(第28講)關(guān)于求空間的角的問題

1、題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座關(guān)于求空間的角的問題高考要求 空間的角是空間圖形的一個要素，在異面直線所成的角、線面角、二面角等知識點(diǎn)上，較好地考查了學(xué)生的邏輯推理能力以及化歸的數(shù)學(xué)思想 重難點(diǎn)歸納 空間角的計算步驟 一作、二證、三算1 異面直線所成的角 范圍 0°90°方法 平移法；補(bǔ)形法 2 直線與平面所成的角 范圍 0°90°方法 關(guān)鍵是作垂線，找射影 3 二面角方法 定義法；三垂線定理及其逆定理；垂面法 注1 二面角的計算也可利用射影面積公式S=Scos來計算 注2 借助空間向量計算各類角會起到事半功倍的效果 4三種空間角的向量法計算公式：異面直線所成

2、的角：；直線與平面(法向量)所成的角：；銳二面角：，其中為兩個面的法向量。典型題例示范講解 例1在棱長為a的正方體ABCDABCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn) (1)求證 四邊形BEDF是菱形；(2)求直線AC與DE所成的角；(3)求直線AD與平面BEDF所成的角；(4)求面BEDF與面ABCD所成的角 命題意圖 本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強(qiáng) 知識依托 平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角 錯解分析 對于第(1)問，若僅由BE=ED=DF=FB就斷定BEDF是菱形是錯誤的，因為存在著四邊相等的空間四邊形，必須證明B、E、D、F四點(diǎn)

3、共面 技巧與方法 求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法 求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法 (1)證明 如上圖所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB=a,下證B、E、D、F四點(diǎn)共面，取AD中點(diǎn)G，連結(jié)AG、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四邊形 BEAG,又AF DG,AGDF為平行四邊形 AGFD，B、E、D、F四點(diǎn)共面故四邊形BEDF是菱形 (2)解 如圖所示，在平面ABCD內(nèi)，過C作CPDE，交直線AD于P，則ACP(或補(bǔ)角)為異面直線AC與DE所成的角 在ACP中，易得AC=a，CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC與DE所成角為arcc

4、os 另法（向量法） 如圖建立坐標(biāo)系，則故AC與DE所成角為arccos (3)解 ADE=ADF,AD在平面BEDF內(nèi)的射影在EDF的平分線上 如下圖所示 又BEDF為菱形，DB為EDF的平分線，故直線AD與平面BEDF所成的角為ADB在RtBAD中，AD=a，AB=a,BD=a則cosADB=故AD與平面BEDF所成的角是arccos 另法（向量法） ADE=ADF,AD在平面BEDF內(nèi)的射影在EDF的平分線上 如下圖所示 又BEDF為菱形，DB為EDF的平分線，故直線AD與平面BEDF所成的角為ADB，如圖建立坐標(biāo)系，則，故AD與平面BEDF所成的角是arccos (4)解 如圖，連結(jié)E

5、F、BD，交于O點(diǎn)，顯然O為BD的中點(diǎn)，從而O為正方形ABCDABCD的中心 作OH平面ABCD，則H為正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足為M，連結(jié)OM，則OMDE，故OMH為二面角BDEA的平面角 在RtDOE中，OE=a,OD=a,斜邊DE=a,則由面積關(guān)系得OM=a在RtOHM中，sinOMH=故面BEDF與面ABCD所成的角為arcsin 另法（向量法） 如圖建立坐標(biāo)系，則，所以面ABCD的法向量為 下面求面BEDF的法向量 設(shè)，由 故面BEDF與面ABCD所成的角為 例2如下圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱AA1長為b,且AA1

6、與AB、AD的夾角都是120° 求 (1)AC1的長；(2)直線BD1與AC所成的角的余弦值 命題意圖 本題主要考查利用向量法來解決立體幾何問題 知識依托 向量的加、減及向量的數(shù)量積 錯解分析 注意=,=120°而不是60°,=90° 技巧與方法 數(shù)量積公式及向量、模公式的巧用、變形用 BD1與AC所成角的余弦值為 例3如圖，為60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角頂點(diǎn)P在l上，M,N,且MP與所成的角等于NP與所成的角 (1)求證 MN分別與、所成角相等；(2)求MN與所成角 (1)證明 作NA于A，MB于B,連接AP、PB、BN、AM，

7、再作ACl于C，BDl于D，連接NC、MD NA,MB,MPB、NPA分別是MP與所成角及NP與所成角，MNB，NMA分別是MN與,所成角，MPB=NPA 在RtMPB與RtNPA中，PM=PN，MPB=NPA，MPBNPA，MB=NA 在RtMNB與RtNMA中，MB=NA，MN是公共邊，MNBNMA，MNB=NMA，即(1)結(jié)論成立 (2)解 設(shè)MNB=,MN=a,則PB=PN=a,MB=NA=asin，NB=acos,MB,BDl,MDl,MDB是二面角l的平面角，MDB=60°，同理NCA=60°,BD=AC=asin,CN=DM=asin,MB，MPPN，BPPN

8、BPN=90°,DPB=CNP,BPDPNC,整理得，16sin416sin2+3=0解得sin2=,sin=，當(dāng)sin=時，CN=asin= aPN不合理，舍去 sin=,MN與所成角為30° 另法（向量法） 如圖設(shè)的法向量為，的法向量為，模均為1，由題意，設(shè)，則，且所以或所以，MN分別與、所成角相等 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點(diǎn)，則直線OP與直線AM所成的角是( )A B C D 2 設(shè)ABC和DBC所在兩平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,CBA=CBD=120°,

9、則AD與平面BCD所成的角為( )A 30°B 45°C 60°D 75°3 已知AOB=90°,過O點(diǎn)引AOB所在平面的斜線OC，與OA、OB分別成45°、60°，則以O(shè)C為棱的二面角AOCB的余弦值等于_ 4 正三棱錐的一個側(cè)面的面積與底面積之比為23,則這個三棱錐的側(cè)面和底面所成二面角的度數(shù)為_ 5 已知四邊形ABCD為直角梯形，ADBC，ABC=90°,PA平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的長；(2)求異面直線PC與BD所成角的余弦值的大小；(3)求證 二面角BPCD為直二面角 6 設(shè)

10、ABC和DBC所在的兩個平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120°，求 (1)直線AD與平面BCD所成角的大?。?2)異面直線AD與BC所成的角；(3)二面角ABDC的大小 7一副三角板拼成一個四邊形ABCD，如圖，然后將它沿BC折成直二面角 (1)求證 平面ABD平面ACD；(2)求AD與BC所成的角；(3)求二面角ABDC的大小 參考答案 1 解析 (特殊位置法）將P點(diǎn)取為A1，作OEAD于E，連結(jié)A1E，則A1E為OA1的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM與OP成90°角 答案 D2 解析 作AOCB的延長線，連OD，則OD即為AD在平面BCD上的

11、射影，AO=OD=a,ADO=45° 答案 B3 解析 在OC上取一點(diǎn)C，使OC=1，過C分別作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，則AC=1，OA=，BC=，OB=2，RtAOB中，AB2=6，ABC中，由余弦定理，得cosACB= 答案 4 解析 設(shè)一個側(cè)面面積為S1，底面面積為S，則這個側(cè)面在底面上射影的面積為，由題設(shè)得，設(shè)側(cè)面與底面所成二面角為,則cos=,=60° 答案 60°5 (1)解 因為PA平面AC，ABBC,PBBC,即PBC=90°,由勾股定理得PB= PC= (2)解 如圖，過點(diǎn)C作CEBD交AD的延長線于E，連結(jié)PE，則PC

12、與BD所成的角為PCE或它的補(bǔ)角 CE=BD=，且PE=由余弦定理得cosPCE=PC與BD所成角的余弦值為 (3）證明 設(shè)PB、PC中點(diǎn)分別為G、F，連結(jié)FG、AG、DF，則GFBCAD，且GF=BC=1=AD，從而四邊形ADFG為平行四邊形，又AD平面PAB，ADAG，即ADFG為矩形，DFFG 在PCD中，PD=，CD=，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，DFPC從而DF平面PBC，故平面PDC平面PBC，即二面角BPCD為直二面角 另法（向量法） (略)6 解 (1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過A作AHBC，垂足為H，則AH平面DBC，ADH即為直線AD與平面BCD所成的角 由題設(shè)知AHBAHD，則DHBH，

13、AH=DH，ADH=45°(2)BCDH，且DH為AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD與BC所成的角為90° (3)過H作HRBD，垂足為R，連結(jié)AR，則由三垂線定理知，ARBD，故ARH為二面角ABDC的平面角的補(bǔ)角 設(shè)BC=a,則由題設(shè)知，AH=DH=,在HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC大小為arctan2 另法（向量法） (略)7 (1)證明 取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE，AB=AC，AEBC平面ABC平面BCD，AE平面BCD，BCCD，由三垂線定理知ABCD 又ABAC，AB平面BCD，AB平面ABD 平面ABD平面ACD (2)解 在面BCD內(nèi)，過D作DFBC，過E作EFDF，交DF于F，由三垂線