第四章 軸測投影1

1、 41 軸測投影的基本知識軸測投影的基本知識 第第4章章 軸測投軸測投影影1 42 常見軸測投影圖的畫法常見軸測投影圖的畫法 43 斜軸測圖的畫法斜軸測圖的畫法23 學(xué)習(xí)目標(biāo)要求學(xué)習(xí)目標(biāo)要求1 1掌握軸測投影的基本知識，掌握軸測投影的基本知識，掌握軸向伸縮系數(shù)和軸間角的幾何意義；掌握軸向伸縮系數(shù)和軸間角的幾何意義；2 2能熟練地根據(jù)實(shí)物或投影圖繪制物體的正等能熟練地根據(jù)實(shí)物或投影圖繪制物體的正等軸測圖；軸測圖；3 3能根據(jù)實(shí)物或投影圖繪制物體的斜軸測投影能根據(jù)實(shí)物或投影圖繪制物體的斜軸測投影圖。圖。第第4章章 軸測投影軸測投影 學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn) 本章本章重點(diǎn)重點(diǎn)是是：軸測投影、分類

2、及基本特性；軸測投影、分類及基本特性；軸測投影的基本畫法軸測投影的基本畫法-坐標(biāo)法、疊加法及切割坐標(biāo)法、疊加法及切割法。法。 本章本章難點(diǎn)難點(diǎn)是是：學(xué)會根據(jù)組合體的正投影圖，學(xué)會根據(jù)組合體的正投影圖， 繪制平面立體正等軸測圖及斜二等軸測圖。繪制平面立體正等軸測圖及斜二等軸測圖。 軸測圖軸測圖是一種能夠在一個(gè)投影圖中同時(shí)反映形體是一種能夠在一個(gè)投影圖中同時(shí)反映形體三維結(jié)構(gòu)的圖形。三維結(jié)構(gòu)的圖形。 如圖如圖1-4-11-4-1所示，是一立體的正投影圖和軸測投影。所示，是一立體的正投影圖和軸測投影。 顯而易見，軸測圖直觀形象，易于看懂。因此工顯而易見，軸測圖直觀形象，易于看懂。因此工程中常將軸測投影

3、用作程中常將軸測投影用作輔助圖樣輔助圖樣，以彌補(bǔ)正投影圖不，以彌補(bǔ)正投影圖不易被看懂之不足。易被看懂之不足。 與此同時(shí)，軸測投影也存在著一般不易反映物體與此同時(shí)，軸測投影也存在著一般不易反映物體各表面的實(shí)形，因而度量性差，繪圖復(fù)雜、會產(chǎn)生變各表面的實(shí)形，因而度量性差，繪圖復(fù)雜、會產(chǎn)生變形等缺點(diǎn)。形等缺點(diǎn)。圖圖1-4-1 正投影圖與軸測圖對比正投影圖與軸測圖對比 1 1軸測投影面軸測投影面 作軸測投影的平面，稱為軸測投影面。作軸測投影的平面，稱為軸測投影面。 2 2軸測投影軸軸測投影軸 空間形體直角坐標(biāo)軸空間形體直角坐標(biāo)軸OXOX、OYOY、OZOZ在軸測投影面在軸測投影面上的投影上的投影O O

4、1 1X X1 1、O O1 1Y Y1 1、O O1 1Z Z1 1稱為軸測投影軸，簡稱稱為軸測投影軸，簡稱軸測軸。軸測軸。 3 3軸間角軸間角 軸測軸之間軸測軸之間的夾角的夾角X X1 1O O1 1Z Z1 1、X X1 1O O1 1Y Y1 1、Y Y1 1O O1 1Z Z1 1，稱之為軸間角。，稱之為軸間角。術(shù)術(shù) 語語 4 4變形系數(shù)變形系數(shù) 軸測軸與空間直角坐標(biāo)軸單位長度之比，軸測軸與空間直角坐標(biāo)軸單位長度之比，稱為軸向變形系數(shù)。簡稱變形系數(shù)。稱為軸向變形系數(shù)。簡稱變形系數(shù)。 由于空間形體的直角坐標(biāo)軸可與投影面由于空間形體的直角坐標(biāo)軸可與投影面P P傾斜，其投影都比原來長度短，

5、它們的投影傾斜，其投影都比原來長度短，它們的投影與原來長度的比值，稱為與原來長度的比值，稱為軸向變形系數(shù)軸向變形系數(shù)，分，分別用別用p p、q q、r r表示，即：表示，即： p p= =O O1 1X X1 1/ /OXOX，q q= =O O1 1Y Y1 1/ /OYOY，r r= =O O1 1Z Z1 1/ /OZOZ1 1根據(jù)投影方向根據(jù)投影方向S S 對軸測投影面的夾角不同，對軸測投影面的夾角不同，軸測投影可分為兩大類：軸測投影可分為兩大類： (1)(1)正軸測投影正軸測投影: :用一組平行投影線用一組平行投影線, ,向垂直于軸測投影向垂直于軸測投影面投射面投射, ,且空間直角坐

6、標(biāo)軸且空間直角坐標(biāo)軸OXOX、OYOY、OZOZ均傾斜于軸測投均傾斜于軸測投影面時(shí)所形成的軸測投影，影面時(shí)所形成的軸測投影，簡稱正軸測。簡稱正軸測。 (2)(2)斜軸測投影斜軸測投影: :用一組傾斜于軸測投影面用一組傾斜于軸測投影面( (也傾斜于三也傾斜于三個(gè)坐標(biāo)軸個(gè)坐標(biāo)軸) )的平行投影線投射，的平行投影線投射，而空間直角軸中有兩根而空間直角軸中有兩根坐標(biāo)軸平行于軸測投影面時(shí)所形成的軸測投影，坐標(biāo)軸平行于軸測投影面時(shí)所形成的軸測投影，簡稱斜簡稱斜軸測。軸測。412 軸測投影圖的分類軸測投影圖的分類如如圖圖1-4-21-4-2 所示，所示，P P為軸測投影面為軸測投影面，S S為投影方向，長方

7、體上的為投影方向，長方體上的坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸OXOX、OYOY、OZ OZ 均均傾斜于傾斜于P P面，面，S S與與P P垂直垂直。按此方法得到的。按此方法得到的P P 面軸測圖稱為面軸測圖稱為正軸測圖正軸測圖。如如圖圖1-4-31-4-3 所示，所示，P P為軸測投影面為軸測投影面，S S為投影方向，立體上的坐為投影方向，立體上的坐標(biāo)面標(biāo)面XOZ XOZ 平行于平行于P P面，面，S S與與P P不垂直不垂直。以此種投影方法產(chǎn)生的軸測。以此種投影方法產(chǎn)生的軸測圖稱為圖稱為斜軸測圖斜軸測圖。圖圖1-4-3 斜軸測圖的形成斜軸測圖的形成圖圖1-4-2 正軸測圖的形成正軸測圖的形成2 2根據(jù)三個(gè)坐標(biāo)軸

8、的根據(jù)三個(gè)坐標(biāo)軸的軸向變形系數(shù)軸向變形系數(shù)的不同，的不同，每類軸測圖又可分為三種每類軸測圖又可分為三種: : (1)(1)正正( (斜斜) )等測圖：等測圖：三個(gè)軸測伸縮系數(shù)都相等三個(gè)軸測伸縮系數(shù)都相等 p pq qr r； (2)(2)正正( (斜斜) )二測圖：二測圖：其中兩個(gè)軸向伸縮系數(shù)相等其中兩個(gè)軸向伸縮系數(shù)相等 p pqrqr； p prqrq； q qrprp； (3)(3)正正( (斜斜) )三測圖：三測圖：三個(gè)軸測伸縮系數(shù)都不相等三個(gè)軸測伸縮系數(shù)都不相等 pqrpqr。3 3為了做圖方便、表達(dá)效果更好，為了做圖方便、表達(dá)效果更好，GB/T50001-GB/T50001-2001

9、 2001 推薦了四種標(biāo)準(zhǔn)軸測圖：推薦了四種標(biāo)準(zhǔn)軸測圖： （1 1） 正等測；正等測； （2 2） 正二測；正二測； （3 3） 正面斜等測和正面斜二測；正面斜等測和正面斜二測； （4 4） 水平斜等測和水平斜二測。水平斜等測和水平斜二測。 軸測投影屬于平行投影，所以軸測投影具有平軸測投影屬于平行投影，所以軸測投影具有平行投影中的所有特性。行投影中的所有特性。 1 1空間相互平行的直線，它們的軸測投影互相平行?？臻g相互平行的直線，它們的軸測投影互相平行。 2 2立體上凡是與坐標(biāo)軸平行的直線，在其軸測圖中也立體上凡是與坐標(biāo)軸平行的直線，在其軸測圖中也必與軸測軸互相平行。必與軸測軸互相平行。 3

10、3立體上兩平行線段或同一直線上的兩線段長度之比，立體上兩平行線段或同一直線上的兩線段長度之比，在軸測圖上保持不變。在軸測圖上保持不變。( (定比性定比性) ) 應(yīng)當(dāng)注意的是應(yīng)當(dāng)注意的是, ,如所畫線段與坐標(biāo)軸如所畫線段與坐標(biāo)軸不平行時(shí)不平行時(shí), ,決不可決不可在圖上直接量取在圖上直接量取, ,而應(yīng)先作出線段兩而應(yīng)先作出線段兩端點(diǎn)端點(diǎn)的軸測圖的軸測圖, ,然然后后連線連線得到線段的軸測圖。另外得到線段的軸測圖。另外, ,在軸測圖中在軸測圖中一般不畫一般不畫虛線虛線。413 軸測投影的特性軸測投影的特性4 42 21 11 1 正等軸測圖的形成正等軸測圖的形成 其基本含義是：其基本含義是： 正正

11、采用正投影方法。采用正投影方法。 等等 三軸測軸的軸向伸縮系數(shù)相同，三軸測軸的軸向伸縮系數(shù)相同， 即即p=q=rp=q=r。 由于正等測圖繪制方便，因此在實(shí)際工作中應(yīng)由于正等測圖繪制方便，因此在實(shí)際工作中應(yīng)用較多。如我們使用的教材中的許多例圖都采用較多。如我們使用的教材中的許多例圖都采用的是正等測畫法。用的是正等測畫法。42 常見軸測投影圖的畫法常見軸測投影圖的畫法421 正軸測投影圖的畫法正軸測投影圖的畫法 由于空間坐標(biāo)軸由于空間坐標(biāo)軸OXOX、OYOY、OZOZ對對軸測投影面的傾角相等軸測投影面的傾角相等，可計(jì)算出其軸間角可計(jì)算出其軸間角X1O1Y1=X1O1Z1=Y1O1Z1=X1O1Y

12、1=X1O1Z1=Y1O1Z1=120120，如下圖，其中，如下圖，其中O1Z1O1Z1軸規(guī)定畫成鉛垂方向。軸規(guī)定畫成鉛垂方向。（1）軸間角）軸間角 由于空間形體的直角坐標(biāo)軸可與投影面由于空間形體的直角坐標(biāo)軸可與投影面P P傾斜傾斜，其其投影投影都比原來長度都比原來長度短短，它們的投影與原來長，它們的投影與原來長度的比值，稱為度的比值，稱為軸向變形系數(shù)軸向變形系數(shù)，分別用，分別用p p、q q、r r表示，即：表示，即：p p= =O O1 1X X1/1/OXOX，q q= =O O1Y1/1Y1/OYOY，r r= =O O1Z1/1Z1/OZOZ2軸向伸縮系數(shù)軸向伸縮系數(shù) 由理論計(jì)算可知

13、：三根軸的由理論計(jì)算可知：三根軸的軸向伸縮系數(shù)軸向伸縮系數(shù)為為0.820.82，如按此系數(shù)作圖，就意味著在畫如按此系數(shù)作圖，就意味著在畫正等測圖正等測圖時(shí)，物體上時(shí)，物體上凡是與坐標(biāo)軸平行的線段凡是與坐標(biāo)軸平行的線段都應(yīng)將其都應(yīng)將其實(shí)長乘以實(shí)長乘以0.820.82。 為方便作圖，軸向尺寸一般采用簡化軸向變形系為方便作圖，軸向尺寸一般采用簡化軸向變形系數(shù)：數(shù)：p p= =q q= =r r=1=1。這樣軸向尺寸即被放大。這樣軸向尺寸即被放大k k1/0.821.22 1/0.821.22 倍，所畫出的軸測圖也就比實(shí)際物體大，倍，所畫出的軸測圖也就比實(shí)際物體大，這對物體的形狀沒有影響，兩者的立體效

14、果是一樣的，這對物體的形狀沒有影響，兩者的立體效果是一樣的，如下圖，但卻簡化了作圖。如下圖，但卻簡化了作圖。（a）正投影圖）正投影圖 (b) 正等測正等測 (c) 采用簡化系數(shù)的正等測采用簡化系數(shù)的正等測 畫畫平面立體平面立體正等軸測圖的最基本的方法是正等軸測圖的最基本的方法是坐標(biāo)法坐標(biāo)法，即，即沿沿軸測軸軸測軸度量定出物體上一些度量定出物體上一些點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo), ,然后逐步然后逐步由點(diǎn)連線由點(diǎn)連線畫出圖形。畫出圖形。 在實(shí)際作圖時(shí)在實(shí)際作圖時(shí), ,還可以根據(jù)物體的形體特點(diǎn)還可以根據(jù)物體的形體特點(diǎn), ,靈活運(yùn)用靈活運(yùn)用各種不同的作圖方法如各種不同的作圖方法如坐標(biāo)法、切割法、疊加法坐標(biāo)法、切割

15、法、疊加法等。等。 4212 平面立體正等軸測圖的畫法平面立體正等軸測圖的畫法 1 1坐標(biāo)法：坐標(biāo)法： 坐標(biāo)法坐標(biāo)法畫軸測圖時(shí)，先在物體三視圖中確畫軸測圖時(shí)，先在物體三視圖中確定坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，然后按物體上各點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)定坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，然后按物體上各點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系采用簡化軸向變形系數(shù)，依次畫出各點(diǎn)的軸測圖，系采用簡化軸向變形系數(shù)，依次畫出各點(diǎn)的軸測圖，由點(diǎn)連線而得到物體的正等測圖。由點(diǎn)連線而得到物體的正等測圖。 坐標(biāo)法是繪制軸測圖的基本方法，不但適用于坐標(biāo)法是繪制軸測圖的基本方法，不但適用于平面立體，也適用于曲面立體；不但適用于正等測，平面立體，也適用于曲面立體；不但適用于正等測，也適用于其

16、他軸測圖的繪制。也適用于其他軸測圖的繪制。 2 2切割法：切割法： 這種方法適用于以切割方式構(gòu)成的平面立體這種方法適用于以切割方式構(gòu)成的平面立體（如下（如下圖圖) )，先繪制出，先繪制出挖切前挖切前的完整形體的軸測圖，的完整形體的軸測圖，再再依據(jù)形體依據(jù)形體上的相對位置上的相對位置逐一逐一進(jìn)行進(jìn)行切割切割。 3 3疊加法疊加法: : 疊加法適用于繪疊加法適用于繪制主要形體是由堆疊制主要形體是由堆疊形成的物體的軸測圖形成的物體的軸測圖, ,此時(shí)應(yīng)注意物體堆疊此時(shí)應(yīng)注意物體堆疊時(shí)的定位關(guān)系。作圖時(shí)的定位關(guān)系。作圖時(shí)時(shí), ,應(yīng)首先將物體看成應(yīng)首先將物體看成是由幾部分堆疊而成是由幾部分堆疊而成, ,然

17、后依次畫出這幾部然后依次畫出這幾部分的軸測投影分的軸測投影, ,即得到即得到該物體的軸測圖。該物體的軸測圖。 以上三種方法都需要以上三種方法都需要定坐標(biāo)原點(diǎn)定坐標(biāo)原點(diǎn), ,然然后按各后按各線線、面面、端點(diǎn)端點(diǎn)的坐標(biāo)在軸測坐標(biāo)的坐標(biāo)在軸測坐標(biāo)系中確定其位置系中確定其位置, ,故故坐標(biāo)法坐標(biāo)法是畫圖的最基是畫圖的最基本方法。當(dāng)繪制復(fù)雜物體的軸測圖時(shí)本方法。當(dāng)繪制復(fù)雜物體的軸測圖時(shí), ,上上述三種方法往往綜合使用。述三種方法往往綜合使用。例例4.1 4.1 用坐標(biāo)法作長方體的正等測圖，用坐標(biāo)法作長方體的正等測圖，如圖所示。如圖所示。 解：作法解：作法 （1 1）如圖（）如圖（a a）所示，在正投影圖

18、上定出原）所示，在正投影圖上定出原點(diǎn)和坐標(biāo)軸的位置；點(diǎn)和坐標(biāo)軸的位置；（2 2）如圖（）如圖（b b）所示，畫軸測軸，在）所示，畫軸測軸，在O1X1O1X1和和O1Y1O1Y1上分別量取上分別量取a a和和b b，對應(yīng)得出點(diǎn)，對應(yīng)得出點(diǎn)和和，過，過、作作O1X1O1X1和和O1Y1O1Y1的平行線，得長方體底面的平行線，得長方體底面的軸測圖；的軸測圖； （3 3）如圖（）如圖（c c）所示，過底面各角點(diǎn)作）所示，過底面各角點(diǎn)作O1Z1O1Z1軸的平行線，量取高度軸的平行線，量取高度h h，得長方體頂面各角點(diǎn)；，得長方體頂面各角點(diǎn)； （4 4）如圖（）如圖（d d）所示，連接各角點(diǎn)，擦去多）所示

19、，連接各角點(diǎn)，擦去多余圖線、加深，即得長方體的正等測圖，圖中余圖線、加深，即得長方體的正等測圖，圖中虛線可不必畫出。虛線可不必畫出。 例例4.24.2 如圖如圖 ( (a a) )所示為正六棱柱主、俯視所示為正六棱柱主、俯視圖，作出正六棱柱的正等測圖。圖，作出正六棱柱的正等測圖。 解：作圖步驟解：作圖步驟 為了做圖方便，選取上底面的中心為原點(diǎn)為了做圖方便，選取上底面的中心為原點(diǎn)O O。它的兩。它的兩條對稱中心線為條對稱中心線為X X 軸和軸和Y Y 軸，以軸，以 六棱柱的軸線作為六棱柱的軸線作為Z Z 軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖( (a a) )所示。所示。 (1)(1)

20、在兩面投影圖上建立直角坐標(biāo)系在兩面投影圖上建立直角坐標(biāo)系OXYZOXYZ。 (2)(2)畫出正等測圖中的軸測軸畫出正等測圖中的軸測軸OlX1Y1Z1OlX1Y1Z1。 (3)(3)用坐標(biāo)法作線取點(diǎn)，按坐標(biāo)關(guān)系，用用坐標(biāo)法作線取點(diǎn)，按坐標(biāo)關(guān)系，用11 11 在軸測在軸測軸上作出六棱柱頂面軸上作出六棱柱頂面6 6個(gè)頂點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，按順序連接，個(gè)頂點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，按順序連接，即得六棱柱頂面的軸測圖，見圖即得六棱柱頂面的軸測圖，見圖 ( (b b) )、（、（c c）。）。 (4)(4)沿沿O O1 1Z Z1 1軸方向（沿六棱柱任一頂點(diǎn)）量取軸方向（沿六棱柱任一頂點(diǎn)）量取h h，得到，得到六棱柱底面六棱柱

21、底面6 6 個(gè)頂點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，個(gè)頂點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)， 順序連接，即得六棱柱底面的軸測圖，見圖（順序連接，即得六棱柱底面的軸測圖，見圖（d d）。）?！?-34-3】作附圖（作附圖（a a）所示組合體的正等測）所示組合體的正等測圖。其步驟如下：圖。其步驟如下：1 1畫正等軸測軸。畫正等軸測軸。2 2在正投影圖上定坐標(biāo)原點(diǎn)在正投影圖上定坐標(biāo)原點(diǎn)O O，本題選擇在形體右后下方，本題選擇在形體右后下方，如附圖（如附圖（b b）所示。）所示。3 3根據(jù)正投影，按根據(jù)正投影，按1 1：1 1量取圖中尺寸（采用簡化系數(shù)為量取圖中尺寸（采用簡化系數(shù)為1 1），作出底部和上部疊加的長方體的軸測圖，如附圖（），作出底部和

22、上部疊加的長方體的軸測圖，如附圖（b b）所示。所示。4 4根據(jù)形體分析，對上下形體進(jìn)行切割作圖，如圖（根據(jù)形體分析，對上下形體進(jìn)行切割作圖，如圖（c c）所示。所示。5 5擦去不可見圖線和軸測軸等，對圖樣檢查后進(jìn)行加深擦去不可見圖線和軸測軸等，對圖樣檢查后進(jìn)行加深處理，完成作圖，如附圖（處理，完成作圖，如附圖（d d）所示）所示。1. 1. 平行于坐標(biāo)平面的圓的正等軸測圖特點(diǎn)平行于坐標(biāo)平面的圓的正等軸測圖特點(diǎn) 畫回轉(zhuǎn)體時(shí)經(jīng)常遇到圓或圓弧，由于各坐標(biāo)面對正等軸測投影畫回轉(zhuǎn)體時(shí)經(jīng)常遇到圓或圓弧，由于各坐標(biāo)面對正等軸測投影面都是傾斜的，因此平行于坐標(biāo)平面的圓的正等軸測投影是橢圓。面都是傾斜的，因此

23、平行于坐標(biāo)平面的圓的正等軸測投影是橢圓。而圓的外切正方形在正等測投影中變形為菱形，因而圓的軸測投影而圓的外切正方形在正等測投影中變形為菱形，因而圓的軸測投影就是內(nèi)切于對應(yīng)菱形的橢圓，如圖就是內(nèi)切于對應(yīng)菱形的橢圓，如圖1-4-161-4-16所示。所示。 4213 回轉(zhuǎn)體正等軸測圖的畫法回轉(zhuǎn)體正等軸測圖的畫法圖圖1-4-16 平行于坐標(biāo)面的圓的正等測圖平行于坐標(biāo)面的圓的正等測圖2 2 圓的正等測畫法圓的正等測畫法 （1 1）弦線法（坐標(biāo)法）：這種方法畫出的橢）弦線法（坐標(biāo)法）：這種方法畫出的橢圓較準(zhǔn)確，但作圖較麻煩。步驟如圖圓較準(zhǔn)確，但作圖較麻煩。步驟如圖1-4-171-4-17所示。所示。(a

24、) 在圓上作若干弦線。在圓上作若干弦線。(b) 作出軸測軸，按各弦線分作出軸測軸，按各弦線分點(diǎn)坐標(biāo)畫出弦線的軸測投影點(diǎn)坐標(biāo)畫出弦線的軸測投影(c) 依次光滑連接依次光滑連接各端點(diǎn)。各端點(diǎn)。 （2 2）為了簡化作圖，軸測投影中的橢圓常采用）為了簡化作圖，軸測投影中的橢圓常采用近似畫法，用四段圓弧連接近似畫出。這四段近似畫法，用四段圓弧連接近似畫出。這四段圓弧的圓心是用橢圓的外切菱形求得的，因此圓弧的圓心是用橢圓的外切菱形求得的，因此也稱這個(gè)方法為也稱這個(gè)方法為“菱形四心法菱形四心法”。以水平面內(nèi)。以水平面內(nèi)的圓的正等測圖為例說明這種畫法（圖的圓的正等測圖為例說明這種畫法（圖1-4-1-4-1818）。）。(a)在正投影視圖中作圓在正投影視圖中作圓的外切正方形，的外切正方形，1、2、3、4為四個(gè)切點(diǎn)，并為四個(gè)切點(diǎn)，并選定坐標(biāo)軸和原點(diǎn)選定坐標(biāo)軸和原點(diǎn)(b) 確定軸測軸，并作圓外確