題1、靜定與超靜定的概念：、靜定與超靜定的概念：（1）靜定問題）靜定問題 僅利用靜力學(xué)平衡方程就可求解出全部未知力的問題稱僅利用靜力學(xué)平衡方程就可求解出全部未知力的問題稱為為靜定問題靜

23、定問題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)。（2）超靜定問題）超靜定問題 僅利用靜力學(xué)平衡方程無法確定全部未知力的問題稱僅利用靜力學(xué)平衡方程無法確定全部未知力的問題稱為為超靜定問題超靜定問題或或靜不定問題靜不定問題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱超靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)或或靜不定結(jié)構(gòu)靜不定結(jié)構(gòu)。FDBAC試判斷圖示結(jié)構(gòu)是靜定的還試判斷圖示結(jié)構(gòu)是靜定的還是超靜定的？若是超靜定，是超靜定的？若是超靜定，則為幾次超靜定？則為幾次超靜定？FPDBACEA2、簡單靜不定問題的解法：、簡單靜不定問題的解法： 如圖：如圖：（1）解除多余約束，用未知力）解除多余約束，用未知力代替，建立靜力學(xué)平衡方程代替，建立

24、靜力學(xué)平衡方程FRRBA（2）尋找?guī)缀螚l件建立方程）尋找?guī)缀螚l件建立方程0BCAC（3）畫軸力圖，繼續(xù)求解）畫軸力圖，繼續(xù)求解)，R(AERAE)RF(B222BBC111BAC引起的軸力為壓力為負解出 (1)(3)(2)12FAB11AE22AEC12FC11AE22AEBBRARB+F+RB（5）聯(lián)立方程，即可求解未知力）聯(lián)立方程，即可求解未知力122211122B122211211AAEAEAFERAEAEAFER解題關(guān)鍵點：找?guī)缀畏匠?，建立變形協(xié)調(diào)條件。解題關(guān)鍵點：找?guī)缀畏匠?，建立變形協(xié)調(diào)條件。例2.17：求解圖示靜不定結(jié)構(gòu)各桿受力02:021321aNaNoMPNNNFAy解：解：1

25、）靜力學(xué)平衡方程）靜力學(xué)平衡方程2）幾何方程）幾何方程2312 )(21312lll123LaaFAB剛體剛體F2311N2N3NEALNEALNEALN23126/53/6/321PNPNPN3 3、拉壓桿件超靜定問題：、拉壓桿件超靜定問題：34例題2、18：如圖所示結(jié)構(gòu)中，1，2桿抗拉剛度 為E1A1，3桿抗拉剛度為E3A3，求各 桿內(nèi)力?解：解：1）?。┤結(jié)點研究，作受力圖如圖所示結(jié)點研究，作受力圖如圖所示210NNFx（1）一次超靜定問題A123FLF1N2N3N2）建立靜力學(xué)平衡方程）建立靜力學(xué)平衡方程PNNNFy321cos)(0（2）3）尋找?guī)缀畏匠蹋ふ規(guī)缀畏匠蘡os313333333311111111cosAELNAELNAELNAELNA321123LA（3）（4）coscos:333111AELNAELN得（5）聯(lián)立（3）、（4）PNNNFy321cos)(0210NNFxF1N2N3N聯(lián)立所有方程即可求得未知力如下聯(lián)立所有方程即可求得未知力如下333113211331cos21coscos2AEAEPNAEAEP