七年級(jí)春季班第19講：壓軸綜合題--學(xué)生-馬秋燕

1、內(nèi)容分析(壓軸綜合題# / 23本章主要針對(duì)圖形在運(yùn)動(dòng)過程中存在的不變性進(jìn)行推理論證，找出特殊的 三角形的隱含條件作為輔助，解決相關(guān)角度不變性及比值和面積的相關(guān)問題， 對(duì)于復(fù)雜的綜合題，需添加輔助線，常見的輔助線有倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等，做高 等，視具體題目而定.知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊一：角度的不變性知識(shí)精講本節(jié)主要運(yùn)用三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系進(jìn)行換算和求解動(dòng)點(diǎn)下產(chǎn)生不變角的問題, 特別是外角定理的運(yùn)用在本節(jié)中非常重要.例題解析【例1】 如圖，已知 MON =90°,點(diǎn)A、B分別在射線 OM、ON上， OAB的內(nèi)角平分 線與 OBA的外角平分線所在的直線交于點(diǎn)C.(1) 試說明 C與 O的關(guān)系;(2

2、) 當(dāng)點(diǎn)A、B分別在射線OM、ON上移動(dòng)時(shí)，試問 C的大小是否發(fā)生變化， 若保持不變，求出 C的大??；若發(fā)生變化，求出其變化范圍.【難度】【答案】【解析】【解析】【例2】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， ABo是直角三角形， AOB=90°,斜邊AB與y軸交于點(diǎn)C.(1) 若 A= AOC ,求證： B= BOC ;(2) 延長(zhǎng) AB 交 X 軸于點(diǎn) E,過 O 作 OD 丄 AB,且 DOB = EOB, OAE = OEA, 求 A的度數(shù)；(3) 如圖，OF平分 AOM , BCO的平分線交 FO的延長(zhǎng)線于點(diǎn) 卩，當(dāng)厶AOB繞O 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)(斜邊 AB與y軸正半軸始終交于點(diǎn) C),在(

3、2)的條件下，試問 P的度 數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其度數(shù)；若改變，請(qǐng)說明理由【難度】【答案】卅Ay3 / 23步同級(jí)年七【例3】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A, B的坐標(biāo)分別為(一1 , 0),( 3, 0),現(xiàn)同 時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移 1個(gè)單位，分別得到點(diǎn) A，B的對(duì)應(yīng) 點(diǎn) C, D ,連接 AC，BD，CD .(1) 求點(diǎn)C, D的坐標(biāo)及四邊形 ABDC的面積；(2) 在y軸上是否存在一點(diǎn) P,連接PA, PB,使SPAB=S四邊形ABCD ,若存在這樣一點(diǎn)， 求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由.(3) 點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC, PO,當(dāng)

4、點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)(不與B, D重合)給出下列結(jié)論： DCP+ BOP的值不變， dcp+ CPO的值不變，其ZCPOZBOP中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你找出這個(gè)結(jié)論并求其值.【難度】【答案】AyAy【解析】E D【例4】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB0=2 BAO, P為X軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)， BC平分 ABP，PC 平分 APF，OD 平分 POE .(1) 求 BAO的度數(shù)；1(2) 求證： C=15 ° + L OAP ;2(3) P在運(yùn)動(dòng)中， C+ D的值是否發(fā)生變化，若發(fā)生變化，說明理由，若不變，求出其值【難度】【答案】【解析】11 / 23模塊二：旋轉(zhuǎn)問題知識(shí)精講旋轉(zhuǎn)問

5、題是七年級(jí)幾何證明的一個(gè)難點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，找出隱含的邊角之間的關(guān) 系是解決旋轉(zhuǎn)類問題是關(guān)鍵；本節(jié)的另一個(gè)難點(diǎn)是考察空間想象力，找出旋轉(zhuǎn)之后圖形的位置.例題解析C【例5】 如圖，正方形OGHK繞正方形ABCD中點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為E、F ,求證：AE+CF=AB.【難度】【答案】【解析】【例6】 如圖1、圖2, AoB , CoD均是等腰直角三角形， AoB = CoD = 90(1) 在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關(guān)系 ？請(qǐng)說明理由.(2)若厶COD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，到達(dá)圖 2的位置，請(qǐng)問AC與BD還相【答案】【解析】【例7】 如圖1在梯形ABCD中，AD / BC ,

6、. C =90 ,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在底 邊 BC 上，且.FAE =/DAE (1) 請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量、猜想，得出.AEF的度數(shù)；(2) 若梯形ABCD中，AD / BC , . C不是直角，點(diǎn)F在底邊BC或其延長(zhǎng)線上，如 圖2、圖3,其他條件不變，你在(1)中得出的結(jié)論是否仍然成立，若都成立，請(qǐng)?jiān)趫D2、圖3中選擇其中一圖進(jìn)行證明；若不都成立，請(qǐng)說明理由.【難度】圖1圖2AD圖3【答案】 【解析】【例8】 如圖，C是線段BD上一點(diǎn)，分別以 BC、CD為邊在BD同側(cè)作等邊 ABC和等 邊厶CDE , AD交CE于F , BE交AC于G ,則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對(duì)數(shù)有(A )B

7、 2對(duì)C 3對(duì)D 4對(duì)E【難度】HFG _【答案】BCD【解析】【例9】 已知：如圖，點(diǎn) C為線段AB上一點(diǎn)， ACM、 CBN是等邊三角形. 求證：CF平分 AFB .(備注：直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等)【難度】【答案】【解析】【例10】 如圖1, E、F分別在正方形 ABCD的邊BC、CD上，且 EAF = 45°.(1) 請(qǐng)猜測(cè)線段EF、BE、DF之間的等量關(guān)系并證明.(2) 變式：如圖2, E、F分別在四邊形 ABCD的邊BC、CD上， B+ D = 180°,1AB= AD , EAF = - BAD ,則線段BE、EF、FD的等量關(guān)系又如何？請(qǐng)加以

8、證明.2DA圖2【難度】【答案】【解析】【例11】請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖1在RtA ABC中， BAC=90 ° , AB=AC ,點(diǎn)D、E分別為線段 BC上兩動(dòng) 點(diǎn)，若 DAE=45 °.探究以線段 BD、DE、EC三條線段的為邊構(gòu)成的三角形是什么三 角形.小智的思路是：把 AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到 ABF ,連結(jié)FD ,使問題 得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問題：(1) 猜想以線段 BD、DE、EC三條線段的為邊構(gòu)成的三角形是什么三角形，并對(duì)你 的猜想給予證明；(2) 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 2,其

9、它條件 不變，(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變 ？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明.圖2【答案】【解析】【例12】 如圖，在ABC形外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE ,使.BAD =90 ,.CAE =90 ,作 AH _ BC 于 H ,延長(zhǎng) HA ,交 DE 于 M ,求證：DM = ME .【難度】【答案】C【解析】CCC【例13】 在等邊三角形 ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別由兩點(diǎn) M ,N , D為 ABC外 一點(diǎn)，且.MDN =60 ,. BDC =120，BD=CD .探究：當(dāng)點(diǎn) M , N 分別在直線 AB, AC 上移動(dòng)時(shí)，BM, NC, MN之間的數(shù)量關(guān)系及 JAMN的周

10、長(zhǎng)Q與等邊:ABC的周長(zhǎng)L 的關(guān)系.(1)如圖(1),當(dāng)點(diǎn) M、N在邊 AB、AC上，且 DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的 數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)Q=.L(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且DM DN時(shí)，猜想(1)問的兩個(gè)結(jié)論 還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明.(3) 如圖(3),當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí), 含X、L的式子表示).【難度】【答案】【解析】【例14】 如圖1,在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E , AF平分.BAC ,交BD于點(diǎn)F (i )求證：EF 丄 AC=AB ;2(2) 點(diǎn)Ci從點(diǎn)C出發(fā)，沿著線段 CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B重合)，同時(shí)

11、點(diǎn)A從點(diǎn)A 出發(fā)，沿著BA的延長(zhǎng)線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Ci與A的運(yùn)動(dòng)速度相同，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) C停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另 一動(dòng)點(diǎn)A也隨之停止運(yùn)動(dòng).如圖2，AFi平分.BACi ,交BD于點(diǎn)Fi ,過點(diǎn)F作1FiEi _ ACi ,垂足為Ei ,請(qǐng)猜想 已Fi , Al Ci與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的2圖i圖2猜想.【難度】【答案】【解析】13/23步同級(jí)年七【例15】如圖，在等腰 RtA ABC與等腰 RtADBE中， BDE = ACB=90°，且 BE在AB邊上，取AE的中點(diǎn)F, CD的中點(diǎn)G,連結(jié)GF.(1) FG與DC的位置關(guān)系是,FG與DC的數(shù)量關(guān)系是;(2) 若將 BDE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)18

12、0°，其它條件不變，請(qǐng)完成下圖，并判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論【答案】【解析】14 / 23模塊三：構(gòu)造全等類知識(shí)精講本節(jié)主要針對(duì)常規(guī)圖形，添加合適的輔助線，如截長(zhǎng)補(bǔ)短、倍長(zhǎng)中線，添加平行線等 構(gòu)造全等的三角形，題目綜合性較強(qiáng)，考察同學(xué)們?nèi)热切闻卸ê托再|(zhì)的綜合運(yùn)用能力.例題解析的平分線CF于點(diǎn)F ,求證:AB的中點(diǎn)M ,連接ME ,則改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B,圖1圖2圖3【例16】數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn). AEF =90 °,且 EF交正方形外角 DCGAE=EF .經(jīng)過思考，小明展示了一種正確

13、的解題思路：取AM=EC ,易證 AME 也厶 ECF ,所以 AE=EF .在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：(1)小穎提出：如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”C夕卜)的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“ AE=EF ”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn) 正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；(2)小華提出：如圖3,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上(除 C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“ AE=EF”仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由.【答案】【解析】【例17】已知 ABC為等邊三角形，點(diǎn) D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn) D不與B、C重合)

14、， 以AD為邊作等邊 ADF ,且 DE / AF , EF / AD ,連接 CF .(1) 如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證： BD=CF;AC=CF+CD ;(2) 如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成 立？若不成立，請(qǐng)寫出 AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3) 如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系.【難度】【答案】【解析】【例18】已知如圖1 ,在 ABC中，BC邊在直線I上，AC丄BC,且AC=BC . EFP的邊FP也在直線I上，邊 EF與邊 AC重合，且

15、EF=FP.(1) 在圖1中，請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量，猜想并寫出AP與AB所滿足的數(shù)量關(guān)系和位 m ¥方置關(guān)糸；(2) 將厶EFP沿直線I向左平移到圖14-2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q ,連結(jié)AP ,BQ.猜 想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；(3) 將厶EFP沿直線I向左平移到圖14-3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交 AC的延長(zhǎng)線于 點(diǎn)Q,連結(jié)AP, BQ.你認(rèn)為(2)中所猜想的 BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.E AE【難度】【答案】【解析】【例19】直線CD經(jīng)過 BCA的頂點(diǎn)C, CA=CB . E、F分別是直線

16、 CD上兩點(diǎn), 且 BEC= CFA= .（1）若直線CD經(jīng)過 BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問題： 圖 1 ,若 BCA=90 ° , =90°,則 EFIBE-AF|（填“ > ”，“ < ”或“=”號(hào)）； 如圖2,若O° < BCA<180°,若使中的結(jié)論仍然成立，則與 BCA應(yīng)滿足的關(guān)系是請(qǐng)?zhí)骄縀F、與BE、AF（2）如圖3,若直線 CD經(jīng)過 BCA的外部， BCA= 三條線段的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.圖1圖2圖3 D【難度】【答案】【解析】隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】在五邊形ABCDE中，已知AB=AE,AD .

17、求證：AD平分 CDE .【難度】【答案】【解析】BC+DE = CD， ABC + AED=180 °，連接【習(xí)題2】用兩個(gè)全等的等邊三角形 ABC和厶ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三 角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60 °角的頂點(diǎn)與點(diǎn) A重合，兩邊分別與 AB，AC重合將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).（1） 當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC, CD相交于點(diǎn)E, F時(shí)，（如圖1）,通過 觀察或測(cè)量BE, CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論 ？并證明你的結(jié)論；（2） 當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E,F時(shí)（如圖2）, 你在（1）

18、中得到的結(jié)論還成立嗎 ？簡(jiǎn)要說明理由.AE圖1圖2【答案】 【解析】【習(xí)題3】如圖17(1),正方形ABCD , E、F分別為BC、CD邊上一點(diǎn). 若 EAF=45 °,求證：EF=BE+DF ; 若 AEF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，保持 EAF=450,問厶CEF的周長(zhǎng)是否 AEF位置的變化而變化？(2) 如圖17(2),已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1 , BC、CD上各有一點(diǎn) E、F ,如果CEF的周長(zhǎng)為2 ,求 EAF的度數(shù).(3) 如圖17(2),已知正方形 ABCD , F為BC中點(diǎn)，E為CD邊上一點(diǎn)，且滿足圖 17 (2) BAF= FAE ,求證：AE=BC+CE .【難度】【答案】

19、【解析】【習(xí)題4】已知：如圖，MN丄PQ,垂足為0,點(diǎn)A、B分別在射線上 OM、OP上，直線BE平分 PBA與 BAO的平分線相交于點(diǎn) C.(1) 若 BAO=45 °,求 ACB;A、B的移動(dòng)發(fā)生變化，請(qǐng)求出變化的范圍.(2) 若點(diǎn)A、B分別在射線上 OM、OP上移動(dòng)，試問 ACB的大小是否會(huì)發(fā)生變化 ?如果保持不變，請(qǐng)說明理由；如果隨點(diǎn)【難度】【答案】【解析】(課后作業(yè)【作業(yè)1】等邊 ABD和等邊 CBD的邊長(zhǎng)均為1, E是AD上異于A、D的任意一點(diǎn),BE AD，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，滿足 AE+CF=1 ,當(dāng)E、F移動(dòng)時(shí)，試判斷厶 BEF的形狀.D【難度】【答案】【解析】【作業(yè)2】復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí)，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在 ABC 中，AB=AC, P是厶ABC內(nèi)部任意一點(diǎn)，將 AP繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 AQ,使 QAP= BAC,連接BQ、CP ,貝U BQ=CP小亮是個(gè)愛動(dòng)腦筋的同學(xué)，他通過對(duì)圖的分析， 證明了 ABQ ACP ,從