(submit)啁啾高斯脈沖在位相奇點附近的光譜異變

1、 啁啾高斯脈沖在位相奇點附近的光譜異變* 國家自然科學(xué)基金（批準號：No. 10574097）資助課題。鄒其徽 呂百達（四川大學(xué)激光物理與化學(xué)研究所，成都 610064）從瑞利索末菲衍射積分公式出發(fā)，推導(dǎo)出啁啾高斯脈沖通過圓孔光闌后的解析公式。研究了遠場在位相奇點附近的光譜異變行為。結(jié)果表明，截斷參數(shù)僅在一定范圍取值時，才會產(chǎn)生光譜開關(guān)現(xiàn)象。啁啾參數(shù)增加，光譜開關(guān)的兩個等高峰之間的角頻率間隔增大，對應(yīng)的臨界衍射角略微增大。脈沖的時間光強隨衍射角和啁啾參數(shù)變化，并出現(xiàn)分裂。關(guān)鍵詞：奇點光學(xué)，光譜異變，圓孔光闌，啁啾高斯脈沖PACC: 4255B, 4280W1 引言在光強為零的點，位相變得不確定

2、。對位相奇點附近光場特性的研究已發(fā)展為現(xiàn)代物理光學(xué)的一個新分支奇點光學(xué)1。最近，F(xiàn)oley和Wolf2對由蒲繼雄等人3首次提出的光譜開關(guān)做了分析后指出，多色光在頻率成份對應(yīng)光強為零值點附近出現(xiàn)的光譜異變即光譜開關(guān)屬于奇點光學(xué)的一個新效應(yīng)。對光譜開關(guān)產(chǎn)生的物理機制進行了深入的研究2,4。迄今，在近軸光學(xué)的范疇內(nèi)對完全相干和部分空間相干多色光的光譜異變已進行了許多研究2-6，并得到實驗驗證7,8。另一方面，迅速發(fā)展的飛秒脈沖技術(shù)開辟了超短光脈沖應(yīng)用的新途徑9-11。本文以啁啾高斯光脈沖為例，研究超短光脈沖在遠場位相奇點附近的光譜異變行為。在理論推導(dǎo)中未使用近軸近似，所得結(jié)果適用于包括大衍射角的更為

3、一般情況。2理論推導(dǎo) 在柱坐標系下，設(shè)入射面z=0上有一高斯脈沖10 , (1)式中，S(w)是初始軸上的脈沖光譜，w0為束腰寬度，為與頻率無關(guān)的常數(shù)。該高斯脈沖在z=0平面處通過一半徑為a的圓孔光闌。由瑞利索末菲衍射積分公式，在z>0的半空間點(, z, )的光場為 (2)式中，cos=z/r，r=(2+z2)1/2，為衍射角，k是波數(shù)，k=w/c。將(1)式代入(2)式得 (3)式中，J0()表示第一類零階貝塞爾函數(shù)。(3)式可化為 (4)式中，c為真空中的光速，為截斷參數(shù)，為瑞利長度，()為伽瑪函數(shù)。(4)式給出了頻域中超短高斯脈沖通過圓孔光闌的解析公式，在推導(dǎo)中未使用近軸近似和遠

4、場近似，因此，它適用菲涅爾區(qū)和夫瑯和費區(qū)，也適用于大衍射角情形。 在遠場近似下，(4)式簡化為 (5)遠場功率譜可寫為 (6)式中，|S(w)|2為源光譜；M(r,)為光譜調(diào)制函數(shù)4，描述光闌衍射對源光譜的調(diào)制， . (7)設(shè)在z=0處的啁啾高斯脈沖為10 (8)式中，T是與初始時刻脈沖寬度TFWHM相關(guān)的參數(shù)，即TFWHM=2T (ln2)1/2；C為啁啾參數(shù)，wc為載波頻率。初始軸上的脈沖光譜S(w)為脈沖A(t)的傅里葉變換 . (9)將(9)式代入(6)式中得啁啾高斯脈沖通過圓孔光闌后在遠場的功率譜. (10)由(10)式可知，功率譜與啁啾參數(shù)C，脈沖寬度T，截斷參數(shù)以及衍射角等參數(shù)有

5、關(guān)。由(3)式和(9)式可得啁啾高斯脈沖通過圓孔光闌后在遠場的軸上光場為 (11)在(11)式中令C=0, 時，即為等束寬超短高斯脈沖在無光闌限制沿軸上傳輸情況，得到與文獻12中(9)式一致的結(jié)果。由(11)式得軸上功率譜為 (12)對(12)式求角頻率w的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零得到軸上功率譜取極大值時角頻率w應(yīng)滿足 (13)其軸上光譜移動為 (14)(14)式說明遠場軸上光譜為藍移等于(1+C2)/(T2wc)，w與啁啾參數(shù)C和脈寬T有關(guān)，但與C的正負無關(guān)。當(dāng)C=0時，軸上光譜藍移為1/(T2wc)與文獻12結(jié)果一致。對(5)式作逆傅里葉變換得到在時間空間域中啁啾高斯脈沖通過圓孔光闌后遠場的光場

6、 (15)式中，, 為合流超幾何函數(shù)，t'=t-r/c為當(dāng)?shù)貢r間。遠場的軸上光場為. (16)由(16)式知，在遠場軸上脈沖寬度T不變。截斷參數(shù)越小，軸上|E(z,0,t)|越小。3數(shù)值計算結(jié)果和分析 為了說明啁啾高斯脈沖通過圓孔光闌后在遠場的光譜異變和時間空間域中光強的變化，利用(7), (10)和(15)式進行了大量數(shù)值計算，典型例示于圖17和表1。計算參數(shù)為：wc=2.360fs-1, w0=0.05 mm，r=500mm。圖1給出了截斷參數(shù)=0.8時，調(diào)制函數(shù)M(r, , c)隨衍射角在區(qū)間0°1.5°的變化，圖中插圖清楚顯示出極小值點位置。圖1表明，M(r

7、, , c)的極大值和極小值與截斷參數(shù)有關(guān)。對=0.8，衍射角為min=0.783°, 1.327°時，M(r, , c)取極小值，衍射角為max=0°, 0.987°時，M(r, , c)取極大值。( °)M (r, , c) 圖1 調(diào)制函數(shù)M(r, , c)隨衍射角的變化 圖2給出了在min,1=0.783°附近的啁啾高斯脈沖的歸一化功率譜。計算參數(shù)：C=1, T=3fs, =0.8。由圖2看出，當(dāng)=0.750°<c1=0.800°光譜紅移，功率譜取極大值時的角頻率為1.920fs-1, 即光譜紅移量為0

8、.440fs-1。當(dāng)=0.850°>c1=0.800°光譜藍移，功率譜取極大值時的角頻率為2.600fs-1, 即光譜藍移量為0.240fs-1。而在臨界衍射角c1=0.800°處，光譜分裂成兩個等高的峰，兩峰對應(yīng)的角頻率分別為wmax1=1.838fs-1，wmax2=2.688fs-1，且wmin=2.250fs-1時|E(r,1,wmin)|2=0。這種光譜異變行為被稱為光譜開關(guān)3。當(dāng)有啁啾時，臨界衍射角c1不嚴格等于min,1而略有移動。/fs|E(r,)|2/ E(r,)|2max ( a )/fs/fs|E(r,)|2/ E(r,)|2max (

9、 b) ( c )圖2 啁啾高斯脈沖的歸一化功率譜圖3給出了min,2=1.327°附近C=0, 1, 2時啁啾高斯脈沖的光譜開關(guān)，計算參數(shù)：=0.8, T=3fs。由圖3可以看出，隨啁啾參數(shù)增加，光譜開關(guān)的兩個等高峰之間的角頻率間隔增大，光譜分裂成多峰。對應(yīng)于C=0, 1, 2，出現(xiàn)光譜開關(guān)的臨界衍射角分別為c2=1.327°, 1.343°, 1.395°，當(dāng)C0時，c2min,2且隨啁啾參數(shù)增加而增大。wmin不等于源光譜的載波頻率，發(fā)生了紅移，并隨著C的增加而增大。表1給出了C=0, 1, 2時min,1和min,2附近一階和二階光譜開關(guān)的有關(guān)參

10、數(shù)。由表1看出，對相同啁啾參數(shù)，一階光譜開關(guān)的頻率間隔大于二階光譜開關(guān)的頻率間隔。/fs|E(r,)|2/ E(r,)|2max圖3 C=0, 1, 2時啁啾高斯脈沖的光譜開關(guān)表1 C=0, 1, 2, T=3fs, =0.8時n=1, 2階光譜開關(guān)的有關(guān)參數(shù)n 12C012012c/ °0.7830.8000.8641.3271.3431.395wmin/fs-12.3052.2502.0702.3282.3022.220wmax/fs-11.9982.6301.8382.6881.5142.6602.0492.6161.9542.6551.8082.630w (wmax2wmax

11、1)/fs-10.6320.8501.1460.5670.7010.822 圖4給出了脈沖寬度T=3fs, 4fs, 6fs時啁啾高斯脈沖的二階光譜開關(guān)，計算參數(shù)：=0.8, C=1。由圖4看出，隨脈沖寬度增加，光譜開關(guān)的兩個等高峰之間的角頻率間隔減小。T=3fs, 4fs, 6fs時，對應(yīng)出現(xiàn)光譜開關(guān)的臨界衍射角分別為c2=1.343°, 1.330°, 1.320°。因此，隨脈沖寬度增加，臨界衍射角略微減小。/fs|E(r,)|2/ E(r,)|2max圖4 T=3fs, 4fs, 6fs時啁啾高斯脈沖的二階光譜開關(guān)。 圖5給出了一階和二階光譜開關(guān)的臨界衍射角

12、c1, c2隨截斷參數(shù)的變化，計算參數(shù)：T=3fs, C=1。由圖5看出，截斷參數(shù)<0.4°或>1.5°時，一階和二階光譜開關(guān)消失。截斷參數(shù)在0.41.5°時，隨截斷參數(shù)增加，一階和二階光譜開關(guān)的臨界衍射角c1, c2逐漸減小，c2減小更為迅速。因此，光闌衍射是完全空間相干多色光產(chǎn)生光譜開關(guān)的物理原因2。c /(°) 圖5 一階和二階光譜開關(guān)的臨界衍射角c1, c2隨截斷參數(shù)的變化圖6、7給出了C=0，1時啁啾高斯脈沖在min,1=0.783°附近的歸一化時間光強，計算參數(shù)T=4fs, =0.8。比較圖6和圖7可以看出，時間光強分布

13、與衍射角和啁啾參數(shù)C有關(guān)，當(dāng)啁啾參數(shù)為零時，在min,1附近脈沖分裂成兩個等高的峰，而有啁啾時，脈沖分裂成兩個不等高的峰值。|E(r,t')|2/ E(r,t')|2maxt'/fst'/fs|E(r,t')|2/ E(r,t')|2maxt'/fst'/fs|E(r,t')|2/ E(r,t')|2max圖6. C=0時啁啾高斯脈沖的歸一化時間光強t'/fst'/fs|E(r,t')|2/ E(r,t')|2maxt'/fs|E(r,t')|2/ E(r,t'

14、;)|2max圖7. C=1時啁啾高斯脈沖的歸一化時間光強4結(jié)論本文基于瑞利索末菲衍射積分公式推導(dǎo)出了啁啾高斯脈沖通過圓孔光闌后光場的解析公式。研究了位相奇點附近遠場的光譜異變行為。結(jié)果表明，在臨界衍射角處產(chǎn)生光譜開關(guān)。隨截斷參數(shù)增加，一階和二階光譜開關(guān)的臨界衍射角逐漸減小。隨啁啾參數(shù)增加，出現(xiàn)光譜開關(guān)的臨界衍射角略有增大，光譜開關(guān)的兩個等值峰之間的角頻率間隔增大。隨脈沖寬度增加，光譜開關(guān)的兩個等高峰之間的角頻率間隔減小。脈沖的時間光強出現(xiàn)分裂。參考文獻：1 Soskin M S and Vasnetsov M V “Singular optics,”in Progress in Optics

15、 Wolf E (Ed.) Progress in optics ( Elsevier, Amsterdam, 2001, 219-276 )2 Foley J T and Wolf E 2002 J. Opt. Soc. Am. A 19 25103 Pu J, Zhang H et al. 1999 Opt. Commun. 162 574 Pu J, Nemoto S et al. 2003 J. Opt. Soc. Am. A 20 5825 Gbur G, Visser T D Wolf E 2002 Phys. Rev. Lett. 88 0139016 Lü B D a

16、nd Pan L Z 2004 Science in China 47 24 (in Chinese) 呂百達，潘留占 2004 中國科學(xué) 47 247 Kandpal H C and Vaishya A S 2002 IEEE J. Quantum Electron. 38 3368 Popescu G and Dogariu A 2002 Phys. Rev. Lett. 88 1839029 Perry M D and Pennington D et al. 1999 Opt. Lett. 24 16010 Agrawal G P 1998 Opt. Commun. 157 5211 H

17、e F, Yu W et al. 2004 Acta Phys. Sin. 53 165 (in Chinese) 何峰，余瑋等 2004 物理學(xué)報 53 16512 Zou Q H and Lü B D 2005 Acta Phys. Sin. 54 5642 (in Chinese) 鄒其徽，呂百達 2005 物理學(xué)報 54 5642Spectral anomalies near phase singularities in chirped Gaussian pulses Zou Qi-Hui Lü Bai-Da (Institute of Laser Physics

18、and Chemistry, Sichuan University, Chengdu 610064, China) Abstract Starting from the Rayleigh-Sommerfeld diffraction integral, the analytical expressions for ultrashort chirped Gaussian pulses passing through a circular aperture are derived, which enable us to study spectral anomalies near phase sin

19、gularities in the far field. It is found that the spectral switch takes place when the truncation parameter takes a value within a certain range. The frequency difference between the two equal heights of the spectral switch increases and the corresponding critical diffraction angle slightly increases with increasi