因式分解的常見變形技巧

1、因式分解的常見變形技巧技巧一符號變換有些多項式有公因式或者可用公式，但是結(jié)構(gòu)不太清晰的情況下，可考慮變換部分項的系數(shù)，先看下面的體驗題。體驗題 1(m+n)(x-y)+(m-n)(y-x)指點迷津y-x= -(x-y)體驗過程原式 =(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y)=(x-y)(m+n-m+n)=2n(x-y)小結(jié)符號變化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的條件不太清晰的情況下。實踐題 1分解因式： -a 2-2ab-b 2實踐詳解各項提出符號，可用平方和公式.原式 =-a 2-2ab-b 2=-( a 2+2ab+b2)= -(a+b)2技巧二系數(shù)變換有些多項式，看起來可

2、以用公式法，但不變形的話，則結(jié)構(gòu)不太清晰，這時可考慮進行系數(shù)變換。體驗題 2分解因式 4x 2-12xy+9y 2體驗過程原式 =(2x) 2-2(2x)(3y)+(3y)2=(2x -3y)2小結(jié)系數(shù)變化常用于可用公式，但用公式的條件不太清晰的情況下。實踐題 2分解因式1 x2xyy2439實踐詳解原式 =(x ) 2 +2.xy +(y ) 2=(x +y )223323技巧三 指數(shù)變換有些多項式，各項的次數(shù)比較高，對其進行指數(shù)變換后，更易看出多項式的結(jié)構(gòu)。體驗題 3分解因式 x4-y 4指點迷津把 x2 看成 (x 2)2, 把 y4 看成 (y2) 2, 然后用平方差公式。體驗過程原式

3、 =(x 2) 2-(y2) 2=(x 2+y2)(x2-y 2)=(x 2+y2)(x+y)(x-y)小結(jié)指數(shù)變化常用于整式的最高次數(shù)是4 次或者更高的情況下，指數(shù)變化后更易看出各項間的關(guān)系。實踐題 3分解因式 a 4-2a 4b4+b4指點迷津把 a4 看成 (a 2) 2， b4=(b 2) 2實踐詳解原式 =(a 2-b 2) 2=(a+b) 2(a-b)2第1頁（共 4頁）技巧四展開變換有些多項式已經(jīng)分成幾組了，但分成的幾組無法繼續(xù)進行因式分解，這時往往需要將這些局部的因式相乘的形式展開。然后再分組。體驗題 4a(a+2)+b(b+2)+2ab指點迷津表面上看無法分解因式，展開后試試

4、：22a +2a+b +2b+2ab。然后分組。體驗過程原式 = a 2+2a+b2+2b+2ab= a 2+ b 2+2a+2b+2ab= a 2+ b 2+2(a+b+ab)小結(jié)展開變化常用于已經(jīng)分組，但此分組無法分解因式，當(dāng)于重新分組。實踐題 4x(x-1)-y(y-1)指點迷津表面上看無法分解因式，展開后試試：x2-x-y2+y。然后重新分組。實踐詳解原式 = x 2-x-y 2 +y=(x 2-y 2)-(x-y)=(x+y)(x-y)-(x-y)=(x-y)(x+y-1)技巧五 拆項變換有些多項式缺項，如最高次數(shù)是三次，無二次項或者無一次項，但有常數(shù)項。這類問題直接進行分解往往較為

5、困難，往往對部分項拆項，往往拆次數(shù)處于中間的項。體驗題 5分解因式 3a3-4a+1指點迷津本題最高次是三次，缺二次項。三次項的系數(shù)為3，而一次項的系數(shù)為-4 ，提公因式后，沒法結(jié)合常數(shù)項。所以我們將一次項拆開，拆成-3a-a試試。體驗過程原式 = 3a 3-3a-a+1=3a(a 2-1)+1-a=3a(a+1)(a-1)-(a-1)=(a-1)3a(a+1)-1=(a-1)(3a2+3a-1)另外，也可以拆常數(shù)項，將1 拆成 4-3。原式 =3a3-4a+4-3=3(a 3-1)-4(a-1)=3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1)=(a-1)(3a2+3a+3-4)=(a-1)( 3

6、a2+3a-1)小結(jié)拆項變化多用于缺項的情況，如整式3a3-4a+1 ，最高次是三，其它的項分別是一，零。缺二次項。通常拆項的目的是將各項的系數(shù)調(diào)整趨于一致。實踐題 5分解因式 3a 3+5a2-2指點迷津三次項的系數(shù)為3，二次項的系數(shù)為5，提出公因式a2 后。下一步?jīng)]法進行了。所以我們將5a2 拆成 3a2 +2a 2, 化為 3a 3+3a2 +2a2-2.實踐詳解原式 =3a3+3a2+2a2-2=3a 2(a+1)+2(a 2-1)=3a2(a+1)+2(a+1)(a-1)=(a+1)(3a 2+2a-2)技巧六添項變換有些多項式類似完全平方式，但直接無法分解因式。既然類似完全平方式，

7、我們就添一項然后去一項第2頁（共 4頁）湊成完全平方式。然后在考慮用其它的方法。體驗題 6分解因式 x2+4x-12指點迷津本題用常規(guī)的方法幾乎無法入手。與完全平方式很象。因此考慮將其配成完全平方式再說。體驗過程原式 = x 2+4x+4-4-122=(x+2) -16=(x+2) 2 -4 2=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2)小結(jié)添項法常用于含有平方項，一次項類似完全平方式的整式或者是缺項的整式，添項的基本目的是配成完全平方式。實踐題 6分解因式 x2-6x+8實踐詳解原式 =x2-6x+9-9+8=(x-3) 2 -1=(x-3) 2 -1 2=(x-3+1)(x-3-1

8、)=(x-2)(x-4)實踐題 7分解因式 a4+4實踐詳解原式 =a4+4a2+4-4a 2=(a 2+2) 2-4a 2=(a 2+2+2a)(a 2+2-2a)=(a 2+2a+2)(a 2-2a+2)技巧七 換元變換有些多項式展開后較復(fù)雜，可考慮將部分項作為一個整體，用換元法，結(jié)構(gòu)就變得清晰起來了。然后再考慮用公式法或者其它方法。體驗題 7分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1指點迷津直接展開太麻煩，我們考慮兩兩結(jié)合?？茨芊癜涯承┎糠肿鳛檎w考慮。體驗過程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)+1=(x 2+5x+4)(x

9、 2+5x+6)+1*令 x2+5x=m.上式變形為 (m+4)(m+6)+1第3頁（共 4頁）2=m+10m+24+1=(m+5) 2=(x 2+5x+5) 2* 式也可以這樣變形，令 x2+5x+4=m原式可變?yōu)椋簃(m+2)+12=m+2m+1=(m+1) 2=(x 2+5x+5) 2小結(jié)換元法常用于多項式較復(fù)雜，其中有幾項的部分相同的情況下。如上題中的x2+5x+4 與 x2+5x+6 就有相同的項x 2+5x. ，換元法實際上是用的整體的觀點來看問題。實踐題 8分解因式x(x+2)(x+3)(x+5)+9指點迷津?qū)?x(x+5) 結(jié)合在一起，將(x+2)(x+3)結(jié)合在一起 .實踐詳解