直線與平面、平面與平面垂直的性質(例題補講)

1、23.3 直線與平面、平面與平面垂直的性質1已知 b平面，a， 則 a 與 b 的位置關系是()AabBabBCa 與 b 垂直相交Da 與 b 垂直且異面2下列命題中，真命題的個數是()C和一條直線成等角的兩平面平行；和兩條異面直線都平行的兩平面平行；和兩相交直線都平行的兩平面平行A0B1C2D3解析：假，、真3下面四個命題，其中真命題的個數為()B如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線和這個平面垂直；過空間一點有且只有一條直線和已知平面垂直；一條直線和一個平面不垂直，這條直線和平面內的所有直線都不垂直；垂直于同一平面的兩條直線平行A1 個B2 個C3 個D4 個4兩個平面互

2、相垂直，一條直線和其中一個平面平行，則這條直線和另一個平面的位置關系是_解析：、是真命題相交、平行、在平面內重點線面、面面垂直的性質定理1線面垂直性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行(線面垂直線線平行)2面面垂直性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直用符號語言表示為：若，l，a，al，則a(面面垂直線面垂直)3面面垂直性質定理：如果兩個平面互相垂直， 那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內直線與平面垂直的性質定理的簡單應用例 1：如圖 1，在四面體 PABC 中，若 PA BC，PBAC，求證：PCAB.圖 1思維突破：要證線線垂直，

3、可先證線面垂直，進而由線面垂直的定義得出線線垂直證明：過 P 作 PH平面 ABC，垂足為 H，連接 AH、BH和 CH.PA BC, PHBC，PA PHP，BC平面 PAH.又 AH平面 PAH ，BCAH.同理 ACBH，即 H 為ABC 的垂心，ABCH.PHAB，CHPHH，AB平面 PCH.PC平面 PCH，PCAB.點評：從本例可以進一步體會線面位置關系的相互轉化在解(證)題中的作用11.已知 a、b 是兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，a，b，則下列命題中不正確的是()BA若 a 與 b 相交，則與相交B若與相交，則 a 與 b 相交C若 ab，則D若，則 ab解析：與相交，

4、a 與 b 可能是異面直線12.、是兩個不同的平面，m、n 是、之外的兩條不同的直線，給出以下四個論斷：mn；n；m.以其中三個論斷作為條件，余下一個作為結論，寫出你認為正確的一個命題_.解析：答案不唯一，如：也正確圖 2證明：作 AHSB 于 H.平面 SAB平面 SBC，AH平面 SBC.AHBC.又 SA平面 ABC，SABC.又AHSAA，BC平面 SAB.BCAB.面面垂直線面垂直平面與平面垂直的性質定理的簡單應用例 2：如圖 2，在三棱錐 SABC 中，SA平面 ABC，平面SAB平面 SBC.求證：ABBC.21.如圖 3，四棱錐 VABCD 的底面為矩形，側面 VAB底面 AB

5、CD，且 VB平面 VAD.求證：平面 VBC平面 VAC.圖 3證明：四邊形 ABCD 為矩形，BCAB.又面 VBA面 ABCD，面 VBA面 ABCDAB，BC面 VAB.BCVA.VB面 VAD，VBVA.VBBCB，VA面 VBC.又VA面 VAC，面 VBC面 VAC.面面垂直的綜合應用例 3：如圖 4，已知矩形 ABCD，過 A 作 SA平面 AC，AESB 于 E 點，過 E 作 EFSC 于 F 點(1)求證：AFSC；(2)若平面 AEF 交 SD 于 G，求證：AGSD.圖 4證明：(1)SA平面AC，BC平面AC，SABC.四邊形 ABCD 是矩形，ABBC.BC平面

6、SAB.又 AE平面 SBC，BCAE.又 SBAE，AE平面 SBC.AESC.又 EFSC，SC平面 AEF，AFSC.(2)SA平面 AC，DC平面 AC，SADC.又 ADDC，DC平面 SAD.又 AG平面 SAD，DCAG.又由(1)有 SC平面 AEF，AG平面 AEF，SCAG，且 SCDCC，AG平面 SDC.AGSD.3 1. 已知 PA 矩形 ABCD 所在平面，平面 PDC 與平面ABCD 成 45角，M、N 分別為 AB、PC 的中點求證：平面 MND平面 PDC.圖 27證明：如圖 27，設 E 為 PD 中點，連接 AE、EN，M、N分別為 AB、PC 中點，EN

7、DCAB，四邊形 AMNE 為平行四邊形，MNAE.DCAE，DCPD，PDA 是二面角 PDCA 的平面角PDA45，又 PA AD，APD45，PAD 是等腰直角三角形E 為 PD 的中點，AEPD.又DCAE，AE平面 PDC.又 MNAE，MN平面 PDC.平面 MND平面 PDC.PA 矩形 ABCD 所在的平面，PA DC，PA AD.又DCAD，DC平面 PAD，而 AE平面 PAD.例 4：證明：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面錯因剖析：找不準輔助線，無從下手證法一：如圖5，在內取一點 P，作PA 垂直與的交線于A，再作 PB 垂直與的交線于

8、B，則 PA ，PB.l，lPA ，lPB.與相交，PA 與 PB 相交又 PA ，PB，l.圖 5圖 6證法二：如圖 6，在內作直線 m 垂直于與的交線，在內作直線 n 垂直于與的交線，m，n.mn.又 n，m，ml，l.證法三：如圖7，在 l 上取一點 P，過點 P 作的垂線 l，但l，l 與 l重合，l.圖 7點評：證法一、證法二都是利用“兩平面垂直時，在一個平面內垂直于兩平面的交線的直線垂直于另一個平面”這一性質，添加了在一個平面內垂直于交線的直線這樣的輔助線這是證法一、證法二的關鍵證法三是利用“如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內”這一性質，