數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)高等數(shù)學(xué)計(jì)算PPT課件

1、MATLAB的的符號(hào)計(jì)算符號(hào)計(jì)算在數(shù)學(xué)、物理及各類工程應(yīng)用中在數(shù)學(xué)、物理及各類工程應(yīng)用中, 除了數(shù)值計(jì)算外除了數(shù)值計(jì)算外, 還常常需用符號(hào)計(jì)算還常常需用符號(hào)計(jì)算. 一般的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言平臺(tái)只能一般的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言平臺(tái)只能實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算, 早期的早期的MATLAB也不能實(shí)現(xiàn)符號(hào)計(jì)也不能實(shí)現(xiàn)符號(hào)計(jì)算。算。1993年年MathWorks公司購(gòu)買了公司購(gòu)買了MAPLE的使用的使用權(quán)權(quán),并開(kāi)發(fā)出實(shí)現(xiàn)符號(hào)計(jì)算的工具箱并開(kāi)發(fā)出實(shí)現(xiàn)符號(hào)計(jì)算的工具箱Symbolic Math Toolbox. 符號(hào)計(jì)算需要使用專門函數(shù)，功能包括有微積分、符號(hào)計(jì)算需要使用專門函數(shù)，功能包括有微積分、線性代數(shù)、方程求解、積分變換

2、等。在線性代數(shù)、方程求解、積分變換等。在MATLAB數(shù)數(shù)值計(jì)算和字符串操作中值計(jì)算和字符串操作中,變量通過(guò)賦值語(yǔ)句創(chuàng)建變量通過(guò)賦值語(yǔ)句創(chuàng)建.但但是符號(hào)計(jì)算中的變量在使用前，必須要用關(guān)鍵詞是符號(hào)計(jì)算中的變量在使用前，必須要用關(guān)鍵詞syms (或其它函數(shù)或其它函數(shù))創(chuàng)建。創(chuàng)建。2/16第1頁(yè)/共39頁(yè)例例1. 用符號(hào)表達(dá)式定義用符號(hào)表達(dá)式定義 f = e 0.2x sin (0.5x)并繪圖并繪圖.syms x ; f = exp(-0.2*x)*sin(0.5*x); ezplot(f,0,2*pi)3/16syms 符號(hào)變量1 符號(hào)變量2 f = exp(-1/5*x) * sin(1/2*x

3、)ezplot( f )繪表達(dá)式繪表達(dá)式f=f(x)的圖的圖繪圖區(qū)域繪圖區(qū)域 -2*pix2*piezplot(f, a,b)繪圖區(qū)域繪圖區(qū)域：axa時(shí)的極限時(shí)的極限symsum(f,k,m,n) 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)7/16 nmkkf)(第7頁(yè)/共39頁(yè) 求極限運(yùn)算求極限運(yùn)算求一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的極限用命令求一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式的極限用命令limit ，使用格式如下，使用格式如下limit(F,x,a)這一命令的功能是求出符號(hào)表達(dá)式這一命令的功能是求出符號(hào)表達(dá)式F當(dāng)當(dāng)x a.的極限。的極限。（ 1） limit(F,a) 使用與使用與x最接近的英文字母作為自變量；最接近的英文字母作為自變量；（ 2） lim

4、it(F) 使用使用 a = 0 作為自變量的極限點(diǎn)。作為自變量的極限點(diǎn)。求表達(dá)式的左極限和右極限命令分別為求表達(dá)式的左極限和右極限命令分別為L(zhǎng)IMIT(F,x,a,right)LIMIT(F,x,a,left)第8頁(yè)/共39頁(yè)例例18、 求極限求極限 xxxsinlim . 10 42lim . 222 xxx xxxt3)21(lim . 3 xx1lim . 40 xx1lim . 50 hxhxh)sin()sin(lim . 60 ,)1(lim . 7xxxexa syms x a t h; p1=limit(sin(x)/x) p2=limit(x-2)/(x2-4),2) p3

5、=limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf)p4=limit(1/x,x,0,right)p5=limit(1/x,x,0,left)%定義符號(hào)變量定義符號(hào)變量%求第一個(gè)極限求第一個(gè)極限%求第二個(gè)極限求第二個(gè)極限%求第三個(gè)極限求第三個(gè)極限%求第四個(gè)極限求第四個(gè)極限%求第五個(gè)極限求第五個(gè)極限 第9頁(yè)/共39頁(yè)p6=limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0)v = (1 + a/x)x, exp(-x); p7=limit(v,x,inf,left)%求第六個(gè)極限求第六個(gè)極限%定義向量函數(shù)定義向量函數(shù)%求第七個(gè)極限求第七個(gè)極限得：得： 1sinlim . 10 xxx414

6、2lim22 xxxtxxext63)21(lim xx1lim0 xhxhxhcos)sin()sin(lim0 xx1lim00,)1(limaxxxeexa 第10頁(yè)/共39頁(yè) 函數(shù)的臺(tái)勞（函數(shù)的臺(tái)勞（taylor）級(jí)數(shù)展開(kāi)）級(jí)數(shù)展開(kāi)一元函數(shù)一元函數(shù)f(x) 的臺(tái)勞（的臺(tái)勞（taylor）級(jí)數(shù)展開(kāi)命令格式為）級(jí)數(shù)展開(kāi)命令格式為taylor(f，n，a)其中，其中，f為函數(shù)表達(dá)式，為函數(shù)表達(dá)式，n確定級(jí)數(shù)最高項(xiàng)次數(shù)為確定級(jí)數(shù)最高項(xiàng)次數(shù)為(n 1)，a指定函數(shù)在某一點(diǎn)展開(kāi)。指定函數(shù)在某一點(diǎn)展開(kāi)。taylor(f) 得到函數(shù)得到函數(shù)f.的五階麥克勞林多項(xiàng)式逼近；的五階麥克勞林多項(xiàng)式逼近；tay

7、lor(f,n) 得到函數(shù)得到函數(shù)f.的的(n-1)階麥克勞林多項(xiàng)式逼近階麥克勞林多項(xiàng)式逼近taylor(f,a) 得到得到f的關(guān)于點(diǎn)的關(guān)于點(diǎn)a的臺(tái)勞多項(xiàng)式逼近。的臺(tái)勞多項(xiàng)式逼近。taylor(f,x) 使用自變量使用自變量x做臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)。做臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)。 第11頁(yè)/共39頁(yè)例例19、 對(duì)下列函數(shù)做臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)下列函數(shù)做臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)（1）e-x在在 x=0處作處作5階展開(kāi)，（階展開(kāi)，（2）ln x 在在x =1處作處作5階展開(kāi)；階展開(kāi)；（3）sin x在在x = /2 處處5階展開(kāi)；（階展開(kāi)；（4）xt 在在 t =0處作處作2階展開(kāi)。階展開(kāi)。 syms x tT1=taylor(exp(

8、-x)returns 1-x+1/2*x2-1/6*x3+1/24*x4-1/120*x5T2=taylor(log(x),6,1)x-1-1/2*(x-1)2+1/3*(x-1)3-1/4*(x-1)4+1/5*(x-1)5T3=taylor(sin(x),6,pi/2)1-1/2*(x-1/2*pi)2+1/24*(x-1/2*pi)4第12頁(yè)/共39頁(yè)T4=taylor(xt,3,t)1+log(x)*t+1/2*log(x)2*t2543224124161211xxxxxex 得：得：5432)1(51)1(41)1(31)1(211ln xxxxxx42)2(241)2(211sin

9、 xxx22)(ln21)(ln1txtxxt 第13頁(yè)/共39頁(yè))cos(451)(xxf 例9. 麥克勞林展開(kāi)函數(shù)syms xf=1/(5+4*cos(x)T=taylor(f,8)Pretty(T) 2 4 49 6 1/9 + 2/81 x + 5/1458 x + - x 131220第14頁(yè)/共39頁(yè)例例3.7計(jì)算計(jì)算 f = 1/(5+4cos(x) 關(guān)于關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)syms xf=1/(5+4*cos(x)ezplot(f)f1=diff(f,x,1)ezplot(f1)-6-4-202460.20.40.60.81x1/(5+4 cos(x)-6-4-20246-1-0

10、.500.51x4/(5+4 cos(x)2 sin(x)f1 =4/(5+4*cos(x)2*sin(x)第15頁(yè)/共39頁(yè)可視化符號(hào)函數(shù)分析界面可視化符號(hào)函數(shù)分析界面1、單變量函數(shù)分析的交互界面、單變量函數(shù)分析的交互界面單變量函數(shù)分析界面用于考察兩個(gè)一元函數(shù)各自性質(zhì)單變量函數(shù)分析界面用于考察兩個(gè)一元函數(shù)各自性質(zhì)及其相關(guān)關(guān)系。及其相關(guān)關(guān)系。該函數(shù)計(jì)算器由該函數(shù)計(jì)算器由funtool.m文件生成。文件生成。在在MATLAB命令窗口中鍵入命令命令窗口中鍵入命令 funtool系統(tǒng)將產(chǎn)生三個(gè)新窗口。其中，系統(tǒng)將產(chǎn)生三個(gè)新窗口。其中，1號(hào)和號(hào)和2號(hào)窗口號(hào)窗口（Figure No. 1，F(xiàn)igure

11、No. 2）是函數(shù)曲線窗口，）是函數(shù)曲線窗口，3號(hào)號(hào)窗口（窗口（Figure No. 3）是函數(shù)運(yùn)算控制器。系統(tǒng)初始狀）是函數(shù)運(yùn)算控制器。系統(tǒng)初始狀態(tài)時(shí)時(shí)刻，三個(gè)窗口中只有態(tài)時(shí)時(shí)刻，三個(gè)窗口中只有3號(hào)窗口處于激活狀態(tài)，另號(hào)窗口處于激活狀態(tài)，另兩個(gè)處于睡眠狀態(tài)。用鼠標(biāo)單擊兩個(gè)處于睡眠狀態(tài)。用鼠標(biāo)單擊1號(hào)（或號(hào)（或2號(hào)）窗口，號(hào)）窗口，可激活該窗口，同時(shí)使原處于激活狀態(tài)的窗口轉(zhuǎn)換到可激活該窗口，同時(shí)使原處于激活狀態(tài)的窗口轉(zhuǎn)換到睡眠狀態(tài)。睡眠狀態(tài)。第16頁(yè)/共39頁(yè)第17頁(yè)/共39頁(yè)231cosxx xcos451 第一個(gè)文本框中的函數(shù)第一個(gè)文本框中的函數(shù)f(x)換為換為 ，第二個(gè)文本，第二個(gè)文本框

12、中的函數(shù)框中的函數(shù)g(x)換為換為則另兩個(gè)窗口的函數(shù)圖形會(huì)發(fā)生變化，如下圖所示。則另兩個(gè)窗口的函數(shù)圖形會(huì)發(fā)生變化，如下圖所示。第18頁(yè)/共39頁(yè) swap 交換交換 f(x) 和和g(x). cycle 順序演示典型函數(shù)表中函數(shù)順序演示典型函數(shù)表中函數(shù)insert 將當(dāng)前函數(shù)插入典型函數(shù)表中代演示將當(dāng)前函數(shù)插入典型函數(shù)表中代演示 help 幫助文件幫助文件delete 將將1號(hào)窗口中函數(shù)從典型函數(shù)表中刪除號(hào)窗口中函數(shù)從典型函數(shù)表中刪除 demo 自動(dòng)演示自動(dòng)演示 reset 返回初始演示狀態(tài)返回初始演示狀態(tài) close 關(guān)閉函數(shù)計(jì)算器關(guān)閉函數(shù)計(jì)算器第19頁(yè)/共39頁(yè)例例5.求求函數(shù)函數(shù) 的漸近

13、線、極值、的漸近線、極值、拐點(diǎn)，并作圖拐點(diǎn)，并作圖.8/163163)(22 xxxxxRsyms xn=3*x2+6*x-1；d=x2+x-3;f=n/d;limit(f,inf)ans=3roots=solve(d)roots=-1/2+1/2*13(1/2) -1/2-1/2*13(1/2)第20頁(yè)/共39頁(yè)ezplot(f)hold onplot(-2*pi 2*pi,3 3,g)plot(double(roots(1)*1 1,-5 10,r)plot(double(roots(2)*1 1,-5 10,r)title(水平漸近線和垂直漸近線)hold off第21頁(yè)/共39頁(yè)第22

14、頁(yè)/共39頁(yè)f1=diff(f);c=solve(f1)c= -8/3-1/3*13(1/2) -8/3+1/3*13(1/2)ezplot(f)hold onplot(double(c),double(subs(f,c),ro)title(函數(shù)的極大值和極小值函數(shù)的極大值和極小值)text(-5.5,3.2,局部極小值局部極小值)text(-2.5,2,局部極大值局部極大值)hold off222)3()17163()( xxxxxR第23頁(yè)/共39頁(yè)f2=diff(f1); q=solve(f2);double(q)ans=-5.2635 -1.3682-0.8511i -1.3682+0

15、.8511iq=q(1);ezplot(f,-9 6)hold onplot(double(q),double(subs(f,q),ro)title(函數(shù)的拐點(diǎn)函數(shù)的拐點(diǎn))text(-7,2,拐點(diǎn)拐點(diǎn)) hold off3223)3()4151243(2)( xxxxxxR第24頁(yè)/共39頁(yè)例例7. 計(jì)算不定積分計(jì)算不定積分 dxbxeax)sin(syms a b xf=exp(a*x)*sin(b*x); int(f,x);pretty(ans) b exp(a x) cos(b x) a exp(a x) sin(b x) - - + - 2 2 2 2 a + b a + bg=sim

16、plify(ans) g = exp(a*x)*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x)/(a2+b2)cos()sin(1)sin(22bxbbxaebadxbxeaxax 第25頁(yè)/共39頁(yè)例例8.繪函數(shù)繪函數(shù) (a = 1, b = 3 )在在0,3.2上的圖形上的圖形. 并計(jì)算并計(jì)算bxexfaxsin)( syms a b xf=exp(a*x)*sin(b*x)f1=subs(f,a,1),f1=subs(f1,b,3)ezplot(f1,0,3.22)F1=simplify(int(f1,1,2)double( F1 )ans = -3.180600.511.522.53-

17、5051015xexp(x) sin(3 x) 213sin xdxex第26頁(yè)/共39頁(yè)例例10、 計(jì)算定積分計(jì)算定積分 ， ，syms x y t q1=int(sin(x)+2,0,pi/6) q2=int(xy,y,0,pi/3)q3=int(4*x*t,x,2,sin(t) %定義符號(hào)變量定義符號(hào)變量%求第一個(gè)積分求第一個(gè)積分%求第二個(gè)積分求第二個(gè)積分%求第三個(gè)積分求第三個(gè)積分得：得： 60)2(sin dxx 30 dyxy ttxdxsin24q1 =-1/2*3(1/2)+1/3*pi+1q2 =(x(1/3*pi)-1)/log(x)q3 =2*t*(sin(t)2-4)即：

18、即：32131)2(sin60 dxxxxdyxyln13130 )4(sin242sin2 tttxdxt第27頁(yè)/共39頁(yè)例例3.12 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分syms x yf=x2*sin(y);int(int(f,x,0,1),y,0,pi)ezmesh(f,0,1,0,pi) Ddxdyyx sin20 , 10| ),( yxyxDans = 2/3 第28頁(yè)/共39頁(yè)定積分?jǐn)?shù)值計(jì)算命令定積分?jǐn)?shù)值計(jì)算命令 quad(f, a, b)例例3.14 計(jì)算積分上限函數(shù)值計(jì)算積分上限函數(shù)值f=inline(x.3./(exp(x)-1);x=eps:.1:5;y=f(x);fill(0,

19、x,5,0,y,0,c)x=eps:0.1:10;y=f(x);line(x,y)q(1)=quad(f,eps,1);for k=1:4 line(k,k,0,f(k); q(k+1)=q(k)+quad(f,k,k+1);endq tdxxxtF031)exp()( t 1 2 3 4 5F(t) 0.2248 1.1764 2.5522 3.8771 4.8999024681000.511.5第29頁(yè)/共39頁(yè)f=inline(exp(x).*sin(3*x)quad(f,1,2)ans = -3.1806計(jì)算定積分計(jì)算定積分: 213sin xdxex例9.第30頁(yè)/共39頁(yè)級(jí)數(shù)求和運(yùn)

20、算級(jí)數(shù)求和運(yùn)算S=symsum(f，n，a，b) nkSnk 2111例例11.計(jì)算級(jí)數(shù)計(jì)算級(jí)數(shù)2212221nkSnk 1231kkS第31頁(yè)/共39頁(yè)S2=symsum(k2,k,1,n); factor(S2) S2= 1/6*n*(n+1)*(2*n+1)syms k nS1=symsum(k,k,1,n);factor(S1) S1 = 1/2*n*(n+1)S3=symsum(1/k2,k,1,inf) S3= 1/6*pi212/16第32頁(yè)/共39頁(yè)命令格式命令格式：dsolve(eq1,con1,x)y的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) Dy, y的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) D2y例10.解微分

21、方程14/16y = dsolve(Dy=1/(1+x2)-2*y2,y(0) = 0,x)y = 2*x/(2*x2+2)22211yxy 符號(hào)解符號(hào)解： y(x)= x / (1 + x 2) 第33頁(yè)/共39頁(yè)0123456700.20.40.60.8旋轉(zhuǎn)曲面繪制方法旋轉(zhuǎn)曲面繪制方法非負(fù)函數(shù)非負(fù)函數(shù) y =f(x)在有限區(qū)間上的圖形為上半平面在有限區(qū)間上的圖形為上半平面的一條曲線，曲線繞的一條曲線，曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，產(chǎn)生以軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，產(chǎn)生以x為對(duì)稱為對(duì)稱軸的旋轉(zhuǎn)曲面，方程為軸的旋轉(zhuǎn)曲面，方程為 )(22xfzy 繪制網(wǎng)面需創(chuàng)建三維坐標(biāo)繪制網(wǎng)面需創(chuàng)建三維坐標(biāo)矩陣矩陣,對(duì)某一確定的對(duì)某一確定的

22、x=t,旋旋轉(zhuǎn)曲面上對(duì)應(yīng)于過(guò)點(diǎn)轉(zhuǎn)曲面上對(duì)應(yīng)于過(guò)點(diǎn)x=t垂直于垂直于X軸的圓軸的圓,該圓周上該圓周上所有點(diǎn)的所有點(diǎn)的X坐標(biāo)不變，坐標(biāo)不變，y和和z的坐標(biāo)則滿足圓的方的坐標(biāo)則滿足圓的方程程 第34頁(yè)/共39頁(yè)f=inline(exp(-0.2*x).*sin(0.5*x);t=(0:20)*pi/10;theta=t;r=f(t);x=t*ones(size(t);y=r*cos(theta);z=r*sin(theta);mesh(x,y,z)colormap(0 0 0)axis offview(-17,54)5 . 0sin()(2 . 0 xexfx 曲線曲線 繞繞X軸旋轉(zhuǎn)圖形繪制軸旋轉(zhuǎn)圖