兩角差的余弦公式教學設計及點評

1、名師推薦精心整理學習必備兩角差的余弦公式教學設計課題兩角差的余弦公式項目內(nèi)容理論依據(jù)或設計意圖兩角差的余弦公式是普通高中課程標準實驗教科書人教 A 版數(shù)學 4（必修）中教的第三章的 3.1.1節(jié)內(nèi)容，教學課時為1材課時。前兩章學生已經(jīng)學習了任意角的三角地函數(shù)和平面向量等知識， 對三角函數(shù)有了一教位定的認識，有利于學生接受兩角差的余弦公課程標準及式.作兩角差的余弦公式 是三角恒等變換這用一章中的一個重要內(nèi)容， 只有對兩角差的余弦公式有了認識，才能夠以此為基礎推導其材他三角恒等變換公式。 這是一個邏輯推理過程也是一個認識三角函數(shù)式的特征， 體會三角恒等變換特點的過程 .1知識與技能（1）通過對兩角

2、差的余弦公式的推導，分使學生體會應用向量解決數(shù)學問題的技能.教（2）通過公式的靈活應用， 使學生掌握學兩角差的余弦公式的作用.2過程與方法目（1）利用兩角差的余弦公式推導過程，析使學生體會向量在代數(shù)幾何方面運用的方標 式方法.（2）在公式的靈活運用過程中進一步培養(yǎng)學生分類討論思想、 轉(zhuǎn)化和化歸思想、 數(shù)形結合思想 .3情感態(tài)度與價值觀通過引導學生主動參與、 大膽猜想獨立探索、激發(fā)學生學習興趣， 形成探究、證明、應用的獲取知識的方式。 從應用中去體會數(shù)學的嚴謹，形成理性思維， 體會向量及兩角差的余弦公式的運用價值。根據(jù)新課程標準的要求，從提高學生的數(shù)學素質(zhì)和能力出發(fā)，結合學生心理發(fā)展的需求，以及

3、人格、情感、價值觀的具體要求制訂.名師推薦精心整理學習必備重重點：兩角差的余弦公式的運用 .數(shù)學教學不僅使難難點：用兩角差余弦公式進行簡化、 計算及學生理解知識的發(fā)生點逆用公式等技能 .過程，更重要是培養(yǎng)學生對知識的應用能力 .我們已經(jīng)知道 cos4523,cos 302一2由此我們能否得到 cos15的值呢？以境教激對于 cos() coscos情你們同意這個觀點嗎？說說理由？學活動 1：（教師活動）提出問題：究竟該如何計算設cos() ？對于求角的余弦值這種問題，通過學生熟知的特殊角余弦值引入問題，引發(fā)認知沖突， 引出本節(jié)課題 .使學生明確數(shù)學是一門嚴謹?shù)目茖W，激勵學生探索新知 .通過設問

4、，激發(fā)學生自覺回顧三角函數(shù)和計我們有哪些方法？（學生活動 ）回憶三角函數(shù)定義、 三角函數(shù)線以及平面向量數(shù)量積運算等相關知識 .活動 2:向量的相關知識，為公式的探索提供思路 .二（教師活動）引導學生嘗試用向量的方法來探究如何計算 cos() .研 先復習兩個向量數(shù)量積的定義與坐標運探 算公式；論定義式： a babcos；證坐標式： a bx1 x2y1 y2 （學生活動） 在平面直角坐標系中作單位圓，以 x 軸非負半軸為始邊作角，它通過帶有指向性的問題，使學生意識到， 向量方法可能是解決問題的工具，引導學生建立向量使用的數(shù)學環(huán)境，培養(yǎng)學生自主探索和數(shù)形結合的能力 .們的終邊與單位圓O 的交點

5、分別為 A 、 B ，則 A cos ,sin， B cos ,sin；試用 A 、 B 兩點的坐標表示AOB 的余弦值。名師推薦精心整理學習必備（教師活動）引導學生經(jīng)歷用向量方法探索求 cos() ，結合圖形，明確應選擇哪幾個向量，它們怎么用坐標表示？怎樣利用數(shù)量積計算公式得到推導結果？（學生活動）計算OAOB，得到在教師的引導下，通過求兩個已知向量的夾角問題以及三角函數(shù)定義的應用得出新的結論，使學生體會和認識嚴格的推導過程是獲取數(shù)學結論的方法。由學生得到結論，讓學生在數(shù)學課上體會成功.OA OBcoscossin sin；另一方面，從定義式計算OA OBOAOB cos；二cos由于向量工

6、具已被引得出結論研入，因此將問題歸結為教探coscos cossinsin角度問題，選用向量方論法推導公式，使得公式活動 3：證的得出成為一個純粹學（教師活動） 引導學生思考,的的代數(shù)運算過程，大大降低了思考難度. 另范圍，完善公式的推導 .外，在公式的完善過程設（學生活動 ）提出的任意性，而向量中，學生用對比、聯(lián)系、化歸的觀點去分析問夾角為 0, ，學生產(chǎn)生疑惑：與向題、處理問題，使他們計量之間的夾角有什么關系呢？在建立公式的過程中發(fā)展邏輯推理能力和教師活動：幾何畫板動態(tài)展示， 引導學生結對知識的遷移應用 .合計算機圖形語言和三角函數(shù)誘導公式對公式的嚴密性進行論證 .(1)0,2k;根據(jù)終邊

7、相(2)(,22k同的角的性質(zhì)，cos()cos活動 4：（教師活動）引導學生說出兩角差的余弦公式的結構特點 .（學生活動） 發(fā)現(xiàn)公式左邊是差角的余弦，右邊是單角同名三角函數(shù)值乘積之和 .培養(yǎng)學生用自己的語言描述公式特征的表達能力。加深對公式的印象，掌握公式特點，為下一步公式的應用做好鋪墊 .名師推薦精心整理學習必備活動 5：例題分析（教師活動）講評例 1. 利用兩角差的余弦公式求 cos15 的值這是通過應用理解公式最基礎的練習，在講評過程中引導學生注意以下幾個要點：（1）三角變換關注角的拆分，易于理解.二（2）由于是具體角，拆分過程容易進行.（3）拆分的多樣性，決定變換的多樣性.研探（學生

8、活動） 求出 sin 75 的值 .論證（1）通過誘導公式轉(zhuǎn)化為cos15 ；（2）轉(zhuǎn)化為先利用 cos(12045 ) 求 cos 75 ，學生到此刻，能夠利用本課新發(fā)現(xiàn)的兩角差的余弦公式解決這個問題，呼應前面，同時讓學生獲得了成果的數(shù)學體驗 .通過正、余弦之間的轉(zhuǎn)化；非特殊角與特殊角之間的轉(zhuǎn)化，進一步鞏固公式的應用，滲透化歸的數(shù)學思想 .再用同角關系求 sin 75教（教師活動）講評例題 2：學已知 sin4 ,( ,), cos5 , 是5213第三象限角，求 cos()的值.設引導學生分析問題， 形成如下思路： 結合余對題目進行解析，使學生形成解決這類問題的基本思路 .在講評例題的過程

9、中注重在表述規(guī)范性上作出點評和要求，提高學生的數(shù)學表達能弦 公式 , 欲求 cos(力.)的值, 必先知道計的值, 然后利用公式sin ,cos ,sin ,cosC() 即可求解 ., 注意角,所在的象限 ,準確判斷它們的三角函數(shù)值的符號 .活動 6：課堂練習使學生獨立完成證明，（學生活動）培養(yǎng)學生獨立思考的1、證明 cos()sin.2（教師活動） 對學生的證明過程進行點評，使學生認識到該誘導公式是兩角差余弦公式的特殊情形 .三數(shù)學思維品質(zhì)和對數(shù)學知識前后聯(lián)系，建立數(shù)學知識網(wǎng)絡的能力 .學生上臺演板，是本節(jié)名師推薦精心整理學習必備反（學生活動）課教學的重要一環(huán)，饋學生上臺演板，運用公式解決

10、以下問題：能充分調(diào)動學生學習練2、已知3,(,),數(shù)學的實踐活動能力，cos使教師了解學生學習習52情況，是激發(fā)學生學習求 cos()的值 .興趣的有效途徑 .4（教師活動）對學生的計算過程的每一步進行點評，是學生認識到兩角差余弦公式使用時注意利用特殊角的正弦值余弦值.教（學生活動） 先請一位同學在黑板上演示，學然后再向全體同學講解：3、已知 sin15, 是第二象限角 ,17設求 cos()的值 .3通過問題的設計，注重培養(yǎng)學生分類討論的數(shù)學思想 , 在解題的過程中培養(yǎng)學生思維的嚴密性和邏輯的條理性，同時注重對學生的表述規(guī)范性的指導 .（教師活動） 找?guī)追菥哂写硇缘慕獯鹜队嬘埃屚瑢W們點評

11、 .（學生活動） 學生認真審題，求解問題、已知sin2334,( , ),cos,3324,2 ),求cos(的值().2（教師活動）對學生表述的步驟是否規(guī)范作出必要的點評和要求。 引導學生一定要弄清角的范圍 , 準確判斷三角函數(shù)值的符號 .活動 7：變式訓練（學生活動）應用本課所學的公式進行以下計算：1、cos60 cos15sin 60 sin15?四變2、cos() cossin() sin?33式（教師活動）點評，不僅要會公式的正用而訓且要注意公式的逆用和變形應用.練引導學生認識到要使用兩角差余弦公式，應該運用同角三角函數(shù)關系對四個數(shù)據(jù)作出準備，培養(yǎng)學生“舉一反三”的解決數(shù)學問題的能力

12、 .在練習中加深對公式結構和功能的認識，使學生熟練、靈活運用公式；掌握三角式變換的特點，培養(yǎng)學生公式的逆用能力 .名師推薦精心整理學習必備（學生活動 ）應用公式計算：引導學生獨立思考，得3、已知 sin(30)3,60150 ,出(30)30，從而具備使用兩角差5求 cos 的值 .余弦公式的條件，培養(yǎng)（教師活動）引導學生比較已知的角學生解決數(shù)學問題的化歸思想 .30 與所求的角 之間的關系，注意構造角以及研究角的范圍 .課堂小結：讓學生在課堂小五通過本節(jié)課的學習你有哪些收獲？結中進行自我評價，回1、探索并證明了兩角差的余弦公 , 經(jīng)歷了，顧當堂所學，交流學習應猜想 探究證明 ,利用向量法得出

13、了：體會 .用cos() cos cossin sin評在證明公式的過程中，我們利用了向量注意公式特征， 正價這一簡潔有效的工具， 在后面的學習中我們用，逆用和角的拼湊！會繼續(xù)感受它的便利 .在探究問題時，結合所2、所涉及的數(shù)學思想與方法 : 猜想、化學知識，要大膽猜想，歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結合、分類討論 .細心證明！布置作業(yè)：1. 必做： P137，2,3,42、選做：sinsin3 , coscos4 ,55求 cos()通過例題、練習、課堂小結、作業(yè)等對學生在三維目標方面進一步評價，反思教學，改進方法 .3. 課下思考 ：你 能用 cos() , 推導出cos() 嗎？板書設計：兩角差的余弦公

14、式cos()coscossinsin投影屏幕板演區(qū)域(C()名師推薦精心整理學習必備教學設計說明一、教材地位及其作用恒等變換在數(shù)學中扮演著重要的角色，它的主要作用是化簡 . 在數(shù)學中通過恒等變換， 可以把復雜的關系用簡單的形式表示出來. 三角恒等變換在后續(xù)學習中具有重要的作用.而以本節(jié)課為起始課的第三章內(nèi)容需要學習三角函數(shù)運算中蘊涵的恒等關系. 由于和、差、倍之間存在的聯(lián)系，和角、差角、倍角的三角函數(shù)之間必然存在緊密的內(nèi)在聯(lián)系，因而需要推出一個公式作為基礎。由于三角恒等變換的內(nèi)容與三角函數(shù)沒有直接的關系，因此現(xiàn)行的課改教材（人教 A 版）安排學生學完三角函數(shù)后，先學習了平面向量，因此選擇了運用

15、向量方法推導公式cos()coscossinsin作為建立其它公式的基礎，使得公式的得出成為一個純粹的代數(shù)運算過程，降低了思考難度。本節(jié)課的作用承前啟后, 非常重要。二、學情分析與教學目標學生在前兩章已經(jīng)學習了同角三角函數(shù)的基本關系、 誘導公式及平面向量， 為探究兩角差的余弦公式建立了良好的基礎。 但學生的邏輯推理能力有限， 要發(fā)現(xiàn)并證明公式 C( - ) 有一定的難度，教師可引導學生通過合作交流，體會向量法的作用，探索兩角差的余弦公式。由于學生初次使用恒等變換去推理解答問題，分析問題的能力和邏輯推理的能力都有所欠缺，并且面對新問題如何運用已學知識和方法去解決存有困惑 .但同時學生在學習新的一

16、章知識時又都會充滿好奇心，這對教學是非常有利的。根據(jù)學生的認知結構和心理特點，我制定了本課的學習目標如下：1知識與技能（1）通過對兩角差的余弦公式的推導，使學生體會應用向量解決數(shù)學問題的技能。（2）通過公式的靈活應用，使學生掌握兩角差的余弦公式的作用。2過程與方法（1）利用兩角差的余弦公式推導過程，使學生體會向量在代數(shù)幾何方面運用的方式方法。（2）在公式的靈活運用過程中進一步培養(yǎng)學生分類討論思想、轉(zhuǎn)化和化歸思想、數(shù)形結合思想。3情感態(tài)度與價值觀通過引導學生主動參與、大膽猜想獨立探索、激發(fā)學生學習興趣，形成探究、證明、應用的獲取知識的方式。從應用中去體會數(shù)學的嚴謹，形成理性思維，體會向量及兩角差

17、的余弦公式的運用價值。名師推薦精心整理學習必備三、教學重點及難點重點： 兩角差的余弦公式的運用.難點： 用兩角差余弦公式進行簡化、計算及逆用公式等技能.四、教法選擇和學法指導基于對教材和學生的分析，本節(jié)課我采用“引導發(fā)現(xiàn)”和“主動參與、獨立探索”等方法組織課堂教學 .為了抓住重點，我從學生已有的認知水平出發(fā)，設計具有梯度的問題導入，激發(fā)學生的求知欲，引導和組織學生參與探索公式的建立和推導過程，鼓勵學生獨立思考，讓學生在參與推理的過程中感受成功的快樂和提高邏輯推理能力；在突破難點上，主要通過以下四個方面的師生活動：引導學生積極思考，大膽探索，學會對目標進行對比分析，把握思維方向；組織學生共同鉆研

18、，學會合作，開展討論交流；對學生的探究活動適當指導，適時地給與幫助；完善推理過程對0,的情況引導學生完善 .通過實際生活問題引入課題，為公式學習創(chuàng)設情境，拉近數(shù)學與現(xiàn)實的距離，激發(fā)學生的求知欲。采用多媒體等現(xiàn)代教學手段，增強教學簡易性和直觀性。通過有梯度的練習、變式訓練、分層作業(yè)，讓學生對知識掌握逐步提高。學法分析 . 教師在課前讓學生簡單復習一下本課要用到的一些知識點，如三角函數(shù)的定義，向量的數(shù)量積等。. 在學生自主探究過程中，教師要從某些角度引導學生去發(fā)現(xiàn)公式，給出一些證明方法的提示性問題，引導學生去推導公式。五、教學基本流程設計教學活動活動 1：提出問題：究竟該如何計算cos() ？對于

19、求角的余弦值這種問題， 我們有哪些方法？活動 2:嘗試用向量的方法來探究如何計算cos() .設計意圖通過設問，激發(fā)學生自覺回顧三角函數(shù)和向量的相關知識，為公式的探索提供思路.通過帶有指向性的問題， 使學生意識到， 向量方法可能是解決問題的工具， 引導學生建立向量使用的數(shù)學環(huán)境， 培養(yǎng)學生自主探索和數(shù)形結合的能力 .名師推薦活動 3：引導學生思考,的范圍，完善公式的推導 .活動 4：引導學生說出兩角差的余弦公式的結構特點 .精心整理學習必備在公式的完善過程中，學生用對比、聯(lián)系、化歸的觀點去分析問題、 處理問題，使他們在建立公式的過程中發(fā)展邏輯推理能力和對知識的遷移應用 .培養(yǎng)學生用自己的語言描

20、述公式特征的表達能力。加深對公式的印象，掌握公式特點，為下一步公式的應用做好鋪墊 .活動 5：例題分析例1、 利用兩角差的余弦公式求 cos15 的值 例2、 已知對題目進行解析，使學生形成解決這類問sin4 ,( , ), cos5 , 是題的基本思路 . 在講評例題的過程中注重在表5213述規(guī)范性上作出點評和要求， 提高學生的數(shù)學第三象限角，求 cos()的值.表達能力 .活動 6：課堂練習1、證明 cos()sin .學生上臺演板，是本節(jié)課教學的重要一環(huán)，2能充分調(diào)動學生學習數(shù)學的實踐活動能力， 使2、已知cos3 ,(, ),教師了解學生學習情況， 是激發(fā)學生學習興趣的有效途徑 .52

21、求 cos()的值 .通過問題的設計，注重培養(yǎng)學生分類討論4的數(shù)學思想 , 在解題的過程中培養(yǎng)學生思維的3、已知 sin15 ,是第二象限角 ,嚴密性和邏輯的條理性， 同時注重對學生的表述規(guī)范性的指導 .17求 cos()的值 .引導學生認識到要使用兩角差余弦公式，3應該運用同角三角函數(shù)關系對四個數(shù)據(jù)作出233準備，培養(yǎng)學生 “舉一反三”的解決數(shù)學問、已知sin(,題的能力 .4,),cos3324,2 ),求cos(的值().2活動 7：變式訓練1、cos 60 cos15sin 60 sin 15?2、cos() cossin() sin?333、已知 sin(30)3 ,60150 ,5

22、求 cos的值 .在練習中加深對公式結構和功能的認識，使學生熟練、靈活運用公式； 掌握三角式變換的特點，培養(yǎng)學生公式的逆用能力 .名師推薦精心整理學習必備六、教學評價分析1. 本節(jié)課采用 “創(chuàng)設情境 - 提出問題 - 探索嘗試 - 啟發(fā)引導 - 解決問題” 的過程來實現(xiàn)教學目標。有利于知識產(chǎn)生、發(fā)展、解決這一認知過程的完整體現(xiàn)。2. 在得到兩角差的余弦公式后，使學生進一步體會代數(shù)思想的深刻性。通過對公式的認識，例題的講解，變式的強化訓練，可以加深學生對公式特征的印象，及靈活應用公式解題的能力。3. 在教學手段上使用多媒體技術，使重點得到突出，抽象變得直觀，有效增加課堂容量，激發(fā)學生的學習興趣，

23、提高教學效率。4. 面對不同程度的教學對象， 在教學時間上和作業(yè)的布置中， 突出了學生學習的個體差異現(xiàn)實，但也要視教學對象的接受程度進行靈活的刪減。名師推薦精心整理學習必備兩角差的余弦公式教學設計點評省級骨干教師周凈兩角差的余弦公式 是普通高中課程標準實驗教科書人教A 版數(shù)學 4（必修）第三章的節(jié)內(nèi)容，教學課時為1 課時。本節(jié)課教師采用了活動教學法，將獲取知識的猜想、論證和應用過程分解成為7 個教學活動，在活動中通過教師的問來啟發(fā)引導學生，通過學生的練來鞏固知識，是高效課堂的典型模式之一。本節(jié)課有以下4 個特點：1體現(xiàn)了教師在教學中的主導地位。教師在本節(jié)課的教學活動中主要是通過問題創(chuàng)設情境，激發(fā)學生的求知欲，在學生探究新知時對學生的方向和方法加以指導，在例題分析時注重啟發(fā)學生的思路和規(guī)范學生的表達，在反饋練習和變式訓練環(huán)節(jié)組織和激勵學生獨立思考，觀察