幾何綜合問題--知識講解（提高）

1、word中考沖刺：幾何綜合問題知識講解提高責編：常春芳【中考展望】 幾何綜合題是中考試卷中常見的題型，大致可分為幾何計算型綜合題與幾何論證型綜合題，它主要考查學生綜合運用幾何知識的能力.這類題型在近幾年全國各地中考試卷中占有相當?shù)姆至浚粌H有選擇題、填空題、幾何推理計算題以及代數(shù)與幾何的綜合計算題,還有更注重考查學生分析問題和解決問題能力的探究性的問題、方案設計的問題等等.主要特點是圖形較復雜，覆蓋面廣、涉及的知識點較多，題設和結論之間的關系較隱蔽，常常需要添加輔助線來解答.幾何綜合題的呈現(xiàn)形式多樣，如折疊類型、探究型、開放型、運動型、情景型等，背景鮮活，具有實用性和創(chuàng)造性，考查方式偏重于考查

2、考生分析問題、探究問題、綜合應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.以幾何為主的綜合題常常在一定的圖形背景下研究以下幾個方面的問題：1、證明線段、角的數(shù)量關系包括相等、和、差、倍、分及比例關系等；2、證明圖形的位置關系如點與線、線與線、線與圓、圓與圓的位置關系等；3、幾何計算問題；4、動態(tài)幾何問題等.【方法點撥】一、幾何計算型綜合問題，常常涉及到以下各局部的知識：1、與三角形有關的知識；2、等腰三角形，等腰梯形的性質；3、直角三角形的性質與三角函數(shù)；4、平行四邊形的性質；5、全等三角形，相似三角形的性質；6、垂徑定理，切線的性質，與正多邊形有關的計算；7、弧長公式與扇形面積公式.二、幾何論證型綜合題的

3、解答過程，要注意以下幾個方面：1、注意圖形的直觀提示，注意觀察、分析圖形，把復雜的圖形分解成幾個根本圖形，通過添加輔助線補全或構造根本圖形；2、注意分析挖掘題目的隱含條件、開展條件，為解題創(chuàng)造條件打好根底，要由聯(lián)想經(jīng)驗，由未知聯(lián)想需要，不斷轉化條件和結論來探求思路，找到解決問題的突破點；3、要運用轉化的思想解決幾何證明問題，運用方程的思想解決幾何計算問題，還要靈活運用數(shù)學思想方法如數(shù)形結合、分類討論、轉化、方程等思想來解決問題.【典型例題】類型一、動態(tài)幾何型問題12022太原校級自主招生如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、AB上的點，且CE=BF，連接DE，過點E作EGDE，使E

4、G=DE，連接FG，F(xiàn)C1請判斷：FG與CE的數(shù)量關系和位置關系；不要求證明2如圖2，假設點E、F分別是CB、BA延長線上的點，其它條件不變，1中結論是否仍然成立？請出判斷判斷予以證明；3如圖3，假設點E、F分別是BC、AB延長線上的點，其它條件不變，1中結論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷【思路點撥】1結論：FG=CE，F(xiàn)GCE如圖1中，設DE與CF交于點M，首先證明CBFDCE，推出DECF，再證明四邊形EGFC是平行四邊形即可2結論仍然成立如圖2中，設DE與CF交于點M，首先證明CBFDCE，推出DECF，再證明四邊形EGFC是平行四邊形即可3結論仍然成立如圖3中，設DE與FC的延長線交

5、于點M，證明方法類似【答案與解析】解：1結論：FG=CE，F(xiàn)GCE理由：如圖1中，設DE與CF交于點M四邊形ABCD是正方形，BC=CD，ABC=DCE=90°，在CBF和DCE中，CBFDCE，BCF=CDE，CF=DE，BCF+DCM=90°，CDE+DCM=90°，CMD=90°，CFDE，GEDE，EGCF，EG=DE，CF=DE，EG=CF，四邊形EGFC是平行四邊形GF=EC，GF=EC，GFEC2結論仍然成立理由：如圖2中，設DE與CF交于點M四邊形ABCD是正方形，BC=CD，ABC=DCE=90°，在CBF和DCE中，CBFD

6、CE，BCF=CDE，CF=DE，BCF+DCM=90°，CDE+DCM=90°，CMD=90°，CFDE，GEDE，EGCF，EG=DE，CF=DE，EG=CF，四邊形EGFC是平行四邊形GF=EC，GF=EC，GFEC3結論仍然成立理由：如圖3中，設DE與FC的延長線交于點M四邊形ABCD是正方形，BC=CD，ABC=DCE=90°，CBF=DCE=90°在CBF和DCE中，CBFDCE，BCF=CDE，CF=DEBCF+DCM=90°，CDE+DCM=90°，CMD=90°，CFDE，GEDE，EGCF，EG

7、=DE，CF=DE，EG=CF，四邊形EGFC是平行四邊形GF=EC，GF=EC，GFEC【總結升華】此題考查四邊形綜合題、正方形的性質、平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，注意這類題目的解題規(guī)律，圖形變了，條件不變，證明的方法思路完全一樣，屬于中考?？碱}型舉一反三：【變式】：如圖1，射線射線，是它們的公垂線，點、分別在、上運動點與點不重合、點與點不重合，是邊上的動點點與、不重合，在運動過程中始終保持，且1求證：；2如圖2，當點為邊的中點時，求證：；3設，請?zhí)骄浚旱闹荛L是否與值有關？假設有關，請用含有的代數(shù)式表示的周長；假設無關，請說明理由 【

8、答案】1證明：， 又， 2證明：如圖，過點作，交于點， 是的中點，容易證明 在中， ， 3解：的周長， 設，那么 ， 即 由1知， 的周長的周長 的周長與值無關 2在ABC中，ACB=45º點D與點B、C不重合為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF1如果AB=AC如圖，且點D在線段BC上運動試判斷線段CF與BD之間的位置關系，并證明你的結論2如果ABAC，如圖，且點D在線段BC上運動1中結論是否成立，為什么？3假設正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設AC，CD=，求線段CP的長用含的式子表示 【思路點撥】(1)由題干可以發(fā)現(xiàn)

9、，正方形中四條邊的垂直關系是不動的，于是利用角度的互余關系進行傳遞，就可以得解.(2)是典型的從特殊到一般的問法，那么思路很簡單，就是從一般中構筑一個特殊的條件就行，和上題一樣找AC的垂線，就可以變成第一問的條件，然后一樣求解.(3)D在BC之間運動和它在BC延長線上運動時的位置是不一樣的，所以已給的線段長度就需要分情況去考慮到底是4+X還是4-X.分類討論之后利用相似三角形的比例關系即可求出CP.【答案與解析】1結論：CFBD； 證明如下：AB=AC ，ACB=45º，ABC=45º由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90º， DAB=FAC，D

10、ABFAC ， ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90º即 CFBD2CFBD(1)中結論仍成立 理由是：過點A作AGAC交BC于點G，AC=AG可證：GADCAF ACF=AGD=45º BCF=ACB+ACF= 90º 即CFBD 3過點A作AQBC交CB的延長線于點Q， 點D在線段BC上運動時，BCA=45º，可求出AQ= CQ=4DQ=4-x，易證AQDDCP， ， 點D在線段BC延長線上運動時，BCA=45°，AQ=CQ=4，DQ=4+x過A作AQBC，Q=FQC=90°，ADQ=AFC，那么AQDACFCFBD，AQ

11、DDCP，, ,【總結升華】此題綜合性強，需要綜合運用全等、相似、正方形等知識點，屬能力拔高性的題目32022河南模擬如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E是射線BC上的一個動點，連接AE并延長，交射線DC于點F，將ABE沿直線AE翻折，點B坐在點B處自主探究：1當=1時，如圖1，延長AB，交CD于點MCF的長為 ；判斷AM與FM的數(shù)量關系，并證明你的結論2當點B恰好落在對角線AC上時，如圖2，此時CF的長為 ，= 拓展運用：3當=2時，求sinDAB的值【思路點撥】1利用相似三角形的判定與性質得出FC=AB即可得出答案；利用翻折變換的性質得出BAF=MAF，進而得出AM=FM；2根據(jù)翻折變換的

12、性質得出BAE=MAF，進而得出AM=MF，利用ABEFCE得出答案即可；3根據(jù)如圖1，當點E在線段BC上時，延長AB交DC邊于點M，如圖3，當點E在線段BC的延長線上時，延長AD交BE于點N，分別利用勾股定理求出即可【答案與解析】解：1當=1時，ABFC，ABEFCE，=1，F(xiàn)C=AB=6，AM=FM，理由如下：四邊形ABCD是正方形，ABDC，BAF=AFC，ABE沿直線AE翻折得到ABE，BAF=MAF，MAF=AFC，AM=FM；2如圖2，當點B恰好落在對角線AC上時，1=2，ABFC，1=F，2=F，AC=FC，AB=BC=6，AC=FC=6，ABFC，ABEFCE，=，3如圖1，當

13、點E在線段BC上時，延長AB交DC邊于點M，ABCF，ABEFCE，=2，AB=6，CF=3，DF=CD+CF=9，由1知：AM=FM，AM=FM=9DM，在RtADM中，由勾股定理得：DM2=9DM262，解得：DM=，那么MA=，sinDAB=，如圖3，當點E在線段BC的延長線上時，延長AD交BE于點N，由1知：AN=EN，又BE=BE=12，NA=NE=12BN，在RtABN中，由勾股定理得：BN2=12BN262，解得：BN=，AN=，sinDAB=故答案為：6；6，【總結升華】此題主要考查了翻折變換的性質以及相似三角形的判定與性質和勾股定理等知識，熟練利用相關性質和進行分類討論得出是

14、解題關鍵類型二、幾何計算型問題4如圖，在梯形中，點是的中點，是等邊三角形1求證：梯形是等腰梯形；2動點、分別在線段和上運動，且保持不變設求與的函數(shù)關系式；3在2中，當取最小值時，判斷的形狀，并說明理由 【思路點撥】1屬于純靜態(tài)問題，只要證兩邊的三角形全等就可以了.MPQ=60°，其實就是將靜態(tài)的那個等邊三角形與動態(tài)條件聯(lián)系了起來.因為最終求兩條線段的關系,所以很自然想到要通過相似三角形找比例關系.(3)條件又回歸了當動點靜止時的問題，由第二問所得的二次函數(shù)，很輕易就可以求出當x取對稱軸的值時y有最小值，接下來就變成了“給定PC=2，求PQC形狀的問題了，由的BC=4，自然看出P是中點

15、，于是問題輕松求解.【答案與解析】1證明：是等邊三角形是中點 梯形是等腰梯形2解：在等邊中， 3解：為直角三角形，當取最小值時，是的中點，而為直角三角形.【總結升華】以上題目是動點問題，這一類問題的關鍵就在于當動點移動中出現(xiàn)特殊條件，例如某邊相等，某角固定時，將動態(tài)問題化為靜態(tài)問題去求解.如果沒有特殊條件，那么就需要研究在動點移動中哪些條件是保持不變的.舉一反三：【高清課堂：幾何綜合問題 例3】【變式】：如圖，N、M是以O為圓心，1為半徑的圓上的兩點，B是上一動點B不與點M、N重合，MON=90°，BAOM于點A，BCON于點C，點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點

16、，GF與CE相交于點P，DE與AG相交于點Q1四邊形EPGQ 填“是或者“不是平行四邊形；2假設四邊形EPGQ是矩形，求OA的值. 【答案】1是證明：連接OB，如圖，BAOM，BCON，BAO=BCO=90°，AOC=90°，四邊形OABC是矩形ABOC，AB=OC，E、G分別是AB、CO的中點，AEGC，AE=GC，四邊形AECG為平行四邊形CEAG，點D、E、F、G分別是線段OA、AB、BC、CO的中點，GFOB，DEOB，PGEQ，四邊形EPGQ是平行四邊形；2解：如圖， 口EPGQ是矩形 AED+CEB=90° 又DAE=EBC=90°， AED

17、=BCE AEDBCE， ， 設OA=x，AB=y，那么 得y2=2x2， 又OA2+AB2=OB2， 即x2+y2=12 x2+2x2=1， 解得：x= 即當四邊形EPGQ是矩形時，OA的長度為5在中，過點C作CECD交AD于點E,將線段EC繞點E逆時針旋轉得到線段EF(如圖1)1在圖1中畫圖探究：當P為射線CD上任意一點P1不與C重合時，連結EP1繞點E逆時針旋轉 得到線段EC1.判斷直線FC1與直線CD的位置關系，并加以證明；當P2為線段DC的延長線上任意一點時，連結EP2,將線段EP2繞點E 逆時針旋轉得到線段EC2.判斷直線C1C2與直線CD的位置關系，畫出圖形并直接寫出你的結論.2

18、假設AD=6,tanB=,AE=1,在的條件下，設CP1=，S=，求與之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍. 圖1 備用圖【思路點撥】(1)此題在于如何把握這個旋轉90°°自然就是垂直關系，于是出現(xiàn)了一系列直角三角形，于是證角、證線就手到擒來了.(2)是利用平行關系建立函數(shù)式，但是不要忘記分類討論.【答案與解析】1直線與直線的位置關系為互相垂直證明：如圖1，設直線與直線的交點為FDCBAE圖1G2G1P1HP2線段分別繞點逆時針旋轉90°依次得到線段，按題目要求所畫圖形見圖1，直線與直線的位置關系為互相垂直2四邊形是平行四邊形，可得由1可得四邊形為正方形如圖2，當點在線段的延長線上時， DG1P1HCBAEF圖2，如圖3，當點在線段上不與兩點重合時，F(xiàn)G1P1CABEDH圖3，當點與點重合時，即時，不存在綜上所述，與之間的函數(shù)關系式及自變量的取值范圍是或【總結升華】此題著重考查了二次函數(shù)的解析式、圖形的旋轉變換、三角形全等、探究垂直的構成情況等重要知識點，綜合性強，能力要求較高考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法舉一反三：【變式】，點P是MON的平分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A，將射線PA繞點P逆時針旋轉交射線ON于點B