二項(xiàng)式定理公開課教案教案

1、.二項(xiàng)式定理公開課教案（第一教時）一、教學(xué)目標(biāo)1、理解楊輝三角形。其行為樣例是：（1）能用不完全歸納法寫出楊輝三角形；（2）能根據(jù)楊輝三角形對的二項(xiàng)式進(jìn)行展開。2、掌握二項(xiàng)式定理。其行為樣例是：（1）能根據(jù)組合思想及不完全歸納法猜出二項(xiàng)展開式的系數(shù)以及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)；(2)能正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)和某一項(xiàng)的系數(shù)；（3）能應(yīng)用定理對任意給定的一個二項(xiàng)式進(jìn)行展開、并求出它特定的項(xiàng)或系數(shù)。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1、重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用。2、難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)。（教具：多媒體課件）三、教學(xué)過程1、情景設(shè)置問題1：若今天是星期一，再過30天后是星期幾？怎么算？預(yù)期回答：星期三，將問題轉(zhuǎn)化

2、為求“30被7除后算余數(shù)”是多少。問題2：若今天是星期一，再過天后是星期幾？怎么算？預(yù)期回答：將問題轉(zhuǎn)化為求“被7除后算余數(shù)”是多少，也就是研究的展開式是什么？這就是本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容，學(xué)完本課后，此題就不難求解了。（設(shè)計意圖：使學(xué)生明確學(xué)習(xí)目的，用懸念來激發(fā)他們的學(xué)習(xí)動機(jī)。奧蘇貝爾認(rèn)為動機(jī)是學(xué)習(xí)的先決條件，而認(rèn)知驅(qū)力，即學(xué)生渴望認(rèn)知、理解和掌握知識，并能正確陳述問題、順利解決問題的傾向是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要動力。）2、新授第一步：讓學(xué)生展開；教師將以上各展開式的系數(shù)整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1問題1：請你找出以上數(shù)據(jù)上下行之間的規(guī)

3、律。預(yù)期回答：下一行中間的各個數(shù)分別等于上一行對應(yīng)位置的相鄰兩數(shù)之和。問題2：以的展開式為例，說出各項(xiàng)字母排列的規(guī)律；項(xiàng)數(shù)與乘方指數(shù)的關(guān)系；展開式第二項(xiàng)的系數(shù)與乘方指數(shù)的關(guān)系。預(yù)期回答：展開式每一項(xiàng)的次數(shù)按某一字母降冪排列、另一字母升冪排列，且兩個字母的和等于乘方指數(shù)；展開式的項(xiàng)數(shù)比乘方指數(shù)多1項(xiàng)；展開式中第二項(xiàng)的系數(shù)等于乘方指數(shù)。 初步歸納出下式： （）（設(shè)計意圖：以上呈現(xiàn)給學(xué)生的由系數(shù)排成的“三角形”，起到了“先行組織者”的作用，雖然，教師將此“三角形”模型以定論的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，但是，它畢竟不是最后的結(jié)果，而是一種尋找系數(shù)規(guī)律的有效工具，便于學(xué)生將新的學(xué)習(xí)材料同自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來

4、，并納入到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中而出現(xiàn)意義。這樣的學(xué)習(xí)是有意義的而不是機(jī)械的，是主動建構(gòu)的而不是被動死記的心理過程。）練習(xí)：展開教師作階段性評價，告訴學(xué)生以上的系數(shù)表是我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝的杰作，稱為楊輝三角形，這項(xiàng)發(fā)明比歐洲人帕斯卡三角早400多年。你們今天做了與楊輝同樣的探索，以鼓勵學(xué)生探究的熱情，并激發(fā)作為一名文明古國的后代的民族自豪感和愛國熱情。第二步：繼續(xù)設(shè)疑如何展開以及呢？（設(shè)計意圖：讓學(xué)生感到僅掌握楊輝三角形是不夠的，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)新的更簡捷的方法的欲望。）繼續(xù)新授師：為了尋找規(guī)律，我們將中第一個括號中的字母分別記成；第二個括號中的字母分別記成；依次類推。請再次用多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則計算：

5、 （設(shè)計意圖：上述呈現(xiàn)內(nèi)容是為了搭建“認(rèn)知橋梁”，用以激活學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的知識與經(jīng)驗(yàn)，便于學(xué)生進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，用已有的知識與經(jīng)驗(yàn)同化當(dāng)前學(xué)習(xí)的新知識，并遷移到陌生的情境之中。）問題1：以項(xiàng)為例，有幾種情況相乘均可得到項(xiàng)？這里的字母各來自哪個括號？問題2：既然以上的字母分別來自4個不同的括號，項(xiàng)的系數(shù)你能用組合數(shù)來表示嗎？問題3：你能將問題2所述的意思改編成一個排列組合的命題嗎？（預(yù)期答案： 有4個括號，每個括號中有兩個字母，一個是、一個是。每個括號只能取一個字母，任取兩個、兩個，然后相乘，問不同的取法有幾種？）問題4：請用類比的方法，求出二項(xiàng)展開式中的其它各項(xiàng)系數(shù)，并將式子：括號中的系數(shù)全部

6、用組合數(shù)的形式進(jìn)行填寫。呈現(xiàn)二項(xiàng)式定理板書課題：。3、深化認(rèn)識請學(xué)生總結(jié)：二項(xiàng)式定理展開式的系數(shù)、指數(shù)、項(xiàng)數(shù)的特點(diǎn)是什么？二項(xiàng)式定理展開式的結(jié)構(gòu)特征是什么？哪一項(xiàng)最具有代表性？由此，學(xué)生得出二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開式、二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)等概念，這是本課的重點(diǎn)。（設(shè)計意圖：教師用邊講邊問的形式，通過讓學(xué)生自己總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，挖掘?qū)W習(xí)材料潛在的意義，從而使學(xué)習(xí)成為有意義的學(xué)習(xí)。）4、鞏固應(yīng)用【例1】展開 【例2】求的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)及第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)。求的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)。變式：在二項(xiàng)式定理中，令，得到怎樣的公式？思考：為什么？ 【例3】解決起始問題：，前面是7的倍數(shù)，因此余數(shù)為，故應(yīng)該為星期二。說明：解決某些整除性問題是二項(xiàng)式定理又一方面應(yīng)用。四、課堂小結(jié)本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式的展開，有兩種方法，一是楊輝三角形，二是