第2章點、直線和平面的投影

1、第第2 2章章 點、直線和平面的投影點、直線和平面的投影 2.2 點的投影點的投影 2.3 直線的投影直線的投影 2.5 直線與平面、平面與平面的相對位置直線與平面、平面與平面的相對位置 2.4 平面的投影平面的投影 2.1 投影的基本知識和視圖投影的基本知識和視圖 2.1.1 2.1.1 投影的概念投影的概念 2.1.2 2.1.2 投影法的分類投影法的分類 2.1.3 2.1.3 正投影的投影特性正投影的投影特性2.1 投影法的基本知識投影法的基本知識 2.1.4 2.1.4 三視圖的形成及投影規(guī)律三視圖的形成及投影規(guī)律 2.1.1 2.1.1 投影法的概念投影法的概念投影面投影面Pa 投

2、影投影投射線投射線bS 投影中心投影中心A 空間點空間點B 將光線通過物體向選定的平面投影，并在該平面上得將光線通過物體向選定的平面投影，并在該平面上得到物體影子的方法稱為投影法。到物體影子的方法稱為投影法。 2.1.2 投影法的分類 1. 1. 中心投影法中心投影法 投射線匯交于一點。投射線匯交于一點。 2. 2. 平行投影法平行投影法 投射線互相平行。投射線互相平行。 （1 1）斜投影斜投影 投射線與投影面傾斜的平行投影投射線與投影面傾斜的平行投影。 （2 2）正投影正投影 投射線與投影面垂直的平行投影。投射線與投影面垂直的平行投影。1. 1. 中心投影法中心投影法HS2.2.平行投影法平

3、行投影法-斜投影斜投影H2.2.平行投影法平行投影法-正投影正投影90H 2.1.3 2.1.3 正正投影的投影特性投影的投影特性 1. 1. 投影的唯一性投影的唯一性 當投影方向和投影面確當投影方向和投影面確定后，空間物體的正投影將是唯一的。定后，空間物體的正投影將是唯一的。 2.2. 實形性實形性 當線段或平面平行于投影面時，當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或實形。其投影反映實長或實形。 3.3. 積聚性積聚性 當線段或平面垂直于投影面時，當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。其投影積聚為點或線段。 4.4. 類似性類似性 當線段或平面傾斜于投影面時，當線段或平面傾斜

4、于投影面時，其投影變短或變小。其投影變短或變小。1. 1. 實形性實形性CDEBAHabedc當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或實形。當線段或平面平行于投影面時，其投影反映實長或實形。edca（b）CDEBAH2. 2. 積聚性積聚性當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。當線段或平面垂直于投影面時，其投影積聚為點或線段。3. 3. 類似性類似性CDEedcBAabH當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。當線段或平面傾斜于投影面時，其投影變短或變小。2.1.4 三視圖的形成及投影規(guī)律三視圖的形成及投影規(guī)律主視圖主視圖俯視圖俯視圖左視圖左視圖XYWYHZO三視圖的位置

5、關系和投影規(guī)律三視圖的位置關系和投影規(guī)律長長高高寬寬寬寬上上上上下下下下左左左左右右右右前前前前后后后后主、俯視圖主、俯視圖 長對正長對正主、左視圖主、左視圖 高平齊高平齊俯、左視圖俯、左視圖 寬相等寬相等2.2 點的投影點的投影2.2.1 點在兩投影面體系中的投影點在兩投影面體系中的投影2.2.2 點在三投影面體系中的投影點在三投影面體系中的投影2.2.3 兩點的相對位置和重影點兩點的相對位置和重影點2.2.1 2.2.1 點在兩投影面體系中的投影點在兩投影面體系中的投影 3. 點的兩面投影圖點的兩面投影圖 2. 兩投影面體系的建立兩投影面體系的建立 4. 4.兩投影面體系中點的兩投影面體系

6、中點的投影規(guī)律投影規(guī)律 1. 點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置1. 點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置點的兩個投影能唯一確定該點的空間位置HVOXa aA2. .兩投影面體系的建立兩投影面體系的建立XO 兩投影面體系由兩投影面體系由V面和面和H面二個投影面構成。面二個投影面構成。V面和面和H面面將空間分成四個分角。處在前、上側的那個分角稱為第一分將空間分成四個分角。處在前、上側的那個分角稱為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。正立投影面正立投影面投影軸投影軸VH水平投影面水平投影面3. .點的兩面投影圖

7、點的兩面投影圖HVOXaAa 點的二面投影圖是將空間點向二個投影面作正投影點的二面投影圖是將空間點向二個投影面作正投影后，將二個投影面展開在同一個面后得到的。后，將二個投影面展開在同一個面后得到的。點點A的正面投影的正面投影點點A的水平投影的水平投影XHVOa aax兩面兩面投影圖的畫法投影圖的畫法HHVOXa aAax 展開時，規(guī)定展開時，規(guī)定V V面不動，面不動，H H面向下旋轉面向下旋轉9090 。用投影圖。用投影圖來表示空間點，其實質是在同一平面上用點在二個不同來表示空間點，其實質是在同一平面上用點在二個不同投影面上的投影來表示點的空間位置。投影面上的投影來表示點的空間位置。通常不畫出

8、投影面的范圍通常不畫出投影面的范圍XOa aax4 4. .兩兩投影投影面體系中點的投影規(guī)律面體系中點的投影規(guī)律HVOXa aAaxXOa aax 點的點的V面投影與面投影與H面投影之間的連線面投影之間的連線aa垂直于投影軸垂直于投影軸0X ；點的一個投影到點的一個投影到0X投影軸的距離等于空間點到與該投影軸相鄰投影軸的距離等于空間點到與該投影軸相鄰的投影面之間的距離，即的投影面之間的距離，即 aax= Aa， aax= Aa 。 2.2.2 2.2.2 點在三投影面體系中的投影點在三投影面體系中的投影 1.1.三投影面體系的建立三投影面體系的建立 2.2.點的三面投影圖點的三面投影圖 3.3

9、.點的三面投影與直角坐標的關系點的三面投影與直角坐標的關系 4.4.三投影面體系中點的投影規(guī)律三投影面體系中點的投影規(guī)律 5.5.特殊點的投影特殊點的投影1. 1. 三投影面體系的建立三投影面體系的建立HVXOZYW 三投影面體系由三投影面體系由V、H、W三個投影面構成。三個投影面構成。 H、V、W面將空間分成八個分角，處在前、上、左側的那個分角稱面將空間分成八個分角，處在前、上、左側的那個分角稱為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。 2. 2. 點的三面投影圖點的三面投影圖HVXZYWOA 點的三面投影圖是將空間點向三個投影面作正投影

10、后，將三點的三面投影圖是將空間點向三個投影面作正投影后，將三個投影面展開在同一個面后得到的。展開時，規(guī)定個投影面展開在同一個面后得到的。展開時，規(guī)定V面不動，面不動，H面向下旋轉面向下旋轉90 ，W面向右旋轉面向右旋轉90 。a aa Ha aa VWXOZYWYHa aa XOZYWYH通常不畫出投影面的范圍通常不畫出投影面的范圍HVXZYWOayaxazxyza aa Ha aa VWXOZYWYHaxayazay3. 點的三面投影與直角坐標的關系點的三面投影與直角坐標的關系 若把三個投影面當作空間直角坐標面，投影軸當作直角坐標軸，若把三個投影面當作空間直角坐標面，投影軸當作直角坐標軸，則

11、點的空間位置可用其（則點的空間位置可用其（X、Y、Z）三個坐標來確定，點的投影）三個坐標來確定，點的投影就反映了點的坐標值，其投影與坐標值之間存在著對應關系。就反映了點的坐標值，其投影與坐標值之間存在著對應關系。yAxAzA4. 三投影面體系中點的投影規(guī)律三投影面體系中點的投影規(guī)律HVXZYWOayaxazxyza aa a aa XOZYWYHaxayazay 點的兩面投影投影的連線垂直于相應的投影軸，即點的兩面投影投影的連線垂直于相應的投影軸，即aa0X ，a a“0Z；點的點的H面投影到面投影到0X軸的距離等于點的軸的距離等于點的W面投影到面投影到0Z 軸軸的距離；的距離；點的投影到各投

12、影軸的距離，等于空間點到相應投影點的投影到各投影軸的距離，等于空間點到相應投影面的距離。面的距離。 長對正長對正 高平齊高平齊 寬相等寬相等例例1 1 已知點已知點A A的正面與側面投影，求點的正面與側面投影，求點A A的水平投影。的水平投影。ZYHXYWOa a a5. 5. 特殊位置點的投影特殊位置點的投影OXb bc cHVOXCcca bBb Aaa a投影面上的點：投影面上的點： A A、 B B投影軸上的點：投影軸上的點： C C 與原點重合的點與原點重合的點: O: OXOZY2.2.3.2.2.3. 兩點的相對位置和重影點兩點的相對位置和重影點a a ab b bBA 兩點的相

13、對位置是根據兩點相對于投影面的距離遠近（或兩點的相對位置是根據兩點相對于投影面的距離遠近（或坐標大?。﹣泶_定的。坐標大?。﹣泶_定的。X坐標值大的點在左；坐標值大的點在左；Y坐標值大的點坐標值大的點在前；在前；Z坐標值大的點在上。坐標值大的點在上。 XZYWYHOa a ab bb 重影點重影點cc(d)da(b)abAB 若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點重影點。XYHZYWOc(d)ba(b)acda b c d 判斷重影點的可見性時，需

14、要看重影點在另一投影面上的判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。加括號表示。 例例2 2 已知已知A A點在點在B B點的右點的右1010毫米、前毫米、前6 6毫米、上毫米、上1212毫米，求毫米，求A A點的點的投影。投影。a a aXZYWYHOb bb 12106 2.3.1 直線的三面投影直線的三面投影 2.3.2 直線對投影面的相對位置直線對投影面的相對位置 2.3.3 直線上的點直線上的點2.3 直線的投影直線的投影 2.3.4 兩兩 直線的相對位置直

15、線的相對位置OXZY2.3.1 2.3.1 直線的三面投影直線的三面投影ABbb a b aa ZXa a aOYYb bb 空間任何一直線可由直線上任意兩點所確定，直線在某空間任何一直線可由直線上任意兩點所確定，直線在某一投影面的投影可由該直線上某兩點的同面投影所確定。一投影面的投影可由該直線上某兩點的同面投影所確定。2.3.2 2.3.2 直線對投影面的相對位置直線對投影面的相對位置 1.1.一般位置直線一般位置直線 與三個投影面都傾斜的直線與三個投影面都傾斜的直線 1.1.投影面平行線投影面平行線 平行于某一投影面，與另外兩個投影面傾斜的直線平行于某一投影面，與另外兩個投影面傾斜的直線

16、(1)(1) 水平線水平線 (2)(2) 正平線正平線 (3)(3) 側平線側平線 2.2.投影面垂直線投影面垂直線 垂直于某一投影面的直線垂直于某一投影面的直線 (1)(1) 鉛垂線鉛垂線 (2)(2) 正垂線正垂線 (3)(3) 側垂線側垂線 OXZY 一般位置直線ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：投影特性：1、a b、 a b 、a b 均小于實長均小于實長 2 、a b、a b 、a b 均傾斜于投影軸均傾斜于投影軸 3 、 不反映不反映 、 、 實角實角 水平線水平線 平行于水平投影面的直線平行于水平投影面的直線XZYOaababb Xa b ab OzYHYWba

17、AB投影特性：投影特性：1. a b OX ; a b OYW 2. ab=AB 3. 反映反映 、 角的真實大小角的真實大小XZYO正平線正平線 平行于正面投影面的直線平行于正面投影面的直線Xabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b =AB 3、反映、反映 、 角的真實大小角的真實大小aababbXZYO側平線側平線 平行于側面投影面的直線平行于側面投影面的直線XZOYHYWa b babaAB投影特性：投影特性： 1、a b OZ ; ab OYH 2、a b =AB 3 、反映、反映 、 角的真實大小角的真實大小aa b a bb

18、OXZYZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：投影特性：1、a b 積聚積聚 成一點成一點 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB鉛垂線鉛垂線 垂直于水平投影面的直線垂直于水平投影面的直線ABb a(b)a ab正垂線正垂線 垂直于正面投影面的直線垂直于正面投影面的直線OXZY投影特性：投影特性： 1、 a b 積聚積聚 成一點成一點 2 、 ab OX ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABABzXab baOYHYWabbababa側垂線側垂線 垂直于側面投影面的直線垂直于側面投影面的直線OXZYAB投影特性：投影特性： 1、a b 積聚積

19、聚 成一點成一點 2 、 ab OYH ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABbaababZXabbaOYHYWab直線上的點具有兩個特性：直線上的點具有兩個特性：1. 1. 從屬性從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。 2. 2. 定比性定比性 線段上的點分割線段所成比例，在投影后仍保持不變。線段上的點分割線段所成比例，在投影后仍保持不變。利用這兩個特性，可以判斷空間點是否在直線上。利用這兩個特性，可以判斷空間點是否在直線上。 2.3.3 2.3.3 直線上的點直線上的點ABbbaaXOccCcb Xa a

20、bcc 例例3 已知線段已知線段AB的投影圖，試將的投影圖，試將AB分成分成1：2兩段，求分點兩段，求分點C的投影。的投影。O 例例4 已知點已知點C在線段在線段AB上，求點上，求點C的正面投影。的正面投影。accbXOABbbaacCcHVbXbacOac2.3.4 2.3.4 兩直線的相對位置兩直線的相對位置（1）兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。）兩平行直線在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若兩反之，若兩直線在同一投影面上的投影相互平行，則該兩直線平行。直線在同一投影面上的投影相互平行，則該兩直線平行。（2）平行兩線段之比等于其投影之比。）平行兩線段之比等于其投影之比。Xbaadb

21、bccABCDXbaabdcdc1.1.平行平行兩直線OO2. 2. 相交相交兩直線 兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點屬于兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點屬于兩直線兩直線（交點符合空間點的投影規(guī)律）（交點符合空間點的投影規(guī)律）。 反之，若兩直線反之，若兩直線在同一投影面上的投影相交，且交點屬于兩直線，則該兩直在同一投影面上的投影相交，且交點屬于兩直線，則該兩直線在空間相交。線在空間相交。bXaabkcddckOOXBDACKbbaaccddkk3. 3. 交叉兩直線交叉兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。 XOBD

22、ACbb aa c cdd 211 (2 )21b Xa abc d dc11 (2 )2OdacboYWYHZXaacddcbb例例6 6 判斷兩直線的相對位置判斷兩直線的相對位置其他方法其他方法？4. 判斷重影點的可見性判斷重影點的可見性XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)43341 2 12 判斷重影判斷重影點的可見性時，點的可見性時，需要看重影點需要看重影點在另一投影面在另一投影面上的投影，坐上的投影，坐標值大的點投標值大的點投影可見，反之影可見，反之不可見，不可不可見，不可見點的投影加見點的投影加括號表示。括號表示。bbcddcXaa3(4)34121(2)例例7

23、 7 判斷兩直線重影點的可見性判斷兩直線重影點的可見性O5. 5. 垂直兩直線的投影垂直兩直線的投影AHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面平行線時，則兩直線在該投影面上的投影必定互相垂直。平行線時，則兩直線在該投影面上的投影必定互相垂直。 反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其中一條直線平行于該投影面時，則空間兩直線一定垂直。中一條直線平行于該投影面時，則空間兩直線一定垂直。ObbaaOfeefX例例8 8 過點過點A A 作作EF EF 線段的垂線線段的垂

24、線ABAB。2.4 2.4 平面的投影平面的投影2.4.1 2.4.1 平面的表示法平面的表示法1.1. 幾何元素表示平面幾何元素表示平面 用幾何元素表示平面有用幾何元素表示平面有五種形式五種形式：（1 1）不在一直線上的三個點；）不在一直線上的三個點；（2 2）一直線和直線外一點；）一直線和直線外一點；（3 3）相交兩直線；）相交兩直線；（4 4）平行兩直線；）平行兩直線；（5 5）任意平面圖形。）任意平面圖形。2.2.平面的跡線表示法平面的跡線表示法 平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面用跡線來表示是用其具有積聚性的一條邊線來表示。用跡線

25、來表示是用其具有積聚性的一條邊線來表示。1. 幾何元素表示法幾何元素表示法aabcbcbaacbcbaacbcaabcbcabcabcdd用幾何元素表示平面有五種形式：用幾何元素表示平面有五種形式：（1 1）不在一直線上的三個點；）不在一直線上的三個點；（2 2）一直線和直線外一點；）一直線和直線外一點；（3 3）相交兩直線；）相交兩直線；（4 4）平行兩直線；）平行兩直線；（5 5）任意平面圖形。）任意平面圖形。2. 2. 跡線表示法跡線表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW2.4.2 2.4.2 各種位置平面的投影特性各種位置平面的投影特性1.

26、1.投影的垂直面投影的垂直面 (1)鉛垂面鉛垂面(2)(2)正垂面正垂面(3)(3)側垂面?zhèn)却姑?.2.投影的平行面投影的平行面(1)水平面水平面(2)(2)正平面正平面(3)(3)側平面?zhèn)绕矫?.3.一般位置平面一般位置平面鉛垂面鉛垂面投影特性：投影特性：1、 水平投影水平投影abc積聚為一條直線積聚為一條直線 2 、正面投影、正面投影 a b c 、 側面投影側面投影a b c 為為 ABC的類似形的類似形 3 、 abc與與OX、 OY的夾角的夾角反映反映 、 角的真實大小角的真實大小 VWHPPHABCacbababbaccc正垂面正垂面投影特性：1、 正面投影abc 積聚為一條直線

27、2 、 水平投影abc、側面投影abc是 ABC的類似形 3 、 abc與OX、 OZ的夾角反映、 角的真實大小 VWHQQVababbacccAcCabB側垂面?zhèn)却姑嫱队疤匦裕和队疤匦裕?、 側面投影側面投影a b c 積聚為一條直線積聚為一條直線 2 、 水平投影水平投影abc、正面投影、正面投影 a b c 為為 ABC的類似形的類似形 3 、 a b c 與與OZ、 OY的夾角的夾角反映反映、角的真實大小角的真實大小 VWHSWSCabABcabbbaaccc水平面水平面VWHCABabcbacabccabbbaacc投影特性：投影特性： 1. a b c 、 a b c 積聚為一條線

28、積聚為一直條線，具有積聚性積聚為一條線積聚為一直條線，具有積聚性 2. 水平投影水平投影abc反映反映 ABC實形實形 正平面正平面VWHcabbacbcabacabcbcaCBA投影特性：投影特性： 1. 1. abcabc 、 a a b b c c 積聚為一條直線，具有積聚性積聚為一條直線，具有積聚性 2.2.正平面投影正平面投影a a b b c c 反映反映 ABCABC實形實形 側平面?zhèn)绕矫鎂WHabbbacccabcbacabcCABa投影特性：投影特性： 1. abc 、 a b c 積聚為一直條線，具有積聚性積聚為一直條線，具有積聚性 2. 側平面投影側平面投影a b c 反

29、映反映 ABC實形實形 一般位置平面一般位置平面abcbacababbaccbacCAB投影特性投影特性 1. abc 、 a b c 、 a b c 均為均為 ABC的類似形的類似形 2. 不反映不反映 、 、 的真實角度的真實角度 2.4.3 2.4.3 平面上的點和直線平面上的點和直線（1 1） 平面上的直線平面上的直線 直線在平面上的幾何條件是：直線在平面上的幾何條件是：通過平面上的兩點；通過平面上的兩點； 通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。通過平面上的一點且平行于平面上的一條直線。（2 2） 平面上的點平面上的點 點在平面上的幾何條件是：點在平面內的某一直線上。點在平面上的幾

30、何條件是：點在平面內的某一直線上。 在平面上取點、直線的作圖，實質上就是在平面內作輔助在平面上取點、直線的作圖，實質上就是在平面內作輔助線的問題。利用在平面上取點、直線的作圖，可以解決線的問題。利用在平面上取點、直線的作圖，可以解決三類問三類問題題：判別已知點、線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點：判別已知點、線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點和直線的投影；完成多邊形的投影。和直線的投影；完成多邊形的投影。1. 1. 平面上取直線和點平面上取直線和點 平面上取點和直線平面上取點和直線 取屬于定平面的直線，要經過屬于該平面的已知兩點；或經取屬于定平面的直線，要經過屬于該平面的已知兩點；或經

31、過屬于該平面的一已知點，且平行于屬于該平面的一已知直線。過屬于該平面的一已知點，且平行于屬于該平面的一已知直線。abcabcddeeABCEDFff例例1 1已知已知 ABC ABC 給定一平面，（給定一平面，（1 1）判斷點）判斷點K K是否屬于該平面。是否屬于該平面。（2 2）已知平面上一點）已知平面上一點E E的正面投影的正面投影e e作出水平投影。作出水平投影。k kabcabcddee11XO2. 2. 平面上的特殊位置直線平面上的特殊位置直線VHPPVPH平面上投影面平行線平面上投影面平行線既在平面上又平行于投影面的直線既在平面上又平行于投影面的直線。水平線正平線例例2 2abcb

32、acmnnm已知已知 ABCABC給定一平面，試過點給定一平面，試過點C C作屬于該平面的正平線，作屬于該平面的正平線，過點過點A A作屬于該平面的水平線。作屬于該平面的水平線。例例3 3 已知點已知點E E 在在 ABCABC平面上，且點平面上，且點E E距離距離H H面面1515，距離，距離V V 面面1010，試求點試求點E E的投影。的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015ee 2.4.4圓的投影圓的投影 三種情況三種情況 ： 投影面平行面上的投影面平行面上的圓圓有有反映實形投影反映實形投影圓圓 投影面垂直面上的圓投影面垂直面上的圓有有積聚性投影積聚性投影直線段直線段 一般位置平

33、面上的圓一般位置平面上的圓均為類似形均為類似形橢圓橢圓 討論討論一種情況一種情況 投影面垂直面投影面垂直面上的圓上的圓 在圓平面在圓平面垂直的投影面上垂直的投影面上的投影的投影積聚成積聚成直線段直線段長度長度=圓圓直經直經 另兩個投影另兩個投影類似形類似形 ，橢圓橢圓1)長軸長軸=直經直經2)短軸由投影確定短軸由投影確定3)可用可用直角三角形法直角三角形法或或投影投影 變換法變換法求橢圓求橢圓各種點各種點2.5 2.5 直線與平面、直線與平面、平面與平面的相對位置平面與平面的相對位置 3.1 平行問題平行問題2.5.1 平行問題平行問題2.5.2 相交問題相交問題2.5.3 垂直問題垂直問題2

34、.5.1 2.5.1 平行問題平行問題1. 直線與平面平行直線與平面平行2. 平面與平面平行平面與平面平行1. 1. 直線與平面平行直線與平面平行 若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。PCDBA例例1 ：試：試判斷判斷直線直線AB是否平行于平面是否平行于平面 CDE。fgfgbaabcededc結論：直線結論：直線ABAB不平行于定平面不平行于定平面XO例例2： 過點過點K作一水平線作一水平線AB平行于已知平面平行于已知平面 CDE。b a af fbc e d edk kcXO2. 2. 平面與平面平行平面與平面平行 若平面內的兩相交直線對應地平行于另一平面內的兩

35、相交若平面內的兩相交直線對應地平行于另一平面內的兩相交直線，則這兩個平面平行。直線，則這兩個平面平行。PSEFDACBf e d edfc a acb bm n mnr rss 結論：兩平面平行結論：兩平面平行XO例例3 3： 試判斷試判斷兩平面是否平行兩平面是否平行例例4： 已知定平面由平行兩直線已知定平面由平行兩直線AB和和CD給定。試過點給定。試過點K作作一平面平行于已知平面一平面平行于已知平面 。em n mnf e fsr s rd dc a acb bk kXO2.5.2 相交問題相交問題1. 積聚性法積聚性法*2. 輔助平面法輔助平面法(略略)交點與交線的性質交點與交線的性質 直

36、線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有相交有交點交點，交點既在直線上又在平面上，因而交點是直線，交點既在直線上又在平面上，因而交點是直線與平面的共有點。兩平面的與平面的共有點。兩平面的交線交線是直線，它是兩個平面的共是直線，它是兩個平面的共有線。求線與面交點、面與面交線的實質是求共有點、共有有線。求線與面交點、面與面交線的實質是求共有點、共有線的投影。線的投影。 PABKDBCALKEF（1 1） 直線與平面相交直線與平面相交直線可見性的判別b ba acc m mn k n 特殊位置線面相交，根據平面的積聚性投影能直接特殊位置線面相交，根據平面的積聚性投影能直接判別直線的可見性判別直線的可見性-觀察法觀察法 VHPHPABCacbkNKMk在平面之前XOaa(b)bcedcefdfkk例例5： 鉛垂線鉛垂線AB與一般位置平面與一般位置平面CDE相交，求交點并判別相交，求交點并判別可見性?？梢娦?。（2 2） 兩平面相交兩平面相交f k 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,由于由于特殊位置特殊位置平面的某些投影有積聚性平面