排列組合的策略

1、專題計數(shù)原理、排列組合編講：張老師一、兩個計數(shù)原理1.分類計數(shù)原理：完成一件事，有 n類辦法，在第1類辦法中有m!種不同的方法，在第 2類辦法 中有m2種不同的方法，在第 n類辦法中有 mn種不同的方法，那么完成這件事共有： mi m2mn種不同的方法.2 .分步計數(shù)原理：完成一件事，需要分成 n個步驟，做第1步有mi種不同的方法，做第 2步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有 mi m?m.種不同的方法.3 兩個基本原理都是涉及完成一件事的不同方法種數(shù)的計數(shù)方法它們的區(qū)別在于：分類計數(shù)原 理與“分類”有關(guān)，各種方法相互獨立，用任何一種方法都可以獨立完成這件事；分

2、步計數(shù)原理 與“分步”有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成.簡單地說，分類加法計數(shù)原理：如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成分步乘法計數(shù)原理：如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成二、排列與組合排列：從n個不同元素中取出 m(m < n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.n !排列數(shù)公式：Am = n(n 1)(n 2)(n m +1) =(m , n N + ,且 m < n).(注：規(guī)定 0 !n m !=1).組合：從n個不同元素中取出 m(m < n)個元素并成一組，叫做從 n個不同元素中取出 m個元素 的

3、一個組合.Amn!nn 1 n m + 1組合數(shù)公式：cm=.Am m ! n m !m!組合數(shù)的兩個性質(zhì)：cm = cn m : cm + cm1 = cm+1(注：規(guī)定 cm = 1).注意 ：排列組合主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題， 需要考慮順序的是排列問題，排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進行排隊因此，分析解決排列、 組合問題的基本思維是 “ 先選，再排 ”2 解排列組合題的“ 16 字方針， 12 個技巧 ”：(1) “十六字”方針是解排列組合題的基本規(guī)律即分類相加、分步相乘、有序排列、無序組合(2) “十二”個技巧是速解排列組合題的捷徑即相鄰問

4、題捆綁法；不相鄰問題插空法；多排問題單排法；定序問題縮倍法；定位問題優(yōu)先法；有序分配問題分步法；多元問題分類法；交叉問題集合法；至少(或至多)問題間接法；選排問題先取后排法；？局部與整體問題排除法；？復雜問題轉(zhuǎn)化法分析 ：點評：本考點所涉及的主要問題有： 數(shù)字問題，人或物有條件排列問題，平面的個數(shù)問題， 異面直線的對數(shù)問題，選代表或選物品的問題，集合的子集問題等解決這些問題常用的數(shù)學方法有：直接法；利用分類計數(shù)原理的“分類法” ；利用分步計數(shù)原理的“分步法” ，一一列舉所有 可能的“窮舉法” ；有條件限制的應用題中的“特殊元素分析法”及“特殊位置分析法”；相鄰問題“捆綁法” ；相間問題“插空法

5、” ；定序問題“縮倍法” ；交叉問題“集合法” ；至多至少“排除 法”；未知問題“轉(zhuǎn)化法” ；綜合問題“先選后排法”及“圖表法”等?3 解排列組合的應用題，要注意以下四點 ：?(1)仔細審題，判斷是排列問題還是組合問題；要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程進行分步?(2)深入分析，周密考慮，注意分清是“乘”還是“加” ，既不少也不多?(3)對限制條件較復雜的排列組合應用題，要周密分析，設計出合理的方案，把復雜問題分解成若干簡單的基本問題后用兩個計數(shù)原理來解決?(4)有關(guān)排列、組合混合問題，應遵循先選后排的原則?4 解排列、組合應用題的一般步驟? (1) 分析題意? 認清應把問題中的哪些具體對象

6、看作元素 (如人、物、數(shù)、圖形等 ) ? 分析完成這件事需有幾類辦法，找到分類標準，做到不重不漏；執(zhí)行各類辦法時又分別 需要進行幾步才能完成事件?(2) 選定解法? 通常不含限制條件的排列、組合問題都可以直接求解；含有限制條件的排列、組合問題有 直接法和間接法兩種解法 (其中分類法和排除法最為常用 )但無論用直接法或間接法，都 要注意從不同角度，正、反兩方面考慮同一問題，復習中要注意一題多解的訓練? (3) 列式求解1 排列、組合問題的解題方法：(1) 在解決具體問題時，首先必須弄清楚是 “分類”還是“分步”，接著還要搞清楚 “分類”或者 “分步 ”的具體標準是什么(2) 區(qū)分某一問題是排列還

7、是組合問題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)若交換某兩個元素的 位置對結(jié)果產(chǎn)生影響， 則是排列問題； 若交換任意兩個元素的位置對結(jié)果沒有影響， 則是組合問題 也 就是說排列問題與選取元素的順序有關(guān)，組合問題與選取元素的順序無關(guān)(3) 排列、組合綜合應用問題的常見解法： 特殊元素 (特殊位置 )優(yōu)先安排法； 合理分類與準確 分步；排列、組合混合問題先選后排法； 相鄰問題捆綁法； 不相鄰問題插空法； 定序問題倍 縮法；多排問題一排法； “小集團”問題先整體后局部法； 構(gòu)造模型法；正難則反、等價轉(zhuǎn) 化法總結(jié)提高解有條件限制的排列與組合問題的思路：(1) 正確選擇原理，確定分類或分步計數(shù)；(2) 特殊元

8、素、特殊位置優(yōu)先考慮；(3) 再考慮其余元素或其余位置 .解決排列組合問題的一般方法編講：張老師一. 特殊元素和特殊位置優(yōu)先法技巧：位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法。例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字的五位奇數(shù)練習1 : 7種不同的花種在排成一列的花盆里 ，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里,問有多少不同的種法？二. 相鄰元素捆綁法技巧：要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題例2. 7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法練習2 : 5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起，有多少種不同的排法？

9、三. 不相鄰問題插空法技巧：元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端例3.一個晚會的節(jié)目有 4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序有多少種？練習 3 ：某班新年聯(lián)歡會原定的 5 個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（ ）四. 定序問題倍縮法或空位插入法技巧： （倍縮法 ） 對于某幾個元素順序一定的排列問題 ,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列 然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù)即可 （定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位 插入模型處理）

10、例 4. 7 人排隊 , 其中甲乙丙 3 人順序一定共有多少種不同的排法練習 4：期中安排考試科目 9 門 ,語文要在數(shù)學之前考 ,有多少種不同的安排順序 ?五. 重排問題求冪法技巧：一般地 n 不同的元素沒有限制地安排在 m 個位置上的排列數(shù)為 mn 種例 5. 把 6 名實習生分配到 7 個車間實習 ,共有多少種不同的分法練習 5：某 8 層大樓一樓電梯上來 8 名乘客人 , 他們到各自的一層下電梯 ,下電梯的方法（）六 . 排列組合混合問題先選后排技巧：解決排列組合混合問題 ,先選后排是最基本的指導思想 .例 6. 有 5 個不同的小球 ,裝入 4 個不同的盒內(nèi) ,每盒至少裝一個球 ,共

11、有多少不同的裝法 .練習 6 ：一個班有 6 名戰(zhàn)士 ,其中正副班長各 1 人，現(xiàn)從中選 4 人完成四種不同的任務 ,每人 完成一種任務 ,且正副班長有且只有 1 人參加 , 則不同的選法有 種七 . 元素相同問題隔板法技巧：將n個相同的元素分成 m份（n , m為正整數(shù)），每份至少一個元素，可以用m-1塊隔板, C n 1插入 n 個元素排成一排的 n-1 個空隙中，所有分法數(shù)為例 7.有 10 個運動員名額，在分給 7 個班，每班至少一個 ，有多少種分配方案？練習 7： 10 個相同的球裝在 5 個盒中 ,每盒至少一個，有多少種裝法？變式： 將n個相同的元素分成 m份（n , m為正整數(shù)）

12、，每份可以沒有元素，可以用m-1塊隔板, Cn m 1插入 n 個元素和 m-1 塊板共 n+m-1 個位置中，所有分法數(shù)為有 10 個運動員名額，分給 7 個班，有些班級可以把名額讓給其它班 ，有多少種分配方案？10 個相同的球裝在 5 個盒中 ， 盒可空，有多少種裝法？八. 平均分組問題除法技巧：平均分成的組 ，不管它們的順序如何 ，都是一種情況 ，所以分組后要一定要除以 Ann （n 為均分 的組數(shù) ） 避免重復計數(shù)。例 8.6 本不同的書平均分成 3 堆，每堆 2 本共有多少分法？練習 8：（1） 將13 個球隊分成 3組，一組 5 個隊，其它兩組 4個隊， 有多少分法？（ 2） 2. 某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4 名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排 2 名，則不同的安排方案種數(shù)為 九 . 合理分類與分步策略 技巧：解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生