2022年計數(shù)原理排列組合及二項式定理排列組合題型總結

1、學習必備歡迎下載排列組合題型總結排列組合問題千變?nèi)f化，解法靈活，條件隱晦，思維抽象，難以找到解題的突破口。因而在求解排列組合應用題時，除做到：排列組合分清，加乘原理辯明，避免重復遺漏外，還應注意積累排列組合問題得以快速準確求解。一直接法1 特殊元素優(yōu)先法例 1 用 1，2，3，4，5，6 這 6 個數(shù)字組成無重復的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個（1）數(shù)字 1 不排在個位和千位（2）數(shù)字 1 不在個位，數(shù)字6 不在千位。分析： （1）個位和千位有5 個數(shù)字可供選擇，其余 2 位有四個可供選擇，由乘法原理：=240 2特殊位置法（2）當 1 在千位時余下三位有=60，1 不在千位時，千

2、位有種選法，個位有種，余下的有，共有=192 所以總共有192+60=252 二間接法當直接法求解類別比較大時，應采用間接法。如上例中（2）可用間接法=252 例 2 有五張卡片，它的正反面分別寫0 與 1，2 與 3，4 與 5，6 與 7，8 與 9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？分析：此例正面求解需考慮0 與 1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0 與使用 1，類別較復雜，因而可使用間接計算： 任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)個，其中 0 在百位的有個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)-=432（個）三插空法當需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空

3、法。例 3 在一個含有8 個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？分析：原有的 8 個節(jié)目中含有9 個空檔， 插入一個節(jié)目后， 空檔變?yōu)?0 個，故有19p110p=90 中插入方法。四捆綁法當需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。例 4有 4 名男生和3 名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？分析：先將男生捆綁在一起看成一個大元素與女生全排列有44p種排法，而男生之間又有44p種排法，又乘法原理滿足條件的排法有：44p44p=576 練習 1 四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空， 則不同的放法有種 （3324pc=36）

4、練習 2 某市植物園要在30 天內(nèi)接待20 所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其中有一所學校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2 天，其余只參觀一天，則植物園30 天內(nèi)不同的安排方法有（129c1928p）. （注意連續(xù)參觀2 天，即需把30 天中的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有129c其余的就是19 所學校選28 天進行排列）五隔板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采隔板用法精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - -

5、 - - - - - 第 1 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載例 5 某校準備組建一個由12 人組成籃球隊， 這 12 個人由 8 個班的學生組成， 每班至少一人， 名額分配方案共種 。分析：此例的實質是12 個名額分配給8 個班，每班至少一個名額，可在12 個名額種的11 個空當中插入7 塊閘板，一種插法對應一種名額的分配方式，故有711c=330 種練習 1.(a+b+c+d)15有多少項？解析 1：當項中只有一個字母時，有14c種（即 a.b.c.d而指數(shù)只有15 故01414cc。當項中有2 個字母時， 有24c,而指數(shù)和為15， 即將 15 分配給

6、2 個字母時， 由隔板法一分為2， 得114c即11424cc;當項中有3 個字母時，字母組合數(shù)為34c，指數(shù) 15 分三組給字母即可，從而得不同組合數(shù)為：當項中 4 個字母都在時四者都相加即可31444214341142401414cccccccc=816。解析 2：用 15 個相同的小球代表冪指數(shù)15, 用 4 個標有1x、2x、4x的 4 個不同的盒子表示數(shù)1x、2x、4x，將 15 個相同的小球放入4 個不同的盒子中，把標有ix（i=1,2, ,4 ）每個盒子得到的小球數(shù)ik（i=1 ，2，4; ikn） ，記作ix的ik次方。這樣，將15 個相同的小球放入4 個不同的盒子中的每一種放

7、法，就對應著展開式中的每一項。由隔板法知，這樣的放法共有318c種，故15421)(xxx的展開式中共有318c項。318c=123161718=816（種） 。所以，15421)(xxx展開式中共有816 項。練習 2有 20 個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3 的三個盒子里，要求每個盒子內(nèi)的球數(shù)不少于編號數(shù)，問有多少種不同的方法？（216c=120）練習 3不定方程x1+x2+x3+x50=100 中不同的正整數(shù)解有（4999c）；不定方程x1+x2+x3+x50=100 中不同的非負整數(shù)解有（49149c）；六平均分堆問題例 6把 6 本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？分析：

8、分出三堆書（a1,a2）,(a3,a4) ，（a5,a6）由于順序不同可以有33p=6 種，而這 6 種分法只算一種分堆方式，故 6 本不同的書平均分成三堆方式有33222426pccc=15 種練習： 1 6 本書分三份， 2 份 1本， 1 份 4 本，則有不同分法？（15 種）2 某年級 6 個班的數(shù)學課， 分配給甲乙丙三名數(shù)學教師任教，每人教兩個班， 則不同的分派方法的種數(shù)有（90） 。七合并單元格解決染色問題精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f

9、- - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載例 7 （全國卷（文、理）如圖，一個地區(qū)分為5 個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（以數(shù)字作答）。分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5下面分情況討論: () 當 2、4 顏色相同且3、 5 顏色不同時，將2、 4 合并成一個單元格，此時不同的著色方法相當于4 個元素 24的全排列數(shù)44p；（）當2、4 顏色不同且3、 5 顏色相同時，與情形( ) 類似同理可得44p種著色法（）當2、4 與 3、5

10、 分別同色時，將2、4；3、5 分別合并，這樣僅有三個單元格2435，從 4 種顏色中選3種來著色這三個單元格，計有34p種方法由加法原理知：不同著色方法共有244p+34p=48+24=72（種）練習 1（天津卷（文）將3 種作物種植在如圖的5 塊試驗田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植同一作物，不同的種植方法共種（以數(shù)字作答）（72）2（江蘇、遼寧、天津卷（理）某城市中心廣場建造一個花圃，花圃6 分為個部分（如圖3），現(xiàn)要栽種4種顏色的花， 每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有種 （以數(shù)字作答） （120）圖 3 圖 4 解析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、

11、4、5、 6下面分情況討論: () 當 6、4 顏色相同， 5 有 2 種顏色可以選擇，將2、3 顏色一定相異，此時不同的著色方法為22121314pccc；（）當6、4 顏色不同，此時5 只有一種顏色可選，此時考慮2、3 著色。 2 著的顏色與4 同色，則3 有二種顏色可以選擇；2 著的顏色與4 不同色，則3 只有一種顏色可以選擇。故此時不同的著色方法為)12(121314ccc由加法原理知：不同著色方法共有22121314pccc+)12(121314ccc=120（種）3如圖 4，用不同的5 種顏色分別為abcde 五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復使用也可以不用，

12、則符合這種要求的不同著色種數(shù)（540）4如圖 5：四個區(qū)域坐定4 個單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是種（ 84）2 4 3 1 5 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載圖 5 圖 6 5將一四棱錐 ( 圖 6)的每個

13、頂點染一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法共種（ 420）八遞推法例八一樓梯共 10 級，如果規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10 級樓梯，共有多少種不同的走法？分析：設上n 級樓梯的走法為an種，易知 a1=1,a2=2,當 n2 時，上 n 級樓梯的走法可分兩類：第一類：是最后一步跨一級，有an-1種走法，第二類是最后一步跨兩級，有an-2種走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2, 據(jù)此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89. 故走上 10 級樓梯共

14、有89 種不同的方法。例。一個樓梯共10 個臺階 7 步登完，可一步登一個臺階也可一步登兩個臺階，一共有多少種不同的走法解析：要7 步登完 10 個臺階，只有其中3 步每步登兩個臺階，還有4 步每步登一個臺階，轉化為4 個相同的白球和 3 個相同的黑球排成一排的問題，故有3537c（種） 。九. 幾何問題 1 四面體的一個頂點為a,從其它頂點與各棱中點取3 個點， 使它們和點a在同一平面上， 不同的取法有種。（ 335c+3=33）2.四面體的棱中點和頂點共10 個點；(1)從中任取3個點確定一個平面，共能確定多少個平面？(2)以這 10 個點為頂點，共能確定多少格凸棱錐？分析：問題（1）的解

15、決可考慮間接法，即從3 個點的組合扣除3 點共線、四點共面和六點共面的情形，并注意到每條棱包含于兩個面；問題（2）首先要對凸棱錐的類型做出判斷，然后分類統(tǒng)計解析： （1）四面體的每一個面上的6 個點只能確定同一個平面（注意其中六條棱上的三點被二個面各使用了一次，要補上），六個中點中又有3 對互相平行的連線，每一條棱上的三個點和棱外的點只能確定一個平面（注意六條棱上的三點又被使用了一次,要補上），由間接解法，共能確定不同平面?zhèn)€數(shù)為：)666()33()644(343436310cccc=29；（2）依四面體的性質，若從10 個點中取頂點作棱錐，只能是三棱錐和四棱錐每一組不共面的4 點確定一個三棱

16、錐，每一無三點共線的共面4 點與該平面外一點確定一個四棱錐。對于三棱錐的個數(shù)，即不考慮限制后，減去4 個面上 4 點共面虛構的、6 條棱上三點共線虛構的和3 對平行中位線 4 點共面虛構的三棱錐所以三棱錐有c104-4c64-6c44-3c44=141（個）。又每一面上6 點，僅確定 6 個不同凸四邊形，再以不在該面上的另外4 點之一為第5 個頂點， 可做成四棱錐，所以共有46 4 個；又每對平行的中位線段為四邊形二邊可確定一個底面四邊形，另取其余6 點之一為第5 個頂點，可做四棱錐，所以共有3 6 個，即共有不同四棱錐644+36=114（個） 。所以共能做成不同的棱錐141114255 個

17、點評：處理幾何計數(shù)問題時，必須綜合運用相應的幾何概念，發(fā)揮空間想象和圖形分析能力，要特別重視對應關系及對重復現(xiàn)象的判斷問題（1）的解決也可采用分類窮舉法十先選后排法例 9 有甲乙丙三項任務，甲需2 人承擔，乙丙各需1 人承擔，從10 人中選派 4 人承擔這三項任務，不同的選派方法有（）a.1260 種b.2025 種c.2520 種d.5054 種精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 6 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共

18、6 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載分析：先從10 人中選出2 人承擔甲任務，再在余下8 人中選擇 1 人承擔乙任務，最后在余下7 人中選一個承擔丙任務。1718210ccc=2520（種） 。選 c。十一用轉換法解排列組合問題例 10某人連續(xù)射擊8 次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報告結果，不同的結果有多少種解把問題轉化為四個相同的黑球與四個相同白球，其中只有三個黑球相鄰的排列問題25p=20 種例 11現(xiàn)有 5 個人參加秋游，一共帶了10 瓶飲料，每人至少帶1 瓶，一共有多少鐘不同的攜帶飲料的方法解：把問題轉化為5 個相同的白球不相鄰地插入已經(jīng)排好

19、的10 個相同的黑球間的9 個空隙的排列問題49c=126種。例 12從 1，2，3， 1000 個自然數(shù)中任取10 個自然數(shù)，其中任意二個都不連續(xù)的自然數(shù)，問有多少種不同的取法？解把問題轉化為10 個相同的黑球與990 個相同白球排成一排，其中黑球不相鄰的排列問題：10991c。注意，如果只是要求10 個不連續(xù)，但允許其中有二個可以相連的或三個相連等等，那么不同的取法有991101000c。例 13 某城市街道呈棋盤形，南北向大街5 條，東西向大街4 條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種解：無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱。因此，問題轉化為3 個相同的白球與四個相同的黑球的排列問題

20、：37c=35 （種）例 14 一個樓梯共18 個臺階 12 步登完，可一步登一個臺階也可一步登兩個臺階，一共有多少種不同的走法解根據(jù)題意要想12 步登完只能6 個一步登一個臺階，6 個一步登兩個臺階，因此，把問題轉化為6 個相同的黑球與 6 個相同的白球的排列問題612c=924（種） 例 15 求（ a+b+c）10的展開式的項數(shù)解展開式中的項為abc,且+=10，因此，把問題轉化為2 個相同的黑球與10 個相同的白球的排列問題212c=66（種）例 16 亞、歐乒乓球對抗賽，各隊均有5 名隊員，按事先排好的順序參加擂臺賽，雙方先由1 號隊員比賽，負者淘汰，勝者再與負方2 號隊員比賽，直到

21、一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？解設亞洲隊隊員為a1,a2， ,a5,歐洲隊隊員為b1，b2， b5，下標表示事先排列的出場順序，若以依次被淘汰的隊員為順序比賽過程轉化為這10 個字母互相穿插的一個排列，當然最后獲勝隊中可能有沒有上場的隊員。所以比賽過程可表示為個相同的白球和5 個相同黑球排列問題，比賽過程的總數(shù)為510c=252（種）。十二轉化命題法例 17 圓周上共有15 個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點最多有多少各？分析：因兩弦在圓內(nèi)若有一交點，則該交點對應于一個以兩弦的四端點為頂點的圓內(nèi)接四邊形，則問題化為圓周上的 15 個不同的點能構成多少個圓內(nèi)接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點最多有415c=1365（個）十三概率法例 18 一天的課程表要排入語文、數(shù)學、物理、化學、英語、體育六節(jié)課，如果數(shù)學必須排在體育之前，那么該精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -