理論力學(xué)-第21-22課時(shí)

1、0limtndntdt 定義及其推導(dǎo)過(guò)程定義及其推導(dǎo)過(guò)程 nr+ rrPPMOrnr 要求理解角速度是矢量要求理解角速度是矢量vr()dvdardtdtddt加速度加速度理解三個(gè)歐拉角的含義及其轉(zhuǎn)理解三個(gè)歐拉角的含義及其轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程，推導(dǎo)歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程動(dòng)過(guò)程，推導(dǎo)歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng) 章動(dòng)章動(dòng) 自轉(zhuǎn)自轉(zhuǎn)sinsincossincossincosxyz歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程1. 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 irim ivziiiiJrmvkrmii 2 對(duì)于繞固定軸對(duì)于繞固定軸oz 轉(zhuǎn)動(dòng)的整個(gè)剛體而言轉(zhuǎn)動(dòng)的整個(gè)剛體而言: 對(duì)于繞固定軸對(duì)于繞固定軸oz的轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)元的轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)元 而言而言:

2、 im 2Ni iiJmrI2Ni iiImr定義定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量: 2VIrdV1niiiiJrm v1ni iiiJm rr21niiiiiJmrrr2. 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量irimizxyoiv對(duì)于一般的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)情況對(duì)于一般的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)情況根據(jù)角速度與線速度的關(guān)系，得：根據(jù)角速度與線速度的關(guān)系，得：根據(jù)矢量分析，得：根據(jù)矢量分析，得：2AB AA BA A B 1ni iiiJm rr21niiiiimrrriiiirxiy jz kxyzijk先寫出表達(dá)式中的位矢和角速度矢量的分量形式先寫出表達(dá)式中的位矢和角速度矢量的分量形式代入公式代入公式21ni

3、iiiiJmrrr整理，得整理，得22111nnnxxiiiyi iizi i iiiiJm yzmxymxz問(wèn)題問(wèn)題2.2：能從兩個(gè)式子看出結(jié)果嗎？其它分量呢？：能從兩個(gè)式子看出結(jié)果嗎？其它分量呢？依照剛才的規(guī)律，則依照剛才的規(guī)律，則y和和z軸分量為：軸分量為：22111nnnxxiiiyiiizii iiiiJm yzmx ymx z21niiiiiJmrrr22111nnnyxiiiyiiiziiiiiiJm y xm zxm y z22111nnnzxi iiyi iiziiiiiiJmz xmz ym xy221nxxiiiiImyz221nyyiiiiImzx221nzziiiiI

4、mxy1nyzzyiiiiIIm y z1nzxxziiiiIIm z x1nxyyxiiiiIIm x y為了方便起見(jiàn)，我們令：為了方便起見(jiàn)，我們令：xxxxxyyxzzJIIIyyxxyyyyzzJIIIzzxxzyyzzzJIII則三個(gè)分量可改寫為：則三個(gè)分量可改寫為：zxybo22xxVIyzdm22xxVIyzdxdydz22000bbbxxIdzyzdy dx223Mb000ijk223yyzzxxIIIMb000bbbxyIxdxydy dz214Mb214xyxzyzIIIMbxxxxxyyxzzJIII222000211344MbMbMb2016MbyyxxyyyyzzJII

5、I2016Mb2111122nni iiiiiiTm rm vv根據(jù)體系的動(dòng)根據(jù)體系的動(dòng)能定義，得：能定義，得：?jiǎn)栴}問(wèn)題3：如何理解剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能？如下方法求解剛體的：如何理解剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能？如下方法求解剛體的總動(dòng)能是否正確？總動(dòng)能是否正確？I0為固定軸為固定軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2201122cTmvI如果寫成下面的表達(dá)式呢？為什么？如果寫成下面的表達(dá)式呢？為什么？221122ccTmvI111122nni iiii iiiTmvrrmv根據(jù)矢量運(yùn)算規(guī)則，得：根據(jù)矢量運(yùn)算規(guī)則，得：12TJ 12xyzxyzTijkJ iJ jJ k因此，可以寫成：因此，可以寫成：也就是：也就是：000

6、ijk223yyzzxxIIIMb214xyxzyzIIIMb214yxzxzyIIIMb 12xyzxyzTijkJ iJ j J k22200000011112666TijkMbiMbjMbk22014Mb irivzimii1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量21niiiIm定義：定義：平行軸定理：平行軸定理：2cIImd22211122niiiTmI問(wèn)題問(wèn)題3.1：普通物理的力學(xué)是如：普通物理的力學(xué)是如何定義定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？何定義定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？此時(shí)，有：此時(shí)，有：角動(dòng)量公式角動(dòng)量公式:xxxxxyyxzzJIIIyyxxyyyyzzJIIIzzxxzyyzzzJIII 12xyzxy

7、zTijkJ iJ jJ k動(dòng)能公式動(dòng)能公式:12zxyzkJ iJ jJ k12zzJ212zzzI問(wèn)題問(wèn)題3.2：角動(dòng)量能寫成：角動(dòng)量能寫成J=Izzz z嗎？嗎？2.定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量xxxxxyyxzzJIIIyyxxyyyyzzJIIIzzxxzyyzzzJIII 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量：定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量：則角動(dòng)量和角速度矢量則角動(dòng)量和角速度矢量可以寫成矩陣形式：可以寫成矩陣形式：xyzxyzJJJJ問(wèn)題問(wèn)題3.3：解析幾何中坐標(biāo)如何：解析幾何中坐標(biāo)如何用矩陣表達(dá)？角動(dòng)量和角速度呢？用矩陣表達(dá)？角動(dòng)量和角速度呢？同時(shí)，為了方便表達(dá)角動(dòng)量與角速度的關(guān)系，我們令：同時(shí)，為了方

8、便表達(dá)角動(dòng)量與角速度的關(guān)系，我們令：xxxyxzyxyyyzzxzyzzIIIIIIIIII 因此角動(dòng)量與角速度的關(guān)系，可以用矩陣表達(dá)：因此角動(dòng)量與角速度的關(guān)系，可以用矩陣表達(dá)：xxxxyxzxyyxyyyzyzzxzyzzzJIIIJIIIJIIIJI二維矩陣的物二維矩陣的物理量稱為張量理量稱為張量簡(jiǎn)化為：簡(jiǎn)化為：?jiǎn)栴}問(wèn)題3.4：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能如何用矩陣表達(dá)？：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能如何用矩陣表達(dá)？根據(jù)前面結(jié)論，定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：根據(jù)前面結(jié)論，定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為： 12xyzxyzTijkJ iJ jJ k也可以改寫為矩陣表達(dá)形式：也可以改寫為矩陣表達(dá)形式：1122xxyzyzJTJJJ12x

9、xxyxzxxyzyxyyyzyzxzyzzzIIITIIIIII12IT 簡(jiǎn)寫為：簡(jiǎn)寫為：212I例題例題3：如圖所示如圖所示,四個(gè)質(zhì)量均為四個(gè)質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)位于的質(zhì)點(diǎn)位于xy平面上，坐平面上，坐標(biāo)分別為標(biāo)分別為(a,0)，(-a,0),(0,2a),(0,-2a),它們被可不計(jì)質(zhì)量的桿它們被可不計(jì)質(zhì)量的桿連成一剛體，求對(duì)原點(diǎn)的慣量張量。連成一剛體，求對(duì)原點(diǎn)的慣量張量。mmmm2aaa2aoyx解：根據(jù)定義，有：解：根據(jù)定義，有：221nxxiiiiImyz因此：因此：22228xxImama22yyIma210zzIma0 xyxzyzIII 22280000200010maImama對(duì)

10、原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量：慣量張量：irimizxyoi3. 繞瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量繞瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量21niiiIm與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量類似，定義瞬時(shí)類似，定義瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：瞬時(shí)軸的方向其實(shí)就是該時(shí)刻瞬時(shí)軸的方向其實(shí)就是該時(shí)刻角速度的方向，如果我們定義角速度的方向，如果我們定義它的單位矢量為：它的單位矢量為：coscoscosnijk如果該時(shí)刻的角速度大如果該時(shí)刻的角速度大小為小為，則，則轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：212TI該時(shí)刻的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能當(dāng)然也可以表達(dá)為：該時(shí)刻的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能當(dāng)然也可以表達(dá)為：此時(shí)，角速度表達(dá)為：此時(shí)，角速度表達(dá)為：n矩陣表達(dá)為：矩陣表達(dá)為：coscoscos

11、12IT n因此：因此：12IT 212nIn212TI比較：比較：可知瞬時(shí)軸與定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)系為：可知瞬時(shí)軸與定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)系為：nInI 即：即：coscoscoscoscoscosxxxyxzyxyyyzzxzyzzIIIIIIIIII例題例題4：如圖所示如圖所示,四個(gè)質(zhì)量均為四個(gè)質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)位于的質(zhì)點(diǎn)位于xy平面上，坐平面上，坐標(biāo)分別為標(biāo)分別為(a,0)，(-a,0),(0,2a),(0,-2a),它們被可不計(jì)質(zhì)量的桿連它們被可不計(jì)質(zhì)量的桿連成一剛體，求：成一剛體，求：(1)繞過(guò)原點(diǎn)的與繞過(guò)原點(diǎn)的與x,y,z軸的夾角都相等的瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的夾角都相等的瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

12、量;(2)在某個(gè)時(shí)刻沿在某個(gè)時(shí)刻沿(1)問(wèn)所述的瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求此時(shí)剛體對(duì)原點(diǎn)問(wèn)所述的瞬時(shí)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求此時(shí)剛體對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量矢量與該軸的夾角。的角動(dòng)量矢量與該軸的夾角。mmmm2aaa2aoyx解：解：(1)已知條件，有：已知條件，有： 22280000200010maImama222coscoscos1同時(shí)已知：同時(shí)已知：3coscoscos3 0nInI 根據(jù)定義：根據(jù)定義：因此：因此： 0nInI 2222228cos2cos10cosmamama2203ma(2)先求角動(dòng)量：先求角動(dòng)量： 0JI則：則：2223380030203001033Jmamama得：得：2382103Jmaijk夾角：夾角：arccosJ nJ0272Ni iiJmrIxxxxxyyxzzJIIIyyx xyyyyz zJI