無機(jī)材料物理性能11結(jié)構(gòu)

1、晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)：原子規(guī)則排列，主要體現(xiàn)是原子排列具有周期原子規(guī)則排列，主要體現(xiàn)是原子排列具有周期性，或者稱長(zhǎng)程有序。有此排列結(jié)構(gòu)的材料為晶體。性，或者稱長(zhǎng)程有序。有此排列結(jié)構(gòu)的材料為晶體。晶體中原子、分子規(guī)則排列的結(jié)果使晶體具有規(guī)則的幾何晶體中原子、分子規(guī)則排列的結(jié)果使晶體具有規(guī)則的幾何外形，外形，X射線衍射已證實(shí)這一結(jié)論。射線衍射已證實(shí)這一結(jié)論。非晶體結(jié)構(gòu)非晶體結(jié)構(gòu)：不具有長(zhǎng)程有序。有此排列結(jié)構(gòu)的材料為非不具有長(zhǎng)程有序。有此排列結(jié)構(gòu)的材料為非晶體。晶體。了解固體結(jié)構(gòu)的意義了解固體結(jié)構(gòu)的意義： 固體中原子排列形式是研究固體固體中原子排列形式是研究固體材料宏觀性質(zhì)和各種微觀過程的基礎(chǔ)。材料宏觀

2、性質(zhì)和各種微觀過程的基礎(chǔ)。 晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)固體的結(jié)構(gòu)分為：固體的結(jié)構(gòu)分為： 非晶體結(jié)構(gòu)非晶體結(jié)構(gòu) 多晶體結(jié)構(gòu)多晶體結(jié)構(gòu) 1.1 晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu)1.1.1 空間點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣1.1.2 密勒指數(shù)密勒指數(shù)1.1.3 倒格子倒格子晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)概括為是由一些相同點(diǎn)子在空間晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)概括為是由一些相同點(diǎn)子在空間有規(guī)則作周期性無限分布，這些點(diǎn)子的總體稱有規(guī)則作周期性無限分布，這些點(diǎn)子的總體稱為點(diǎn)陣。為點(diǎn)陣。（該學(xué)說正確地反映了晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)長(zhǎng)程有序特征，后（該學(xué)說正確地反映了晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)長(zhǎng)程有序特征，后來被空間群理論充實(shí)發(fā)展為空間點(diǎn)陣學(xué)說，形成近代關(guān)來被空間群理論充實(shí)發(fā)展為空間點(diǎn)陣學(xué)說，形成近代關(guān)于晶體

3、幾何結(jié)構(gòu)的完備理論。）于晶體幾何結(jié)構(gòu)的完備理論。）1.1.1 空空 間間 點(diǎn)點(diǎn) 陣陣一、布喇菲的空間點(diǎn)陣學(xué)說一、布喇菲的空間點(diǎn)陣學(xué)說關(guān)于結(jié)點(diǎn)的說明：關(guān)于結(jié)點(diǎn)的說明： 當(dāng)晶體是由完全相同的一種原子組成，結(jié)點(diǎn)可以是原子本身位置。當(dāng)晶體是由完全相同的一種原子組成，結(jié)點(diǎn)可以是原子本身位置。 當(dāng)晶體中含有數(shù)種原子，這數(shù)種原子構(gòu)成基本結(jié)構(gòu)單元（基元），當(dāng)晶體中含有數(shù)種原子，這數(shù)種原子構(gòu)成基本結(jié)構(gòu)單元（基元），結(jié)點(diǎn)可以代表基元重心，原因是所有基元的重心都是結(jié)構(gòu)中相同結(jié)點(diǎn)可以代表基元重心，原因是所有基元的重心都是結(jié)構(gòu)中相同位置，也可以代表基元中任意點(diǎn)子位置，也可以代表基元中任意點(diǎn)子 結(jié)點(diǎn)示例圖結(jié)點(diǎn)示例圖1 .

4、 點(diǎn)子點(diǎn)子空間點(diǎn)陣學(xué)說中所稱的空間點(diǎn)陣學(xué)說中所稱的點(diǎn)子點(diǎn)子，代表著結(jié)構(gòu)中相同的位，代表著結(jié)構(gòu)中相同的位置，也為置，也為結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，也可以代表原子周圍相應(yīng)點(diǎn)的位置。，也可以代表原子周圍相應(yīng)點(diǎn)的位置。晶體由基元沿空間三個(gè)不同方向，各按一定的距離晶體由基元沿空間三個(gè)不同方向，各按一定的距離周期周期性性地平移而構(gòu)成，地平移而構(gòu)成，基元基元每一平移距離稱為每一平移距離稱為周期周期。在一定方向有著一定在一定方向有著一定周期周期，不同方向上，不同方向上周期周期一一 般不相同。般不相同?；揭平Y(jié)果：平移結(jié)果：點(diǎn)陣點(diǎn)陣中每個(gè)結(jié)點(diǎn)周圍情況都一樣。中每個(gè)結(jié)點(diǎn)周圍情況都一樣。2 . 點(diǎn)陣學(xué)說概括了晶體結(jié)構(gòu)的周期性

5、點(diǎn)陣學(xué)說概括了晶體結(jié)構(gòu)的周期性3 . 晶格的形成晶格的形成通過點(diǎn)陣中的結(jié)點(diǎn)，可以作許多平行的直線族通過點(diǎn)陣中的結(jié)點(diǎn)，可以作許多平行的直線族和平行的晶面族，點(diǎn)陣成為一些網(wǎng)格和平行的晶面族，點(diǎn)陣成為一些網(wǎng)格-晶格。晶格。 平行六面體平行六面體原胞概念的引出：原胞概念的引出： 由于晶格晶格周期性，可取一個(gè)以結(jié)點(diǎn)結(jié)點(diǎn)為頂點(diǎn)，邊長(zhǎng)等于該方向上的周期周期的平行六面體作為重復(fù)單元，來概括晶格的特征。即每個(gè)方向不能是一個(gè)結(jié)點(diǎn)（或原子）本身，而是一即每個(gè)方向不能是一個(gè)結(jié)點(diǎn)（或原子）本身，而是一個(gè)結(jié)點(diǎn)個(gè)結(jié)點(diǎn)（或原子）加上周期長(zhǎng)度為原子）加上周期長(zhǎng)度為a的區(qū)域，其中的區(qū)域，其中a叫叫做基矢做基矢 。這樣的重復(fù)單元重

6、復(fù)單元稱為原胞原胞。 原胞（重復(fù)單元）的選取規(guī)則原胞（重復(fù)單元）的選取規(guī)則 反映周期性特征：反映周期性特征：只需概括空間三個(gè)方向上的周期大只需概括空間三個(gè)方向上的周期大小，原胞可以取最小重復(fù)單元（物理學(xué)原胞），結(jié)點(diǎn)只小，原胞可以取最小重復(fù)單元（物理學(xué)原胞），結(jié)點(diǎn)只在頂角上。在頂角上。反映對(duì)稱性特征：反映對(duì)稱性特征：晶體都具有自己特殊對(duì)稱性。晶體都具有自己特殊對(duì)稱性。結(jié)晶學(xué)上所取原胞體積不一定最小，結(jié)點(diǎn)不一定只在頂結(jié)晶學(xué)上所取原胞體積不一定最小，結(jié)點(diǎn)不一定只在頂角上，可以在體心或面心上（晶體學(xué)原胞）；角上，可以在體心或面心上（晶體學(xué)原胞）；原胞邊長(zhǎng)總是一個(gè)周期，并各沿三個(gè)晶軸方向；原胞邊長(zhǎng)總是一

7、個(gè)周期，并各沿三個(gè)晶軸方向；原胞體積為物理學(xué)原胞體積的整數(shù)倍數(shù)。原胞體積為物理學(xué)原胞體積的整數(shù)倍數(shù)。 引出物理學(xué)原胞的意義：引出物理學(xué)原胞的意義：三維格子的周期性可用數(shù)學(xué)的形式表示如下：三維格子的周期性可用數(shù)學(xué)的形式表示如下： T(r)=T(r+l1a1+l2a2+l2a3)r為重復(fù)單元中任意處的矢量；為重復(fù)單元中任意處的矢量；T為晶格中任意物理量；為晶格中任意物理量；l1、l2、l3是整數(shù)，是整數(shù)，a1、a2、a3是重復(fù)單元的邊長(zhǎng)矢量。是重復(fù)單元的邊長(zhǎng)矢量。為進(jìn)行固體物理學(xué)中的計(jì)算帶來很大的方便。為進(jìn)行固體物理學(xué)中的計(jì)算帶來很大的方便。位矢位矢RrR+r不喇菲點(diǎn)陣的特點(diǎn)：不喇菲點(diǎn)陣的特點(diǎn)：

8、每點(diǎn)周圍情況都一樣。是由一個(gè)結(jié)點(diǎn)沿三維空間周每點(diǎn)周圍情況都一樣。是由一個(gè)結(jié)點(diǎn)沿三維空間周期性平移形成，為了直觀，可以取一些特殊的重復(fù)期性平移形成，為了直觀，可以取一些特殊的重復(fù)單元（結(jié)晶學(xué)原胞）。單元（結(jié)晶學(xué)原胞）。 完全由相同的一種原子組成，則這種原子組成的完全由相同的一種原子組成，則這種原子組成的網(wǎng)格為不喇菲格子，和結(jié)點(diǎn)所組成的網(wǎng)格相同。網(wǎng)格為不喇菲格子，和結(jié)點(diǎn)所組成的網(wǎng)格相同。 晶體的基元中包含兩種或兩種以上原子，每個(gè)基晶體的基元中包含兩種或兩種以上原子，每個(gè)基元中，相應(yīng)的同種原子各構(gòu)成和結(jié)點(diǎn)相同網(wǎng)格元中，相應(yīng)的同種原子各構(gòu)成和結(jié)點(diǎn)相同網(wǎng)格-子晶格（或亞晶格）。子晶格（或亞晶格）。 復(fù)式

9、格子（或晶體格子）是由所有相同結(jié)構(gòu)子晶復(fù)式格子（或晶體格子）是由所有相同結(jié)構(gòu)子晶格相互位移套構(gòu)形成。格相互位移套構(gòu)形成。4 .結(jié)點(diǎn)的總體結(jié)點(diǎn)的總體-不喇菲點(diǎn)陣或不喇菲格子不喇菲點(diǎn)陣或不喇菲格子晶體格子（簡(jiǎn)稱晶格）晶體格子（簡(jiǎn)稱晶格）：晶體中原子排列的具體形：晶體中原子排列的具體形式。式。原子規(guī)則堆積的意義原子規(guī)則堆積的意義：把晶格設(shè)想成為原子規(guī)則堆：把晶格設(shè)想成為原子規(guī)則堆積，有助于理解晶格組成，晶體結(jié)構(gòu)及與其有關(guān)的積，有助于理解晶格組成，晶體結(jié)構(gòu)及與其有關(guān)的性能等。性能等。二二 、 晶晶 格格 的的 實(shí)實(shí) 例例1. 簡(jiǎn)單立方晶格簡(jiǎn)單立方晶格2. 體心立方晶格體心立方晶格3. 原子球最緊密排列

10、的兩種方式原子球最緊密排列的兩種方式特點(diǎn)特點(diǎn)：層內(nèi)為正方排列，是原子球規(guī)則排列的最簡(jiǎn)單形式；層內(nèi)為正方排列，是原子球規(guī)則排列的最簡(jiǎn)單形式；原子層疊起來，各層球完全對(duì)應(yīng)，形成簡(jiǎn)單立方晶格；原子層疊起來，各層球完全對(duì)應(yīng)，形成簡(jiǎn)單立方晶格；這種晶格在實(shí)際晶體中不存在，但是一些更復(fù)雜的晶格這種晶格在實(shí)際晶體中不存在，但是一些更復(fù)雜的晶格可以在簡(jiǎn)單立方晶格基礎(chǔ)上加以分析。可以在簡(jiǎn)單立方晶格基礎(chǔ)上加以分析。 原子球的正方排列原子球的正方排列簡(jiǎn)單立方晶格典型單元簡(jiǎn)單立方晶格典型單元1. 簡(jiǎn)單立方晶格簡(jiǎn)單立方晶格簡(jiǎn)單立方晶格的原子球心形成一個(gè)三維立方格子結(jié)簡(jiǎn)單立方晶格的原子球心形成一個(gè)三維立方格子結(jié)構(gòu)，整個(gè)晶

11、格可以看作是這樣一個(gè)典型單元沿著三構(gòu)，整個(gè)晶格可以看作是這樣一個(gè)典型單元沿著三個(gè)方向重復(fù)排列構(gòu)成的結(jié)果。個(gè)方向重復(fù)排列構(gòu)成的結(jié)果。 簡(jiǎn)單立方晶格單元沿著三個(gè)方向重復(fù)排列構(gòu)成的圖形簡(jiǎn)單立方晶格單元沿著三個(gè)方向重復(fù)排列構(gòu)成的圖形2. 體心立方晶格體心立方晶格 體心立方晶格的典型單元體心立方晶格的典型單元排列規(guī)則排列規(guī)則：層與層堆積方式是上面一層原子球心對(duì)層與層堆積方式是上面一層原子球心對(duì)準(zhǔn)下面一層球隙，下層球心的排列位置用準(zhǔn)下面一層球隙，下層球心的排列位置用A標(biāo)記，標(biāo)記，上面一層球心的排列位置用上面一層球心的排列位置用B標(biāo)記，體心立方晶格標(biāo)記，體心立方晶格中正方排列原子層之間的堆積方式可以表示為中

12、正方排列原子層之間的堆積方式可以表示為 ： AB AB AB AB體心立方晶格的堆積方式體心立方晶格的堆積方式體心立方晶格的特點(diǎn)：體心立方晶格的特點(diǎn)：為了保證同一層中原子球間的距離等于為了保證同一層中原子球間的距離等于A-A層之間的層之間的距離，正方排列的原子球并不是緊密靠在一起；距離，正方排列的原子球并不是緊密靠在一起；由幾何關(guān)系證明，間隙由幾何關(guān)系證明，間隙=0.31r0，r0為原子球的半徑。為原子球的半徑。具有體心立方晶格結(jié)構(gòu)的金屬：具有體心立方晶格結(jié)構(gòu)的金屬：Li、Na 、K、 Rb、 Cs、 Fe等，等，密排面密排面：原子球在該平面內(nèi)以最緊密方式排列。：原子球在該平面內(nèi)以最緊密方式排

13、列。堆積方式堆積方式：在堆積時(shí)把一層的球心對(duì)準(zhǔn)另一層球隙，：在堆積時(shí)把一層的球心對(duì)準(zhǔn)另一層球隙，獲得最緊密堆積，可以形成兩種不同最緊密晶格排列。獲得最緊密堆積，可以形成兩種不同最緊密晶格排列。AB AB AB排列排列（六角密排晶格）（六角密排晶格）ABC ABC ABC排列排列（立方密堆）（立方密堆）3.原子球最緊密排列的兩種方式原子球最緊密排列的兩種方式前一種為六角密排晶格，（如前一種為六角密排晶格，（如Be、Mg、Zn、Cd），），后一種晶格為立方密排晶格，或面心立方晶格（如后一種晶格為立方密排晶格，或面心立方晶格（如Cu、Ag、Au、Al） 面心立方晶格面心立方晶格 （立方密排晶格）（立

14、方密排晶格） 面心（面心（111）以立方密堆方式排列以立方密堆方式排列 面心立方晶體（立方密排晶格）面心立方晶體（立方密排晶格）六方密堆晶格的原胞六方密堆晶格的原胞3、不喇菲格子與復(fù)式格子、不喇菲格子與復(fù)式格子把基元只有一個(gè)原子的晶格，叫做不喇菲格子；把基元只有一個(gè)原子的晶格，叫做不喇菲格子；把基元包含兩個(gè)或兩個(gè)以上原子的，叫做復(fù)式格子。把基元包含兩個(gè)或兩個(gè)以上原子的，叫做復(fù)式格子。注：注：如果晶體由一種原子構(gòu)成，但在晶體中原子周如果晶體由一種原子構(gòu)成，但在晶體中原子周圍的情況并不相同（例如用圍的情況并不相同（例如用X射線方法，鑒別出射線方法，鑒別出原子周圍電子云的分布不一樣），則這樣的晶格原

15、子周圍電子云的分布不一樣），則這樣的晶格雖由一種原子組成，但不是不喇菲格子，而是復(fù)雖由一種原子組成，但不是不喇菲格子，而是復(fù)式格子。原胞中包含兩個(gè)原子。式格子。原胞中包含兩個(gè)原子。1 . 氯化鈉結(jié)構(gòu)氯化鈉結(jié)構(gòu) 表示鈉表示鈉 表示氯表示氯鈉離子與氯離子鈉離子與氯離子分別構(gòu)成面心立分別構(gòu)成面心立方格子，氯化鈉方格子，氯化鈉結(jié)構(gòu)是由這兩種結(jié)構(gòu)是由這兩種格子相互平移一格子相互平移一定距離套購(gòu)而成。定距離套購(gòu)而成。 2 . 氯化銫結(jié)構(gòu)氯化銫結(jié)構(gòu) 表示表示Cs 。 表示表示Cl3 . 鈣鈦礦型鈣鈦礦型 結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu) 表示表示Ba 表示O 表示表示Ti結(jié)晶學(xué)原胞結(jié)晶學(xué)原胞 氧八面體氧八面體基元中任意點(diǎn)子或結(jié)點(diǎn)作

16、周期性重復(fù)的晶體結(jié)構(gòu)基元中任意點(diǎn)子或結(jié)點(diǎn)作周期性重復(fù)的晶體結(jié)構(gòu)復(fù)式原胞復(fù)式原胞重復(fù)的重復(fù)的晶體結(jié)構(gòu)晶體結(jié)構(gòu) 五個(gè)子晶胞五個(gè)子晶胞注：注：結(jié)點(diǎn)的概念以及結(jié)點(diǎn)所組成的不喇菲格子的概念，結(jié)點(diǎn)的概念以及結(jié)點(diǎn)所組成的不喇菲格子的概念，對(duì)于反映晶體中的周期性是很有用的。對(duì)于反映晶體中的周期性是很有用的。基元中不同原子所構(gòu)成的集體運(yùn)動(dòng)?？筛爬閺?fù)式基元中不同原子所構(gòu)成的集體運(yùn)動(dòng)常可概括為復(fù)式格子中各個(gè)子晶格之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。格子中各個(gè)子晶格之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。固體物理在討論晶體內(nèi)部粒子的集體運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)于固體物理在討論晶體內(nèi)部粒子的集體運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)于基元中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上原子的晶體，復(fù)式格子基元中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上

17、原子的晶體，復(fù)式格子的概念顯得重要，的概念顯得重要，四、結(jié)晶學(xué)原胞與固體物理學(xué)原胞間的相互轉(zhuǎn)化四、結(jié)晶學(xué)原胞與固體物理學(xué)原胞間的相互轉(zhuǎn)化 簡(jiǎn)立方簡(jiǎn)立方 體立方體立方 面心立方面心立方 立方晶系不喇菲原胞立方晶系不喇菲原胞原胞的基矢為：原胞的基矢為： a1=ia, a2=ja, a3=ka結(jié)晶學(xué)中，屬于立方晶系的不喇菲原胞有簡(jiǎn)結(jié)晶學(xué)中，屬于立方晶系的不喇菲原胞有簡(jiǎn)立方、體心立方和面心立方。立方、體心立方和面心立方。1. 簡(jiǎn)立方簡(jiǎn)立方2. 體心立方體心立方固體物理學(xué)的原胞基矢與結(jié)晶學(xué)原胞基矢的關(guān)系：固體物理學(xué)的原胞基矢與結(jié)晶學(xué)原胞基矢的關(guān)系： a1=(-i+j+k)a2 a2=(k+i-j)a2

18、a3=(i+j-k)a2體積關(guān)系：體積關(guān)系：結(jié)晶學(xué)原胞的體積是物理學(xué)原胞的結(jié)晶學(xué)原胞的體積是物理學(xué)原胞的2倍。原因是結(jié)晶學(xué)原胞中含有兩個(gè)原子，而物理倍。原因是結(jié)晶學(xué)原胞中含有兩個(gè)原子，而物理學(xué)原胞中含有一個(gè)原子。學(xué)原胞中含有一個(gè)原子。R=l1a1+l2a2+l2a3R=2a1+a2+a3R物理物理=a2+a3R結(jié)晶結(jié)晶=(1/2)a+ (1/2) a+a= (1/2)(a+a+2a)3. 面心立方面心立方a1a2a34. 六角密堆六角密堆固體物理學(xué)的原胞基矢與結(jié)固體物理學(xué)的原胞基矢與結(jié)晶學(xué)原胞基矢的關(guān)系：晶學(xué)原胞基矢的關(guān)系： a1=(j+k)a2 a2=(k+i)a2 a3=(i+j)a2體積

19、關(guān)系：體積關(guān)系：結(jié)晶學(xué)原胞的體積是物理學(xué)原胞的結(jié)晶學(xué)原胞的體積是物理學(xué)原胞的4倍。倍。原因是結(jié)晶學(xué)原胞中含有原因是結(jié)晶學(xué)原胞中含有4個(gè)原子，而物理學(xué)原胞中個(gè)原子，而物理學(xué)原胞中含有一個(gè)原子。含有一個(gè)原子。1.1.2 密密 勒勒 指指 數(shù)數(shù)一、晶列一、晶列 1. 晶列晶列通過任意兩個(gè)格點(diǎn)連一直線，則這一直線包含無限通過任意兩個(gè)格點(diǎn)連一直線，則這一直線包含無限個(gè)相同格點(diǎn)，這樣的直線稱為晶列，也是晶體外表個(gè)相同格點(diǎn)，這樣的直線稱為晶列，也是晶體外表上所見的晶棱。其上的格點(diǎn)分布具有一定的周期上所見的晶棱。其上的格點(diǎn)分布具有一定的周期-任意兩相鄰格點(diǎn)的間距。任意兩相鄰格點(diǎn)的間距。 1. 晶列的特點(diǎn)晶列的

20、特點(diǎn) （1）一族平行晶列把所有點(diǎn)）一族平行晶列把所有點(diǎn) 包括無遺。包括無遺。 （2）在一平面中，同族的相鄰晶列之間的距離相等。）在一平面中，同族的相鄰晶列之間的距離相等。 （3）通過一格點(diǎn)可以有無限）通過一格點(diǎn)可以有無限 多個(gè)晶列，其中每一晶列都有一多個(gè)晶列，其中每一晶列都有一族平行的晶列與之對(duì)應(yīng)。族平行的晶列與之對(duì)應(yīng)。 （4 ）有無限多族平行晶列。）有無限多族平行晶列。 - 。 。 。 。 。 。 。 。 。 晶面的特點(diǎn)：晶面的特點(diǎn)：（1）通過任一格點(diǎn)，可以作全同的晶面與一晶面平行，構(gòu)成）通過任一格點(diǎn)，可以作全同的晶面與一晶面平行，構(gòu)成一族平行晶面一族平行晶面.（2）所有的格點(diǎn)都在一族平行的

21、晶面上而無遺漏；）所有的格點(diǎn)都在一族平行的晶面上而無遺漏；（3）一族晶面平行且等距，各晶面上格點(diǎn)分布情況相同；）一族晶面平行且等距，各晶面上格點(diǎn)分布情況相同；（4）晶格中有無限多族的平行晶面。）晶格中有無限多族的平行晶面。二、晶面二、晶面三、晶向三、晶向 一族晶列的特點(diǎn)是晶列的取向，該取向?yàn)榫颍灰蛔寰Я械奶攸c(diǎn)是晶列的取向，該取向?yàn)榫颍?同樣一族晶面的特點(diǎn)也由取向決定，因此無論對(duì)于晶同樣一族晶面的特點(diǎn)也由取向決定，因此無論對(duì)于晶列或晶面，只需標(biāo)志其取向。列或晶面，只需標(biāo)志其取向。 注：為明確起見，下面仍只討論物理學(xué)的不喇菲格子。注：為明確起見，下面仍只討論物理學(xué)的不喇菲格子。任一格點(diǎn)任一格點(diǎn)

22、 A的位矢的位矢Rl為為 Rl =l1a1+l2a2+l3a3式中式中l(wèi)1、l2、l3是整數(shù)。若互質(zhì)，直接用他們來表征晶列是整數(shù)。若互質(zhì)，直接用他們來表征晶列OA的方的方向（晶向），這三個(gè)互質(zhì)整數(shù)為晶列的指數(shù)，記以向（晶向），這三個(gè)互質(zhì)整數(shù)為晶列的指數(shù)，記以 l1，l2，l3同樣，在結(jié)晶學(xué)上，原胞不是最小的重復(fù)單元，而原胞的體積是同樣，在結(jié)晶學(xué)上，原胞不是最小的重復(fù)單元，而原胞的體積是最小重復(fù)簡(jiǎn)單整數(shù)倍，以任一格點(diǎn)最小重復(fù)簡(jiǎn)單整數(shù)倍，以任一格點(diǎn)o為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，a、b、c為基矢，任為基矢，任何其他格點(diǎn)何其他格點(diǎn)A的位矢為的位矢為 k ma+knb+kpc其中其中m、n、p為三個(gè)互質(zhì)整數(shù)，于是用

23、為三個(gè)互質(zhì)整數(shù)，于是用m、n、p來表示晶列來表示晶列OA的方向，記以的方向，記以nmp。1 . 晶列指數(shù)晶列指數(shù) （晶列方向的表示方法）（晶列方向的表示方法）ORlAa1a2a3表示晶面的方法，即方位：表示晶面的方法，即方位： 在一個(gè)坐標(biāo)系中用該平在一個(gè)坐標(biāo)系中用該平面的法線方向的余弦；或表示出這平面在座標(biāo)軸上的面的法線方向的余弦；或表示出這平面在座標(biāo)軸上的截距。截距。a1a2a3設(shè)這一族晶面的面間距為設(shè)這一族晶面的面間距為d，它，它的法線方向的單位矢量為的法線方向的單位矢量為n，則這族晶面中，離開原點(diǎn)的距離則這族晶面中，離開原點(diǎn)的距離等于等于 d的晶面的方程式為：的晶面的方程式為： R n=

24、 d為整數(shù)；為整數(shù)；R是晶面上的任意點(diǎn)的是晶面上的任意點(diǎn)的位矢。位矢。R2. 密勒指數(shù)（密勒指數(shù)（ 晶面方向的表示方法）晶面方向的表示方法）設(shè)此晶面與三個(gè)座標(biāo)軸的交點(diǎn)的位矢分別為設(shè)此晶面與三個(gè)座標(biāo)軸的交點(diǎn)的位矢分別為ra1 、sa2、ta3,代入上式，則有代入上式，則有 ra1cos(a1,n)= d sa2cos(a2,n)= d ta3cos(a3,n)= da1 、 a2、a3取單位長(zhǎng)度，則得取單位長(zhǎng)度，則得cos(a1,n)： cos(a2,n) ：cos(a3,n)=1r：1s：1t結(jié)論：晶面的法線方向結(jié)論：晶面的法線方向n與三個(gè)坐標(biāo)軸（基矢）的夾角與三個(gè)坐標(biāo)軸（基矢）的夾角的余弦之

25、比等于晶面在三個(gè)軸上的截距的倒數(shù)之比。的余弦之比等于晶面在三個(gè)軸上的截距的倒數(shù)之比。 已知一族晶面必包含所有的格點(diǎn)已知一族晶面必包含所有的格點(diǎn) ，因此在三個(gè)基矢，因此在三個(gè)基矢末端的格點(diǎn)必分別落在該族的不同的晶面上。末端的格點(diǎn)必分別落在該族的不同的晶面上。設(shè)設(shè)a1 、 a2、a3的末端上的格點(diǎn)分別在離原點(diǎn)的距離為的末端上的格點(diǎn)分別在離原點(diǎn)的距離為h1d、h2d、h3d的晶面上，其中的晶面上，其中h1、h2、h3都是整數(shù)，都是整數(shù)，三個(gè)晶面分別有三個(gè)晶面分別有 a1n=h1d , a2n=h2d , a3n=h3dn是這一族晶面公共法線的單位矢量，于是是這一族晶面公共法線的單位矢量，于是 a1c

26、os(a1,n)=h1d a2cos(a2,n)=h2d a3cos(a3,n)=h3d證明截距的倒數(shù)之比為證明截距的倒數(shù)之比為整數(shù)之比整數(shù)之比cos(a1,n)： cos(a2,n) ：cos(a3,n)=h1：h2：h3結(jié)論：結(jié)論： 晶面族的法線與三個(gè)基矢的夾角的余弦之比等晶面族的法線與三個(gè)基矢的夾角的余弦之比等于三個(gè)整數(shù)之比。于三個(gè)整數(shù)之比?？梢宰C明可以證明 ：h1、h2、h3三個(gè)數(shù)互質(zhì)，稱它們?yōu)樵摼孀迦齻€(gè)數(shù)互質(zhì)，稱它們?yōu)樵摼孀宓拿嬷笖?shù)，記以（的面指數(shù)，記以（ h1h2h3）。）。即把晶面在座標(biāo)軸上的截距的倒數(shù)的比簡(jiǎn)約為互質(zhì)的整即把晶面在座標(biāo)軸上的截距的倒數(shù)的比簡(jiǎn)約為互質(zhì)的整數(shù)比，所

27、得的互質(zhì)整數(shù)就是面指數(shù)。數(shù)比，所得的互質(zhì)整數(shù)就是面指數(shù)。幾何意義幾何意義：在基矢的兩端各有一個(gè)晶面通過，且這兩個(gè)在基矢的兩端各有一個(gè)晶面通過，且這兩個(gè)晶面為同族晶面，在二者之間存在晶面為同族晶面，在二者之間存在hn個(gè)晶面，所以最靠個(gè)晶面，所以最靠近原點(diǎn)的晶面（近原點(diǎn)的晶面（ =1）在坐標(biāo)軸上的截距為在坐標(biāo)軸上的截距為a1/h1、a2/h2、a3/h3,同族的其他晶面的截距為這組截距的整數(shù)倍。同族的其他晶面的截距為這組截距的整數(shù)倍。實(shí)際工作中，常以結(jié)晶學(xué)原胞的基矢實(shí)際工作中，常以結(jié)晶學(xué)原胞的基矢a、b、c為坐標(biāo)為坐標(biāo)軸來表示面指數(shù)。在這樣的坐標(biāo)系中，標(biāo)征晶面取向軸來表示面指數(shù)。在這樣的坐標(biāo)系中，

28、標(biāo)征晶面取向的互質(zhì)整數(shù)稱為晶面族的密勒指數(shù)，用的互質(zhì)整數(shù)稱為晶面族的密勒指數(shù)，用(hkl)表示。表示。例如：例如：有一有一ABC面，截距為面，截距為4a、b、c, 截距的倒數(shù)為截距的倒數(shù)為1/4、1、1，它的密勒指數(shù)為（，它的密勒指數(shù)為（1，4，4）。）。另有一晶面，截距為另有一晶面，截距為2a、4b、 c, 截距的倒數(shù)為截距的倒數(shù)為1/2、1/4、0，它的密勒指數(shù)為（，它的密勒指數(shù)為（2、1、0）。）。簡(jiǎn)單晶面指數(shù)的特點(diǎn)：簡(jiǎn)單晶面指數(shù)的特點(diǎn)： 晶軸本身的晶列指數(shù)特別簡(jiǎn)單，為晶軸本身的晶列指數(shù)特別簡(jiǎn)單，為100、010、001； 晶體中重要的帶軸的指數(shù)都是簡(jiǎn)單的；晶體中重要的帶軸的指數(shù)都是簡(jiǎn)單

29、的； 晶面指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面如晶面指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面如（110）、（）、（111）是重）是重要的晶面；要的晶面； 晶面指數(shù)越簡(jiǎn)單的晶面，面間距晶面指數(shù)越簡(jiǎn)單的晶面，面間距d就越大，格就越大，格點(diǎn)的面密度大，易于解理；點(diǎn)的面密度大，易于解理； 格點(diǎn)的面密度大，表面能小，在晶體生長(zhǎng)過程格點(diǎn)的面密度大，表面能小，在晶體生長(zhǎng)過程中易于顯露在外表；對(duì)中易于顯露在外表；對(duì)X射線的散射強(qiáng)，在射線的散射強(qiáng)，在X射線射線衍射中，往往為照片中的濃黑斑點(diǎn)所對(duì)應(yīng)。衍射中，往往為照片中的濃黑斑點(diǎn)所對(duì)應(yīng)。1.1.3 倒倒 格格 子子條件：條件：X射線源、觀測(cè)點(diǎn)與晶體的距離都比晶體的線度大的射線源、觀測(cè)點(diǎn)與晶體的距離都比晶體的線度

30、大的多，入射線和衍射線可看成平行光線；多，入射線和衍射線可看成平行光線；散射前后的波長(zhǎng)不變散射前后的波長(zhǎng)不變,且為單色。且為單色。 一、從一、從X射線衍射方程射線衍射方程 反射公式引出倒反射公式引出倒 格矢概念格矢概念CO= -Rl S0 OD= Rl S衍射加強(qiáng)條件：衍射加強(qiáng)條件： Rl （ SS0 ）=有有：ko=(2 / ) S0 k=(2 / ) S得得：Rl （ kk0 ）= 2 設(shè)設(shè)： kk0 =n Khkk0 =n Kh的物理意義：當(dāng)入射波矢和衍射波矢相差一個(gè)或幾個(gè)的物理意義：當(dāng)入射波矢和衍射波矢相差一個(gè)或幾個(gè)Kh（倒格矢）時(shí)，滿足衍射加強(qiáng)條件，（倒格矢）時(shí)，滿足衍射加強(qiáng)條件，

31、n為衍射級(jí)數(shù)。為衍射級(jí)數(shù)。1. 衍射方程衍射方程CRlD衍射線單位基矢衍射線單位基矢S OA入射線單位基矢入射線單位基矢S0晶面晶面2. 反射公式反射公式 |kk0 |= 2 |S/ - S0 / | =( 4/ ) sin |kk0 | = | n Kh |= 2n/dh1h2h3 | Kh |= 2/dh1h2h3PA TAP QQ Sd入射線與反射線之間的光程差：入射線與反射線之間的光程差： =SA +A T=2d sin 滿足衍射方程：滿足衍射方程：2dh1h2h3 sin =n kk0kk0設(shè)一晶格的基矢為設(shè)一晶格的基矢為 a1 、 a2、a3，有如下的關(guān)系：有如下的關(guān)系： b1=

32、2 (a2 a3) 說明說明b1垂直于垂直于a2和和a3所確定的面；所確定的面； b2= 2 (a3 a1) 說明說明b2垂直于垂直于a3和和a1所確定的面所確定的面 b3= 2 (a1 a2 說明說明b3垂直于垂直于a1和和a2所確定的面所確定的面 式中：式中： = a1 ( a2 a3)為晶格原胞的體積。為晶格原胞的體積。二、倒格子的概念二、倒格子的概念1. 倒格子的數(shù)學(xué)定義倒格子的數(shù)學(xué)定義倒格子倒格子：以以b1、b2、b3為基矢的格子是以為基矢的格子是以a1、a2、a3為基矢的格子的倒格子。為基矢的格子的倒格子。（1） 正格子基矢和倒格子基矢的關(guān)系正格子基矢和倒格子基矢的關(guān)系2. 正格子

33、與倒格子的幾何關(guān)系正格子與倒格子的幾何關(guān)系 =2 (i=j) aibj=2i j =0 (i j)證明如下證明如下： a1b1=2 a1 ( a2 a3) / a1 ( a2 a3) = 2 因?yàn)榈垢褡踊概c不同下腳標(biāo)的正格子基矢垂直，有因?yàn)榈垢褡踊概c不同下腳標(biāo)的正格子基矢垂直，有： a2b1=0 a3b1=0 （2）除（）除（2 ）3因子外，正格子原胞體積因子外，正格子原胞體積 和倒和倒格子原胞體積格子原胞體積 *互為倒數(shù)互為倒數(shù)。 *=b1 ( b2 b3) = (2 ）3/ 表示正格點(diǎn)表示正格點(diǎn) 表示倒格點(diǎn)表示倒格點(diǎn)ABC為為一族晶面（一族晶面（h1h2h3）中的最）中的最靠近原點(diǎn)的晶

34、面，與靠近原點(diǎn)的晶面，與 k h垂直垂直a1a2a3BCAk ha1/h1a3/h3a2/h2（3）正格子中一族晶面）正格子中一族晶面（h1h2h3）和倒格矢和倒格矢 k h=h1b1+h2b2+h3b3 正交，正交，即即晶面的彌勒指數(shù)是垂直于該晶面的最短倒格矢坐標(biāo)晶面的彌勒指數(shù)是垂直于該晶面的最短倒格矢坐標(biāo).由（由（3）、（）、（4）可知，一個(gè)倒格矢代表正格子中的一族）可知，一個(gè)倒格矢代表正格子中的一族平行晶面平行晶面 。 晶面族（晶面族（h1h2h3）中離原點(diǎn)的距離為）中離原點(diǎn)的距離為 d h1h2h3的晶面的的晶面的方程式可寫成：方程式可寫成： R l kh/|kh|= d h1h2h3

35、 ( =0,1,2,)得出正格矢和倒格矢的關(guān)系：得出正格矢和倒格矢的關(guān)系： R l kh= 2 結(jié)論：如果兩矢量的關(guān)系：結(jié)論：如果兩矢量的關(guān)系：R l kh= 2，則其中一個(gè)，則其中一個(gè)為正格子，另一個(gè)必為倒格子；即正格矢和倒格矢恒滿為正格子，另一個(gè)必為倒格子；即正格矢和倒格矢恒滿足正格矢和倒格矢的關(guān)系。足正格矢和倒格矢的關(guān)系。（4）倒格矢的長(zhǎng)度正比于晶面族）倒格矢的長(zhǎng)度正比于晶面族（h1h2h3）的面間）的面間距的倒數(shù)。距的倒數(shù)。dh1h2h3=a1/h1kh/|kh|=a1(h1b1+h2b2+h3b3)/h1|kh|=2 /|kh|結(jié)論結(jié)論： 倒格矢倒格矢Kh垂直某一晶面（垂直某一晶面（

36、 h1h2h3 ），也即該），也即該晶面的法線方向與此倒格矢方向一致。晶面的法線方向與此倒格矢方向一致。 倒格矢倒格矢Kh的大小與和其垂直的晶面間距成正的大小與和其垂直的晶面間距成正比。比。 一個(gè)倒格矢對(duì)應(yīng)一族晶面，但一族晶面可以一個(gè)倒格矢對(duì)應(yīng)一族晶面，但一族晶面可以對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)倒格矢，這些倒格矢的方向一致，對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)倒格矢，這些倒格矢的方向一致，大小為最小倒格矢的整數(shù)倍。大小為最小倒格矢的整數(shù)倍。 滿足滿足X射線衍射的一族晶面產(chǎn)生一個(gè)斑點(diǎn)，射線衍射的一族晶面產(chǎn)生一個(gè)斑點(diǎn)，該斑點(diǎn)代表一個(gè)倒格點(diǎn)，即該倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)一該斑點(diǎn)代表一個(gè)倒格點(diǎn)，即該倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)一族晶面指數(shù)。族晶面指數(shù)。kk0 =n Kh的物理

37、意義：的物理意義：當(dāng)入射波矢和衍射波矢相差一個(gè)或幾個(gè)倒格矢當(dāng)入射波矢和衍射波矢相差一個(gè)或幾個(gè)倒格矢Kh時(shí)，時(shí)，則該族晶面則該族晶面（h1h2h3） 滿足衍射加強(qiáng)條件，滿足衍射加強(qiáng)條件， n為衍射為衍射級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)。從從2dh1h2h3 sin =n 中可知：中可知：對(duì)于某一個(gè)確定的晶面族，要滿足衍射加強(qiáng)條件，對(duì)于某一個(gè)確定的晶面族，要滿足衍射加強(qiáng)條件，可以改變?nèi)肷洳ㄊ傅姆较颍纯梢愿淖內(nèi)肷洳ㄊ傅姆较?，即改變改?，或改變?nèi)肷洳ɑ蚋淖內(nèi)肷洳ㄊ傅拇笮。傅拇笮?，即即改變改?。 b1 a1 =2 b2 a2=2 a2a1b1b2Kl|Kl|=(3b1)2+4b2)21/2 =(3 2 / a1)2+

38、4 2 /a2)21/2面間距：面間距：d= 2 / |Kl|=(6/ a1)2+ (8/a2)21/2RlOAB Rl=l1a1+l2a2+l3a3 Kl=l1b1+l2b2+l3b3 Rl=5a1+2a2 Kl=3b1+4b2證明：證明：3b1+4b2 (3 4) 有：有：AB=OA-OB=a1/3 - a2/4AB (3b1+4b2 )=(a1/3 - a2/4) (3b1+4b2 )= a1 b1 - a2 b2 a1 b1 =0例例如如利用倒易點(diǎn)陣（倒格子）與正格子間的關(guān)系導(dǎo)出晶利用倒易點(diǎn)陣（倒格子）與正格子間的關(guān)系導(dǎo)出晶面間距和晶面夾角。面間距和晶面夾角。 晶面間距晶面間距dh1h

39、2h3 ：dh1h2h3=2 / |kh1h2h3| 兩邊開平方，兩邊開平方， 將將kh1h2h3 =h1b1+h2b2+h3b3及正倒格子及正倒格子的基矢關(guān)系代入，經(jīng)過數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到面間距公式。的基矢關(guān)系代入，經(jīng)過數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到面間距公式。晶面夾角晶面夾角 ： k1 k2 = k1 k2 COS 100200300001002003101201301103202203(100)(001)(102)O倒格子與正格子間的相互轉(zhuǎn)化倒格子與正格子間的相互轉(zhuǎn)化1020 b1b2 一維格子一維格子倒格子原胞倒格子原胞：作由原點(diǎn)出發(fā)的諸倒格矢作由原點(diǎn)出發(fā)的諸倒格矢的垂直平分面，這些平面的垂直平分面，這些平

40、面完全封閉形成的最小的多完全封閉形成的最小的多面體（體積最小）面體（體積最?。?第第一布里淵區(qū)一布里淵區(qū)。b1b20二維格子二維格子3 . 倒格子原胞和布里淵區(qū)倒格子原胞和布里淵區(qū)ab 構(gòu)成第一布里淵區(qū)構(gòu)成第一布里淵區(qū)（簡(jiǎn)約布里淵區(qū)）的（簡(jiǎn)約布里淵區(qū)）的垂直平分線的方程式垂直平分線的方程式如下：如下： x= /a 及及 y= /a 第二布里淵區(qū)的各第二布里淵區(qū)的各個(gè)部分分別平移一個(gè)個(gè)部分分別平移一個(gè)倒格矢，可以同第一倒格矢，可以同第一區(qū)重合。第三布里淵區(qū)重合。第三布里淵區(qū)的各個(gè)部分分別平區(qū)的各個(gè)部分分別平移適當(dāng)?shù)牡垢袷敢材芤七m當(dāng)?shù)牡垢袷敢材芡谝粎^(qū)重合。同第一區(qū)重合。 (2 /a) i-(2

41、/a) i(2 /a) j-(2 /a) j4 . X射線衍射與倒格子、布里淵區(qū)的關(guān)系射線衍射與倒格子、布里淵區(qū)的關(guān)系（1） X射線衍射射線衍射與倒格子的關(guān)系與倒格子的關(guān)系根據(jù)公式：根據(jù)公式： kk0 =n Kh , 建立反射球或衍射球建立反射球或衍射球入射線的波矢入射線的波矢k0 反射線的波矢反射線的波矢k倒格矢倒格矢KhOCA晶面晶面反射球反射球R l kh/|kh|= d h1h2h3Rl .( kk0 ）= 2 dh1h2h3=2 / |kh1h2h3|（h1h2h3）（h1 h2 h3 ）建立反射球的意義建立反射球的意義 通過所建立的反射球，把晶格的衍射條件和通過所建立的反射球，把晶

42、格的衍射條件和衍射照片上的斑點(diǎn)直接聯(lián)系起來。衍射照片上的斑點(diǎn)直接聯(lián)系起來。 利用反射球求出某一晶面族發(fā)生衍射的方向利用反射球求出某一晶面族發(fā)生衍射的方向 （若反射球上的（若反射球上的A點(diǎn)是一個(gè)倒格點(diǎn)，則點(diǎn)是一個(gè)倒格點(diǎn)，則CA就是以就是以O(shè)A為倒格矢的一族晶面為倒格矢的一族晶面h1h2h3的衍射方向的衍射方向S）。）。OC倒格矢球面與反射球倒格矢球面與反射球相交于一圓相交于一圓同一晶面由于晶體的旋轉(zhuǎn)引同一晶面由于晶體的旋轉(zhuǎn)引起該晶面倒格矢的旋轉(zhuǎn)從而起該晶面倒格矢的旋轉(zhuǎn)從而形成倒格矢球面。形成倒格矢球面。結(jié)論：結(jié)論：所有落在此球上的倒格點(diǎn)都滿足所有落在此球上的倒格點(diǎn)都滿足關(guān)系式關(guān)系式: kk0 =n Kh即滿足衍射加強(qiáng)條件。即滿足衍射加強(qiáng)條件。衍射線束的方向是衍射線束的方向是C點(diǎn)至點(diǎn)至A點(diǎn)的聯(lián)線方向。點(diǎn)的聯(lián)線方向。 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 二維正方格子的布里淵區(qū)二維正方格子的布里淵區(qū) (2 /a) i-(2 /a) i(2 /a) j-(2 /a) j（2） X射線衍射與布里淵區(qū)的關(guān)系射線衍射與布里淵區(qū)的關(guān)系結(jié)論：結(jié)論： 入射波矢從倒入射波矢從倒格子原點(diǎn)出發(fā)格子原點(diǎn)出發(fā)終止在布里淵終止在布里淵區(qū)邊界，該對(duì)區(qū)邊界，該對(duì)應(yīng)的入射波滿應(yīng)的入射波滿足衍射條件足衍射條件k