第7章-小波與小波變換

1、多媒體技術(shù)教程多媒體技術(shù)教程第第7章章 小波與小波變換小波與小波變換 第7章 小波與小波變換2/62第7章 小波與小波變換目錄 7.1 小波介紹小波介紹7.1.1 小波簡史7.1.2 小波概念7.1.3 小波分析7.1.4 小波定義7.2 哈爾函數(shù)哈爾函數(shù)7.2.1 哈爾基函數(shù)7.2.2 哈爾小波函數(shù)7.2.3 函數(shù)的規(guī)范化7.2.4 哈爾基的結(jié)構(gòu)7.3 哈爾小波變換哈爾小波變換7.4 規(guī)范化算法規(guī)范化算法7.5 二維哈爾小波變換二維哈爾小波變換7.5.1 二維小波變換舉例7.5.2 二維小波變換方法第7章 小波與小波變換3/62 在某種分辨率下無法發(fā)現(xiàn)的特性，在另一分辨在某種分辨率下無法發(fā)現(xiàn)

2、的特性，在另一分辨率下將很容易被發(fā)現(xiàn)。率下將很容易被發(fā)現(xiàn)。 物體尺寸小、對(duì)比度不高物體尺寸小、對(duì)比度不高用高分辨率查看用高分辨率查看 物體尺寸大、對(duì)比很強(qiáng)物體尺寸大、對(duì)比很強(qiáng)用低分辨率查看用低分辨率查看 在不同的時(shí)間有不同的頻率分析在不同的時(shí)間有不同的頻率分析引入小波引入小波第7章 小波與小波變換4/627.1 小波介紹小波介紹1807: Joseph Fourier n傅立葉理論指出傅立葉理論指出，一個(gè)信號(hào)可表示成一系列正弦一個(gè)信號(hào)可表示成一系列正弦和余弦函數(shù)之和，叫做傅立葉展開式和余弦函數(shù)之和，叫做傅立葉展開式n小波簡史小波簡史小波變換 (wavelet transform)是什么n老課題

3、：函數(shù)的表示方法 n新方法：FourierHaarwavelet transform 傅里葉傅里葉 哈爾哈爾 小波變換小波變換第7章 小波與小波變換5/627.1 小波介紹小波介紹where cossinj tetjt( )( )( )( )ej tj tFf t edtf tF121、只有頻率分辨率而沒有時(shí)間分辨率、只有頻率分辨率而沒有時(shí)間分辨率可確定信號(hào)中包含哪些頻率的信號(hào)，但不能確定具有這些頻率的信號(hào)出現(xiàn)在什么時(shí)候2、要考慮所有時(shí)間域的信息，不能反映局部信息、要考慮所有時(shí)間域的信息，不能反映局部信息的特征的特征第7章 小波與小波變換6/627.1 小波介紹小波介紹1909: Alfred

4、 HaarnAlfred Haar對(duì)在函數(shù)空間中尋找一個(gè)與傅立葉類似尋找一個(gè)與傅立葉類似的基非常感興趣的基非常感興趣。1909年他發(fā)現(xiàn)并使用了小波，后來被命名為哈爾小波哈爾小波(Haar wavelets)第7章 小波與小波變換7/627.1 小波介紹小波介紹1945: Gaborn開發(fā)了短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換STFT (short time Fourier transform)( ,)( )where: ( )signal ( )= windo(wing )functionj tgSTFTs tedts tg ttSTFT的時(shí)間-頻率關(guān)系圖 第7章 小波與小波變換8/627.1 小波介

5、紹小波介紹1980：Morletn20世紀(jì)70年代，在法國石油公司工作的年輕地球物理學(xué)家Jean Morlet提出小波變換 (wavelet transform，WT)的概念。n 20世紀(jì)80年代, 開發(fā)了連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換 (continuous wavelet transform， CWT)1986：Y.Meyern法國科學(xué)家Y.Meyer與其同事創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，用于分析函數(shù)n用縮放用縮放(dilations)與平移與平移(translations)均為均為2 j(j0的整數(shù)的整數(shù))的倍數(shù)構(gòu)造了的倍數(shù)構(gòu)造了L2(R)空間的規(guī)范正交基，空間的規(guī)范正交基，使小波分

6、析得到發(fā)展使小波分析得到發(fā)展第7章 小波與小波變換9/627.1 小波介紹小波介紹1988：Mallat算法n法國科學(xué)家Stephane Mallat提出多分辨率概念，從空間上形象說明小波的多分辨率的特性，并提出了正交正交小波的構(gòu)造方法和快速算法小波的構(gòu)造方法和快速算法，稱為Mallat算法1n該算法統(tǒng)一了在此之前構(gòu)造正交小波基的所有方法，其地位相當(dāng)于快速傅立葉變換在經(jīng)典傅立葉分析中的地位第7章 小波與小波變換10/627.1 小波介紹小波介紹(續(xù)續(xù)8)小波理論與工程應(yīng)用nInrid Daubechies于1988年最先揭示了小波變換和濾波器組(filter banks)之間的內(nèi)在關(guān)系2，使離

7、散小波分析變成為現(xiàn)實(shí)nRonald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科學(xué)家在把小波理論引入到工程應(yīng)用方面做出了極其重要貢獻(xiàn)n在信號(hào)處理中，自從Stephane Mallat和Inrid Daubechies發(fā)現(xiàn)濾波器組與小波基函數(shù)有密切關(guān)系之后，小波分析在信號(hào)小波分析在信號(hào)(如聲音和圖像如聲音和圖像)處理中得到極其處理中得到極其廣泛的應(yīng)用廣泛的應(yīng)用第7章 小波與小波變換11/627.1 小波介紹小波介紹n小波小波(wavelet)是什么是什么 在有限時(shí)間范圍內(nèi)變化且其平均值為零的數(shù)學(xué)函數(shù)在有限時(shí)間范圍內(nèi)變化且其平均值為零的數(shù)學(xué)函數(shù)n具有有限的持續(xù)時(shí)間有限的持續(xù)時(shí)間和

8、突變的頻率和振幅突變的頻率和振幅n在有限的時(shí)間范圍內(nèi)，它的平均值等于零有限的時(shí)間范圍內(nèi)，它的平均值等于零第7章 小波與小波變換12/627.1 小波介紹小波介紹(續(xù)續(xù)1)部分小波n許多數(shù)縮放函數(shù)和小波函數(shù)以開發(fā)者的名字命名，例如，nMoret小波函數(shù)是Grossmann和Morlet在1984年開發(fā)的ndb6縮放函數(shù)和db6小波函數(shù)是Daubechies開發(fā)的圖7-1 正弦波與小波部分小波第7章 小波與小波變換13/627.1小波分析小波分析n小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間時(shí)間-尺度（時(shí)間尺度（時(shí)間-頻率頻率）分析方法，它具有多分辨率分析（Multiresolution Analysis）的特點(diǎn)。小

9、波分析方法是一種窗口大?。创翱诿娣e）固定但其形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。n它被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡 .n它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì),在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力.第7章 小波與小波變換14/627.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析 小波分析小波分析/小波變換小波變換 -變換目的是獲得時(shí)間和頻率域之間的相互關(guān)系變換目的是獲得時(shí)間和頻率域之間的相互關(guān)系1、小波變換、小波變換n對(duì)一個(gè)函數(shù)在空間和時(shí)間上進(jìn)行局部化的一種數(shù)學(xué)變換對(duì)一個(gè)函數(shù)在空間和時(shí)間上進(jìn)行局部化的一種數(shù)學(xué)變換n通過平移母小波獲得信號(hào)的時(shí)間信息通過平移母小波獲得信號(hào)的時(shí)間信息通過縮放母小

10、波的寬度通過縮放母小波的寬度( (或稱尺度或稱尺度) )獲得信號(hào)的頻率特性獲得信號(hào)的頻率特性n對(duì)母小波的平移和縮放操作是為計(jì)算小波的系數(shù)，這些系數(shù)代對(duì)母小波的平移和縮放操作是為計(jì)算小波的系數(shù)，這些系數(shù)代表局部信號(hào)和小波之間的相互關(guān)系表局部信號(hào)和小波之間的相互關(guān)系n對(duì)比傅立葉變換對(duì)比傅立葉變換n提供了頻率域的信息，但丟失了時(shí)間域的局部化信息提供了頻率域的信息，但丟失了時(shí)間域的局部化信息小波分析中常用的三個(gè)基本概念：小波分析中常用的三個(gè)基本概念：1、連續(xù)小波變換、連續(xù)小波變換 2、離散小波變換、離散小波變換3、小波重構(gòu)、小波重構(gòu)第7章 小波與小波變換15/627.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分

11、析(續(xù)續(xù)1)n連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換(continuous wavelet transform，CWT)傅立葉分析傅立葉分析n用一系列不同頻率的正弦波表示一個(gè)信號(hào)用一系列不同頻率的正弦波表示一個(gè)信號(hào)n一系列不同頻率的正弦波是傅立葉變換的基函數(shù)一系列不同頻率的正弦波是傅立葉變換的基函數(shù)小波分析小波分析n用母小波通過移位和縮放后得到的一系列小波表示一個(gè)信號(hào)用母小波通過移位和縮放后得到的一系列小波表示一個(gè)信號(hào)n一系列小波可用作表示一些函數(shù)的基函數(shù)一系列小波可用作表示一些函數(shù)的基函數(shù)凡能用傅立葉分析的函數(shù)都可用小波分析凡能用傅立葉分析的函數(shù)都可用小波分析n小波變換可理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列函數(shù)

12、代替傅立葉小波變換可理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列函數(shù)代替傅立葉變換用的正弦波變換用的正弦波用不規(guī)則的小波分析變化激烈的信號(hào)比用平滑的正弦波用不規(guī)則的小波分析變化激烈的信號(hào)比用平滑的正弦波更有效，或者說對(duì)信號(hào)的基本特性描述得更好更有效，或者說對(duì)信號(hào)的基本特性描述得更好第7章 小波與小波變換16/627.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)2)CWT的變換過程示例，見圖7-3，可分如下5步1. 小波 (t)和原始信號(hào)f(t)的開始部分進(jìn)行比較 2. 計(jì)算系數(shù)C該部分信號(hào)與小波的近似程度；C值越高表示信號(hào)與小波相似程度越高3. 小波右移k得到的小波函數(shù)為 (t-k) ，然后重復(fù)步驟1和2，直

13、到信號(hào)結(jié)束 4. 擴(kuò)展小波，如擴(kuò)展一倍，得到的小波函數(shù)為 (t/2) 5. 重復(fù)步驟14 圖7-3 連續(xù)小波變換的過程第7章 小波與小波變換17/627.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)3)連續(xù)小波變換用下式表示(,)( ) (, )C scale positionf tscale position t dtn該式含義：小波變換是信號(hào)該式含義：小波變換是信號(hào)f(t)與被縮放和平移的小波函數(shù)與被縮放和平移的小波函數(shù)之之積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和積在信號(hào)存在的整個(gè)期間里求和nCWT變換的結(jié)果是許多小波系數(shù)變換的結(jié)果是許多小波系數(shù)C ，這些系數(shù)是縮放因子，這些系數(shù)是縮放因子(scale)

14、和位置和位置(position)的函數(shù)的函數(shù)n離散小波變換離散小波變換(discrete wavelet transform，DWT) 用小波的基函數(shù)(basis functions)表示一個(gè)函數(shù)的方法n小波的基函數(shù)序列或稱子小波(baby wavelets)函數(shù)是由單個(gè)小波或稱為母小波函數(shù)通過縮放和平移得到的n縮放因子和平移參數(shù)都選擇縮放因子和平移參數(shù)都選擇2j (j 0的整數(shù)的整數(shù))的倍數(shù)，這種變換稱的倍數(shù)，這種變換稱為雙尺度小波變換為雙尺度小波變換(dyadic wavelet transform)第7章 小波與小波變換18/627.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)4)圖7-5

15、 離散小波變換分析圖DWT得到的小波系數(shù)、縮放因子和時(shí)間關(guān)系，見圖7-5n圖(a)是20世紀(jì)40年代使用Gabor開發(fā)的短時(shí)傅立葉變換(short time Fourier transform，STFT)得到的n圖(b)是20世紀(jì)80年代使用Morlet開發(fā)的小波變換得到的第7章 小波與小波變換19/627.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)5)執(zhí)行DWT的有效方法n用Mallat在1988年開發(fā)的濾波器，稱為Mallat算法1nDWT的概念見圖7-6。S表示原始的輸入信號(hào)；通過兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器產(chǎn)生A和D兩個(gè)信號(hào)圖7-6 雙通道濾波過程nA表示信號(hào)的表示信號(hào)的近似值，近似值， 大的縮放

16、因子產(chǎn)生的系數(shù)，大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號(hào)的表示信號(hào)的低頻分量低頻分量nD表示信號(hào)的表示信號(hào)的細(xì)節(jié)值細(xì)節(jié)值 小的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，小的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示表示信號(hào)的高頻分量信號(hào)的高頻分量第7章 小波與小波變換20/627.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)6)小波分解樹與小波包分解樹n由低通濾波器和高通濾波器組成的樹n原始信號(hào)通過一對(duì)濾波器進(jìn)行的分解叫做一級(jí)分解。信號(hào)的分解過程可以迭代，即可進(jìn)行多級(jí)分解。n小波分解樹小波分解樹(wavelet decomposition tree)n用下述方法分解形成的樹：對(duì)信號(hào)的高頻分量不再繼續(xù)分對(duì)信號(hào)的高頻分量不再繼續(xù)分解，而對(duì)低頻分量

17、連續(xù)進(jìn)行分解解，而對(duì)低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，得到許多分辨率較低的低頻分量，見圖7-7n小波小波包包分解樹分解樹(wavelet packet decomposition tree) n用下述方法分解形成的樹：不僅對(duì)信號(hào)的低頻分量連續(xù)進(jìn)不僅對(duì)信號(hào)的低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，而且對(duì)高頻分量也進(jìn)行連續(xù)分解行分解，而且對(duì)高頻分量也進(jìn)行連續(xù)分解，這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量，見圖7-8 第7章 小波與小波變換21/627.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)7)圖7-7 小波分解樹第7章 小波與小波變換22/62小波分解圖示小波分解圖示第7章 小波與小波變

18、換23/627.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)8)圖7-8 三級(jí)小波包分解樹1332 SAAADDADDD注：信號(hào)的表示也可以有其它的分解組合注：信號(hào)的表示也可以有其它的分解組合第7章 小波與小波變換24/627.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)9)圖7-9 降采樣過程注意：在使用濾波器對(duì)真實(shí)的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行變換時(shí)，得在使用濾波器對(duì)真實(shí)的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行變換時(shí)，得到的數(shù)據(jù)將是原始數(shù)據(jù)的兩倍到的數(shù)據(jù)將是原始數(shù)據(jù)的兩倍n例如，如果原始信號(hào)的數(shù)據(jù)樣本為1000個(gè)，通過濾波之后每一個(gè)通道的數(shù)據(jù)均為1000個(gè)，總共為2000個(gè)。于是,根據(jù)(Nyquist)采樣定理就提出了采用降采樣的方法

19、：采樣定理就提出了采用降采樣的方法： 即在每個(gè)通道中每兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)中取一個(gè)，即在每個(gè)通道中每兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)中取一個(gè)，得到的離散小波變換的系數(shù)(coefficient)分別用cD和cA表示，見圖7-9 第7章 小波與小波變換25/62小波分析對(duì)信號(hào)的處理小波分析對(duì)信號(hào)的處理(1) 一維小波變換信號(hào)的主體，信號(hào)的主體，保留原信號(hào)的保留原信號(hào)的絕大部分能量絕大部分能量具有較少的能具有較少的能量，為原信號(hào)量，為原信號(hào)的細(xì)節(jié)信息的細(xì)節(jié)信息第7章 小波與小波變換26/62第7章 小波與小波變換27/62第7章 小波與小波變換28/62n% 使用使用db1在第在第3層進(jìn)行分解層進(jìn)行分解nc,l=wavedec

20、(s,3,db1);nc中存放三層小波變換后的所有系數(shù)中存放三層小波變換后的所有系數(shù)nl中存放的中存放的ca3 cd3 cd2 cd1 c的長度。的長度。n設(shè)設(shè)s的長度為的長度為2000，則，則l =250;250;500;1000;2000第7章 小波與小波變換29/62第7章 小波與小波變換30/62第7章 小波與小波變換31/62(2) 二維小波變換二維小波變換第7章 小波與小波變換32/62 圖像信號(hào)像素點(diǎn)間一般都具有相關(guān)性，相鄰行、列之間的相關(guān)性最強(qiáng)，其相關(guān)性系數(shù)呈指數(shù)規(guī)律衰減，通過小波變換可以將信號(hào)從一個(gè)正交矢量空間變換到另一個(gè)正交矢量空間，即從空間域變換到頻率域，使變換后各信號(hào)分

21、量之間的相關(guān)性很小，或者不相關(guān)第7章 小波與小波變換33/62第7章 小波與小波變換34/627.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)10)n小波重構(gòu)小波重構(gòu)重構(gòu)概念n把分解的系數(shù)還原成原始信號(hào)的過程叫做小波重構(gòu)把分解的系數(shù)還原成原始信號(hào)的過程叫做小波重構(gòu)(wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，數(shù)學(xué)上叫做逆離散小波變換(inverse discrete wavelet transform，IDWT)兩個(gè)過程n在使用濾波器做小波變換時(shí)包含濾波濾波和降采樣降采樣兩個(gè)過程，在小波重構(gòu)時(shí)也包含升采樣升采樣和濾波濾波兩個(gè)過程，見圖7-10n升采樣是在兩個(gè)樣本數(shù)

22、據(jù)之間插入“0”，目的是把信號(hào)的分量加長，其過程見圖7-11 第7章 小波與小波變換35/627.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)11)圖7-10 小波重構(gòu)方法圖7-11 升采樣的方法升采樣升采樣濾波濾波濾波濾波升升采采樣樣第7章 小波與小波變換36/627.1 小波介紹小波介紹小波分析小波分析(續(xù)續(xù)12)n重構(gòu)濾波器重構(gòu)濾波器濾波器關(guān)系到能否重構(gòu)出滿意的原始信號(hào)。在信號(hào)的分解期間，降采樣會(huì)引進(jìn)畸變，這種畸變叫做混疊(aliasing)。這就需要在分解和重構(gòu)階段精心選擇關(guān)系緊密但不一定一致的濾波器才有可能取消這種混疊低通分解濾波器(L)和高通分解濾波器(H)以及重構(gòu)濾波器(L和H)構(gòu)

23、成一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)叫做正交鏡像濾波器正交鏡像濾波器(quadrature mirror filters，QMF)系統(tǒng)，如圖7-12所示 圖7-12 正交鏡像濾波器系統(tǒng)第7章 小波與小波變換37/627.1.4 小波定義小波定義 小波由一個(gè)定義在有限區(qū)間的函數(shù)小波由一個(gè)定義在有限區(qū)間的函數(shù) 來構(gòu)造來構(gòu)造 ，該小波可以成為母小波或者基本小波。，該小波可以成為母小波或者基本小波。 小波基函數(shù)小波基函數(shù) 可以由縮放和平移母小波來生成?？梢杂煽s放和平移母小波來生成。 a為縮放因子，為縮放因子，b為平移因子為平移因子本教材采用離散小波變換，本教材采用離散小波變換，1/2,( )()a bxbxaa( )

24、 x,( )a bx2 ,jabia/2( )2(2)jjjixxii為縮放因子，為縮放因子，j為平移因子為平移因子第7章 小波與小波變換38/627.2 哈爾函數(shù)哈爾函數(shù)n7.2.1 哈爾基函數(shù)哈爾基函數(shù) 基函數(shù)是一組線性無關(guān)的函數(shù)，可以用來構(gòu)造任意給定的信號(hào)，如用基函數(shù)的加權(quán)和表示哈爾基函數(shù)哈爾基函數(shù)(Haar basis function) n定義在半開區(qū)間定義在半開區(qū)間0，1)上的一組分段常值函數(shù)集上的一組分段常值函數(shù)集n生成矢量空間生成矢量空間V0的常值函數(shù)的常值函數(shù)000101: ( )0Vxx其他第7章 小波與小波變換39/627.2 哈爾函數(shù)哈爾函數(shù)(續(xù)續(xù)1)n生成矢量空間V1

25、的常值函數(shù)101100.5: ( ) ,0Vxx其他1110.51( )0 xx其他 第7章 小波與小波變換40/627.2 哈爾函數(shù)哈爾函數(shù)(續(xù)續(xù)2)n生成矢量空間V2的常值函數(shù)012322221,01/41,1/41/2( )( )0,0,1,1/23/41,3/41( )( )0,0,xxxxxxxx其他其他其他其他n可按照以上方法繼續(xù)定義哈爾基函數(shù)和由它生成的矢量空間Vj，第7章 小波與小波變換41/627.2 哈爾函數(shù)哈爾函數(shù)(續(xù)續(xù)3)n為了表示矢量空間中的矢量，每一個(gè)矢量空間都需要定義一個(gè)基(basis)，哈爾基定義為101( )0 xx其他n為生成矢量空間而定義的基函數(shù)也叫做尺度

26、函數(shù)為生成矢量空間而定義的基函數(shù)也叫做尺度函數(shù)(scaling function)。哈爾基尺度函數(shù)定義為。哈爾基尺度函數(shù)定義為( )(2),0,1,(21) jjjixxiin其中，j為尺度因子，使函數(shù)圖形縮小或放大為尺度因子，使函數(shù)圖形縮小或放大 i為平移參數(shù)，使函數(shù)沿為平移參數(shù)，使函數(shù)沿x軸方向平移軸方向平移第7章 小波與小波變換42/62 定義了基和矢量空間，可以把由定義了基和矢量空間，可以把由2j個(gè)像素的組成的個(gè)像素的組成的一維圖像看成矢量空間一維圖像看成矢量空間Vj中的一個(gè)矢量，這些矢量都中的一個(gè)矢量，這些矢量都在單位區(qū)間在單位區(qū)間0,1)上定義的函數(shù)，所以上定義的函數(shù)，所以Vj矢量

27、空間中的每矢量空間中的每一個(gè)矢量也被包含在一個(gè)矢量也被包含在Vj+1矢量空間中。矢量空間中。 0121jjVVVVV1jjVV對(duì)于一個(gè)對(duì)象，越近，看的細(xì)節(jié)越多對(duì)于一個(gè)對(duì)象，越近，看的細(xì)節(jié)越多近看的東西會(huì)包括遠(yuǎn)處看到的東西近看的東西會(huì)包括遠(yuǎn)處看到的東西第7章 小波與小波變換43/62對(duì)于一個(gè)對(duì)象，越近，看的細(xì)節(jié)越多對(duì)于一個(gè)對(duì)象，越近，看的細(xì)節(jié)越多近看的東西會(huì)包括遠(yuǎn)處看到的東西近看的東西會(huì)包括遠(yuǎn)處看到的東西矢量空間矢量空間Vj的性質(zhì)的性質(zhì)第7章 小波與小波變換44/627.2 哈爾函數(shù)哈爾函數(shù)(續(xù)續(xù)4) n7.2.2 哈爾小波哈爾小波(函數(shù)函數(shù))最古老和最簡單的小波，最古老和最簡單的小波，定義為1

28、01/2( )11/210 xxx 當(dāng)當(dāng)其他00101/2( )11/210 xxx 其他生成矢量空間W0的哈爾小波第7章 小波與小波變換45/627.2 哈爾函數(shù)哈爾函數(shù)(續(xù)續(xù)5)生成矢量空間W1的哈爾小波10101/4( )1 1/41/20 xxx 其他1111/23/4( )13/41/20 xxx 其他 第7章 小波與小波變換46/627.2 哈爾函數(shù)哈爾函數(shù)(續(xù)續(xù)6)生成矢量空間W2的哈爾小波22012223101/812/83/8( )1 1/82/8( )13/84/80014/85/816/87/8( )15/86/8( )17/8100 xxxxxxxxxxxx 其他其他其

29、他其他第7章 小波與小波變換47/62 哈爾小波哈爾小波 生成的矢量空間生成的矢量空間Wj包含在包含在矢量空間矢量空間Vj+1中，中，( )jix1jjWV其實(shí)Wj，就是細(xì)節(jié)，就是細(xì)節(jié),為為Vj和和Vj+1的正交互補(bǔ)空間的正交互補(bǔ)空間第7章 小波與小波變換48/627.3 哈爾小波變換哈爾小波變換 n求有限信號(hào)的均值和差值的過程求有限信號(hào)的均值和差值的過程例例7. 1 假設(shè)有一幅分辨率只有4個(gè)像素P0、P1、P2、P3的一維圖像，對(duì)應(yīng)的像素值或稱圖像位置的系數(shù)分別為 9 7 3 5計(jì)算該圖像的哈爾小波變換系數(shù)步驟步驟1：計(jì)算相鄰像素對(duì)的平均值計(jì)算相鄰像素對(duì)的平均值，得到一幅分辨率比得到一幅分辨

30、率比較低的新圖像較低的新圖像，它的像素?cái)?shù)目變成了2個(gè)，即新的圖像的分辨率是原來的1/2，相應(yīng)的像素值為 （9+7）/2=8 ( 3+5)/2=4 8 4 平均像素值平均像素值第7章 小波與小波變換49/627.3 哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)1)n步驟步驟2：求差值。為能從2個(gè)像素組成的圖像重構(gòu)由4個(gè)像素組成的原始圖像，就需要存儲(chǔ)一些圖像的細(xì)節(jié)系數(shù)。 方法是把像素對(duì)的第一個(gè)像素值減去這個(gè)像素對(duì)的平把像素對(duì)的第一個(gè)像素值減去這個(gè)像素對(duì)的平均值均值，或者使用這個(gè)像素對(duì)的差值除以或者使用這個(gè)像素對(duì)的差值除以2 （9-7）/2=1 (3-5)/2=-1 原始圖像用兩個(gè)均值和兩個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)表示為 8 4

31、 1 -1 像素均值像素均值，細(xì)節(jié)值細(xì)節(jié)值n步驟步驟3：重復(fù)步驟1和2，把由第一步分解得到的圖像進(jìn)一步分解成分辨率更低的圖像和細(xì)節(jié)系數(shù)。其結(jié)果，整幅圖像表示為 6 2 1 -1第7章 小波與小波變換50/627.3 哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)2)把由4個(gè)像素組成的一幅圖像用一個(gè)平均像素值和三個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)表示，這個(gè)過程稱為哈爾小波變換(Haar wavelet transform)，也稱哈爾小波分解(Haar wavelet decomposition)。這個(gè)概念可以推廣到使用其他小波基的變換特點(diǎn)：(1) 變換過程中沒有丟失信息，因?yàn)槟軌驈乃涗浀臄?shù)據(jù)中重構(gòu)出原始圖像。(2) 對(duì)這個(gè)給定的變換

32、，可從所記錄的數(shù)據(jù)中重構(gòu)出各種分辨率的圖像。(3) 通過變換之后產(chǎn)生的細(xì)節(jié)系數(shù)的幅度值比較小，為圖像壓縮提供了一種途徑，如去掉微不足道的系數(shù)分辨率平均值細(xì)節(jié)系數(shù)49 7 3 528 41 -1162表7-1 哈爾變換過程第7章 小波與小波變換51/627.3 哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)3)n哈爾小波變換哈爾小波變換在例7.1中的求均值和差值的過程實(shí)際上就是一維小波變換的過程，現(xiàn)在用數(shù)學(xué)方法重新描述哈爾小波變換nI(x)圖像用V2中的哈爾基表示22220123( )9( )7( )3( )5( ) I xxxxx第7章 小波與小波變換52/627.3 哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)4)nI(

33、x)圖像用V1和W1中的函數(shù)表示生成V1矢量空間的基函數(shù)為 和 ，生成矢量空間W1的小波函數(shù)為 和 ，I(x)可表示為01( )x11( )x10( )x11( ) x 11111111001 10011( )( )( )( )( )I xcxcxdxdx第7章 小波與小波變換53/627.3 哈爾小波變換哈爾小波變換(續(xù)續(xù)5)nI(x)圖像用V0、W0和 W1中的函數(shù)表示生成矢量空間V0的基函數(shù)為 ，生成矢量空間W0的小波函數(shù)為 ，生成矢量空間W1的小波函數(shù)為 和 ， I(x)可表示為00( ) x00( )x10( )x11( ) x0000111100000011( )( )( )( )

34、( )I xcxdxdxdx第7章 小波與小波變換54/627.4 規(guī)范化的小波變換規(guī)范化的小波變換n規(guī)范化的小波變換規(guī)范化的小波變換 求像素均值和細(xì)節(jié)差值時(shí)求像素均值和細(xì)節(jié)差值時(shí) 除除 用的是用的是 非規(guī)范化算法非規(guī)范化算法 除除 用的是用的是 2 具體看書本具體看書本107頁的例子頁的例子第7章 小波與小波變換55/627.5 二維哈爾小波變換二維哈爾小波變換n二維小波變換過程（二維小波變換過程（P109）1、圖像塊矩陣、圖像塊矩陣A2、每一行執(zhí)行一維小波變換，求均值和細(xì)節(jié)值，直到完成、每一行執(zhí)行一維小波變換，求均值和細(xì)節(jié)值，直到完成 每一行元素的第一個(gè)元素為該行像素的平均值，其余為細(xì)節(jié)每一行元素的第一個(gè)元素為該行像素的平均值，其余為細(xì)節(jié)值值3、對(duì)矩陣的每一列執(zhí)行一維小波變換，求均值和細(xì)節(jié)值，直、對(duì)矩陣的每一列執(zhí)行一維小波變換，求均值和細(xì)節(jié)值，直到完成到完成 左上角的元素為整個(gè)圖像塊的像素平