(易錯題精選)初中數(shù)學圖形的相似經(jīng)典測試題附答案解析

1、（易錯題精選）初中數(shù)學圖形的相似經(jīng)典測試題附答案解析一、選擇題1 .如圖，以正方形 ABCD的AB邊為直徑作半圓 O,過點C作直線切半圓于點 E,交AD邊于點F,則FEA.一2【答案】C【解析】【分析】連接 OE、OF、OC,ECD- 3利用切線長定理和切線的性質(zhì)求出/OCF= / FOE,證明AEOFAECO),利用相似三角形的性質(zhì)即可解答.【詳解】解：連接 OE、OF、OC.AD、CF、CB 都與。O 相切，.-.CE= CB； OE± CF； FO平分/ AFC, CO 平分/ BCF.1. AF/ BC, ./ AFC+/ BCF= 180°, / OFC-+Z O

2、CF= 90°, . / OFC-+Z FOE= 90°, ./ OCF= / FOE, . EOM ECOOE= EF ,即 OE2=EF?ECEC OE設(shè)正方形邊長為 a,則OE= a CE= a.2EF 1EC 4故選：C.【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、切線長定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，其中通過作輔助線構(gòu)造相 似三角形是解答本題的關(guān)鍵.2.如圖所示，在正方形 ABCD中，G為CD邊中點，連接 AG并延長交BC邊的延長線于 E點，對角線BD交AG于F點.已知FG=2,則線段AE的長度為（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出

3、AB/ CD,進而可得出AABFsGDF,根據(jù)相似三角形的性AF AB . 一質(zhì)可得出 =2,結(jié)合FG=2可求出AF、AG的長度，由 CG/ AB> AB=2CG可得出GF GDCG為4EAB的中位線，再利用三角形中位線的性質(zhì)可求出AE的長度，此題得解.詳解：.四邊形 ABCD為正方形，.AB=CD, AB/ CD,/ ABF=Z GDF, / BAF=Z DGF, . ABF GDF,AF AB=2,GF GD .AF=2GF=4,.AG=6.1. CG/ AB, AB=2CG.CG為EAB的中位線，.AE=2AG=12.故選D.點睛：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及

4、三角形的中位線，利用相似三角形的性質(zhì)求出 AF的長度是解題的關(guān)鍵.3.如圖，在VABC中，點D, E分別為AB, AC邊上的點，且 DEBC, CD BE相較于點O,連接AO并延長交DE于點G,交BC邊于點F,則下列結(jié)論中一定正確的是(【解析】【分析】OD AEC. 一 一OC ACAG ACD. 一 一AF EC由DE/BC可得到VDEOsVCBO,依據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì) 進行判斷即可.【詳解】ADABAEAC，故不正確;解：A. / DE/BC,B. DE/BC ,AGGFAEEC，故不正確;C. DE/BC, VADE s VABC , VDEO s VCBO,DE

5、BCODocAE DE ODAC ' BC OCAEACD. DE/BC,AGAFAEAC，故不正確；故選C.【點睛】 本題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定定理是解 題的關(guān)鍵.AD4.如圖，平行于 BC的直線DE把"BC分成面積相等的兩部分，則 二二的值為(A. 1C.B.一2【答案】C【解析】【分析】由平行于BC的直線DE把AABC分成面積相等的兩部分，可知 AADE與AABC相似，且面積1 1比為則相似比為【詳解】力力口,F的值為2 AB. DE/ BC, . ADEs ABC, DE把AABC分成面積相等的兩部分, SZADEi= S

6、四邊形 DBCE本題考查了相似三角形的判定，相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方的逆用等.5 .如圖，點E是YABCD的邊AD上一點，DE 2AE ,連接BE ,交AC邊于點F ,卜列結(jié)論中錯誤的是（）BCA. BC 3AEB. AC 4AFC. BF 3EFD. BC 2DE【答案】D【解析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)分別判斷即可. 【詳解】解：. .在 YABCD 中，AD/BC, AD BC ,VAEF : VCBF , ,AE _ AF _ EF "CB " CF - BFDE 2AEBC= 3dE = 3AE ,選項A正確，選項D錯誤,AF一

7、 CF AC，選項AE AE 1 口.:=一，即：CFCB 3AE 34AF ,EFBF即:BF 3EF ,B正確，.選項C正確, 故選：D.【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，能熟練利用相似三角形 對應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵.6 .如圖，小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度 AB,他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊 DF保持水平，并且邊 DE與點B在同一直線上.已知紙板的兩條直角邊 DE 40cm, EF 20cm,測得邊DF離地面的高度 AC 1.5m, CD 8m ,則樹高 人8是（）A. 4 米B. 4.5 米C. 5 米D. 5.5 米【答案】D【解析

8、】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形 BCD相似求得BC的長后加上小明的身高即可求得樹高AB.【詳解】解：. / DEF玄 BCD-90 / D=Z D .ADEM DCBBC DCEF DE /. DE=40cm=0.4m, EF-20cm=0.2m, AC-1.5m, CD=8mBC 80.20.4 解得：BC=4. AB=AC+BC=1.5+4=5.5 米故答案為：5.5.【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型。7.如圖，將 ABC沿BC邊上的中線 AD平移到 ABC 16,陰影部分三角形的面積 9.若AA 1 ,則AD等于（的位置.已知

9、 ABC的面積為A. 2B. 3C. 43D.2由 SAABC= 16、SAA'EF= 9 且 AD 為 BC邊的中線知 SADE A DE9AEF 二，2S ABD1_ . 一, AD一S abc 8 ,根據(jù) ADA'0 DAB 知 2ADS ADES ABD,據(jù)此求解可得.Q S ABC16、S aef 9 ,且ad為BC邊的中線,S ADE19一 SA EF一，S22Q將 ABC沿BC邊上的中線1ABD - S ABC2AD平移得到8,ABCAE/AB,DAES A DES ABDADAD 1旦,16解得A D3 人7 （舍），故選：B .【點睛】本題主要平移的性質(zhì)，解題

10、的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點.8.如圖，在 RtAABC中，/ 0= 90°, AC= 3, 上一點，將4BDP沿DP所在的直線翻折后，點BC= 4,點D是AB的中點，點 P是直線BCB落在Bi處，若B1DXBC,則點P與點B之間的距離為（A. 15B.一4C. 1 或 3D. 5 或 54【答案】D【解析】【分析】分點Bi在BC左側(cè)，點BD成比例可得ABBEBCBi在BC右側(cè)兩種情況討論，由勾股定理可DE 1AB=5,由平行線分線段 一，可求BE, DE的長，由勾股定理可求 PB的長.AC 2BC=4,【詳解】解：如圖，若點B1在

11、BC左側(cè),AB= AC2 BC25點D是AB的中點,BD= BA=22. BiDXBC, Z C=90° BiD/ AC.BDBEDE1ABBCAC21 13 .BE=ECeBC=2, de=- ac=-222.折疊 .BiD=BD=, BiP=BP2 BiE=BiD-DE=1 在 RtABiPE中，BiP2=BiE2+P片,. .BP2=1+ (2-BP) 2,. .BP=5如圖，若點Bi在BC右側(cè),. BiE=DE+BD=3 + 5 ，2 2BiE=4在 RtEBp 中，BiP2=BiE2+EF2, . .BP2=16+ ( BP-2) 2,.BP=5故選：d.【點睛】本題考查了

12、折疊的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理.此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合 思想的應(yīng)用，注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系.9 .如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于eO, AB為直徑，AD CD,過點D作DE AB于點 到 BE 16 ,所以 AB 20.E ,連接AC交DE于點F若sin CAB3 , DF 5 ,則AB的長為(5【答案】d【解析】【分析】C. 16D. 20連接BD ,如圖，先利用圓周角定理證明ADE DAC得到FD FA 5 ,再根據(jù)正弦的定義計算出 EF 3 ,則AE 4,DE8,接著證明 ADEs dbe ,利用相似比得【詳解】解：連接BD ,如圖,CQ AB為直徑，ADB ACB 90 ,Q

13、 AD CD,DAC DCA ,而 DCA ABD ,DAC ABD ,DE ± AB ,ABD BDE 90 , 而 ADE BDE 90 ,ABD ADE,ADE DAC ,FD FA 5 , ,EF 3在 Rt AEF 中，Qsin CAB - AF 5 'EF 3 ,AE 52T7 4，DE 5 3 8，Q ADE DBE , AED BED , ADEs DBE ,DE ：BE AE : DE ,即 8： BE 4:8 ,BE 16 ,AB 4 16 20.故選：D.【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧 所對的圓心角

14、的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑.也考查了解直角三角形.10 .如圖，已知 ABC和 ABD都e O是的內(nèi)接三角形，AC和BD相交于點E ,則與ADE的相似的三角形是（）cA. BCEB. ABCC. ABDD. ABE【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同弧和等弧所對的圓周角相等，則AB弧所對的圓周角 BCE BDA, CEB和DEA是對頂角，所以 ADEs BCE .【詳解】解：Q BCE BDA, CEB DEAADEs BCE,故選：A.【點睛】考查相似三角形的判定定理：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，關(guān)鍵就是牢記同弧所對的圓周角相等.11 .把Rt

15、ABC三邊的長度都擴大為原來的 3倍，則銳角 A的余弦值（）A.擴大為原來的3倍B.縮小為原來的1 C,擴大為原來的9倍D.不變 3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答.【詳解】三邊的長度都擴大為原來的 3倍，則所得的三角形與原三角形相似，銳角A的大小不變，銳角A的余弦值不變，故選：D.【點睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，掌握相似三角形的對應(yīng)角相等 是解題的關(guān)鍵.12 .如圖，點E是矩形ABCD的邊AD的中點，且B已AC于點F,則下列結(jié)論中錯誤的是)A. AF= 1CF 2B. / DCF= / DFCC.圖中與"EF相似的三角形共有 5個八3D

16、. tan / CAD=-2【答案】D【解析】【分析】1 1AE AF 1由AE=- AD=-BC,又AD/ BC,所以 ，故A正確，不符合題意；2 2BC FC 21過D作DM / BE交AC于N,得到四邊形 BMDE是平行四邊形，求出 BM=DE= BC,得到2CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故 B正確，不符合題意；根據(jù)相似三角形的判定即可求解，故C正確，不符合題意；由BAe ADC,得到CD與AD的大小關(guān)系，根據(jù)正切函數(shù)可求 tan/CAD的值，故D錯 誤，符合題意.【詳解】解：A、 AD/ BC, . AE% CBFae = af )BC FC“L11-AE= -AD=

17、- BC,22AF 1=1 ,故A正確，不符合題意；FC 2B、過 D作 DM / BE交 AC于 N,1. DE/ BM, BE/ DM,四邊形BMDE是平行四邊形，.-.BM = DE= 1BC, .BM = CM, .-.CN=NF,. BEAC于點 F, DM / BE, .-.DNXCF, . DF= DC,./ DCF= / DFC,故B正確，不符合題意；C、圖中與 AAEF相似的三角形有 ZACD, ABAF, ACBF, ACAB, 那BE共有5個，故 C正 確，不符合題意.b aD、設(shè) AD= a, AB= b 由 ABAEs ADC,有一 =一 .a 2. tanZCAD=

18、 CD = b = 變，故d錯誤，符合題意.AD a 2故選：D.B【點睛】矩形的性質(zhì)，圖形面積的計算，正確的作出輔助線本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì), 是解題的關(guān)鍵.13. （2016山西?。捙c長的比是YL/（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊2藏著豐富的美學價值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感.我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形 ABCD,分另I取AD> BC的中點E、F,連接EF:以點F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長線于點 G;作GHXAD,交AD的延長線于點 H,則圖中下列矩形是黃金矩形的是（DCGH【答案】D【解析】DF的長，再根據(jù) DF=GF求得CG的

19、長，最后根據(jù)DCGH為黃金矩形.【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理，求得CG與CD的比值為黃金比，判斷矩形【詳解】 解：設(shè)正方形的邊長為 2,則CD=2, CF=1在直角三角形DCF中，DF 亍 遍FG 75CG J3 1CG 而1CD 2:矩形DCGH為黃金矩形故選：D.【點睛】本題主要考查了黃金分割，解決問題的關(guān)鍵是掌握黃金矩形的概念.解題時注意，寬與長的比是 居 1的矩形叫做黃金矩形，圖中的矩形 ABGH也為黃金矩形. 214.如圖，&BC中，Z BAC=45 , / ACB= 30 ；將 BBC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到當點G、Bi、C三點共線時，旋轉(zhuǎn)角為a,連接BBi,交AC于

20、點D.下列結(jié)論：Z7CiC為等腰三角形； ZVKBiDA BCD;a =75 ;CA= CD ,其中正確的是（A.【答案】B【解析】B.C.D.將MBC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到ZVBiCi,得到根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC1=AC,于是得到“CiC為等腰三角形；故正確；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/C1=ZACQ=30°,由三角形的內(nèi)角和得到/ CiAC=120°,得到/ BiAB=120°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì) 得到/ AB1B=30°=Z ACB,于是得到Z7BiDA BCQ故 正確；由旋轉(zhuǎn)角 a =120,0故 錯 誤；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/QABi = Z

21、 BAC=45°,推出/ BiAC=Z ABiC,于是得到 CA=CB ;故正確.【詳解】 解：將4BC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到ZVBiCi,ABCA AB1C1,ACi = AC,： AGC為等腰三角形；故正確；ACi = AC,O = Z ACO = 30 ,Z GAC=120 ,BiAB= 120°,.ABi = AB,，/ ABiB=30°=Z ACB,/ ADBi=Z BDC, . ABiDsBCD;故 正確；,旋轉(zhuǎn)角為a,a= i20°,故錯誤；,'Z OABi=Z BAC= 45°, 1/ BiAC= 75°,/ A

22、BiCi = Z BAC= I05 °, ./ ABiC= 75°,BiAC= / ABiC, CA= CB；故正確.故選：B.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的識 別圖形是解題的關(guān)鍵.I5.如圖，菱形 ABCD中，點P是CD的中點，/ BCD=60°,射線AP交BC的延長線于點 E,射線BP交DE于點K,點O是線段BK的中點，作 BMLAE于點M,作KN± AE于點N,連結(jié)MO、NO,以下四個結(jié)論： 4OMN是等腰三角形； tan Z OMN=；3BP=4PK;PM?PA=3PD2,其中正確的是（）Id

23、口IAA.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到 AD/ BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到對應(yīng)角相等，根據(jù)全等三角形的判定定理ZADP ECP由相似三角形的性質(zhì)得到 AD=CE, P PI/ CE交DE于I,根據(jù)點P是 KP PI 1 一CD的中點證明CE=2PI BE=4PI,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 二一，得到KB BE 4BP=3PK故錯誤；作OGLAE于G,根據(jù)平行線等分線段定理得到MG=NG,又OGLMN,證明AMON是等腰三角形，故正確；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出ZOMN= Y3,故正確；然后根據(jù)射影定理和三角函數(shù)即可得到PM?PA=3PD2,故正確.【詳解

24、】解：作PI/ CE交DE于I, 四邊形ABCD為菱形， .AD/ BC,/ DAP=Z CEP, / ADP=Z ECP在 "DP和AECP中，DAP CEPADP ECP,DP CP . ADP ECP .-.AD=CE,則反CEPD 一一一 _,又點P是CD的中點,DCPI 1=-，CE 2. AD=CEKP PI 1一 一 =-, KB BE 4 .BP=3PK故錯誤；作 OGi± AE于 G, . BM ± AE于 M, KN± AE于 N, .BM / OG/ KN, 點O是線段BK的中點，.MG=NG,又 OG, MN ,.OM=ON,即A

25、MON是等腰三角形，故 正確；由題意得，ABPC, AAMB, AABP為直角三角形,設(shè)BC=2,貝U CP=1,由勾股定理得，BP=J3,貝U AP=",根據(jù)三角形面積公式，BM= ,7 點O是線段BK的中點， . PB=3PO, .OG=1 BM= 2 21 , 321MG= 2 MP=2 , 37tanZ OMN= OG =,故正確; MG 3 /ABP=90, BM± AP,. . PB2=PM?PA, / BCD=60 , ./ ABC=120,/ PBC=30,/ BPC=90,PB= 1 3 PC1 PD=PC,PB2=3PD,2 .PM?PA=3PD;,故

26、正確.故選B.【點睛】本題考查相似形綜合題.16.已知線段MN = 4cm, P是線段MN的黃金分割點，MP>NP,那么線段 MP的長度等 于（）A. （2 而+2） cm B. （2 45 - 2） cm C.（而+1） cmD. （ & T） cm【答案】B 【解析】 【分析】根據(jù)黃金分割的定義進行作答 .【詳解】由黃金分割的定義知，-MP- 45_，又mn=4,所以，MP=2痣 2.所以答案選B. MN 2【點睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義是本題解題關(guān)鍵17.如圖，矩形 AEHC是由三個全等矩形拼成的，AH與BE、BF、DF、DG、CG分別交于點P、Q

27、、K、M、N,設(shè) BPQ , DKM , CNH的面積依次為&、S2、& ,若§ S3 20,則S2的值為（）E F G HA. 6B. 8C. 10D. 1【答案】B【解析】【分析】1由已知條件可以得到 ABPgDKMsCNH,然后得到 ABPQ與4DKM的相似比為 一，21BPQ與ACNH的相似比為,由相似二角形的性質(zhì)求出S1 ,從而求出S2 .3【詳解】解：矩形 AEHC是由三個全等矩形拼成的， .AB=BD=CD, AE/ BF/ DG/ CH, 四邊形 BEFD,四邊形 DFGC是平行四邊形，/ BQP=Z DMK=/CHN, .BE/ DF/ CG, ./

28、 BPQ=Z DKM=/CNH, .ABQs ADM, AABQsACH,AB BQ 1 BQ AB 1一 ,一-,ADDM2CHAC 3 . BPg DKMA CNH,BQ1BQ1-,-,MD2CH35 1sli -S24 ' S39 'S2 4S, & 9§,G S3 20,S12 , S2 4§ 8；故選：B.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正確得到S2 4Si, S3 9§ ,從而求出答案18.如圖，頂角為36°的等腰三角形，其底邊與腰之比等k,這樣的三角形稱為黃金三角形，已知腰AB=1, ABC為第一個黃金三角形，BCD為第二個黃金三角形，CDE為第三個黃金三角形以此類推，第2020個黃金三角形的周長(),2018A. k2018B. k2019C. D. k2°19(2 k)2 k【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，求出前幾個三角形的周長，進而找出規(guī)律：第n個黃金三角形的周長