八年級初二數學數學勾股定理的專項培優(yōu)練習題(及解析

1、-X選擇題1. 如圖，在BC中，ZA=90% AB = 69 AC = S9 ZABC與ZAeB的平分線交于 點O,過點。作OD丄AB于點Z若則4D的長為()A. 6B. 8A. 2B 2C也D. 42. 如圖，已知直線all b,且a與b之間的距離為4,點A到直線a的距離為2,點B到直 線b的距離為3 , AB=2預.試在直線a上找一點M,在直線b上找一點/,滿足 M丄a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=()C. 10D 123. 一艘漁船從港口 A沿北偏東60。方向航行至C處時突然發(fā)生故障，在C處等待救援.有 一救摟艇位于港口 A正東方向20( 3 -1)海里的B處，接到求

2、救信號后，立即沿北偏 東45。方向以30海里/小時的速度前往C處救援.則救援艇到達C處所用的時間為( )A.並小時B. ?小時C.空小時3332 1 14. 在 AABC 中I - = - + -,則ZA( )ClbCD.非上述答案A. 一定是銳角B. 一定是直角C. 一泄是鈍角5. 下列結論中，矩形具有而菱形不一泄具有的性質是（）A.內角和為360。 B.對角線互相平分 C.對角線相等D.對角線互相垂直6. 我國古代數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對 全等的三角形，如圖所示，已知ZA = 90°正方形ADOF的邊長是2, BD = 4,則CF 的長

3、為（）7. 已知直角三角形的兩條邊長分別是3和5,那么這個三角形的第三條邊的長（）A. 4B. 16C. 34D. 4 或5Z8. 已知M、N是線段AB上的兩點，AM = MN = 2, NB = I,以點A為圓心，AN長為半徑 畫?。涸僖渣cB為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點C,連接AC, BC,則厶ABC 是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形9. 在下列以線段a、b、C的長為邊，能構成直角三角形的是（）A. a=39 b=4, c=6B. cr=5t b=6, c=7C.Q=6, b二& C=9D. =7, b=24fc=25BC = 3分別以點10.

4、如圖，在四邊形 ABCD 中，AD/BC. ZD = 90°, Ar) = 4,A, C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩孤交于點E,作射線BE交AD于點F,交AC于點0若點O是AC的中點，則CD的長為（）BA. 22B. 4C. 3D価二填空題11如圖，AB = 12, AB丄BC于點B, AB丄AD于點A, AD=5, BC = 10, E是CD的中點, 則AE的長是12.我國古代數學名著九章算術中有云：“今有木長二丈，圍之三尺葛生其下，纏木七周，上與木齊.問葛長幾何？ ”大意為：有一根木頭長2丈，上、下底而的周長為3尺，葛生長在木下的一方，繞木7周，葛梢與木頭上端剛好齊平，則葛長

5、是尺.（注：/丈等于10尺，葛纏木以最短的路徑向上生長，誤差忽略不計）RaH¾ An13. 在MBC中，AB = IOcm, AC = lcm . BC邊上的髙為SCm.則MBC的而積為cm2 14. 如圖，小正方形的邊長為1，連接小正方形的三個格點可得AABC,則AC邊上的髙的長度是15如圖，在&3C中，AB=AC=IO t BC=12 t AD是角平分線，P、Q分別是AD、邊上的動點，則BP+PQ的最小值為16. 如圖，RtAABC中，ZBCA=9Qo , AB=F AC=2. Q為斜邊/15上一動點（不與點A, 重合），DELAC, DFLBC.垂足分別為忒尸，連接肪則

6、處的最小值是17. 如圖，在四邊形 MCD 中，AD= I CD=3 J ZABC=ZACB=ZADC=45 則 BD2= .18. 如圖所示，四邊形ABCD是長方形，把AACD沿AC折疊到 ACDXAb與BC交于點19. 我國漢代數學家趙爽為了證明勾股立理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“爽弦 圖”（如圖1圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中 正方形ABCD.正方形EFGH ,正方形MTVK了的而積分別為S, S2, S3,若S + S? + S3 = 15 ,則 S2 的值是囹！因2220. 如圖所示，圓柱體底而圓的半徑是一，髙為1,若一只小蟲從A點出發(fā)沿著圓柱體

7、的三.解答題21. 泄義：有一組鄰邊均和一條對角線相等的四邊形叫做鄰和四邊形.（1）如圖1,四邊 形 ABCD 中，ZABC二70°, ZBAC二40°, ZACD=ZADC=80% 求證：四邊形 ABCD 是鄰和四邊 形.（2）如圖2.是由50個小正三角形組成的網格，每個小正三角形的頂點稱為格點，已知A、B、C三點的位置如圖，請在網格圖中標申所京旳惱息D,使得以A. B、C、D為頂點 的四邊形為鄰和四邊形.(3) 如圖 3, ABC 中，ZABC=90% AB二2, BC二2 JJ,若存在一點 D,使四邊形 ABCD 是 鄰和四邊形，求鄰和四邊形ABCD的面積22. 如圖

8、，在矩形ABCD中，AB二& BC=10, E為CD邊上一點，將MDE沿AE折疊，使點 D落在BC邊上的點F處.(1) 求BF的長：(2) 求CE的長.23如圖1,在"BC中，AB=ACf ZaAC=90。，D為&C邊上一動點，且不與點人點C重 合，連接3D并延長，在BD延長線上取一點&使AE=AB.連接CE.(1) 若 ZqFD=20。，則ZDEC=度；(2 )若乙AED=a,試探索ZAFD與ZqEC有怎樣的數量關系？并證明你的猜想：(3) 如圖2,過點A作AF丄BE于點F, AF的延長線與FC的延長線交于點H,求證： EH2CH2 = 2AE2.24. 如

9、圖，MBC是等邊三角形，ZXE為Aek兩點，且AE = CD,延長BC至點F , 使CF = CD,連接BDAED(E)圖3（1）如圖1，當Q,E兩點重合時，求證：BD = DF;（2）延長BD與EF交于點G . 如圖2,求證：ZBGE = G0。； 如圖3,連接BE.CG9若ZEBD = 30°. BG = 4,則MCG的而積為25. 已知MBC中，ZACB=90% AC = BC,過頂點A作射線AP（1）當射線AP在BAC外部時，如圖，點D在射線AP ±,連結CD、BD，已知2 +1 > BD = 2n （ M > 1 ）. 試證明ABD是直角三角形： 求線

10、段CD的長.（用含"的代數式表示）（2）當射線AP在ZBAC內部時，如圖，過點作3D丄AP于點D，連結CD，請 寫出線段AD. BD、CD的數量關系，并說明理由.26. 如圖，己知RtABC, ZACB = 90。，ZBAC = 30°.斜邊AB = 4, ED為43垂 直平分線，且DE = Iyl3.連接DB，D4BCA（1）直接寫岀 BC = AC=:（2）求證：誠是等邊三角形；（3）如圖，連接CD,作BF丄CD,垂足為點F ,直接寫出BF的長:D備用圖（4）P是直線AC±的一點，且CP = ACt連接肱，直接寫出PE的長.27. 如圖，在四邊形ABCD中，A

11、B=ADf BC=DC , ZA=60。，點E為AD邊上一 點，連接CE, BD CE與BD交于點F，且CE / AB(1)求iiE： ZCED = ZA(2) 若 AB=S, CE=6.求 BC的長.28. 如圖，點A是射線OF： y=× (x>0)上的一個動點，過點A作X軸的垂線，垂足為B,過點B作QA的平行線交ZAOB的平分線于點C.(1) 若O = 52 .求點B的坐標：(2) 如圖2,過點C作CG丄M于點G, CH丄OF于點H,求證：CG=CH.(3) 若點&的坐標為(2, 2),射線OC與交于點D在射線3C上是否存在一點P 使得AACP與A8DC全等，若存在

12、，請求岀點P的坐標：若不存在，請說明理由.在(3)的條件下，在平而內另有三點PJ (0,血)，P2(2, 22)，Ps(2+2，2- 2 > ,請你判斷也滿足Aacp與A3DC全等的點是.(寫出你認為正確的點)29. 閱讀下列一段文字，然后回答下列問題.已知在平而內有兩點A(X”)、&(兀2,)2)，其兩點間的距離J(K-X2)2+(兒一兒)2，同時，當兩點所在的直線在坐標軸或平行于坐標軸或垂 直于坐標軸時，兩點間距離公式可化簡為-1 -2或Iy,-y2.(1) 已知4(2, 4)、B(-3, -8),試求久B兩點間的距離.已知M、N在平行于y軸的直線上，點M的縱坐標為4,點/V

13、的縱坐標為-1,試求N 兩點的距離為:(2) 已知一個三角形各頂點坐標為D(l, 6)、E(-3, 3)、F(4, 2),你能判定此三角 形的形狀嗎?說明理由.(3) 在(2)的條件下，平而直角坐標系中，在X軸上找一點P,使PD+PF的長度最 短，求出點P的坐標及PD+PF的最短長度.30. 在平而直角坐標系中，點A （O, 4） , B （m, 0）在坐標軸上，點C, O關于直線&8 對稱，點D在線段43上.（1）如圖魚若m = 8,求&3的長；（2）如圖2,若m=4,連接OD,在y軸上取一點&使OD=DE,求證：CE= 2 DEX（3）如圖3,若m=43 ,在射線A

14、O上裁取AF,使AF=BD.當CD+CF的值最小時，請 在圖中畫出點D的位置，并直接寫岀這個最小值.【參考答案】"審試卷處理標記，請不要刪除一.選擇題1. B解析：B【分析】過點O作OE丄BC于E, OF丄AC于F,由角平分線的性質得到OD=OE=OF,根據勾股泄 理求岀BC的長，易得四邊形ADFO為正方形，根據線段間的轉化即可得出結果.【詳解】解：過點0作OE丄BC于E, OFlAC于F,VBOzCO分別為ZABCt ZACB的平分線，所以 OD=OE=OF,又 BO=BOzBD0BE0, BE=BD.同理可得,CE=CR又四邊形ADOE為矩形，四邊形ADOE為正方形.AD=ART

15、在 RtABC 中，AB=6, AC二& BC=IOAD+BD=6 ，AF+FC=8 ，BE+CE=BD+CF=10 ，+得，AD+BD+AF+FC=14,即 2AD+10=14,AD=2.故選：B.【點睛】此題考查了角平分線的左義與性質，以及全等三角形的判圧與性質，屬于中考?？碱}型.2. B解析：B【解析】【分析】MN表示直線與直線b之間的距離，是左值，只要滿足AM+NB的值最小即可.過人作直 線a的垂線,并在此垂線上取點A ,使得AAl = MNI連接A'B I則A'B與直線b的交點即 為N ,過N作MN丄于點M.則A'B為所求，利用勾股宦理可求得其值【詳解

16、】過&作直線的垂線，并在此垂線上取點A ,使得AA'二4 ,連接A'B ,與直線b交于點 N I過N作直線的垂線，交直線于點M ,連接AM I過點B作3E丄AA ,交射線AA' 于點E.如圖，VAAZ丄q,M丄 ,AATI M/VXVAA, = M = 4 r 四邊形AATVM是平行四邊形，/. AM = AIN 由于AM+MN+NB要最小，且MN固左為4 z所以AWNB最小 由兩點之間線段最短，可知AM+NB的最小值為AB .處二 2+3+4 二 9 , AB=2y30 I ：. BE= yAB2AE2 = 39 t A,E = AE - AA, = 9 4

17、二 5 , . AIB = yA!E2 + BE2 = 8 所以AMNB的最小值為8 故選BA【點睛】本題考查了勾股左理的應用、平行線之間的距離，解答本題的關鍵是找到點M、點N的位 置，難度較大，注意掌握兩點之間線段最短.3 . C 解析:C【解析】【分析】過點C作CD垂直AB延長線于D,根據題意得ZCDB二45° , ZCAD二30° ,設BD=X則CD=BD=x, BC=2 x由ZCAD=30° 可知 tanZCAD=-= 即J=AD 320（館-1） +X3解方程求岀BD的長，從而可知BC的長，進而求出救援艇到達C處所用的時間即可.【詳解】如圖：過點C作CD

18、垂直AB延長線于D,則ZCDB=45o , ZCAD=30° ,V ZCDB=45o , CD丄BD,BD=CD,設BDp,救援艇到達C處所用的時間為t,CD /TVtanZCAD= 一 = =, AD二AB+BD,AD 3Ek羋得E海里）'BC=2BD=202 （海里），廠 202_ 22303故選C【點睛】本題考查特殊角三角函數，正確添加輔助線、熟練掌握特殊角的三角函數值是解題關鍵.4A解析：A【解析】2 1 1【分析】根據一= r + 以及三角形三邊關系可得2bc>aS再根據(bc) 20,可推導 CIbC得出b2+c2 >a2,據此進行判斷即可得.2 1

19、1【詳解】 - = - + -,ClbC2 b + c2bc=a ( b+c ) r,*as b、C是三角形的三條邊，. b+c > a，°2bc > aa .即 2bc > a 2 ,T ( b-c ) 2 O rb 2 +c 2 -2bcO zb 2 +c2 2bc rb2+c2 >a2 J一定為銳角，故選A 【點睛】本題考查了三角形三邊關系、完全平方公式、不等式的傳遞性、勾股上理等，題目較難，得出b2+c2 >a2是解題的關鍵5C解析：C【分析】矩形與菱形相比，菱形的四條邊相等、對角線互相垂直；矩形四個角是直角，對角線相 等，由此結合選項即可得出答

20、案【詳解】A、菱形、矩形的內角和都為360° ,故本選項錯誤；B、對角互相平分，菱形、矩形都具有，故本選項錯誤；C、對角線相等菱形不具有，而矩形具有，故本選項正確D、對角線互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本選項錯誤，故選C.【點睛本題考查了菱形的性質及矩形的性質，熟練掌握矩形的性質與菱形的性質是解題的關鍵.6 . A解析：A【分析】設CF=x,則AC=×+2,再由已知條件得到AB=6, BC=6+×,再由AB2+AC2=BC2得到6?+(x+2) 2= (×+4) 2,解方程即可.【詳解】設 CF=x,則 AC=×+2,T 正方形 ADOF

21、的邊長是 2, BD=4, BDOBEO, CEOCFO.BD=BE, CF=CE, AD=AF=2,.,.AB=6, BC=6+×,VZA=90°,AB2+AC2=BC2,.,.62+ (×+2) 2= (x+4) 2,解得：×=6,即 CF=6,故選：A.【點睛考査正方形的性質、勾股圧理，解題關鍵是設CF=×,則AC=x+2,利用勾股左理得到62+(×+2) 2= (×+4) 2.7. D解析：D【解析】試題解析：當3和5都是直角邊時，第三邊長為：32 +52 =34 ；當5是斜邊長時，第三邊長為：后二尹=4.故選D .

22、8B解析：B【分析】依據作圖即可得到AC=AN = 4, BC = BM = 3 AB = 2+2+l = 5,進而得到AC2+BC即 可得岀AABC是直角三角形.【詳解】女口圖所示，AC=AN=4, BC = BM = 3, AB = 2+2+l=5,.,.AC2+BC2=ABABC是直角三角形，且ZACB=90° , 故選B.【點睛】本題主要考査了勾股泄理的逆左理，如果三角形的三邊長a, b, C滿足a2+b2 = c2,那么這 個三角形就是直角三角形.9. D解析：D【解析】A選項：32+4262,故不符合勾股立理的逆圧理，不能組成直角三角形，故錯誤；B選項：52+6272,故

23、不符合勾股定理的逆左理，不能組成直角三角形，故錯誤：C選項：62+8292,故不符合勾股左理的逆左理，不能組成直角三角形，故錯誤：D選項：72+242=252,故符合勾股泄理的逆泄理，能組成直角三角形，故正確故選D 10. A解析：A【分析】連接FC,根據基本作圖，可得OE垂宜平分AC,由垂直平分線的性質得岀AF=FC.再根 據ASA證明AFOA ABOC,那么AF=BC=3,等量代換得到FC=AF=3 ,利用線段的 和差關系求岀FD=AD-AF=X.然后在直角AFDC中利用勾股圧理求岀CD的長.【詳解】解：如圖，連接FC,貝IJ AF=FC.AD"BC,ZFAO = ZBCO.在A

24、FOA與ABOC中，ZFAO = ZBCOOA = OC,ZAOF = ZCOB. FOA ABOC(ASA),/. AF = BC = 3,.FC = AF = 3, FD = AD-AF = 4-3 = 1.在 AFDC 中，.ZD = 90°,. CD2 + DF2 = FC-,.CD2 + 2=32,:.CD = 22 -故選A.【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，勾股左理，線段垂直平分線的判左與性質，全等三角形的判 定與性質，難度適中.求岀CF與DF是解題的關鍵.二、填空題115【詳解】解：如圖，延長AE交BC于點F,D AB FC.點E是CD的中點，ADE=CEt ,VAB

25、±BC, ABlADjAD Be ZADE=ZBCE 且 DE=CE, ZAED=ZCEBAEDFEC (ASA) ZAD=FC=5, AE=EF,BF=BC-FC=5,在 Rt ABF 中，AP = AB2 + BF7 = 13/AE = -= 6.52故答案為：6.5.12.【分析】這種立體圖形求最短路徑問題，可以展開成為平而內的問題解決，展開后可轉化下圖，所 以是個直角三角形求斜邊的問題，根據勾股定理可求出.【詳解】解：如圖，一條直角邊（即木棍的高）長20尺，另一條直角邊長7x3=21 （尺）， 因此葛藤長202+212 =29 （尺）.答：葛藤長29尺.故答案為：29.【點睛

26、】本題考查了平面展開最短路徑問題，關鍵是把立體圖形展成平面圖形，本題是展成平而圖 形后為直角三角形按照勾股定理可求岀解.13 . 36 或 84【分析】過點A作AD丄BC于點D,利用勾股泄理列式求岀3D、CD,再分點D在邊BC上和在CB的 延長線上兩種情況分別求岀3C的長度，然后根據三角形的而積公式列式計算即可得解.【詳解】解：過點A作AD丄BC于點D,. BC邊上的髙為8cm,AD=8cm,VAC=I7cm.由勾股左理得：BD = yjAB- -AD2 = 102-82 = 6CECD = AC2-AD2 = 172 -82 = 15 CE如圖1,點D在邊8C上時，8C=D+CD=6+15=

27、21cm,I ABC 的而積=-BCMD =丄 X2iX8=84c,2 2如圖2,點D在CB的延長線上時，3C= CD-BD 二 15-6=9cm,sc的而積冷BCAD冷X9如6曲綜上所述，ZiABC的而積為36 Crn2或84 Cm2, 故答案為：36或84.圖1圖2【點睛】本題考查了勾股左理，作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵，難點是在于要分情況討 論.【詳解】四邊形DEFA是正方形，而積是4：ABF, ACD的而積相等，且都是* X 1X2=1.BCE的而積是：一XlXl=2 21 3則ZABC的而枳是：4 - 1 -I-=2 2在直角AADC中根據勾股左理得到：AC=27+1t=5.

28、設AC邊上的高線長是x則1 ACx= x=,2 2 2O 一解得：X=T5故答案為-5.156【解析】VAB=AC f AD是角平分線,AD±BC r BD=CD rB點.C點關于AD對稱，如圖，過C作CQ丄AB于Q,交AD于P，則CQ=BP+PQ的最小值， 根據勾股定理得，AD=S , 利用等而積法得：AB-CQ=BOAD f=9.6BeAD 12x8 CQ=AB 10故答案為：9.6.點睛：此題是軸對稱最短路徑問題，主要考査了角平分線的性質，對稱的性質，勾股定 理，等而積法，用等面積法求出CQ是解本題的關鍵.16. 跡5【解析】255試題分析：根據勾股泄理可求出BC=I,然后根摒

29、Z BCA = 90o , DE±AC t DF±BC r證得四 邊形CEDF是矩形,連接CD,則CD=EF,當CD丄AB時,CD最短，即EF=CD= 故答案為羋.點睹：本題考查了勾股左理的運用，矩形的判左和性質以及垂線段最短的性質，同時也考 査了學生綜合運用性質進行推理和計算的能力.17. 41【解析】作 AIy丄ADf AD=AD,連接 CD； DD',如圖:即 ZBAD=ZCAET, 在ZiBAD與厶CADr中,BA=CA ;< ZBAD= ZCAD'AD=ADBADSZkCAD (SAS),ABD=CDr,ZDADz=90%由勾股左理得DD =

30、 d2 + AD,2 ,ZD, DA+ZADC=90o ,由勾股泄理得CD'二JDerDD2，BD=CDz =J,即 BD2=41.故答案是：41.718. 一8【解析】試題分析：根據矩形性質得AB=DC=6 , BC=AD=8 , ADBC f ZB=90%再根據折疊性質得ZDAC=ZDrAC,而ZDAC=ZACB,則ZDzAC=ZACB.所以 AE=EC,設 BE=Xt 則 EC=4X , AE=4-x,然后在RtABE中利用勾股定理可計算出BE的長即可.試題解析：Y四邊形ABCD為矩形，AB=DC=3, BC=AD=I, AD/7BC, ZB二90° ,VACD沿AC折

31、疊到AACL , ADZ與Be交于點E, ZDAC=ZDf AC,VADz/BC. . ZDAC=ZACB,ZD' AC=ZACB> AE=EC,設 BE=x,則 EC=4 - X, AE二4-,在 RtZkABE 中，TAB訃BEJAES73s+xs= (4-x) 2,解得 X=-,87即BE的長為&O195【分析】根據圖形的特征得岀四邊形MNKT'的面積設為X ,將其余八個全等的三角形而積一個設 為y,從而用, y表示岀s, S?, S?,得出答案即可.【詳解】解：將四邊形M%N的而積設為；V,將其余八個全等的三角形面積一個設為y,.正方形ABCD,正方形EF

32、GH ,正方形MNKT'的而積分別為S, S2,，S1 + S, + S3 = 10 ,得出 S1 =8y+x, S2 = 4yxt S3=X t s+s2+ S3 = 3x + 12y = 15 ,故3x÷12y = 15,所以 S1 = x + 4y=5 ,故答案為：5.【點睛】此題主要考査了圖形面積關系，根據已知得岀用*, y表示出S, s, SX再利用 5l+s2 + s3 = 15求出是解決問題的關鍵.20 5【分析】先將圖形展開，再根據兩點之間線段最短可知.【詳解】 圓柱的側而展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓柱底而周長，C是邊的中點，矩形的寬即髙等于圓柱的母線長

33、.VAB=H =2, CB=I.2 AC= AB2+BC2 = 22÷12=5故答案為：/5 【點睛】圓柱的側而展開圖是一個矩形，此矩形的長等于圓柱底而周長，矩形的寬即高等于圓柱的 母線長本題就是把圓柱的側而展開成矩形，“化曲而為平面” 用勾股左理解決.三.解答題21(1)見解析：(2)見解析：(3) 4JJ或6J【分析】(1) 先由三角形的內角和為180°求得ZACB的度數，從而根據等腰三角形的判左證得 AB=AC=AD,按照鄰和四邊形的定義即可得出結論.(2) 以點A為圓心，AB長為半徑畫圓，與網格的交點，以及AABC外側與點B和點C組 成等邊三角形的網格點即為所求.(

34、3) 先根據勾股左理求得AC的長，再分類計算即可：當DA=DC=AC時：當 CD=CB=BD 時：當 DA=DC=DB 或 AB=AD=BD 時.【詳解】(1) ZACB=I80° - ZABC - ZBAC=70°, ZACB二ZABC, AB=AC. ZACD=ZADC, AC=AD,AAB=AC=AD 四邊形ABCD是鄰和四邊形；(2) 如圖，格點D、D1、D,'即為所求作的點:圖2(3) T 在 AABC 中，ZABC 二 90°, AB 二 2, BC 二 2 J, AC= Jab? + B& = 22+(23)2 = 4, 顯然AB,

35、BC, AC互不相等.分兩種情況討論： 當DA=DC=AC=4時，如圖所示：BECADC為等邊三角形，過 D 作 DG丄Ae 于 G,則ZADG=-X60° = 30° ,：.AG = LAD = 2,DG = yAD2-AG2 =42-22 =23SABC=-AB×BC2 當CD=CB=BD=2 3時，如圖所示:DBDC為等邊三角形，過 D 作 DE丄BC 于 E,則ZBDE二丄X60° = 30° , BE 氣 B",DE = JBD訂BE? = (2囘2 _(冋2 =3,* SABDC= × 2× 3 = 3

36、-3 ,2過D作DF丄AB交AB延長線于FtT ZFBD=ZFBC-ZDBC二90o 60o=30o >DF=-BD=3 ,2S N邊形 ABCDzzSbdc÷Sadbzz4; 當DA=DC=DB或AB二AD二BD時，鄰和四邊形ABCD不存在 鄰和四邊形ABCD的而積是6J或4苗.【點睛】本題屬于四邊形的新泄義綜合題，考査了等腰三角形的判左和性質、勾股左理、三角形的 而積計算等知識點，數形結合并讀懂定義是解題的關鍵.22. (1) BF長為6；(2) CE長為3,詳細過程見解析.【分析】(1) 由矩形的性質及翻折可知，ZB二90。，AF=AD=10且AB二&在RtABF

37、中，可由勾 股定理求出BF的長：(2) 設 CE二X,根據翻折可知，EF=DE=8-x,由(1)可知 BF=6,則 CF=4, RtCEF 中, 可由勾股定理求出CE的長.【詳解】 解：(I) V四邊形ABCD為矩形,.ZB=90 且 AD=BC=10.又Y AFE是由 ADE沿AE翻折得到的,AAF=AD=IO,又 VAB=8, 在 RtZkABF 中，由勾股左理得：BF=7aF2-AB2 =71O2-82 =6故BF的長為6.(2) 設 CE=X ,四邊形ABCD為矩形，/. CD=AB=8, Z C=90 DE=CD-CE=8-x,又V AFE是由AADE沿AE翻折得到的，FE=DE=8

38、-x,由(1)知：BF=6t 故 CF=BC-BF=IO-6=4,在RtACEF中，由勾股泄理得：CF2+CE2 =EF2».,.42+x2=(8-x)2,解得：x=3,故CE的長為3.【點睛】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變 化，對應邊和對應角相等，利用勾股左理求解是本題的關鍵.23. (1) 45 度：(2) ZAEC- ZAED=理由見解析；(3)見解析【分析】(1) 由等腰三角形的性質可求ZBAF=140。，可得ZCAE=50。，由等腰三角形的性質可得ZAEC=ZACE=65 即可求解；(2) 由等腰三角形的性質可求ZBAE=IS

39、O0 - 2a,可得ZCAE=Soo - 2a,由等腰三角形的 性質可得ZAEC=ZACE=可得結論；(3) 如圖，過點C作CG丄加于G,由等戯直角三角形的性質可得FH= y2 EF, CH= CG,由AAy可證CGA,可得AF=CG.由勾股立理可得結論.【詳解】解：(1) 9：AB=AC. AE=AB./.AB=AC=AE.：.ZABE=ZAEB. ZACE= ZAEC.T ZAED=20°,：.ZABE=ZAED=20°,Zf=140o,且ZaAC=90°：.ZCAE= 50o 9V ZCAEZACE+ZAEC=180 且 ZACE= ZAEC9：.ZAEC=

40、 ZACF=65。，:ZDEC=ZAEO ZAED=A5故答案為：45：(2)猜想：ZAEC- ZAED=45理由如下：V ZAED=ZABE=a.：.ZBAE=I80° - 2, ZCAE= ZBAE - ZaAC=90° - 2,V ZCAEZACE+ZAEC=180 且ZACE= ZAEC,：.ZAEC=45°+a, ZAEC - ZED=45o:（3）如圖，過點C作CG丄&H于G,ZfEH=459CAHLBE. ZFHE= ZFEH=45°,：.EF=FH9 且 ZffH=90%:EH=忑 EF,VZFH£=45 CG丄FH,；

41、 ZGCH= ZFHE=45°,* GC=GH,.CH=JCG,TZBAC=ZCG4 = 90°, ZBM+ZGAG=90°, ZCAGZACG=90：.ZBAF= ZACG9 SLAB=AC9 ZAFB=ZAGC,：.AFBCGA (AAS)：.AF=CG.：.CH=SI2 AF.T 在 RtZiAFF 中，AE2=AF2EF29：.(2F) 2+ (EF) 2=2AE：.EH2CH2 = IAE2.【點睛】本題是綜合了等腰直角三角形的性質，全等三角形的性質與判沱的動點問題，三個問題由 易到難，在熟練掌握各個相關知識的基礎上找到問題之間的內部聯系，層層推進去解答

42、是 關鍵.24. (I)見解析；(2)見解析：®2.【分析】(1) 當F兩點重合時，貝J AD=CD,然后由等邊三角形的性質可得ZCBD的度數，根據 等腰三角形的性質和三角形的外角性質可得ZF的度數，于是可得ZCBD與ZF的關系，進 而可得結論：(2) 過點E作EH/BC交M于點乩 連接BQ如圖4,則易得"比是等邊三角形，根 據等邊三角形的性質和已知條件可得EH=CF, ZBHE=ZECF=I20o, BH=EC,于是可根據SAS 證明厶BHEm厶ECF,可得ZEBH=ZFEC,易證'BAE竺HBCD、可得ZABE=ZCBD,從而有 ZFEC=ZCBD,然后根據三角

43、形的內角和定理可得ZBGE=ZBCD,進而可得結論； 易得ZBEG=90。,于是可知NBEF是等腰直角三角形，由30。角的直角三角形的性質和等 腰直角三角形的性質易求得3E和3F的長，過點F作FM丄8F于點F,過點C作C丄EF于 點N,如圖5,則ABEg EMF和 CFW都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形 的性質和30°角的宜角三角形的性質可依次求出BM. MC. CF、FN、CN、GN的長，進而 可得'GCN也是等腰直角三角形，于是有Z CG=90o,故所求的'BCG的而積 丄BC CG,而BC和CG可得，問題即得解決.2【詳解】解：(1) V ABC 是等

44、邊三角形， ZABC=ZACB=60當 D、E 兩點重合時，則 AD=CD9 ：. ZDBC = -ZABC = 30o t2： CF = CD , AZF=ZCDF,V ZFZCDFZACB=60Qf ：. Zf=30o, ZCBD=ZF, ：. BD = DF:(2)V AABC 是等邊三角形， ZABC=ZACB=60 AB=AC, 過點E作EH/BC交AB于點、H、連接BF,如圖4,則ZAHE=ZABC=60°, ZAEH=ZACB=60:AHE 是等邊三角形，/.AH=AE=HE9 二BH=EC,V AE = CD9 CD=CF. ：. EH=CF.又. ZBHE= ZEC

45、F二 120° , ：. ABHEAECF (SAS), ZEBH=ZFEC. EB=EF.9.9BA=BC9 Z=Z>4C=60o, AE=CD9：.ABAEBCD (SAS) , ZABE=ZCBD. ： ZFEC=ZCBD,： ZEDG=ZBDc, ：. ZBGE=ZBCD=60 V ZGE=60 ZEBD=30°9 ：. ZSfG=90o,EB=EF, ：. ZF=ZEBF二45°,V ZfG=30o, BG=4, ：EG=2、BE=2 * ,f=2BE = 26 > GF = 2J-2, 過點F作EM丄BF于點F,過點C作CZV丄EF于點/,

46、如圖5,則 BEM、 FMF和 CFN 都是等腰直角三角形，. BM=ME = MF =品,VzC=60o, . ZMFC=30°, . fC = 2 » BC = 6 + 2 . CF = 26-6-2=6-2 ,C7V = F = -×(6-2) = 3-l.2.Gv = GF-F = 23-2-(3-l)=3-l = cv,.,.ZGCN = ZCGN = 45o, /. ZGCF=90。=Z gcb, CG = CF = A-VL.BCG 的而積=-BCCG=-(6 + 2)(6-2) = 2.2 2故答案為:2.【點睛】本題考查了等腰三角形與等邊三角形的

47、判泄和性質、全等三角形的判泄與性質、等腰宜角 三角形的判定與性質、30。角的宜角三角形的性質和勾股定理等知識，涉及的知識點多、難 度較大，正確添加輔助線、熟練掌握全等三角形的判左與性質是解題的關鍵，靈活應用 等腰直角三角形的性質和30。角的直角三角形的性質解題的關鍵.25. (1) 詳見解析：(2) CD =旦4屆一至 (/? > 1 ) : (2) 2 2AD-BD =邁CD，理由詳見解析【分析】(1) 根據勾股左理的逆左理進行判斷：過點C作CE丄CD交DB的延長線于點E,利用同角的余角相等證明Z3=Z4, Zl=ZE, 進而證明厶ACD幻ABCE,求岀DE的長，再利用勾股泄理求解即可

48、.(2) 過點C作CF丄CD交BD的延長線于點F,先證ZACD=ZBCF,再證 ACD仝ZkBCF, 得CD=CF, AD=BF,再利用勾股定理求解即可.【詳解】(1) ADI + BD2 = (/Z2 -1)2 + (2町2 = (2 )2 - 2/r +1 + 4/r= Or) +2n2 +1 =(z2 + 1) 又. ab2=(2 + i)2 AD2 + BD2 = AB2abd是直角三角形如圖，過點C作CE丄CD交DB的延長線于點E,. Z3+ZBCD=ZACD=90o, Z4+ZBCD=ZDCE=90oZ3=Z4由知AABD是直角三角形. Zl + Z2 = 90o又 Z2+ZE =

49、 90oAZl=ZE1ACZ)和 ABCE 中，ZA = ZE< Z3 = Z4AC = BCACDBCE：.CD = CE, AD = BE.,.DE = BDBE = BD + AD = 2n + Hl -1 又 YCD = CE, ZDCE = 90。由勾股泄理得DE = yCD2 + DEl = 2CZ) CD = !L1 = Z2 + 2:-5>1)2 2 2(2) AD、BD、CD的數量關系為：AD-BD =邁CD， 理由如下：如圖，過點C作CF丄CD交BD的延長線于點F,B ZACD=ZBCfVBD±AD ZADB=90oZ6+Z7=90oT ZACB=90

50、oZ9=Z8=90o又 VZ6=Z8Z7=Z9MCZ）和 ABCF 中Z9 = Z7AC = BCZACD = ZBCFACDBCFCD=CFt AD=BF又 V ZDCF=90°.由勾股定理得DF = CD2 + CFl = y2CD又 DF=BF-BD=AD-BD AD-BD =邁CD【點睛】本題考查的是三角形全等、勾股定理及苴逆左理，掌握三角形全等的判左方法及勾股左理 及其逆建理是關鍵.26. （1） 2，23（2）證明見解析（3） IL （4）跡或空733【分析】（1）根據含有30°角的直角三角形的性質可得BC=2,再由勾股左理即可求出AC的長；（2）由劭為AB垂直

51、平分線可得DB=DA,在RtBDE中，由勾股左理可得BD=4,可得 BD=2BE,故ZBDE為60° ,即可證明ABD是等邊三角形；（3）由（1） （2）可知，AC=23 , AD=4,進而可求得CD的長，再由等積法可得 ½ffMCHD = SftBCD + ACD » 代入求解即可；（4）分點P在線段AC上和AC的延長線上兩種情況，過點E作AC的垂線交AC于點Q, 構造RtZkPQE,再根據勾股定理即可求解.【詳解】（1）/ RtMBC, ZACB = 90。，ZBAC = 30。，斜邊 AB = 4, BC = IAB = 2, AC = AB2-BC2=23

52、 :（2）/ ED為 AB 垂直平分線，.ADB=DA,在 RtBDE 中，V BE = AE = -AB = 2, DE = 23 »2 BD = y/BE2+DE2 =4 BD=2BE> ZBDE 為 60° ,ABD為等邊三角形；（3）由（1） （2）可知，AC=23 > AD二4, CD = AC2÷AD2=27，* XiJfJACfiD = »BCD + S.acq ,-（BC+ AD）×AC = -AC×AD + -BFxCD ,2 2 2（4）分點P在線段AC上和AC的延長線上兩種情況, 如圖，過點E作AC的

53、垂線交AC于點Q,VAE=2, ZBAC=30° , EQ=I, VC=23 , ： CQ = QA=® 若點P在線段AC ±,則 PQ = CQ-CP=3- 3=-33PE = JPQr+ EQ匚遼:若點P在線段AC的延長線上，則 P0 = CQ + CP=J +扌J=孕， PE = yPQ2 + EQ2 =:綜上，PE的長為或迺.33【點睛】本題考查勾股左理及其應用、含30°的直角三角形的性質等，解題的關鍵一是能用等積法 表示并求出BF的長，二是對點P的位苣要分情況進行討論.27. (1)見解析；(2) BC = 27 【分析】(1) 由等邊三角形的

54、判左定理可得AABD為等邊三角形，又由平行進行角度間的轉化可 得出結論.(2) 連接AC交BD于點O,由題意可證AC垂直平分BD, ABD是等邊三角形，可得 ZBAO=ZDAO=30o , AB=AD=BD=8, BO=OD=4,通過證明AEDF 是等邊三角形，可得 DE=EF=DF=2,由勾股定理可求OC, BC的長.【詳解】(1) 證明：'：AB = AD, ZA=60°,.,.ABD是等邊三角形.：.ZADB = 60°. CEil AB、 ZCED = ZA = 60°. ZCED = ZADB (2) 解：連接AC交BD于點0,V AB = AD, BC = DC,. AC垂直平分3D. ZBAO = ZDAO = 30° VABD是等邊三角形，AB = S°. AD = BD = AB = 8 ,* BO = OD = 4 '：CEHA B、 ZACE = ZBAO.： AE = CE = 6, DE = AD-A