最小二乘復(fù)頻域法PolyMa

1、最小二乘復(fù)頻域法（ PolyMax）SX1201069 虞剛PolyMax模態(tài)識(shí)別方法，屬于多自由度時(shí)域識(shí)別法，也稱作多參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域法 （ Polyreference least squares complex frequency domain method）， 是最小二乘復(fù)頻域法（LSCF）的多輸入形式，是一種對(duì)極點(diǎn)和模態(tài)參預(yù)因子進(jìn)行整體估 計(jì)的多自由度法 ,一般首先通過實(shí)驗(yàn)建立穩(wěn)態(tài)圖， 以判定真實(shí)的模態(tài)頻率、阻尼和參 預(yù)因子；建立可以線性化的直交矩陣分式模型，然后基于正則方程縮減最小二乘問 題 , 得到壓縮正則方程 , 于是模態(tài)參數(shù)可以通過求解最小二乘問題得到。該方法集合 了多參考

2、點(diǎn)法和LSCF方法的優(yōu)點(diǎn)，可以得出非常清晰的穩(wěn)態(tài)圖，并且密集空間可以被 分離出來，尤其在模態(tài)較密集的系統(tǒng)（動(dòng)力總成系統(tǒng)），或者FRF數(shù)據(jù)受到嚴(yán)重噪聲污 染的情況下仍可以建立清晰的穩(wěn)態(tài)圖，識(shí)別出高度密集的模態(tài)，對(duì)每一個(gè)模態(tài)的頻 率、阻尼和振型都有很好的識(shí)別精度 , 是國際最新發(fā)展并流行的基于傳遞函數(shù)的模態(tài) 分析方法。其基本思想如下：（ 1）建立頻率響應(yīng)函數(shù)模型多參考點(diǎn)最小二乘復(fù)頻域識(shí)別技術(shù)（PRLSCF或 PolyMAX要以頻響函數(shù)矩陣作為識(shí)別的初始數(shù)據(jù)，其數(shù)學(xué)模型采用右矩陣分式模型來描述。在頻域中，系統(tǒng)輸出o（o 1,2 ,No，其中No為輸出點(diǎn)數(shù)）和全部輸入的關(guān)系可用右矩陣分式模型（RMFD

3、來描述，右矩陣分式模型的表達(dá)式為1H o U o D 1（ 1）式中：H。ClNi理論頻響函數(shù)的第o行，M是輸入點(diǎn)數(shù)，即激勵(lì)數(shù)；UoC1叫一分子多項(xiàng)式行向量;DoC叫Ni分母多項(xiàng)式矩陣。且U。 和D。 可以表示成如下形式:NUoZrBor( 01,2 ,No)( 2)r 0NDo乙 Ar( 3)r 0其中分母系數(shù)矩陣ArRN和分子系數(shù)行向量BorR1 Ni是待估計(jì)的參數(shù)。所有這些系數(shù)合并為一個(gè)矩陣(4)其中AoBo0BoNR N 1 NioRNi N 1Ni(5)Ai式（2）和式（3）中出現(xiàn)的多項(xiàng)式基函數(shù) 乙般地，有以下兩種選擇:式中：N 多項(xiàng)式階次i .對(duì)于連續(xù)時(shí)域模型，可取為Zr(6) 式

4、中：s - 比一縮放因子，用來提高方程的數(shù)值狀況。2ii.對(duì)于離散時(shí)域模型，可取為Zre j Trs（7）式中：Ts 采樣周期。通常采用離散時(shí)域模型。（2）參數(shù)的線性化通過試驗(yàn)測量出的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣i fcNo Ni，用Ho f c1 Ni表示實(shí)測頻響矩陣的第o行，o 1,2, ,N0, f 1,2, ,Nf，那么關(guān)于參數(shù)矩陣的非線性最小二乘（NLS）目標(biāo)函數(shù)口表示為NoNfH丄NLSHNLS/ Onlstrof ,of ,（8）o 1 f 1式中：?H 矩陣的復(fù)共扼轉(zhuǎn)置；tr ?矩陣的跡，即矩陣的主對(duì)角元素之和。通過對(duì)式（8）求極小值，便可以得到頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣的右分式矩陣模型各系數(shù)的估計(jì)

5、值，即矩陣的估計(jì)值。式（8）中的加權(quán)非線性最小二乘誤差函數(shù)被定義：NLS1:f, Wof Ho f, Hof Wof Uo f, o D 1f, Hof上式中Wo f是一個(gè)加權(quán)函數(shù)。一般地，為了提高估計(jì)的質(zhì)量，我們采用Wovar HoHo式中：var?方差，可用相關(guān)函數(shù)求取。也可使用公式Wo1var Ho f(11)來做加權(quán)函數(shù)的。這兩種加權(quán)函數(shù)都考慮了測量頻響函數(shù)數(shù)據(jù)的好壞：測得頻響的 方差越小，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)越大。非線性誤差函數(shù)可以經(jīng)過一個(gè)近似的處理為一個(gè)線性的問題。實(shí)際上，通過對(duì)腫S f,右乘D f,，則可以得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)為線性的方程，此加權(quán)線性最小這樣式（12）關(guān)于參數(shù)為線性，將所

6、有頻率點(diǎn)裝配成一列,二乘（LS）方程誤差：S f,為LSof ,NLSof ,Df ,1Wof Uo f, o Df ,H%fDf,（12）NH%ArWofZrfBorZrfr 0f 1,2,L ,Nf，它可用矩陣形式來表示LSoLSoXo YoJo(13)LS其中：Wo 1 zo 1,z11 ,L , zN1XoWoN fzoN fM,z1Nf ,L , zNN fC Nf N 1（14）Wo1 zo 1 , z1 1 ,L, zN1H%o 1YoMCN f Ni N 1（15）WoN fzoNf , z1N f ,L, zNN fH%o N f式中， Kronecker 積。3）縮減標(biāo)準(zhǔn)方

7、程加權(quán)線性最小二乘估計(jì)表達(dá)式為式中：oLSH LSLStrooo1NoTTRoSootro1oSoTTo16)Ro Re XoH XoRN1N1同時(shí)，目標(biāo)函數(shù)（ 16）等價(jià)于17)THl LS tr Re J J式中， J 是 Jacobian 矩陣，被如下定義X10 L0Y10JX2 LM丫2CN°Nf N 1 No Ni(18)MM OMM00LXno丫叫為使1 LS值最小，將Ils對(duì)系數(shù)矩陣o和求導(dǎo)，并令其為零1 LSo2 Ro o So0o 1,2,L ,No(19)1 LSN°2S： oo 1To0(20)由式（19）得到。Ro1So，把它代入式（20）得No2T

8、oS：Ro1Soo 1M0(21)其中，MNo2ToS；Ro1SorM N 1 Ni N10o 1由式（19）和（20）得到標(biāo)準(zhǔn)方程，經(jīng)過整理，此標(biāo)準(zhǔn)方程的表達(dá)式為R10L0S0R2L0S21MMOMM22M2Re JH J00LRNoSNoNoNooS：SLSN0Too 10(22)式（21）即為“縮減”標(biāo)準(zhǔn)方程，其中矩陣M維數(shù)為Ni N 1 Ni N 1，比標(biāo)準(zhǔn)方程式（22）中的Re JHJ的維數(shù)N。M N 1 N。M N 1要小的多。4）求解縮減標(biāo)準(zhǔn)方程通過求解“縮減”標(biāo)準(zhǔn)方程，便可得到分母系數(shù)矩陣根據(jù)線性方程組的求解理論，先對(duì)系數(shù)矩陣 施加一個(gè)約束。假如，設(shè)定系數(shù)矩陣中的一個(gè)系數(shù)矩陣塊

9、等于正則常數(shù)矩陣（例如設(shè)系數(shù)矩陣的最后一個(gè)矩陣塊N1I Ni ） , 在這種前提下，縮減標(biāo)準(zhǔn)方程變?yōu)?3)其中A M 1: Ni N,1: NiN系數(shù)矩陣的最小二乘估計(jì)為?LSXI NiA 1B24)一旦求得了?LS ，那么通過Ro1So就可得到所有的分子系數(shù) ?LS,這種方法考慮了標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特性 ，比直接求解方程 （22）要快得多 。確定了分母系數(shù)矩陣 后 通過求解 的伴隨矩陣的特征值和特征向量，這樣就可以得到了系統(tǒng)的極點(diǎn)和相應(yīng) 的模態(tài)參與因子。方程如下0IL0000L00MMOMM V V.（25）00L0IA0TA1TLAN 2AN 1上式中，V,CNoN NoN，矩陣V的最后Ni行

10、就是模態(tài)參與因子；對(duì)角陣的角元記 錄為i（i 1,2丄，N°N）由不穩(wěn)定的數(shù)學(xué)極點(diǎn)和穩(wěn)定的物理結(jié)構(gòu)點(diǎn)兩部分組成。記穩(wěn)定的物 理結(jié)構(gòu)極點(diǎn)為r e rTs，通過對(duì)這些物理結(jié)構(gòu)極進(jìn)行轉(zhuǎn)換，便可得出結(jié)構(gòu)的固有頻 率r和模態(tài)阻尼比r ；關(guān)系式如下(26)（5）計(jì)算頻率點(diǎn)和阻尼比點(diǎn)根據(jù)信號(hào)與系統(tǒng)基本理論中對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的描述：系統(tǒng)的全部極點(diǎn)落于s域左半 平面（不包括虛軸），且滿足有界輸入有界輸出原則，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。復(fù)特征矩陣 中的復(fù)特征值總是以共軛對(duì)的形式出現(xiàn)，同時(shí)也包含實(shí)數(shù)（虛軸上），在求解頻率 點(diǎn)i和阻尼比點(diǎn)i時(shí)，對(duì)于每個(gè)共軛對(duì)只取其中一個(gè)進(jìn)行分析，且不考慮實(shí)數(shù)。復(fù)特征矩陣 中的對(duì)角元i e江

11、，由式(26)， i用Re i i Im i描述，則Re i i Im i e ii %TseiTse i °%TseiTscos%Tsi sin%Ts(27)Re ii Imie iTs(28)Imi亠，、arctan%s( 29)Re i所以丄TsIn(30)% arctan m-(31)TsRe i由此可求得頻率i和阻尼比ii(32)ii在求得的頻率i和阻尼比i包含有結(jié)構(gòu)的固有頻率r和模態(tài)阻尼比r，因此，必須對(duì)所有求得的i和i進(jìn)行有效的分析和選取，以確定系統(tǒng)真實(shí)的固有頻率和阻尼 比。建立穩(wěn)態(tài)圖就是一種行之有效的方法。(6)建立穩(wěn)態(tài)圖在模態(tài)分析中，穩(wěn)態(tài)圖是幫助實(shí)驗(yàn)者分離結(jié)構(gòu)物理極點(diǎn)和數(shù)學(xué)極點(diǎn)的一個(gè)有力工具，如圖1所示。通過逐漸增大多項(xiàng)式的階次N，且進(jìn)行相應(yīng)的重復(fù)性分析計(jì)算可以建立起穩(wěn)態(tài)圖。圖1模態(tài)分析的穩(wěn)