高中數(shù)學(xué)平面幾何拓展-數(shù)學(xué)競(jìng)賽知識(shí)

1、高中數(shù)學(xué)平面幾何拓展第一大定理：共角定理（鳥頭定理）即在兩個(gè)三角形中，它們有一個(gè)角相等（互補(bǔ)），則它們就是共角三角形。它們的面積之比，就是對(duì)應(yīng)角（相等角、互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。內(nèi)容：若兩三角形有一組對(duì)應(yīng)角相等或互補(bǔ)，則它們的面積比等于對(duì)應(yīng)兩邊乘積的比。即：若ABC和ADE中，BAC=DAE ，則SABC÷SADE=第二大定理：等積變換定理。1、等底等高的兩個(gè)三角形面積相等； 2、兩個(gè)三角形（底）高相等，面積之比等于高（底）之比。3、在一組平行線之間的等積變形。如圖所示，SACD=SBCD；反之，如果SACD=SBCD，則可知直線AB平行于CD。第三大定理：梯形蝴蝶定理。

2、任意四邊形中，同樣也有蝴蝶定理。上述的梯形蝴蝶定理，就是因?yàn)锳DEC得來(lái)的第四大定理：相似三角形定理。1、相似三角形：形狀相同,大小不相等的兩個(gè)三角形相似； 2、尋找相似模型的大前提是平行線：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 3、相似三角形性質(zhì)：1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)邊）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方。 相似模型大致分為金字塔模型、沙漏模型這兩大類，注意這兩大類中都含有BC平行DE這樣的一對(duì)平行線！圖形：第五大定理：燕尾定理。性質(zhì)：1.SABG：S

3、ACG=SBGE：SCGE=BE：CE 2.SBGA：SBGC=SGAF：SGCF=AF：CF 3.SAGC：SBGC=SAGD：SBGD=AD：BD這就是燕尾模型。其他幾何定理：塞瓦定理塞瓦定理是指在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。梅涅勞斯定理當(dāng)直線交 三邊所在直線 于點(diǎn) 時(shí)，使用梅涅勞斯定理可以進(jìn)行直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來(lái)解決三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問(wèn)題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要

4、的作用。梅涅勞斯定理的對(duì)偶定理是塞瓦定理。2 它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。托勒密定理定理內(nèi)容指圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積推論1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BDAB·CD+AD·BC，當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓清宮定理設(shè)P、Q為ABC的外接圓上異于

5、A、B、C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線于D、E、F，則D、E、F在同一直線上射影定理射影定理，又稱“歐幾里得定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理。概述圖中，在RtABC中，ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：BD²=AD·DCAB²=AC·ADBC²=CD·AC面積射影定理規(guī)定“平面圖形射影面積等于被射影圖形

6、的面積乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦。(即COS=S射影/S原）?！?#160;(平面多邊形及其射影的面積分別是 和 ,它們所在平面所成的二面角為 )歐拉定理幾何定理內(nèi)容1)設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2-2Rr2)三角形ABC的垂心H，九點(diǎn)圓圓心V,重心G,外心O共線 ，稱為 歐拉線拓?fù)涔絍+F-E=2，V是多面體P的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，F(xiàn)是多面體P的面數(shù)，E是多面體P的棱的條數(shù)利用歐拉定理可解決一些實(shí)際問(wèn)題如：為什么正多面體只有5種？ 足球與C60的關(guān)系？否有棱數(shù)為7的正多面體？等復(fù)變函數(shù)定理內(nèi)容e是自然對(duì)數(shù)的底，

7、i是虛數(shù)單位。它將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位。將公式里的x換成-x，得到：，然后采用兩式相加減的方法得到：，.這兩個(gè)也叫做歐拉公式。上帝創(chuàng)造的公式將中的x取作就得到：.這個(gè)等式也叫做歐拉公式，它是數(shù)學(xué)里最令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)數(shù)字聯(lián)系到了一起：兩個(gè)超越數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率，兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0。數(shù)學(xué)家們?cè)u(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，我們只能看它而不能理解它。蝴蝶定理蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過(guò)M作弦AB和CD。設(shè)AD和BC

8、各相交PQ于點(diǎn)X和Y，則M是XY的中點(diǎn)。去掉中點(diǎn)的條件，結(jié)論變?yōu)橐粋€(gè)一般關(guān)于有向線段的比例式，稱為“坎迪定理”， 不為中點(diǎn)時(shí)滿足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP 在圓錐曲線中通過(guò)射影幾何，我們可以非常容易的將蝴蝶定理推廣到普通的任意圓錐曲線（包括橢圓，雙曲線，拋物線，甚至退化到兩條相交直線的情況）。圓錐曲線C上弦PQ的中點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。 ，橢圓的長(zhǎng)軸A1、A2與x軸平行，短軸B1B2在y軸上，中心為M（o，r）（br0）。     （）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及

9、離心率；     （）直線y=k1x交橢圓于兩點(diǎn)（x1,y1）,D(x2，y2)（y2）；直線y=k2x交橢圓于兩點(diǎn)（x3，y3），（x4，y4）（y）。     求證：kxx2(x1+x2)=k2x3x4(x3+x4)     （）對(duì)于（）中的C，D，G，H，設(shè)CH交X軸于點(diǎn)P，GD交X軸于點(diǎn)Q。     求證： | OP | = | OQ |。     （證明過(guò)程不考慮CH或GD垂直于X軸的情

10、形）         （）解：橢圓方程為x2/a2+(y-r)2/b2=1     焦點(diǎn)坐標(biāo)為x代入橢圓方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，1     （）證明：將直線CD的方程y=k     整理，得     (b2+a2k12)x2-2k1a2rx+(a2r2-a2b2)=0     根據(jù)韋達(dá)定理，得

11、     x1+x2=2k1a2r/(b2+a2k12)， x1·x2=(a2r2-a2b2)/( b2+a2k12)，     所以x1x2/(x1+x2)=( r2-b2)/2k1r      將直線GH的方程y=k2x代入橢圓方程，同理可得     x3x4/(x3+x4)=( r2-b2)/2k2r      由，得k1x1x2/(x1+x2)=(r2-b2/2r=k2x3x4/

12、(x3+x4)      所以結(jié)論成立。     （）證明：設(shè)點(diǎn)P（p，o），點(diǎn)Q（q，o）。     由C，P，H共線，得     (x1-p)/( x4-p)=k1x1/k2x4     解得P=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)     由D，Q，G共線，同理可得     q=(k1-k2)

13、x2x3/(k1x2-k2x3)     由k1x1x2/(x1+x2)=k2x3x4/(x3+x4)，變形得：     x2x3/(k1x2-k2x3)=x1x4/(k1x1-k2x4)     即：(k1-k2)x2x3/(k1x2-k2x3)=(k1-k2)x1x4/(k1x1-k2x4)     所以 |p|=|q|，即，|OP|=|OQ|。圓冪定理圓冪定理是平面幾何中的一個(gè)定理，是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推

14、論)的統(tǒng)一相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B、C、D，則有PA·PB=PC·PD共邊定理設(shè)直線AB與PQ交于M，則SPAB/SQAB=PM/QM 西姆松定理過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點(diǎn)在此三角形的外接圓上。九點(diǎn)圓三角形三邊的中點(diǎn)，三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)（連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)）九點(diǎn)共圓。通常稱這個(gè)圓為九點(diǎn)圓（nine-point circle），或歐拉圓、費(fèi)爾巴哈圓。九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì)，例如：1. 三角形的九點(diǎn)圓