中考總復(fù)習(xí)：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)--知識講解（提高）

1、word中考總復(fù)習(xí)：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí)知識講解提高撰稿：張曉新 審稿：杜少波【考綱要求】(1) 借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求有理數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)與絕對值理解有理數(shù)的運算律，并能運用運算律簡化運算；2了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；會用根號表示數(shù)的平方根、立方根了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運算法那么，會用它們進(jìn)行有關(guān)實數(shù)的簡單四那么運算；3了解整式、分式的概念，會進(jìn)行簡單的整式加、減運算；會進(jìn)行簡單的整式乘法運算會利用分式的根本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會進(jìn)行簡單的分式加、減、乘、除運算【知識網(wǎng)絡(luò)】 【考點梳理】考點一、實數(shù)的有

2、關(guān)概念、性質(zhì)1實數(shù)及其分類 實數(shù)可以按照下面的方法分類： 實數(shù)還可以按照下面的方法分類：要點詮釋：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù) 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)2數(shù)軸 規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系要點詮釋： 實數(shù)和數(shù)軸上的點的這種一一對應(yīng)的關(guān)系是數(shù)學(xué)中把數(shù)和形結(jié)合起來的重要根底3相反數(shù) 實數(shù)a和-a叫做互為相反數(shù)零的相反數(shù)是零 一般地，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點，分別在原點的兩旁，并且離原點的距離相等要點詮釋：兩個互為相反數(shù)的數(shù)的運算特征是它們的和等于零，即如果a

3、和b互為相反數(shù)，那么a+b0；反過來，如果a+b0，那么a和b互為相反數(shù)4絕對值 一個實數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離 一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零，即 如果a0，那么|a|a； 如果a0，那么|a|-a； 如果a0，那么|a|0要點詮釋：從絕對值的定義可以知道，一個實數(shù)的絕對值是一個非負(fù)數(shù)5實數(shù)大小的比擬1在數(shù)軸上表示兩個數(shù)的點，右邊的點所表示的數(shù)較大2正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0，兩個負(fù)數(shù)絕對值大的那個負(fù)數(shù)反而小.3對于實數(shù)要點詮釋：常用方法：數(shù)軸圖示法；作差法；作商法；平方法等.6有理數(shù)的運算 (1)運算法那么(略) (2)運算

4、律： 加法交換律 a+bb+a； 加法結(jié)合律 (a+b)+ca+(b+c)； 乘法交換律 abba； 乘法結(jié)合律 (ab)ca(bc)； 分 配 律 a(b+c)ab+ac (3)運算順序：在加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算中，加、減是第一級運算，乘、除是第二級運算，乘方、開方是第三級運算在沒有括號的算式中，首先進(jìn)行第三級運算，然后進(jìn)行第二級運算，最后進(jìn)行第一級運算，也就是先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、減 算式里如果有括號，先進(jìn)行括號內(nèi)的運算 如果只有同一級運算，從左到右依次運算7平方根 如果x2a，那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)要點詮釋：正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反

5、數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根8算術(shù)平方根 正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根零的算術(shù)平方根是零要點詮釋： 從算術(shù)平方根的概念可以知道，算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)9近似數(shù)及有效數(shù)字 近似地表示某一個量準(zhǔn)確值的數(shù)，叫做這個量準(zhǔn)確值的近似數(shù)一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位這時，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個數(shù)的有效數(shù)字10科學(xué)記數(shù)法 把一個數(shù)記成±a×的形式(其中n是整數(shù)，a是大于或等于1而小于10的數(shù))，稱為用科學(xué)記數(shù)法表示這個數(shù)考點二、二次根式、分式的相關(guān)概念、性質(zhì)1二次根式的概念 形如(a0) 的式子叫做二次根式2

6、最簡二次根式和同類二次根式的概念 最簡二次根式是指滿足以下條件的二次根式： (1)被開方數(shù)不含分母； (2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式要點詮釋：把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，假設(shè)它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：1互為有理化因式；2互為有理化因式；一般地互為有理化因式；3互為有理化因式；一般地互為有理化因式.3二次根式的主要性質(zhì)1；2；3；4積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；5商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.4 二次根式的

7、運算 (1)二次根式的加減 二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并 (2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變要點詮釋：二次根式的混合運算：1.明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運算中，原來學(xué)過的運算律、運算法那么及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.5代數(shù)式的有關(guān)概念 (1)代數(shù)式：用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫做代數(shù)式 用數(shù)值代替代數(shù)式里

8、的字母，計算后所得的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值代數(shù)式的分類：(2)有理式：只含有加、減、乘、除、乘方運算(包含數(shù)字開方運算)的代數(shù)式，叫做有理式 (3)整式：沒有除法運算或者雖有除法運算但除式里不含字母的有理式叫做整式 整式包括單項式和多項式 (4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式分式的分母取值如果為零，分式?jīng)]有意義 6整式的運算(1)整式的加減：整式的加減運算，實際上就是合并同類項在運算時，如果遇到括號，根據(jù)去括號法那么，先去括號，再合并同類項(2)整式的乘法： 正整數(shù)冪的運算性質(zhì)：；(a0，mn)其中m、n都是正整數(shù)整式的乘法：單項式乘單項式，用它們的系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同字母，用

9、它們的指數(shù)的和作為積里這個字母的指數(shù)，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式 單項式乘多項式，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加 多項式乘多項式，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加乘法公式：；零和負(fù)整數(shù)指數(shù)：在(a0，m，n都是正整數(shù))中，當(dāng)mn時，規(guī)定；當(dāng)mn時，如m-n-p(p是正整數(shù))，規(guī)定7因式分解1因式分解的概念 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解 在因式分解時，應(yīng)注意： 在指定數(shù)(有理數(shù)、實數(shù))的范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解 因式分

10、解以后，如果有相同的因式，應(yīng)寫成冪的形式，并且要把各個因式化簡 2因式分解的方法 提公因式法：ma+mb+mcm(a+b+c) 運用公式法：；十字相乘法：運用求根公式法：假設(shè)的兩個根是、，那么有：. 3因式分解的步驟 多項式的各項有公因式時，應(yīng)先提取公因式； 考慮所給多項式是否能用公式法分解要點詮釋： 因式分解時應(yīng)注意:在指定數(shù)有理數(shù)、實數(shù)的范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，假設(shè)題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解；因式分解后，如果有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式，并且要把各個因式化簡，同時每個因式的首項不含負(fù)號；多項式的因式分解是多項式乘法的逆變形.8分式1分式的概

11、念 形如的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零 2分式的根本性質(zhì)分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變，(其中M是不等于零的整式)要點詮釋：分式有意義分母0； 分式無意義分母=0；分式值為0 分式值為1分式值為正分子、分母同號.分式值為負(fù)分子、分母異號. 3分式的運算 加減法：，乘法： 除法：乘方：n為正整數(shù)要點詮釋： 解分式方程的考前須知：1去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；2解完分式方程必須進(jìn)行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解列分式方程解應(yīng)用題的根本步驟：(

12、1)審仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；(2)設(shè)合理設(shè)未知數(shù)；(3)列根據(jù)等量關(guān)系列出方程；(4)解解出方程；(5)驗檢驗增根；(6)答答題【典型例題】類型一、實數(shù)的概念、運算及因式分解1在數(shù)軸上表示a、b、c三個數(shù)的點的位置如下圖化簡：|a-b|+|a-c|-|b+c|【思路點撥】通過觀察數(shù)軸得到a、b、c的符號，通過確定絕對值里的式子的符號，來去掉絕對值符號.【答案與解析】由上圖可得bc0a， a-b0，a-c0，b+c0 |a-b|+|a-c|-|b+c|(a-b)+(a-c)-(-b-c)2a【總結(jié)升華】由絕對值的定義我們知道： 如果m0，那么|m|m；如果m0，那么|m|-m；如果m0，那么|

13、m|0要去掉絕對值符號，首先要弄清m的值是正、是負(fù)，還是零舉一反三：【變式】閱讀下面的材料，答復(fù)以下問題：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為當(dāng)A、B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖1-1，；當(dāng)A、B兩點都不在原點時：1如圖1-2，點A、B都在原點的右邊，；OA0bB圖1-1O0bB圖1-2 aA2如圖1-3，點A、B都在原點的左邊， ；3如圖1-4，點A、B在原點的兩邊，BbaA圖1-3O0BbaA圖1-4O0綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離答復(fù)以下問題：1數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是 ；數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是 ；數(shù)軸上表示1和3的兩點

14、之間的距離是 2數(shù)軸上表示x和1的兩點A和B之間的距離是 如果，那么x= 【答案】13，3，4；2或依據(jù)閱讀材料，所獲得的結(jié)論為，結(jié)合各問題分別代入求解1；2；因為，所以，所以或所以或22022春當(dāng)涂縣校級期中分解因式118x2y2+9x46x3y21m2n2+2mn3a+2a2a3【思路點撥】如果多項式各項含有公因式，就先提出這個公因式，再進(jìn)一步分解因式分解因式必須進(jìn)行到每一個因式都不能再分解為止【答案與解析】解：118x2y2+9x46x3y=3x26y23x2+2xy；21m2n2+2mn=1mn2=1+mn1m+n；3a+2a2a3=a12a+a2=a1a2【總結(jié)升華】(1)如果多項式

15、的第一項系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般要提出負(fù)號，使括號內(nèi)的第一項系數(shù)是正數(shù)，以便于觀察是否可以進(jìn)一步分解因式 (2)在提取公因式時，一是要真確確定公因式，二是要注意一步到位；分解因式一定要徹底舉一反三：【變式】分解因式：= 【答案】此題是四項，應(yīng)采用分組分解法，分組分解法主要有兩種，一是二二分組，另一種是一三分組，此題應(yīng)采用一三分組法進(jìn)行分解原式類型二、分式的有關(guān)運算3我們把分子為1的分?jǐn)?shù)叫做單位分?jǐn)?shù)如，任何一個單位分?jǐn)?shù)都可以拆分成兩個不同的單位分?jǐn)?shù)的和，如，1根據(jù)對上述式子的觀察，你會發(fā)現(xiàn)，請寫出，所表示的數(shù)；2進(jìn)一步思考，單位分?jǐn)?shù)n是不小于2的正整數(shù)，請寫出，所表示的式，并加以驗證【思路點撥】等式右邊

16、的第一個分母是左邊的分母加1，第二個分母是前兩個分母的乘積，如果設(shè)左邊的分母為n，那么右邊第一個分母為n1，第二個分母為nn1【答案與解析】1表示的數(shù)為6，表示的數(shù)為30；2表示的式為，表示的式為驗證：，所以上述結(jié)論成立【總結(jié)升華】通過對三組式子的觀察，不難找出規(guī)律舉一反三：【高清課程名稱：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí) 高清ID號：402392 關(guān)聯(lián)的位置名稱播放點名稱：例6】【變式】假設(shè)0x1，那么的大小關(guān)系是( )A BC D【答案】C.4計算【思路點撥】在進(jìn)行分式的四那么運算時，一定要注意按運算順序進(jìn)行，并注意結(jié)合題目的具體情況及時化簡，以便簡化運算過程【答案與解析】 【總結(jié)升華】在進(jìn)行分式的四那么運

17、算時，要注意利用運算律，尋找合理的運算途徑舉一反三：【變式】計算【答案】 類型三、二次根式的運算5【思路點撥】這是一道二次根式化簡題，在化為最簡二次根式的過程中，要注意a，b的符號，此題中沒明確告訴a，b的符號，但可從a+b=-9，ab=12中分析得到.【答案與解析】a+b=-9，ab=12，a0，b0.【總結(jié)升華】1.明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運算中，原來學(xué)過的運算律、運算法那么及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果.舉一反三：【變式】

18、估計×+的運算結(jié)果應(yīng)在 A. 6到7之間B. 7到8之間C. 8到9之間D. 9到10之間【答案】此題應(yīng)計算出所給算式的結(jié)果，原式，由于，即. 應(yīng)選C.6假設(shè)a，b為實數(shù)，且b=，試求的值.【思路點撥】此題中根據(jù)b=可以求出a，b，再對的被開方數(shù)進(jìn)行配方、化簡. 【答案與解析】由二次根式的性質(zhì)得ab0， 當(dāng)【總結(jié)升華】對于形如形式的代數(shù)式都要變?yōu)榛虻男问?，?dāng)它們作為被開方式進(jìn)行化簡時，要注意舉一反三：【高清課程名稱：數(shù)與式綜合復(fù)習(xí) 高清ID號：402392 關(guān)聯(lián)的位置名稱播放點名稱：例7】【變式】(1) 假設(shè)，且，那么 (2)假設(shè)，求的值【答案】(1)3；(2)-2.類型四、數(shù)與式的綜合運用72022秋延平區(qū)校級月考如圖，用相同規(guī)格的黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請觀察以下圖形并解答有關(guān)問題：1在第n個圖中，共有瓷磚 塊，其中白色瓷磚 塊，黑色瓷磚 塊均用含n的代數(shù)式表示；2按上述鋪設(shè)方案，鋪設(shè)一塊這樣的矩形地面共用了1056塊瓷磚，求此時n的值；3假設(shè)黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，那么問題2中，共花多少元購置瓷磚？【思路點撥】1根據(jù)第n個圖形的白瓷磚的每行有n+1個，每列有n個，即可表示白瓷磚的數(shù)量，再讓總數(shù)減去白瓷磚的數(shù)量即為黑瓷磚的數(shù)量；2當(dāng)y=1056時可以代入1中函數(shù)關(guān)系式求出n；3和1一