相似三角形總復習+典型例題

1、第第27章章 相似相似 總復習總復習課課l1.1.形狀相同的圖形形狀相同的圖形l表象：大小不等，表象：大小不等，形狀相同形狀相同. .l實質：各實質：各對應角對應角相等、各相等、各對應邊對應邊成比例成比例. .l2.2.相似多邊形相似多邊形l各對應角相等、各對應邊成比例的兩個多邊形各對應角相等、各對應邊成比例的兩個多邊形叫做叫做相似多邊形相似多邊形. .相似多邊形對應邊的比叫做相似多邊形對應邊的比叫做相相似比似比( (相似比與敘述的順序有關相似比與敘述的順序有關) ). .l3.3.相似多邊形性質：相似多邊形性質：l相似多邊形的相似多邊形的對應角相等對應角相等, ,對應邊成比例對應邊成比例.

2、.l相似多邊形周長的比相似多邊形周長的比等于相似比等于相似比.l相似多邊形面積的比相似多邊形面積的比等于相似比的平方等于相似比的平方.一、一、l4.4.相似三角形相似三角形l三個對應角相等、三條對應邊成比例的兩個三三個對應角相等、三條對應邊成比例的兩個三角形叫做角形叫做相似三角形相似三角形. .相似三角形對應邊的比叫相似三角形對應邊的比叫做做相似比相似比( (相似比與敘述的順序有關相似比與敘述的順序有關).).l5.5.相似三角形性質：相似三角形性質：l相似三角形的相似三角形的對應角相等對應角相等, ,對應邊成比例對應邊成比例. .l相似三角形對應相似三角形對應中線中線的比的比,對應角對應角平

3、分線平分線的的 比，比，對應對應高高的比的比,對應對應周長周長的比都的比都等于相似比等于相似比.l相似三角形面積的比相似三角形面積的比等于相似比的平方等于相似比的平方l6.6.相似相似三角形與三角形與全等全等三角形的三角形的關系關系：l相似比等于相似比等于1 1的兩個三角形全等的兩個三角形全等. .l7.7.兩個極具代表性的兩個極具代表性的益智益智“模型模型”： “ “A”A”型型和和“X” X” 型相似三角形型相似三角形. .ABCDEABCDEEDCBAAEDBCl1.1.預備定理預備定理 平行于三角形一邊直線截其它兩平行于三角形一邊直線截其它兩邊邊(或其延長線或其延長線),所截得的三角形

4、與原三角形相似所截得的三角形與原三角形相似;二、二、三角形相似的判定方法有哪些三角形相似的判定方法有哪些?l2.2.定理定理 三邊對應成比例的兩個三角形相似三邊對應成比例的兩個三角形相似. .l3.3.定理定理 兩邊對應成比例兩邊對應成比例, ,且夾角相等的兩個三且夾角相等的兩個三角形相似角形相似; ;l4.4.定理定理 有兩個角對應相等的兩個三角形相似有兩個角對應相等的兩個三角形相似基本圖形基本圖形ABCDEABCDABCDEEDCBAAEDBC三、三、相似圖形的特例相似圖形的特例圖形的位似圖形的位似l1.1.如果兩個圖形不僅相似如果兩個圖形不僅相似, ,而且每組對應頂點所而且每組對應頂點所

5、在的直線都經(jīng)過同一個點在的直線都經(jīng)過同一個點, ,那么這樣的兩個圖形那么這樣的兩個圖形叫做叫做位似圖形位似圖形, ,這個點叫做這個點叫做位似中心位似中心, ,這時的相似這時的相似比又稱為比又稱為位似比位似比. .l2.2.性質：性質：l位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比離之比等于位似比. .DEFAOBCDEFAOBCl3.3.如何作位似圖形如何作位似圖形( (放大放大) ). .l5.5.體會位似圖形何時為體會位似圖形何時為正像正像何時為何時為倒像倒像. .l4.4.如何作位似圖形如何作位似圖形( (縮小縮小) ). .OPABG

6、CEDFPBACDEFGABCDEFGABGCEDFP線線段段的的比比黃金黃金 分分 割割形狀形狀 相相 同同的圖形的圖形相似三相似三 角角 形形及其及其判定條件的判定條件的探索探索相似多邊形相似多邊形多邊形的性質多邊形的性質圖形的放大與縮圖形的放大與縮小小相似的綜合應用相似的綜合應用測量旗桿的高度測量旗桿的高度l1,1,如圖如圖, ,添加一個條件添加一個條件, ,使則使則ABCABCAED,AED,則這則這條件可以是條件可以是 . . AEDCB練習練習n2下列說法正確的是（下列說法正確的是（ ） A 所有的等腰三角形都相似所有的等腰三角形都相似 B所有的直角三角形都相似所有的直角三角形都相

7、似 C所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似 D有一個角相等的兩個等腰三角形都相似有一個角相等的兩個等腰三角形都相似DCBOAE3：53：53：51：2BADEC5.ABC中，中，DEBC，EFAB，已知，已知ADE和和EFC的面積分別為的面積分別為4和和9，求，求ABC的面積。的面積。FEDCBA6.6.如圖，如圖，ABCDABCD是面積為是面積為a a2 2的任意四邊形，順次連接各邊中的任意四邊形，順次連接各邊中點得四邊形點得四邊形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，再順次連接，再順次連接A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1得到四邊形得到四邊形A A

8、2 2B B2 2C C2 2D D2 2，重復同樣的方法直到得到四邊形，重復同樣的方法直到得到四邊形A An nB Bn nC Cn nD Dn n，則四，則四邊形邊形A An nB Bn nC Cn nD Dn n的面積為的面積為 。na22練習練習7.在在AB=20米米,AD=30米的矩形米的矩形ABCD的花壇四的花壇四周修筑小路周修筑小路:(1)如果四周的小路的寬均相等如果四周的小路的寬均相等,那么小路四所圍那么小路四所圍成的矩形和矩形成的矩形和矩形ABCD相似嗎相似嗎?請說明理由請說明理由 (2)如果相對兩條小路的寬均相等如果相對兩條小路的寬均相等,試問小路的寬試問小路的寬x與與y的

9、比值為多少時的比值為多少時,能使小路四周所圍成矩能使小路四周所圍成矩形和矩形形和矩形ABCD相似相似?請說明理由請說明理由.ABCDxxxxABCDABCDxyyxABCDw8如圖，如圖， ABCD中，中，E為為AD的中點，若的中點，若wS ABCD=1，則圖中陰影部分的面積為，則圖中陰影部分的面積為( )wA B C D31516181CBAEDCF當堂訓練當堂訓練FABCDEEDCEBAADCAFEBDAEDFCBD1FEGH23A10.如圖，這是由三個全等的正方形組成的廣告牌。如圖，這是由三個全等的正方形組成的廣告牌。你能從中找出一對相似三角形嗎？說明理由（你能從中找出一對相似三角形嗎？

10、說明理由（全全等三角形除外等三角形除外）1 1+ 2+ 32+ 3 度度 11、RtABC中，中， ACB90 ，CDAB于于D。（1）寫出圖中所有的相似三角形，并選擇其中一）寫出圖中所有的相似三角形，并選擇其中一對說明理由。對說明理由。（2）若）若AD1cm, BD4cm,請你求出請你求出CD的長度。的長度。BDAC例例1 如圖，已知：如圖，已知：DE BCBC，DCDC和和BEBE相交于相交于P P點，連結點，連結APAP交交DEDE于于M M，延長，延長APAP交交BCBC于于N N點，求證：點，求證：DM=MEDM=ME，BN=NCBN=NC。AMPDEBNCADMBCDEEMDM推得

11、由，需利用中間比過渡，要證,/ABADBNDMABN得,BNMEPBEPPBEPBCDEBCDEABAD,同理可證MEDMBNMEBNDM,同理可證：BN=NC例例2 如圖，已知如圖，已知EM AM，交，交AC于于D，CE=DE，求證：，求證：2ED DM=AD CD。ECDMAECDMAFG結論成立。由條件得是可得又知，使到，可延長要得出），（還應考慮系數(shù)積的形式轉化成比例式成立，應把證法一：要證,2,222FCDAMDRtCDFEFDECEDEEFFDEEDDMCDADEDCDADDMED故結論成立。，由題易證得即只需證明性質，得，根據(jù)等腰三角形的作證法二：過點DAMDEGDMADDGED

12、DMADCDEDDGCDCDEGE,2, 例例3.如圖：在如圖：在ABC中，中， C= 90,BC=8,AC=6.點點P從點從點B出發(fā)，沿著出發(fā)，沿著BC向點向點C以以2cm/秒的速度移動秒的速度移動;點點Q從點從點C出發(fā)，沿著出發(fā)，沿著CA向點向點A以以1cm/秒的速度移動。秒的速度移動。如果如果P、Q分別從分別從B、C同時出發(fā)，問：同時出發(fā)，問：經(jīng)過多少秒時經(jīng)過多少秒時CPQ CBA; AQPCBAQPCB 經(jīng)過多少秒時以經(jīng)過多少秒時以C、P、Q為頂點的三角形恰好與為頂點的三角形恰好與ABC相似？相似？例4：陽光明媚的一天,數(shù)學興趣小組的同學們去測量一棵樹的高度(這棵樹底部可以到達,頂部不

13、易到達),他們帶了以下測量工具:皮尺、標尺、一副三角板、小平面鏡。請你在他們提供的測量工具中選出工具，設計一種測量方案)（1）所需的測量工具是：；（2）請在下圖中畫出測量示意圖；（3）設樹高AB的長度為x，請用所測數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出CDABE的兩個根，求的兩個根，求DE的長和的長和 的值。的值。例例5 如圖，如圖，ABCABC中，中，C=90C=90，AC=10AC=10，BC=24BC=24，點，點D D在在ACAC上運動上運動（不運動至點（不運動至點A A），過點），過點D D作作DE ABDE AB，設，設AD=xAD=x，AE=yAE=y。（。（1 1）求）求y y關于關于x

14、x的函數(shù)關系式和自變量的取值范圍；（的函數(shù)關系式和自變量的取值范圍；（2 2）若點）若點D D運動到運動到ACAC上有某個位置時，上有某個位置時，ADAD、AEAE的長恰好是一元二次方程的長恰好是一元二次方程062atta(1)由題意知，易得由題意知，易得 ABC ADE,ADE,得得y y與與x x的函數(shù)關系式。的函數(shù)關系式。100135xxy,24260,243622DExyDEyx的兩個根，的長恰好是方程06,2attAEAD965, 4aDE242610DExyADEABC)2(的面積最大。何處時，在的函數(shù)解析式，且點與，求面積為高中，如圖，例PMNMxyyPMNxBCBMACPMAB

15、MNADBCABC,/,/,10,12. 6APBCMDN 現(xiàn)有一塊三角形余料現(xiàn)有一塊三角形余料ABC，它的一邊，它的一邊BC=12cm，高線高線AD=8cm. E為為AB上一動點上一動點(E不與不與A、B重合重合)，且，且EFBC交交AC于點于點F ，以，以EF為邊向下做一個正方形為邊向下做一個正方形EFGH，設正方形，設正方形EFGH與三角形與三角形ABC的重合部分面積的重合部分面積為為y,EF=x.求求(1)當當HG落在落在BC上時上時,求求x PNMGHFDABCE 議一議(2)當當HG不落在不落在BC邊上時邊上時,求求y關于關于x的關系式的關系式 有一批形狀相同的不銹鋼片，呈直角三角

16、形，有一批形狀相同的不銹鋼片，呈直角三角形，如圖（如圖（1）所示，已知）所示，已知A=90，AB=8cm，BC=10cm，用這批不銹鋼片裁出面積最大的正方，用這批不銹鋼片裁出面積最大的正方形不銹鋼片，形不銹鋼片，如圖，甲、乙各如圖，甲、乙各設計一種方案設計一種方案，你覺，你覺得哪種方案更好，為什么？得哪種方案更好，為什么？ABCGHFABCEHGABCE如圖（如圖（1）甲甲乙乙 變 一 變MN，、9221ABPSBxPBPCAyxxy為為垂垂足足軸軸內內一一點點是是該該直直線線上上在在第第一一象象限限軸軸于于點點分分別別交交如如圖圖，直直線線拓拓展展ACPBOxy ；的坐標的坐標求點求點P13

17、2632，PABABAO2004，CA 42421AOCS9ABPSABPAOC，942ABPAOCSSABAOACPBOxyACPBOxyRT ，點的坐標點的坐標試求試求相似時相似時與與當當為垂足為垂足軸軸作作的右側的右側在直線在直線且點且點象上象上在同一個反比例函數(shù)圖在同一個反比例函數(shù)圖與點與點設點設點RAOCBTRTxRTPBRPR22323，Ryx xyP6322，得得由由反反比比例例函函數(shù)數(shù)()yxR，設設時時當當AOCBRTyxRTBTOCAO22421131132113113，Ryx時時當當CAOBRT224xyBTRTOCAO 例例2 在方格紙中，每個小格的頂點稱為在方格紙中，

18、每個小格的頂點稱為格點，以格點的連線為邊的三角形稱為格格點，以格點的連線為邊的三角形稱為格點三角形，如圖所示的點三角形，如圖所示的55的方格紙中，的方格紙中，如果想作格點如果想作格點ABC與與OAB相似相似(相似比相似比不能為不能為1)，則，則C點坐標為點坐標為_OxAByOxABy125C1(5，2)55252C2(4，4)例例3、在直徑為、在直徑為AB的半圓內，劃出一個三角形區(qū)域，的半圓內，劃出一個三角形區(qū)域，使三角形的一邊為使三角形的一邊為AB，頂點，頂點C在半圓周上，現(xiàn)要在半圓周上，現(xiàn)要建造一個內接于三角形建造一個內接于三角形ABC的矩形水池的矩形水池DEFN，其，其中中DE在在AB上

19、，如圖設計方案是使上，如圖設計方案是使AC=8，BC=6，求求(1)三角形三角形AB邊上的高線邊上的高線CH。(2)設設DN=x,NF=y,求求y關于關于x的函數(shù)解析式。的函數(shù)解析式。(3)當當x為何值時，水池為何值時，水池DEFN的面積最大，的面積最大，最大為多少？最大為多少？EFNADBCHG練習練習（2003，濰坊）在，濰坊）在RtABC中，中，C=90。，AC=4，BC=3，（1）如圖）如圖1，四邊形，四邊形DEFG為為ABC的內接正方形，求正方形的內接正方形，求正方形的邊長。的邊長。CEDBAFG練習練習（2003，濰坊）在，濰坊）在RtABC中，中，C=90。，AC=4，BC=3，（2）如圖）如圖2，三角形內有并排的，三角形內有并排的兩個相等的正方形，它們組成的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內接與矩形內接與ABC，求正方形的，求正方形的邊長邊長（1）如圖）如圖1，四邊形，四邊形DEFG為為ABC的內接正方形，求正方形的內接正方形，求正方形的邊長。的邊長。CEDBAFGCEDBAFGKH練習練習（2003，濰坊）在，濰坊）在RtABC中，中，C=90。，A