材料力學-第9章能量法

1、材料力學材料力學FP材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法引言引言ACBFP 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法引言引言FPACB材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法引言引言應(yīng)用更廣泛的能量方法，可以確定應(yīng)用更廣泛的能量方法，可以確定: :FPACB1. 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念2. 功的互等定理功的互等定理3. 虛功原理虛功原理4. 卡氏定理卡氏定理5. 單位載荷法單位載荷法6. 圖乘法圖乘法材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法具體方法具體方法基本概念基本概念材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法 計算外力功的基本公式計算外力功的基本

2、公式 能量法的基礎(chǔ)能量法的基礎(chǔ) 桿件的彈性應(yīng)變能桿件的彈性應(yīng)變能 常力功和變力功常力功和變力功 應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念作功過程中，力的大小隨位移而改變，其功為作功過程中，力的大小隨位移而改變，其功為變力功變力功。對于材料滿足胡克定律、在小變形條件下工作的彈性桿件，對于材料滿足胡克定律、在小變形條件下工作的彈性桿件，作用在桿件上的力與位移成作用在桿件上的力與位移成線性關(guān)系線性關(guān)系。FOF0 這時，力所作的這時，力所作的變力功

3、變力功為為 12WF12WF材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念常力功與變力功常力功與變力功FO上述功的表達式中，力和位移都是廣義的。上述功的表達式中，力和位移都是廣義的。F可以是力或力可以是力或力偶，偶，可以是線位移或角位移，但兩者必須對應(yīng)?？梢允蔷€位移或角位移，但兩者必須對應(yīng)。FWFF材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念常力功與變力功常力功與變力功作功過程中，力的大小作功過程中，力的大小不不隨位移而改變，其功為隨位移而改變，其功為常力功常力功。FMT材料力學第材料力學第9章章 能量法能量

4、法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念應(yīng)變能密度應(yīng)變能密度3211231 122331()2v 體積改變能密度體積改變能密度21231 2()6VvE形狀改變能（畸變能）密度形狀改變能（畸變能）密度2221223311()()()6dvE 桿件的彈性應(yīng)變能桿件的彈性應(yīng)變能材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念 桿件在外力作用下發(fā)生彈性變形時，外力功轉(zhuǎn)變桿件在外力作用下發(fā)生彈性變形時，外力功轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N能量，儲存于桿件內(nèi)，從而使彈性桿件具有對為一種能量，儲存于桿件內(nèi)，從而使彈性桿件具有對外作功的能力，這種能量稱為彈性應(yīng)變能，簡稱應(yīng)變外作

5、功的能力，這種能量稱為彈性應(yīng)變能，簡稱應(yīng)變能能(elastic energy). 考察微段桿件的受力和變形，應(yīng)用彈性范圍內(nèi)力考察微段桿件的受力和變形，應(yīng)用彈性范圍內(nèi)力和變形之間的線性關(guān)系，可以得到微段應(yīng)變能表達式，和變形之間的線性關(guān)系，可以得到微段應(yīng)變能表達式，然后通過積分即可得到計算桿件應(yīng)變能的公式。然后通過積分即可得到計算桿件應(yīng)變能的公式。 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念 軸向拉壓軸向拉壓dx+ddxFNFNN1d2VF dNNNN000011112222llllNFVF dFdxFdxFdxEEA拉伸和壓縮桿件的應(yīng)變能為拉伸和壓縮

6、桿件的應(yīng)變能為 22N22lNFxF lVdxEAEA0，微段的應(yīng)變能為，微段的應(yīng)變能為 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念222( )( )( )222NPlllFxTxMxVdxdxdxEAGIEI如果荷載在長度方向上恒定：如果荷載在長度方向上恒定：材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念 疊加原理的應(yīng)用限制疊加原理

7、的應(yīng)用限制 OOO材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念OOO材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念MMABABAB312VVV312VVV1V2V3V材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念思考題思考題?FABllCABllCABllCFMM312VVV312VVV1V2V3V材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念思考題思考題?圖示簡支梁，在橫截面圖示簡支梁，在橫截面C處承受載荷處承受載荷F 的作

8、用。計算梁的應(yīng)變能與的作用。計算梁的應(yīng)變能與截面截面C的撓度。設(shè)彎曲剛度的撓度。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。為常數(shù)。FabFAyFByABC材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變能的基本概念FabFAyFByABCACAC段和段和CBCB段的彎矩方程分別為：段的彎矩方程分別為：1()FbM xxl2()()FaM xlxl梁的應(yīng)變能為：梁的應(yīng)變能為：22112202222201()()21()26alaalaVMx dxMx dxEIFbFaF a bxdxlxdxEIllEIl解：解：材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-1 功與應(yīng)變能的基本概念功與應(yīng)變

9、能的基本概念22226CFF a bVEIl撓度計算：撓度計算： 根據(jù)能量守恒根據(jù)能量守恒223CFa bEIl 所以：所以：材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法OOO材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-2 互等定理互等定理12 12V21221F F 位移互等定理位移互等定理 功的互等定理功的互等定理 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-2 互等定理互等定理F11121力系力系1F21222力系力系2第一個下標表示發(fā)生位移的位置，第二個下標表示引起位移的載荷。第一個下標表示發(fā)生位移的位置，第二個下標表示引起位移的載荷。功的互等定理：功的互等定理：第一個力系在第二個力系引起

10、的相應(yīng)位移上作的功等于第二個第一個力系在第二個力系引起的相應(yīng)位移上作的功等于第二個力系在第一個力系引起的相應(yīng)位移上所作的功。力系在第一個力系引起的相應(yīng)位移上所作的功。112221FF材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-2 互等定理互等定理F1F2先加先加F1， 再加再加F2功的互等定理的證明功的互等定理的證明1112221112F 1W 2222F 112F材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-2 互等定理互等定理F1F2先加先加F2， 再加再加F12211212222F 2W 1112F 221F外力作功與荷載加載次序無關(guān)外力作功與荷載加載次序無關(guān)=112221FFFP1FP2

11、FPmFS1FS2FSn SP1 SP2 SPn材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-2 互等定理互等定理功的互等定理不僅存在于兩個外力之間，而且存在于兩功的互等定理不僅存在于兩個外力之間，而且存在于兩組外力之間。組外力之間。 PS1 PS2 PSn材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-2 互等定理互等定理F1F2112221FF在功的互等定理中，如果 ，則有12FF1221 位移互等定理：位移互等定理：當當F1與與 F2的數(shù)值相等時，的數(shù)值相等時，F(xiàn)2在點在點1沿沿F1方向引起的位移方向引起的位移 ，等于等于F1 1在點在點2 2沿沿F2方向引起的位移方向引起的位移 。1221材

12、料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-2 互等定理互等定理? = ?材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-2 互等定理互等定理根據(jù)功的互等定理和位移互等定理對下列結(jié)構(gòu)完成等式? = ?材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-2 互等定理互等定理根據(jù)功的互等定理和位移互等定理對下列結(jié)構(gòu)完成等式? = ?材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-2 互等定理互等定理根據(jù)功的互等定理和位移互等定理對下列結(jié)構(gòu)完成等式圖示靜不定梁，承受彎矩作用。利用功的互等圖示靜不定梁，承受彎矩作用。利用功的互等定理確定定理確定B端的支反力。設(shè)彎曲剛度端的支反力。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。為常數(shù)。lBAMe

13、材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-2 互等定理互等定理將力偶將力偶Me和支反力和支反力FR作為一組力，作為一組力，另外施加力另外施加力F作為第二組力作為第二組力BAMe解：解：將支座將支座B B解除，代以支反力解除，代以支反力FR R 。MeFRFwBB由力由力F引起的位移為：引起的位移為：33BFlwEI22BFlEI材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-2 互等定理互等定理根據(jù)功的互等定理：根據(jù)功的互等定理：RBeBF wM0F 233322eBReeBMFlEIFMMwEI Fll材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-3 虛功

14、原理、內(nèi)力虛功虛功原理、內(nèi)力虛功理論力學里的虛功原理：理論力學里的虛功原理：FAFB0AABBFFAB0AABBFrFr系統(tǒng)平衡時，力在虛位移上所作的虛功和為零* * 若虛功和不為零，則外力對系統(tǒng)作功，提供動能，系統(tǒng)失去平衡若虛功和不為零，則外力對系統(tǒng)作功，提供動能，系統(tǒng)失去平衡材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-3 虛功原理、內(nèi)力虛功虛功原理、內(nèi)力虛功材料力學里的虛功原理：材料力學里的虛功原理：變形體受力處于平衡狀態(tài)時，外力在虛位移上所作的功（外力虛功）等于內(nèi)力在虛變形上作的功（內(nèi)力虛功）* * 若外力虛功不等于內(nèi)力虛功，則外力作功未完全轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)若外力虛功不等于內(nèi)力虛功，則外力作功

15、未完全轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)應(yīng)變能，受力不平衡應(yīng)變能，受力不平衡q外力q在虛位移 上作功應(yīng)力 在虛應(yīng)變 上作用 = 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-3 虛功原理、內(nèi)力虛功虛功原理、內(nèi)力虛功各基本變形的各基本變形的內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 軸向拉壓軸向拉壓FNFNF內(nèi)力虛功：NFNNNiNNF dxF FdWFd xFdxEAEA dxdxNFNFFNF材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-3 虛功原理、內(nèi)力虛功虛功原理、內(nèi)力虛功各基本變形的各基本變形的內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)內(nèi)力虛功：ippTdxTTdWT dTdxGIGIdxTTTTd材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-3

16、虛功原理、內(nèi)力虛功虛功原理、內(nèi)力虛功各基本變形的各基本變形的內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 彎曲變形彎曲變形內(nèi)力虛功：iMdxM MdWM dTdxEIEI材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法確定結(jié)構(gòu)上任意點、沿任意方向位移的確定結(jié)構(gòu)上任意點、沿任意方向位移的單位載荷法單位載荷法。這種方。這種方法又稱為單位力法或莫爾積分法法又稱為單位力法或莫爾積分法( ), ( ), T(x)NFxM x實際載荷對應(yīng)內(nèi)力實際載荷對應(yīng)內(nèi)力單位載荷對應(yīng)內(nèi)力單位載荷對應(yīng)內(nèi)力qFT( ), ( ), T(x)NFxM x01F ( )( )( )( )( ) ( )NNlllpFx FxM x M xT x T xdxdxdx

17、EAEIGI 結(jié)構(gòu)上任意點、沿任意方向的位移：結(jié)構(gòu)上任意點、沿任意方向的位移：材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法） 單位載荷法的簡單證明（一）單位載荷法的簡單證明（一）材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）AA1 , , NFMT , , NFMT外力虛功：內(nèi)力虛功：1 ( )( )( )( )( ) ( )NNlllpFx FxM x M xT x T xdxdxdxEAEIGI= 單位載荷法的簡單證明（二）單位載荷法的簡單證明（二）F1FiFn( )M x實際載荷對應(yīng)彎矩實際載荷對

18、應(yīng)彎矩01F 單位力單位力單位載荷對應(yīng)彎矩單位載荷對應(yīng)彎矩( )M x( )( )lM x M xdxEI 結(jié)構(gòu)上任意點、沿任意方向的位移：結(jié)構(gòu)上任意點、沿任意方向的位移：01F 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法） 單位載荷法證明的基礎(chǔ)單位載荷法證明的基礎(chǔ)F1FiFn01F 12,nF FF12,nF FFF1FiFn01F F1FiFn載荷載荷 作功：作功：21212( )(,)(,)2nnlMxW F FFV F FFdxEI12,nF FF材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）

19、 單位載荷法的簡單證明單位載荷法的簡單證明F1FiFn01F 12,nF FF 01F 和和外力作功：外力作功：211( )( )2lM xM xWVdxEI( )( ) xM xMM內(nèi)力彎矩為：內(nèi)力彎矩為：材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法） 單位載荷法的簡單證明單位載荷法的簡單證明F1FiFn01F 01F 2( )2lMxdxEI12,nF FF再加再加M 內(nèi)力彎矩為：內(nèi)力彎矩為：外力作功：外力作功：2W ( )M x( )M x2( )2lMxdxEI0F材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定

20、理（單位載荷法） 單位載荷法的簡單證明單位載荷法的簡單證明21( )( )2lM xM xWdxEI2( )2lMxdxEI2W 2( )2lMxdxEI0F考慮考慮01F( )( )lM x M xdxEI 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法） 半徑為半徑為R的四分之一圓弧形平的四分之一圓弧形平面曲桿，面曲桿，A端固定，端固定，B端承受鉛垂端承受鉛垂平面內(nèi)的載荷平面內(nèi)的載荷F的作用，如圖所示。的作用，如圖所示。曲桿彎曲剛度為曲桿彎曲剛度為EI。B點的垂直位移與水平位點的垂直位移與水平位移。移。 (不考慮軸向力和剪力的影響不考慮軸向力和剪

21、力的影響)材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）加什么單位力？加什么單位力？加在哪里？加在哪里？加在什么方向？加在什么方向？ 為求為求B點的垂直位移和水平位移，必須首先建立各自點的垂直位移和水平位移，必須首先建立各自的單位載荷系統(tǒng)，即在的單位載荷系統(tǒng)，即在B點分別施加點分別施加1單位的鉛垂力和水平單位的鉛垂力和水平力。力。 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）確定確定B點的鉛垂位移：點的鉛垂位移：sinMFR1sinMR 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載

22、荷法）莫爾定理（單位載荷法）確定確定B點的鉛垂位移：點的鉛垂位移：sinMFR1sinMR 22323003sin11sin222 4BySMMFRFRsEIEIEIFREIdd材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）確定確定B點的水平位移：點的水平位移：sinMFR1 (cos )MRR 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）確定確定B點的水平位移：點的水平位移：sinMFR1 (cos )MRR 222023301sinsin221cos2cos42BxSFRFRMMsRdEIEIFR

23、FR EIEId材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法） 圖示簡支梁，右半段受均布載荷圖示簡支梁，右半段受均布載荷q作用。用單位載荷法計算橫截作用。用單位載荷法計算橫截面面A的轉(zhuǎn)角。設(shè)彎曲剛度的轉(zhuǎn)角。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。為常數(shù)。AaaqBC材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）AaaBC1AaaqBC加什么單位力？加什么單位力？加在哪里？加在哪里？加在什么方向？加在什么方向？ 為求為求A點的轉(zhuǎn)角，必須首先建立點的轉(zhuǎn)角，必須首先建立單位載荷系統(tǒng)，即在單位載荷系統(tǒng)，即在A點施加點施加1單位的

24、單位的力偶。力偶。 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）AaaBC1AaaqBC實際載荷產(chǎn)生彎矩：實際載荷產(chǎn)生彎矩： /4qa3/ 4qa單位載荷產(chǎn)生彎矩：單位載荷產(chǎn)生彎矩： 1/(2 )a1/(2 )a11()4qaM xx22223()42qaqM xxx11()12xM xa22()2xM xa 1x2x材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）實際載荷對應(yīng)彎矩：實際載荷對應(yīng)彎矩： 單位載荷對應(yīng)彎矩：單位載荷對應(yīng)彎矩： 11()4qaM xx22223()42qaqM xxx11()

25、12xM xa22()2xM xa 211222120311124242axqaxxqaxqxdxdxEIaEIa1112220011( )( )()()aaAM x M x dxM x M x dxEIEI3748qaEI （負號說明轉(zhuǎn)角與假設(shè)力偶方向相反）（負號說明轉(zhuǎn)角與假設(shè)力偶方向相反）材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法） 圖示剛架，承受均布載圖示剛架，承受均布載荷荷q作用。用單位載荷法計作用。用單位載荷法計算橫截面算橫截面A的水平位移。設(shè)的水平位移。設(shè)彎曲剛度彎曲剛度EI為常數(shù)。為常數(shù)。AaaqBC材料力學第材料力學第9章章 能量

26、法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）加什么單位力？加什么單位力？加在哪里？加在哪里？加在什么方向？加在什么方向？AaaBCABC解：解：q1 為求為求A點的水平位移，必須首先建點的水平位移，必須首先建立單位載荷系統(tǒng)，即在立單位載荷系統(tǒng)，即在A點施加水平方向點施加水平方向上的單位力。上的單位力。 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）AaaBCABCq1實際載荷產(chǎn)生彎矩：實際載荷產(chǎn)生彎矩： 單位載荷產(chǎn)生彎矩：單位載荷產(chǎn)生彎矩： 約束支反力：約束支反力： qaqa/2qa/21111x2x1x2x11()2qaM xx2

27、222()2qM xqaxx111()1M xxx 222()1M xxx 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）AaaBCABCq1實際載荷產(chǎn)生彎矩：實際載荷產(chǎn)生彎矩： 單位載荷產(chǎn)生彎矩：單位載荷產(chǎn)生彎矩： qaqa/2qa/21111x2x1x2x11()2qaM xx2222()2qM xqaxx111()1M xxx 222()1M xxx 2111222200411()2238aaAqaqxx dxx qaxx dxEIEIqaEI （正號說明水平位移與假設(shè)單位力方向相同）（正號說明水平位移與假設(shè)單位力方向相同）材料力學第材料力學

28、第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法） 圖示桁架，在節(jié)點圖示桁架，在節(jié)點B承受載荷承受載荷F作用，試用單位載荷法計算桿作用，試用單位載荷法計算桿BC的轉(zhuǎn)角。設(shè)各桿拉壓剛度均為的轉(zhuǎn)角。設(shè)各桿拉壓剛度均為EA。ABCaDF45材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）ABCaDF45解：解：加什么單位力？加什么單位力？加在哪里？加在哪里？加在什么方向？加在什么方向？ABCaD451/a1/a 計算計算BC桿的轉(zhuǎn)角，需要施加單位力偶。桿的轉(zhuǎn)角，需要施加單位力偶。因為是二力桿，桿件只是剛性轉(zhuǎn)動，沒有因為是二力桿，桿件

29、只是剛性轉(zhuǎn)動，沒有撓曲變形。因此在桿件兩端節(jié)點施加一對撓曲變形。因此在桿件兩端節(jié)點施加一對大小相等，方向相反的集中力大小相等，方向相反的集中力 1/a ，形成，形成單位力偶。單位力偶。材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）ABCaD10NFF45解：解：ABCaD451/a1/a14321432實際載荷對應(yīng)的軸力：實際載荷對應(yīng)的軸力： 單位載荷單位載荷對應(yīng)的軸力對應(yīng)的軸力： 2NFF 3NFF 42NFF11NFa 20NF31NFa40NF材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）ABCa

30、D10NF31NFaF45ABCaD451/a1/a14321432實際載荷對應(yīng)的軸力：實際載荷對應(yīng)的軸力： 單位載荷單位載荷對應(yīng)的軸力對應(yīng)的軸力： 2NFF 3NFF 42NFF11NFa 20NF40NF41NiNi iBCiFF lEA331NNFaFF aFaEAEAEA （負號說明轉(zhuǎn)動方向與施加單位力偶方向相（負號說明轉(zhuǎn)動方向與施加單位力偶方向相反，即沿順時針方向轉(zhuǎn)動。）反，即沿順時針方向轉(zhuǎn)動。）材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-4 莫爾定理（單位載荷法）莫爾定理（單位載荷法）材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡

31、氏定理F1F2Fm12m 卡式定理：卡式定理：線性彈性體的應(yīng)變能對于某一載荷線性彈性體的應(yīng)變能對于某一載荷Fk的偏導數(shù)，的偏導數(shù)， 等于該載荷的相應(yīng)位移等于該載荷的相應(yīng)位移kF1F2Fm12m材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理F1F2Fn+dF1+dF2+dFn材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理F1FiFn+dFi材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理 F1FiFn+dFi材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理iddFi idFF1FnFi+dFi材料力學第材料力學第9章章 能量法能

32、量法9-5 卡氏定理卡氏定理材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理222( )( )( )222NPlllFxTxMxVdxdxdxEAGIEI qFT材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理222( )( )( )222NPlllFxTxMxVdxdxdxEAGIEI 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理222( )( )( )222NPlllFxTxMxVdxdxdxEAGIEI 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理222

33、( )( )( )222NPlllFxTxMxVdxdxdxEAGIEI 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理怎樣應(yīng)用卡氏定理確定任意點、沿任意方向的位移？ 當應(yīng)用卡氏定理確定沒有外力作用的點之位移（或所求的位當應(yīng)用卡氏定理確定沒有外力作用的點之位移（或所求的位移與加力方向不一致）時，可在所求位移的點、沿著所求位移移與加力方向不一致）時，可在所求位移的點、沿著所求位移的方向假設(shè)一個力（廣義力），寫出所有力（包括載荷和假設(shè)的方向假設(shè)一個力（廣義力），寫出所有力（包括載荷和假設(shè)力）作用下的應(yīng)變能的表達式，并將其對假設(shè)力求偏導數(shù)，然力）作用下的應(yīng)變能的表達式，并將其對假設(shè)

34、力求偏導數(shù)，然后再令其中的假設(shè)力等于零，便得到所要求的位移后再令其中的假設(shè)力等于零，便得到所要求的位移 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理AF?Ax運用卡氏定理解題的步驟：運用卡氏定理解題的步驟：1. 1. 根據(jù)所求載荷的位置與方向確定相對應(yīng)的載荷根據(jù)所求載荷的位置與方向確定相對應(yīng)的載荷2. 2. 根據(jù)所有載荷根據(jù)所有載荷 確定結(jié)構(gòu)內(nèi)力確定結(jié)構(gòu)內(nèi)力 12,nF FF( ),( ), ( )NFx M x T x3. 3. 寫出結(jié)構(gòu)應(yīng)變能寫出結(jié)構(gòu)應(yīng)變能222( )( )( )222NPlllFxTxMxVdxdxdxEAGIEI4. 4. 根據(jù)應(yīng)變能求位移根據(jù)應(yīng)變能

35、求位移F1F2Fm12mkFk材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理圖示桁架，節(jié)點圖示桁架，節(jié)點B承受載荷承受載荷F作用。試用卡氏作用。試用卡氏定理計算節(jié)點定理計算節(jié)點B的鉛垂位移和水平位移。已的鉛垂位移和水平位移。已知桿知桿1與桿與桿2各截面的拉壓剛度均為各截面的拉壓剛度均為EA。BlF1245材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理BlF1245解：解：系統(tǒng)總應(yīng)變能：系統(tǒng)總應(yīng)變能：靜力分析，確定桿件內(nèi)力：靜力分析，確定桿件內(nèi)力：2212( )( )22NNllFxFxVdxdxEAEA系統(tǒng)總應(yīng)變能：系統(tǒng)總應(yīng)變能：B點鉛垂位移：點鉛垂位移：材

36、料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理求鉛垂位移求鉛垂位移BlFy1245靜力分析系統(tǒng)總應(yīng)變能：B點水平位移：材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理解：解： 求水平位移求水平位移Fx 圖示簡支梁，承受均布載荷圖示簡支梁，承受均布載荷q作用。用卡氏定理計算橫截面作用。用卡氏定理計算橫截面B的的轉(zhuǎn)角。設(shè)彎曲剛度轉(zhuǎn)角。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。為常數(shù)。lqABB材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理因為因為 對應(yīng)的廣義位移是對應(yīng)的廣義位移是B截面處的力偶截面處的力偶MB 。因此，先假設(shè)因此，先假設(shè)B截面處有一力偶截面處有一力偶M

37、B ，進行應(yīng)變，進行應(yīng)變能計算，并在最后令能計算，并在最后令MB0。BlqABB解：解：qABMB2BAyMqlFl支座支座A的反力：的反力：2( )22BM xqlxqxM xl梁彎矩方程：梁彎矩方程：( )BM xxMl 則則23012224lBqlxqxxqldxEIlEI 由卡式定理，并代入由卡式定理，并代入MB0，得截面，得截面B轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)角：材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理 圖示剛架圖示剛架ABC，自由端承受集中載，自由端承受集中載荷荷F作用。試用卡氏定理計算截面作用。試用卡氏定理計算截面A的的鉛垂位移。設(shè)各截面彎曲剛度均為鉛垂位移。設(shè)各截面彎曲剛度均

38、為EI。aABCFa材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理 受力分析，受力分析，AB段受彎，段受彎，BC段彎壓組合。段彎壓組合。因為軸力對剛架變形的影響很小，通常忽略因為軸力對剛架變形的影響很小，通常忽略不計。不計。aABCFa解：解：所以，所以，A點鉛垂位移的計算公式為：點鉛垂位移的計算公式為：( )( )AylM xM xdxEIF其中：其中：11()M xFx 2()M xFa 2x1x于是：于是：3111200143aaAyFaFxx dxFaa dxEIEI材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理 圖示圓弧形曲梁圖示圓弧形曲梁AB，承

39、受矩為，承受矩為Me的力偶作用，的力偶作用，試用卡氏定理計算截面試用卡氏定理計算截面B的水平位移。設(shè)彎曲剛度的水平位移。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。為常數(shù)。ORMeBF材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理 曲梁受力后，橫截面一般有三個內(nèi)力分量：曲梁受力后，橫截面一般有三個內(nèi)力分量：軸力，剪力和彎矩。對于小曲率桿，影響變形的軸力，剪力和彎矩。對于小曲率桿，影響變形的主要內(nèi)力是彎矩。因此，卡式定理中的應(yīng)變能由主要內(nèi)力是彎矩。因此，卡式定理中的應(yīng)變能由彎矩表達。彎矩表達。ORMeB解：解：F0M MeFOR M( )(1 cos )eMFRM220( )2MVdEI20( )(

40、 )BxVMMdFEIF( )(1 cos )MRF材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理ORMeBFMeFOR M( )(1 cos )eMFRM20( )( )BxVMMdFEIF( )(1 cos )MRF其中：其中：B點水平位移點水平位移201(1 cos )(1 cos )BxeFRMREIRd因為因為F0201(1 cos )BxeMREIRd222eM REI 負值說明位移水平向左負值說明位移水平向左材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理 關(guān)于卡氏定理的思考關(guān)于卡氏定理的思考AFAVF ?VFFFA/2l/2l（思考）（思考）A

41、 1F2F121(,)V F FF材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理 關(guān)于卡氏定理的思考關(guān)于卡氏定理的思考FAVF ?VF2F2AFFA/2l/2l（思考）（思考）A ()AAV FFA/2l/2l材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-5 卡氏定理卡氏定理材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法先來看單位載荷法中的一道例題：先來看單位載荷法中的一道例題： 圖示剛架，承受均布載圖示剛架，承受均布載荷荷q作用。用單位載荷法計作用。用單位載荷法計算橫截面算橫截面A的水平位移。設(shè)的水平位移。設(shè)彎曲剛度彎曲剛度EI為常數(shù)。為常數(shù)。AaaqBC材料力學第材料力學第9章章

42、 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法單位載荷法中的解法：單位載荷法中的解法：缺點：積分比較復雜、繁瑣缺點：積分比較復雜、繁瑣AaaBCq1x2x1ABC1x2x實際載荷產(chǎn)生彎矩：實際載荷產(chǎn)生彎矩： 11()2qaM xx2222()2qM xqaxx單位載荷產(chǎn)生彎矩：單位載荷產(chǎn)生彎矩： 111()1M xxx 222()1M xxx ( )( )ALM x M xdxEI 所求水平位移：所求水平位移： 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法在結(jié)構(gòu)上畫出彎矩圖：在結(jié)構(gòu)上畫出彎矩圖：AaaBCq1x2x1ABC1x2x實際載荷產(chǎn)生彎矩：實際載荷產(chǎn)生彎矩： 11()2qaM xx

43、2222()2qM xqaxx單位載荷產(chǎn)生彎矩：單位載荷產(chǎn)生彎矩： 111()1M xxx 222()1M xxx ( )( )ALM x M xdxEI 所求水平位移：所求水平位移： ABCABC是否有可能將繁瑣的積分計算轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚膱D形相乘？是否有可能將繁瑣的積分計算轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚膱D形相乘？材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法( )M xbkxbxMOxMO( )M xbkx表示表示 圖的面積圖的面積( )M x則則( )lM x dxd( )dM

44、x dx表示微元面積表示微元面積令令表示微元面積對坐標軸表示微元面積對坐標軸M的靜矩的靜矩( )M x xdx( )M xxdxCxC取取M圖的形心圖的形心C的橫坐標為的橫坐標為Cx材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法( )M xbkxbxMOxMOd( )M xxdxCxC表示表示 圖的面積圖的面積( )M x( )lM x dx表示表示M圖的形心圖的形心C的橫坐標的橫坐標CxCxCCMbkx材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法圖乘法計算位移公式：圖乘法計算位移公式：bxMOxMO( )M xCCxCCMbkx圖乘法的本質(zhì)：將互乘函數(shù)的積分圖乘

45、法的本質(zhì)：將互乘函數(shù)的積分運算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖形幾何量的相運算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖形幾何量的相乘計算。乘計算。材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法bxMOxMO( )M xCCxCCMb kx 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法1nCiiii iMEIxMOxMO( )M x如果單位載荷產(chǎn)生的彎矩由多段直線構(gòu)成如果單位載荷產(chǎn)生的彎矩由多段直線構(gòu)成 1231CM2CM3CM逐段疊加逐段疊加材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法1nCiiii iMEIxMOxMO( )M x

46、 常用圖形的面積和形心位常用圖形的面積和形心位置可以查表獲得。置可以查表獲得。 1231CM2CM3CM材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法 圖示簡支梁，承受均布載荷圖示簡支梁，承受均布載荷q作用，用圖乘法計算梁作用，用圖乘法計算梁中點截面中點截面D的撓度。設(shè)彎曲剛度的撓度。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。為常數(shù)。A/ 2l/ 2lqDB材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法/ 2l/ 2lAqDB怎樣加單位力？怎樣加單位力？ 哪些圖形相乘？哪些圖形相乘？ 要畫哪些內(nèi)力圖？要畫哪些內(nèi)力圖？ 怎樣相乘？怎樣相乘？ 根據(jù)單位載荷法，求解根據(jù)單位載荷法，求解D截面

47、鉛垂位移，需要在截面鉛垂位移，需要在D點點加豎直方向上的單位力。加豎直方向上的單位力。材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法2( )22qlxqxMxADBq實際載荷彎矩圖：實際載荷彎矩圖：DB單位載荷彎矩圖：單位載荷彎矩圖：均布載荷均布載荷q q引起的彎矩必然是二次拋物線引起的彎矩必然是二次拋物線/ 4l2/ 8ql問題：問題： 如何圖乘？如何圖乘？材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法MDBDB/ 4l2/ 8ql圖乘法公式：圖乘法公式：問題問題1： 是否需要分段？是否需要分段？ 因為單位載荷彎矩圖不是一因為單位載荷彎矩圖不是一條直線，因此需要分

48、段。條直線，因此需要分段。M問題問題2： 如何分段，分幾段？如何分段，分幾段？ 根據(jù)單位載荷彎矩圖的直線段根據(jù)單位載荷彎矩圖的直線段落分段，以落分段，以D D截面為分界面，分兩段。截面為分界面，分兩段。問題問題3： 如何確定如何確定 和和 ？CM材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法M/ 4l2/8ql圖乘法公式：圖乘法公式：M問題問題3： 如何確定如何確定 和和 ？CM載荷彎矩圖對稱，左右面積均為載荷彎矩圖對稱，左右面積均為2312232824lqlql12558 432CCllMM 12582l582l2CM1CM3425524 32384qllqlEI形心處對應(yīng)的單

49、位載荷彎矩形心處對應(yīng)的單位載荷彎矩12121CCDMMEI根據(jù)圖乘法公式：根據(jù)圖乘法公式：/ 2l/ 2l材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法BB 剛架受力如圖所示，已知：剛架受力如圖所示，已知：橫桿彎曲剛度為橫桿彎曲剛度為2EI，豎桿彎曲，豎桿彎曲剛度為剛度為EI，均布載荷均布載荷q，長度長度l。B點的水平位移點的水平位移;FP=qlqACBll材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法如何建立單位載荷系統(tǒng)？如何建立單位載荷系統(tǒng)？FP=qlqACBllACBll因為求因為求B點水平位移，因此在點水平位移，因此在B點水平方向加單位力點水平方向加單位力F

50、0=1材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法FP=qlqACBllqACBACBFP=ql2/8ql材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法2ql2qlACBllF0=1ACBll1ll2/8qlACBACB/2lF0=1圖乘法公式：圖乘法公式：將實際載荷彎矩圖與單位載荷彎矩圖相乘將實際載荷彎矩圖與單位載荷彎矩圖相乘材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法圖乘法公式：圖乘法公式：將實際載荷彎矩圖與單位載荷彎矩圖相乘將實際載荷彎矩圖與單位載荷彎矩圖相乘材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法ACBFP=ql2ql2

51、qlACBll1B B截面總的水平位移截面總的水平位移FP=qlqACBll材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法 圖乘法不僅適用于彎矩計算，同樣適用于其他圖乘法不僅適用于彎矩計算，同樣適用于其他的內(nèi)力形式！的內(nèi)力形式！材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法 圖示直桿圖示直桿AB，承受軸向均布載荷，承受軸向均布載荷q作用。試用圖乘法計算截作用。試用圖乘法計算截面面B的軸向位移。設(shè)拉壓剛度的軸向位移。設(shè)拉壓剛度EA為常數(shù)。為常數(shù)。ABql材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法ABql適用于軸力情況的圖乘法公式適用于軸力情況的圖乘法

52、公式：ABq實際載荷系統(tǒng)，軸力圖：實際載荷系統(tǒng)，軸力圖：單位載荷系統(tǒng)，軸力圖：單位載荷系統(tǒng)，軸力圖：NFxqlNFx11材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法圖乘法求位移圖乘法求位移：實際載荷系統(tǒng)，軸力圖：實際載荷系統(tǒng)，軸力圖：單位載荷系統(tǒng)，軸力圖：單位載荷系統(tǒng)，軸力圖：NFxqlNFx1材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-6 圖乘法圖乘法材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法對稱結(jié)構(gòu)：對稱結(jié)構(gòu)：具有對稱的形狀、尺寸與約束條件的結(jié)構(gòu)具有對稱的形狀、尺寸與約束條件的結(jié)構(gòu)對稱載荷：對稱載荷：載荷的作用位置對稱、大小相等、方向?qū)ΨQ載荷的作用位置對稱、大小相等、方向?qū)ΨQ

53、反對稱載荷：反對稱載荷： 載荷的作用位置對稱、大小相等、方向反對稱載荷的作用位置對稱、大小相等、方向反對稱材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-7 對稱性與反對稱性對稱性與反對稱性內(nèi)力的對稱性內(nèi)力的對稱性正對稱內(nèi)力：正對稱內(nèi)力：反對稱內(nèi)力：反對稱內(nèi)力：軸力軸力 NFNFNF剪力剪力SFMM彎矩彎矩 MSFSF材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-7 對稱性與反對稱性對稱性與反對稱性內(nèi)力的對稱性與外載荷對稱性的關(guān)系內(nèi)力的對稱性與外載荷對稱性的關(guān)系對稱結(jié)構(gòu)承受正對稱載荷：對稱結(jié)構(gòu)承受正對稱載荷：內(nèi)力和變形都是正對稱，反對稱的量為內(nèi)力和變形都是正對稱，反對稱的量為0所以，所以，剪力剪力0

54、SF 并且，對稱點并且，對稱點0, =0 x 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-7 對稱性與反對稱性對稱性與反對稱性內(nèi)力的對稱性與外載荷對稱性的關(guān)系內(nèi)力的對稱性與外載荷對稱性的關(guān)系對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱載荷：對稱結(jié)構(gòu)承受反對稱載荷：軸力軸力 0NF 彎矩彎矩 0M 內(nèi)力和變形都是反對稱，正對稱的量為內(nèi)力和變形都是反對稱，正對稱的量為0所以，所以，并且，對稱點并且，對稱點0y 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-7 對稱性與反對稱性對稱性與反對稱性對稱性的應(yīng)用對稱性的應(yīng)用減少未知力個數(shù)：減少未知力個數(shù)： 對稱面截開，只剩一個未知力對稱面截開，只剩一個未知力三次靜不定三次靜不定材料力

55、學第材料力學第9章章 能量法能量法9-7 對稱性與反對稱性對稱性與反對稱性對稱性的應(yīng)用對稱性的應(yīng)用確定對稱截面的位移確定對稱截面的位移00y 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法9-7 對稱性與反對稱性對稱性與反對稱性力法與正則方程力法與正則方程材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法力法的思想力法的思想材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法 力法與正則方程力法與正則方程ABCABC1X一次超靜定剛架解除A點水平約束，代以未知支反力1XABC1XABC+11X1P原載荷在靜定基本系統(tǒng)引起的位移多余約束力在靜定基本系統(tǒng)引起的位移變形協(xié)調(diào)條件：0Ax1110PX力法的思想力法的思想材料力學第

56、材料力學第9章章 能量法能量法 力法與正則方程力法與正則方程ABCABC1X一次超靜定剛架解除A點多余約束，代以未知支反力12 , XXABC1XABC+1112 , XX12 , PP變形協(xié)調(diào)條件：10Ax 2XABC+2212 , XX2X121110PXX20A 122220PXX依次類推，對于n次超靜定系統(tǒng)：121211110 0nnPXXXnPnXnXnX單位載荷法求位移單位載荷法求位移材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法 力法與正則方程力法與正則方程1XABC1112 , XXABC2212 , XX2X依次類推，對于n次超靜定系統(tǒng)：11 1121211220 0PnnnPnn

57、nnnnXXXXXX1ABC1121 , ABC1222 , 11111112112XXXX2212212222XXXX能量法求解靜不定問題能量法求解靜不定問題材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法 圖示剛架，承受均布載荷圖示剛架，承受均布載荷q作用。使用能量法分析結(jié)構(gòu)，作用。使用能量法分析結(jié)構(gòu)，畫出剛架彎矩圖。畫出剛架彎矩圖。AaaqBC材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法 能量法求解靜不定問題能量法求解靜不定問題 1. 確定靜不定次數(shù)確定靜不定次數(shù)AaaqBC解：解：靜不定次數(shù)支反力個數(shù)靜不定次數(shù)支反力個數(shù)平衡方程個數(shù)平衡方程個數(shù)4312. 去除多余約束，代以支反力，建立相當系統(tǒng)去除

58、多余約束，代以支反力，建立相當系統(tǒng)AxFAx3. 利用約束條件利用約束條件 求解求解材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法 能量法求解靜不定問題能量法求解靜不定問題AaaqBC解：解：FAx3. 利用約束條件利用約束條件 求解求解確定約束的支反力確定約束的支反力Fqa2qaF2qaF確定橫梁和豎梁的彎矩確定橫梁和豎梁的彎矩材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法 能量法求解靜不定問題能量法求解靜不定問題AaaqBCFFqa2qaF2qaF確定橫梁的彎矩確定橫梁的彎矩1xAxF2qaF1()M x11()2qaM xF x0M 確定豎梁的彎矩確定豎梁的彎矩2xFqa2qaFq2()M x0M

59、22221()2M xqxFqa x 材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法 能量法求解靜不定問題能量法求解靜不定問題121200()()11()()aaAM xM xM xdxM xdxEIFEIF 橫梁彎矩橫梁彎矩11()2qaM xF x豎梁彎矩豎梁彎矩22221()2M xqxFqa x 卡式定理：卡式定理：221112220011()()()22aaqxqaF xx dxFqa xx dxEIEI343102383qaaqaaFFqaEI916Fqa()AaaqBCF1x2x材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法 能量法求解靜不定問題能量法求解靜不定問題橫梁彎矩橫梁彎矩11()2

60、qaM xF x豎梁彎矩豎梁彎矩22221()2M xqxFqa x 單位載荷法：單位載荷法：AaaqBCF1x2x11x2x111()1M xxx 222()1M xxx ( )( )ALM x M xdxEI 221112220011()()()22aaqxqaF xx dxFqa xx dxEIEI343102383qaaqaaFFqaEI916Fqa()材料力學第材料力學第9章章 能量法能量法 能量法求解靜不定問題能量法求解靜不定問題橫梁彎矩橫梁彎矩11()2qaM xF x豎梁彎矩豎梁彎矩22221()2M xqxFqa x 圖乘法：圖乘法：AaaqBCF1x2x111()1M xx