中考數(shù)學(xué)函數(shù)綜合題型及解題方法講解

1、1 / 9 二次函數(shù)綜合題型精講精練主講：教師題型一：二次函數(shù)中的最值問題例 1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過 a 2， 4 ，o 0，0 ，b2，0三點(diǎn)1求拋物線y=ax2+bx+c 的解析式；2假設(shè)點(diǎn)m是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求am+om 的最小值解析：1把 a 2， 4 ，o 0，0 ， b2，0三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c 中，得解這個(gè)方程組，得a=， b=1，c=0 所以解析式為y=x2+x2由 y=x2+x= x12+，可得拋物線的對(duì)稱軸為x=1，并且對(duì)稱軸垂直平分線段ob om=bm om+am=bm+am 連接 ab交直線 x=1 于 m點(diǎn)

2、，那么此時(shí)om+am 最小過點(diǎn) a作 an x 軸于點(diǎn) n，在 rtabn中， ab=4 ，因此 om+am 最小值為方法提煉：一條直線上一動(dòng)點(diǎn)m和直線同側(cè)兩個(gè)固定點(diǎn)a、b，求 am+bm 最小值的問題，我們只需做出點(diǎn)a關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)a，將點(diǎn) b與 a連接起來交直線與點(diǎn)m ，那么 ab就是 am+bm 的最小值。同理，我們也可以做出點(diǎn)b關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)b ，將點(diǎn) a與 b 連接起來交直線與點(diǎn)m ， 那么 ab 就是 am+bm的最小值。應(yīng)用的定理是：兩點(diǎn)之間線段最短。 a a b b m 或者 mab例 2：拋物線1c的函數(shù)解析式為23 (0)yaxbxa b，假設(shè)拋物線1c經(jīng)過點(diǎn)(

3、0, 3)，方程230axbxa的兩根為1x，2x，且124xx。1求拋物線1c的頂點(diǎn)坐標(biāo) . 2實(shí)數(shù)0 x，請(qǐng)證明：1xx2, 并說明x為何值時(shí)才會(huì)有12xx. 3假設(shè)拋物線先向上平移4 個(gè)單位，再向左平移1 個(gè)單位后得到拋物線2c，設(shè)1(,)a m y，2( ,)b n y是2c上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足：090aob，0m，0n. 請(qǐng)你用含有m的表達(dá)式表示出aob的面積s，并求出s的最小值與s取最小值時(shí)一次函數(shù)oa的函數(shù)解析式。解析： 1拋物線過, 點(diǎn)，3aax2bxx2bx =的兩根為x1,x2且21x-x21221214)(xxxxxx且bbx2xx拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，2x，0)1(21

4、2xxxx,21xx顯然當(dāng)x時(shí)，才有,21xx2 / 9 3方法一：由平移知識(shí)易得的解析式為：yx2(m，m) ，bn，naob為 rtoa+ob=abmmnnmnmn化簡(jiǎn)得：m naob=oboa ?21=424221nnmm?m naob22221221221mmnm1221121)1(212mmmmaob的最小值為，此時(shí)m ,( , ) 直線oa的一次函數(shù)解析式為x方法提煉：一元二次方程兩個(gè)根x1,x2, 求|x1-x2| 。因?yàn)?|x1-x2| =212214xx)x(x可得到：根公式根據(jù)一元二次方程的求;24;242221aacbbxaacbbx.;2121acxxabxx，取得最小

5、值。時(shí)，當(dāng)211);( ,21mmmommm例 3：如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)a 1，0 、b3，0 、c0，3三點(diǎn)1求拋物線的解析式2點(diǎn) m是線段 bc上的點(diǎn)不與b，c重合，過 m作 mn y 軸交拋物線于n，假設(shè)點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為m ，請(qǐng)用 m的代數(shù)式表示mn的長(zhǎng)3在 2的條件下，連接nb 、nc ，是否存在m ，使 bnc的面積最大？假設(shè)存在，求m的值；假設(shè)不存在，說明理由解析：1設(shè)拋物線的解析式為：y=ax+1 x3 ，那么：a0+1 0 3=3， a=1；拋物線的解析式：y= x+1 x 3=x2+2x+32設(shè)直線bc的解析式為：y=kx+b，那么有：，解得；故直線 bc的解析式： y=x+3點(diǎn)

6、 m的橫坐標(biāo)為m ，那么 m m ， m+3 、nm ， m2+2m+3 ；故 mn= m2+2m+3 m+3 =m2+3m 0m 3 3如圖；s bnc=smnc+smnb=mn od+db =mn ob ，s bnc= m2+3m 3= m 2+0m 3 ；當(dāng) m= 時(shí)， bnc的面積最大，最大值為方法提煉：因?yàn)閎nc的面積不好直接求，將bnc的面積分解為mnc 和 mnb 的面積和。然后將bnc的面積表示出來，得到一個(gè)關(guān)于m的二次函數(shù)。此題利用的就是二次函數(shù)求最值的思想，當(dāng)二次函數(shù)的開口向下時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最大值；當(dāng)二次函數(shù)的開口向上時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最小值。題型二：二次函數(shù)與三角形的綜合

7、問題例 4：如圖，：直線3xy交 x 軸于點(diǎn) a，交 y 軸于點(diǎn) b，拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 a、b、c1，0三點(diǎn). 3 / 9 1求拋物線的解析式; 2假設(shè)點(diǎn) d的坐標(biāo)為 -1 ，0，在直線3xy上有一點(diǎn)p,使 abo與 adp相似，求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；3在 2的條件下，在x 軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)e ，使 ade的面積等于四邊形apce的面積？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)e的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由解： 1 ：由題意得， a3，0 ，b0，3拋物線經(jīng)過a、 b 、c三點(diǎn)，把a(bǔ)3， 0， b0，3， c 1，0三點(diǎn)分別代入2yaxbxc得方程組03039cbaccba解得：341cb

8、a拋物線的解析式為243yxx2由題意可得： abo 為等腰三角形 , 如下圖，假設(shè) abo ap1d，那么1dpobadaodp1=ad=4 , p1(1,4)假設(shè) abo adp2 ，過點(diǎn) p2作 p2 m x軸于 m ，ad=4, abo為等腰三角形 , adp2是等腰三角形, 由三線合一可得：dm=am=2= p2m ，即點(diǎn) m與點(diǎn) c重合p21，23如圖設(shè)點(diǎn)e ( , )x y，那么|2|21yyadsade當(dāng) p1(-1,4)時(shí)，s四邊形 ap1ce=sacp1+sace |2214221y = 4y24yy4y點(diǎn) e在 x 軸下方4y代入得：2434xx, 即0742xx =(-

9、4)2-4 7=-120 此方程無解當(dāng) p21，2時(shí)， s四邊形 ap2ce=s三角形 acp2+s三角形 ace = 2y22yy2y點(diǎn) e在 x 軸下方2y代入得：2432xx即0542xx， =(-4)2-4 5=-40 此方程無解綜上所述，在x 軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)e。4 / 9 方法提煉：求一點(diǎn)使兩個(gè)三角形相似的問題，我們可以先找出可能相似的三角形，一般是有幾種情況，需要分類討論，然后根據(jù)兩個(gè)三角形相似的邊長(zhǎng)相似比來求點(diǎn)的坐標(biāo)。要求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)使兩個(gè)圖形面積相等，我們一般是設(shè)出這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩個(gè)圖形面積相等來求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。如果圖形面積直接求不好求的時(shí)候，我們要考慮

10、將圖形面積分割成幾個(gè)容易求解的圖形。例 5：如圖，點(diǎn)a在 x 軸上， oa=4 ，將線段 oa繞點(diǎn) o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120至 ob的位置1求點(diǎn) b的坐標(biāo)；2求經(jīng)過點(diǎn)ao 、b的拋物線的解析式；3在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)p ，使得以點(diǎn)p、o 、b為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn) p的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由解析：1如圖，過b點(diǎn)作 bc x軸，垂足為c，那么 bco=90 ，aob=120 ，boc=60 ，又oa=ob=4，oc=ob=4=2， bc=ob ? sin60 =4=2，點(diǎn) b的坐標(biāo)為 2， 2 ；2拋物線過原點(diǎn)o和點(diǎn) ab，可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將 a

11、4， 0 ，b 2 2代入，得，解得，此拋物線的解析式為y=x2+x 3存在，如圖，拋物線的對(duì)稱軸是x=2，直線 x=2 與 x 軸的交點(diǎn)為d，設(shè)點(diǎn) p的坐標(biāo)為 2，y ，假設(shè) ob=op ，那么 22+|y|2=42，解得 y=2，當(dāng) y=2 時(shí)，在 rtpod中， pdo=90 ，sin pod= ，pod=60 ，pob= pod+ aob=60 +120=180，即 p、o 、 b三點(diǎn)在同一直線上，y=2 不符合題意，舍去，點(diǎn) p的坐標(biāo)為 2， 2假設(shè) ob=pb ，那么 42+|y+2|2=42，解得 y= 2，故點(diǎn) p的坐標(biāo)為 2， 2 ，假設(shè) op=bp ，那么 22+|y|2=

12、42+|y+2|2，解得 y= 2，故點(diǎn) p的坐標(biāo)為 2， 2 ，綜上所述，符合條件的點(diǎn)p只有一個(gè)，其坐標(biāo)為2， 2 ，方法提煉：求一動(dòng)點(diǎn)使三角形成為等腰三角形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想。因?yàn)橐挂粋€(gè)三角形成為等腰三角形，只要三角形的任意兩個(gè)邊相等就可以，所以應(yīng)該分三種情況來討論。題型三：二次函數(shù)與四邊形的綜合問題例 6：綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y= x2+2x+3 與 x 軸交于 ab兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn) c，點(diǎn) d是該拋物線的頂點(diǎn)1求直線ac的解析式與b，d兩點(diǎn)的坐標(biāo)；2點(diǎn) p是 x 軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過p作直線 l ac交拋物線于點(diǎn)q，試探究：隨著p點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，

13、在拋物線上是否存在點(diǎn)q ，使以點(diǎn)ap、q、c為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由3請(qǐng)?jiān)谥本€ac上找一點(diǎn)m ，使 bdm的周長(zhǎng)最小，求出m點(diǎn)的坐標(biāo)解析：1當(dāng) y=0 時(shí)， x2+2x+3=0，解得 x1=1，x2=35 / 9 點(diǎn) a在點(diǎn) b的左側(cè)，a b的坐標(biāo)分別為1，0 ， 3，0 當(dāng) x=0 時(shí)， y=3c點(diǎn)的坐標(biāo)為0，3設(shè)直線 ac的解析式為y=k1x+b1k10 ，那么，解得，直線 ac的解析式為y=3x+3y=x2+2x+3= x12+4，頂點(diǎn) d的坐標(biāo)為 1，4 2拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)q，當(dāng)點(diǎn) q在 q1位置時(shí)， q1的縱坐

14、標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)q1的坐標(biāo)為 2，3 ；當(dāng)點(diǎn) q在點(diǎn) q2位置時(shí)，點(diǎn)q2的縱坐標(biāo)為 3，代入拋物線可得點(diǎn)q2坐標(biāo)為 1+， 3 ；當(dāng)點(diǎn) q在 q3位置時(shí)，點(diǎn)q3的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線解析式可得，點(diǎn)q3的坐標(biāo)為 1， 3 ；綜上可得滿足題意的點(diǎn)q有三個(gè)，分別為：q12，3 ，q21+， 3 ，q31， 3 （3）點(diǎn) b作 bb ac于點(diǎn) f，使 bf=bf ，那么 b為點(diǎn) b關(guān)于直線ac 的對(duì)稱點(diǎn)連接 bd交直線 ac與點(diǎn) m ，那么點(diǎn)m為所求，過點(diǎn) b作 bex 軸于點(diǎn) e 1 和 2 都是 3 的余角， 1=2rtaoc rtafb ，由 a 1， 0 ，b3，0 ，c0，3得 o

15、a=1 ，ob=3 ，oc=3 ，ac= ，ab=4 ，bf=，bb =2bf= ，由 1=2 可得 rtaoc rtbeb ，即b e=，be= ，oe=be ob= 3=b點(diǎn)的坐標(biāo)為， 設(shè)直線 bd的解析式為y=k2x+b2k20 ，解得，直線 bd 的解析式為：y=x+，聯(lián)立 bd 與 ac的直線解析式可得： ，解得，m點(diǎn)的坐標(biāo)為， 方法提煉：求一動(dòng)點(diǎn)使四邊形成為平行四邊形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想，一般需要分三種情況來討論。題型四：二次函數(shù)與圓的綜合問題6 / 9 例 7：如圖，半徑為 2 的c 與 x 軸的正半軸交于點(diǎn)a，與 y 軸的正半軸交于點(diǎn)b，點(diǎn) c的坐標(biāo)為 1，0

16、 假設(shè)拋物線233yxbxc過 a、b兩點(diǎn)1求拋物線的解析式；2在拋物線上是否存在點(diǎn)p，使得 pbo= pob ？假設(shè)存在，求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；假設(shè)不存在說明理由；3假設(shè)點(diǎn)m是拋物線在第一象限的局部上一點(diǎn)，mab的面積為s，求 s的最大小值解析：1如答圖1，連接 ob bc=2 ， oc=1 ob=4 13b 0，3將 a3， 0 ，b 0，3代入二次函數(shù)的表達(dá)式得393033bcc，解得：2 333bc，232 3333yxx2存在如答圖 2，作線段ob的垂直平分線l ，與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)pb 0，3 ，o 0，0 ，直線 l 的表達(dá)式為32y代入拋物線的表達(dá)式，得232 333332yxx；

17、解得1012x，p103122， 3如答圖3，作 mh x軸于點(diǎn) h設(shè) m mmxy， ，那么 smab=s梯形 mboh+smhasoab=12mh+ob ? oh+12ha? mh 12oa ? ob =111(3)(3)33222mmmmyxxy=3333222mmxy7 / 9 232 3333mmmyxx，2 mab3332 33 3(3)22332mmmsxxx=2233 3339 3()22228mmmxxx當(dāng)32mx時(shí)， mabs取得最大值，最大值為9 38題型五：二次函數(shù)中的證明問題例 8：如圖 11，二次函數(shù))(2(481baxxy的圖像過點(diǎn)a(-4 ， 3， b(4，4)

18、. 1求二次函數(shù)的解析式：2求證： acb是直角三角形；3假設(shè)點(diǎn) p在第二象限，且是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)p作 ph垂直 x 軸于點(diǎn) h，是否存在以p、h、d、為頂點(diǎn)的三角形與abc相似？假設(shè)存在，求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由。解： 1將 a(-4 ，3， b(4，4) 代人)(2(481baxxy中，整理得：32472-4baba解得20-13ba二次函數(shù)的解析式為：)20-13)(2(481xxy，整理得：整理040-6132xx1320,221xx2由），（01320c -2 ，0 d 從而有： ac2=4+9 bc2=36+16 ac2+ bc2=13+52=65 ab2=6

19、4+1=65 ac2+ bc2=ab2故 acb是直角三角形3設(shè))65-814813(2xxxp，x0 ph=65-8148132xx hd=x-1320 ac=13 bc=132當(dāng) phd acb時(shí)有：bchdacph即：132-13201365-8148132xxx整理039125-4524132xx1350-1x13202x舍去此時(shí)，13351y），13351350(-1p當(dāng) dhp acb時(shí)有：bcphacdh65-8148132xxx8 / 9 即：13265-81481313-13202xxx整理078305-81748132xx13122-1x13202

20、x舍去此時(shí)，132841y），1328413122(-2p綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)即），13351350(-1p），1328413122(-2p例 9： 在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，點(diǎn) p是拋物線： y=x2上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)在第一象限連接 op，過點(diǎn) 0 作 op的垂線交拋物線于另一點(diǎn)q 連接 pq ，交 y 軸于點(diǎn) m 作 pa丄 x 軸于點(diǎn) a，qb丄 x 軸于點(diǎn) b設(shè)點(diǎn) p的橫坐標(biāo)為 m 1如圖 1，當(dāng) m= 時(shí)，求線段op的長(zhǎng)和 tan pom的值；在 y 軸上找一點(diǎn)c，使 ocq是以 oq 為腰的等腰三角形，求點(diǎn)c的坐標(biāo)；2如圖 2，連接 am 、bm ，分別與op 、oq相交于點(diǎn)d、

21、e用含 m的代數(shù)式表示點(diǎn)q的坐標(biāo)；求證：四邊形odme 是矩形解析：1把 x=代入 y=x2，得 y=2 ，p， 2 ，op=pa丄 x 軸， pa mo tan p0m=tan 0pa= 設(shè) qn，n2 ，tan qob=tan pom ， n=q ， ，oq= 當(dāng) oq=oc 時(shí)，那么c10， ， c2 0， ；當(dāng) oq=cq 時(shí)，那么 c30，1 2 p m ，m2 ，設(shè) qn，n2 ， apo boq ，得 n=，q ， 設(shè)直線po的解析式為：y=kx+b，把 p m ，m2 、q ， 代入，得：解得 b=1，m 0，1， qbo= moa=90 ，qbo moamao= qob ，q

22、o ma同理可證： em od又 eod=90 ，四邊形odme 是矩形題型六：自變量取值圍問題例 10：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，四邊形 abcd 是菱形， 頂點(diǎn) a cd均在坐標(biāo)軸上， 且 ab=5 ， sinb= 1求過 ac d三點(diǎn)的拋物線的解析式；2記直線ab的解析式為y1=mx+n ， 1中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c，求當(dāng) y1y2時(shí)，自變量x 的取值圍；3設(shè)直線ab與 1中拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為e，p點(diǎn)為拋物線上ae兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)p點(diǎn)在何處時(shí)， pae 的面積最大？并求出面積的最大值解析：1四邊形abcd是菱形，ab=ad=cd=bc=5， sinb=si

23、nd= ；rtocd中， oc=cd ? sind=4 ，od=3 ；oa=ad od=2 ，即：a 2，0 、 b 5，4 、c0，4 、d3， 0 ；9 / 9 設(shè)拋物線的解析式為：y=ax+2 x3 ，得：2 3a=4，a=；拋物線： y=x2+x+42由 a 2， 0 、b 5，4得直線ab ：y1=x；由 1得： y2= x2+x+4，那么：，解得：， ；由圖可知：當(dāng)y1y2時(shí)， 2x53sape=ae ? h，當(dāng) p到直線 ab的距離最遠(yuǎn)時(shí)，sabc最大；假設(shè)設(shè)直線lab ，那么直線l與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)為點(diǎn)p；設(shè)直線 l：y=x+b，當(dāng)直線l 與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，