材力附錄1圖形性質(zhì))

1、1截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì)附錄附錄2- -1 1 截面截面靜矩和形心位置靜矩和形心位置- -2 2 極慣性矩極慣性矩慣性矩慣性矩和和慣性積慣性積- -3 3 平行移軸公式平行移軸公式- -4 4 轉(zhuǎn)軸公式、轉(zhuǎn)軸公式、主慣性軸、主慣性矩主慣性軸、主慣性矩平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)附附 錄錄3 不同受力形式下的不同受力形式下的 應力和變形應力和變形，不僅取決于，不僅取決于外力外力的大小的大小 以及桿件的長度，而且與桿件以及桿件的長度，而且與桿件截面的幾何性截面的幾何性質(zhì)有關質(zhì)有關 。拉壓：拉壓：扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)：幾何性質(zhì)：幾何性質(zhì)： 選定坐標系后，大小僅與截面的選定坐標系后，大小僅與截面的

2、 幾何形幾何形狀和尺寸狀和尺寸 有關的量。有關的量。實質(zhì)：實質(zhì)： 求求dAdA對軸或坐標原點的對軸或坐標原點的n n次矩。次矩。4d Ay=d Sz AdAySz AdAzSy圖形對圖形對z 軸的靜矩軸的靜矩(y 軸軸)dAyzoyz-1 -1 截面的靜矩和形心位置截面的靜矩和形心位置一、靜矩（面積矩）一、靜矩（面積矩）1、定義：5特性特性 AdAySz AdAzSy圖形對圖形對z 軸的靜矩軸的靜矩(y 軸軸)平面圖形的靜矩是對平面圖形的靜矩是對某一坐標軸某一坐標軸而言的；而言的；靜矩數(shù)值可能為靜矩數(shù)值可能為正正，可能為，可能為負負，也可為，也可為零零；靜矩的量綱為：靜矩的量綱為：長度長度6

3、AdAySz AdAzSy靜力學靜力學AAyyA dAAzzA dASz ASy yA zA dAyzoyz二、形心二、形心7討論討論yASz zASy 若若0 zS則則0 y若若0 yS則則0 z結(jié)論結(jié)論1. 若圖形對某一軸的靜矩等于零，則若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必通過圖形的形心；該軸必通過圖形的形心；2. 若某軸通過形心，則圖形對該軸的若某軸通過形心，則圖形對該軸的靜矩等于零。靜矩等于零。8zy例題例題: : 求圖示矩形截面對求圖示矩形截面對 z、y的的 Sy和和 Sz方法一方法一: :dyyAzydAShybdy022bhhbdzz同理同理 : :AyzdASbzhdz022h

4、b方法二方法二: :yASz2hbh22bhzASy2bbh22hb方法三方法三: :AzydASbhdzydy0022bh同理同理 : :22hbSy9zyAzydASCZhaaybdyhaaby22)2(habhCAybhadyydzzAyzdASbzhdz0bhz0222bbhCAzAzydASc22hhybdy2222hhby0例：例：求圖形對求圖形對y、z 軸的靜矩軸的靜矩10例：例：求圖形陰影部分對求圖形陰影部分對z 軸的靜矩軸的靜矩zCSAy34 8h hb2332bh zCSAy348hhbzybh34h2hzybh34h2h2332bh11三、三、組合圖形組合圖形（由若干個基

5、本圖形組合而成的圖形）（由若干個基本圖形組合而成的圖形）的靜矩：的靜矩：ciizizyASSciiyiyzASS四、組合圖形的形心四、組合圖形的形心：izicASyiyicASzAyAciiAzAcii 利用基本圖利用基本圖形的結(jié)果，可使形的結(jié)果，可使組合圖形的形心組合圖形的形心計算簡單計算簡單基本圖形基本圖形-指面積、形心位置已知的圖形指面積、形心位置已知的圖形12212211AAzAzAAzAzccciic例例 試確定下圖的形心試確定下圖的形心。212211AAyAyAAyAyccciic801010c(19.7;39.7)zyC1C2解法解法1 1：1)1)、建立坐標如圖示，分割圖形、建

6、立坐標如圖示，分割圖形mmymmzmmAcc5,45,7001121mmymmzmmAcc60,5,12002222120120070012005700452)2)、求形心、求形心)7 .19 mm)(7 .3912007001200607005mm13解法二解法二：負面積法負面積法)(7 .19117812)77(459640mmzymmymmzmmAcc60,40,96001121mmymmzmmAcc65,45,1107022222C求形心：求形心：)(7 .397796)77(659660mm1C0C212211AAzAzAAzAzccciic212211AAyAyAAyAycccii

7、c80120101010zy14yzO2010305105例：例：確定圖形的形心的位置，并計算陰影部分對兩坐標軸的確定圖形的形心的位置，并計算陰影部分對兩坐標軸的靜矩。圖示尺寸為靜矩。圖示尺寸為(mm)15yzO2010305105C1C2解：解：把圖形看作由把圖形看作由和和 兩部分組成，在圖示坐標系下，兩部分組成，在圖示坐標系下，C1(10,25)C2(10,10)A1=2010 =200mm2A2=1020 =200mm216圖形形心的坐標：圖形形心的坐標：C1(10,25)C2(10,10)A1=200mm2A2=200mm2212211AAyAyAy mm102002001020010

8、200 mm5 .172002001020025200 z17把陰影部分看作由把陰影部分看作由和和 兩部分組成，在圖示坐標系下，兩部分組成，在圖示坐標系下，C1(10,25)C2(10,17.5)A1=2010 =200mm2A2=105 =50mm2yzO2010305105C1C218C1(10,25)C2(10,17.5)A1=200mm2A2=50mm2陰影部分對陰影部分對y y 軸的靜矩：軸的靜矩： niiiyzAS1yzO2010305105C1C25 .175025200 3mm5875 陰影部分對陰影部分對z z 軸的靜矩：軸的靜矩： niiizyAS13mm250010501

9、0200 19特性特性 AdAySz AdAzSy圖形對圖形對z 軸的靜矩軸的靜矩(y 軸軸)平面圖形的靜矩是對平面圖形的靜矩是對某一坐標軸某一坐標軸而言的；而言的；靜矩數(shù)值可能為靜矩數(shù)值可能為正正，可能為，可能為負負，也可為，也可為零零；靜矩的量綱為：靜矩的量綱為：長度長度回顧：回顧：一、靜矩一、靜矩20討論討論yASz zASy 若若0 zS則則0 y若若0 yS則則0 z結(jié)論結(jié)論1. 若圖形對某一軸的靜矩等于零，則若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必通過圖形的形心；該軸必通過圖形的形心；2. 若某軸通過形心，則圖形對該軸的若某軸通過形心，則圖形對該軸的靜矩等于零。靜矩等于零。21-2 2

10、 極慣性矩極慣性矩 慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積一、慣性矩一、慣性矩（截面二次極矩）（截面二次極矩）1 1、定義、定義：dAdA對對z z軸的慣性距軸的慣性距: :dAdA對對y y軸的慣性距軸的慣性距: :2 2、量綱：、量綱：m m4 4、mmmm4 4。yzdAzyo,2AzdAyIAydAzI2dAydIz2dAzdIy23 3、慣性矩是對軸而言（軸慣性矩）。、慣性矩是對軸而言（軸慣性矩）。4 4、慣性矩的取值恒為正值。、慣性矩的取值恒為正值。5 5、極慣性矩：、極慣性矩：（對（對o o點而言）點而言）AodAI2pI222yz 圖形對圖形對z z軸的慣性矩軸的慣性矩: :圖形對圖形對

11、y y軸的慣性矩軸的慣性矩: :226 6、慣性矩與極慣性矩的關系：、慣性矩與極慣性矩的關系： 圖形對任一對相互垂直的坐標軸的慣性矩之和恒圖形對任一對相互垂直的坐標軸的慣性矩之和恒等于此圖形對該兩軸交點的極慣性矩。等于此圖形對該兩軸交點的極慣性矩。ApdAI2AdAzy)(22AAdAzdAy22yzII 慣性矩和慣性積是對一定慣性矩和慣性積是對一定軸軸 而定義的，而極慣而定義的，而極慣性矩，是對性矩，是對點點定義的。定義的。慣性矩和極慣性矩永遠為慣性矩和極慣性矩永遠為正正。yzdAzyo237 7、簡單圖形慣性矩的計算、簡單圖形慣性矩的計算 實心圓形截面：實心圓形截面：空心圓截面空心圓截面)

12、(64144dDIIyzzcyccAAId2p324dDd44132DIp44164D644dIIzy24zy7 7、簡單圖形慣性矩的計算、簡單圖形慣性矩的計算 矩形截面：矩形截面：bhcdzzA2dAyIzd A=b dy222dhhyby123bh123hb同理同理A2dAzIyd A=hdz222dbbzhzdyy25二、慣性半徑：二、慣性半徑：AIiAiIzzzz2AIiAiIyyyy2三、簡單圖形的慣性積三、簡單圖形的慣性積1 1、定義：、定義：2 2、量綱：長度、量綱：長度4 4，單位：，單位：m m4 4、mmmm4 4。3 3、慣性積是對軸而言。、慣性積是對軸而言。Azyzyd

13、AI4 4、慣性積的取值為正值、負值、零。、慣性積的取值為正值、負值、零。5 5、規(guī)律：、規(guī)律： 兩坐標軸中，只要有一個軸為圖形的對稱軸，則兩坐標軸中，只要有一個軸為圖形的對稱軸，則圖形這一對坐標軸的慣性積為零。圖形這一對坐標軸的慣性積為零。yzdAzyo26解：解：AzdAyI2AydAzI2zyozcyc已知已知：圖形截面積圖形截面積A，形心坐標，形心坐標yc、 zc 、Izc、Iyc、 a、b。Zc軸軸平行于平行于z z軸；軸；y yc c軸平行于軸平行于y y軸。軸。求求：I Iz z、I Iy y。-3 3 平行移軸公式平行移軸公式一、平行移軸公式一、平行移軸公式AAcczydAbz

14、ayyzdAI)(AAAccAccabdAdAybdAzadAzyyczcdAyzabcdAayAc2)(AAcAcdAadAyadAy222AcdAbz2)(AAcAcdAbdAzbdAz22227zyozcycyczcdAyzabcAzdAyI2AydAzI2AAAccAccyzabdAdAybdAzadAzyIdAayAc2)(AAcAcdAadAyadAy222AcdAbz2)(AAcAcdAbdAzbdAz222AaIIzcz2AbIIycy2abAIIzcycyz28注意：注意：zC、yC 為形心坐標。為形心坐標。 a、b為圖形形心在為圖形形心在yoz坐標系的坐標值，可正可負坐標系

15、的坐標值，可正可負abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22zyoyczcczcycdAyzab平行移軸公式平行移軸公式 在在所有相互所有相互平行平行的坐標軸中，圖形對的坐標軸中，圖形對 形心軸的慣性矩為形心軸的慣性矩為最小最小，但圖形對形心軸的，但圖形對形心軸的 慣性積不一定是最小慣性積不一定是最小 。 兩平行軸中，兩平行軸中，必須有一軸為形心軸必須有一軸為形心軸, , 截面對任意兩平行截面對任意兩平行軸的慣性矩間的關系軸的慣性矩間的關系, , 應通過平行的形心軸慣性矩來換算。應通過平行的形心軸慣性矩來換算。29二、組合圖形的慣性矩和慣性積二、組合圖形的慣性矩和慣性積zizIIy

16、iyIIziyizyII， 根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對于某軸的慣性矩根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得組合截面對于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對于同一軸的慣性矩（或慣性積）（或慣性積）等于其各組成部分對于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：之和：思考思考30例 求圖示直徑為求圖示直徑為d d 的半圓對其自身形心軸的半圓對其自身形心軸 x xc c 的慣性矩。的慣性矩。解：解：-1222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx3281223dddASyxcxyb(y)ycCdxc312、求對形心軸 xc 的慣性矩12826444ddIx181288

17、)(4422dddyIIcxxc由平行移軸公式得：由平行移軸公式得： xyb(y)ycCdxc3281223dddASyxc32例題例題: : 求圖示截面對形心軸的慣性矩。求圖示截面對形心軸的慣性矩。1. 1.求形心：求形心：332. 2. 矩形矩形截面對截面對y軸的慣性矩軸的慣性矩: :3. 3. 矩形截面對矩形截面對xc軸的慣性矩軸的慣性矩: :1cx2cx34二、慣性矩二、慣性矩、極慣性矩、慣性積、極慣性矩、慣性積yzdAzyo,2AzdAyIAydAzI2ApdAI2yzpIII慣性矩和慣性積是對一定慣性矩和慣性積是對一定軸軸 而定義的，而極慣矩，是對而定義的，而極慣矩，是對點點定義的

18、。定義的。慣性矩和極慣矩永遠為慣性矩和極慣矩永遠為正正。AzyzydAI兩坐標軸中，只要有一個軸為圖形的對稱軸，則圖形這一對坐兩坐標軸中，只要有一個軸為圖形的對稱軸，則圖形這一對坐標軸的慣性積為零。標軸的慣性積為零。對于面積相等的截面，截面相對于坐標軸分布的對于面積相等的截面，截面相對于坐標軸分布的越遠越遠，其慣性，其慣性矩矩越大越大。35簡單圖形慣性矩的計算簡單圖形慣性矩的計算 實心圓形截面：實心圓形截面：空心圓截面空心圓截面zcycc324pdIDd44132DIp44164DIIzy644dIIzy 矩形截面：矩形截面：zybhc123bhIz123hbIy36注意：注意：zC、yC 為

19、形心坐標。為形心坐標。 a、b為圖形形心在為圖形形心在yoz坐標系的坐標值，可正可負坐標系的坐標值，可正可負abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22zyoyczcczcycdAyzab 在在所有相互所有相互平行平行的坐標軸中，圖形對的坐標軸中，圖形對 形心軸的慣性矩為形心軸的慣性矩為最小最小，但圖形對形心軸的，但圖形對形心軸的 慣性積不一定是最小慣性積不一定是最小 。 兩平行軸中，兩平行軸中，必須有一軸為形心軸必須有一軸為形心軸, , 截面對任意兩平行截面對任意兩平行軸的慣性矩間的關系軸的慣性矩間的關系, , 應通過平行的形心軸慣性矩來換算。應通過平行的形心軸慣性矩來換算。三、平

20、行移軸公式三、平行移軸公式37例例 試求圖a 所示截面對于對稱軸 x 的慣性矩。解：解：將截面看作一個矩形和兩個半圓組成。1、矩形對 x 軸的慣性矩：44331mm1053331220080122adIx2、一個半圓對其自身形心軸 xc 軸的慣性矩（見上例）181288)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3383、一個半圓對 x 的慣性矩由平行移軸公式得：44222222mm103467322324832adaddddaIIcxx4、整個截面對于對稱軸 x 的慣性矩：444421mm101227010346721053332xxxIIIxyC(

21、a)d=8040100a=10040 a+2d339特性特性 AdAySz AdAzSy圖形對圖形對z 軸的靜矩軸的靜矩(y 軸軸)平面圖形的靜矩是對平面圖形的靜矩是對某一坐標軸某一坐標軸而言的；而言的；靜矩數(shù)值可能為靜矩數(shù)值可能為正正，可能為，可能為負負，也可為，也可為零零；靜矩的量綱為：靜矩的量綱為：長度長度回顧：回顧：一、靜矩一、靜矩40討論討論yASz zASy 若若0 zS則則0 y若若0 yS則則0 z結(jié)論結(jié)論1. 若圖形對某一軸的靜矩等于零，則若圖形對某一軸的靜矩等于零，則該軸必通過圖形的形心；該軸必通過圖形的形心；2. 若某軸通過形心，則圖形對該軸的若某軸通過形心，則圖形對該軸

22、的靜矩等于零。靜矩等于零。41二、慣性矩二、慣性矩、極慣性矩、慣性積、極慣性矩、慣性積yzdAzyo,2AzdAyIAydAzI2ApdAI2yzpIII慣性矩和慣性積是對一定慣性矩和慣性積是對一定軸軸 而定義的，而極慣矩，是對而定義的，而極慣矩，是對點點定義的。定義的。慣性矩和極慣矩永遠為慣性矩和極慣矩永遠為正正。AzyzydAI兩坐標軸中，只要有一個軸為圖形的對稱軸，則圖形這一對坐兩坐標軸中，只要有一個軸為圖形的對稱軸，則圖形這一對坐標軸的慣性積為零。標軸的慣性積為零。對于面積相等的截面，截面相對于坐標軸分布的對于面積相等的截面，截面相對于坐標軸分布的越遠越遠，其慣性，其慣性矩矩越大越大。

23、42簡單圖形慣性矩的計算簡單圖形慣性矩的計算 實心圓形截面：實心圓形截面：空心圓截面空心圓截面zcycc324pdIDd44132DIp44164DIIzy644dIIzy 矩形截面：矩形截面：zybhc123bhIz123hbIy43注意：注意：zC、yC 為形心坐標。為形心坐標。 a、b為圖形形心在為圖形形心在yoz坐標系的坐標值，可正可負坐標系的坐標值，可正可負abAIIAbIIAaIIzcyczyycyzcz22zyoyczcczcycdAyzab 在在所有相互所有相互平行平行的坐標軸中，圖形對的坐標軸中，圖形對 形心軸的慣性矩為形心軸的慣性矩為最小最小，但圖形對形心軸的，但圖形對形心

24、軸的 慣性積不一定是最小慣性積不一定是最小 。 兩平行軸中，兩平行軸中，必須有一軸為形心軸必須有一軸為形心軸, , 截面對任意兩平行截面對任意兩平行軸的慣性矩間的關系軸的慣性矩間的關系, , 應通過平行的形心軸慣性矩來換算。應通過平行的形心軸慣性矩來換算。三、平行移軸公式三、平行移軸公式44-4 -4 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式 dA 在坐標系在坐標系 ozy 和坐標系和坐標系oz1y1 的的坐標分別為（的的坐標分別為（z，y ）和（）和（z1 ， y1 ）sincossincos11zyyyzz代入代入慣性矩慣性矩的定義式：的定義式：AyIAzd

25、211zyOzyzy11ABCDEdAzy11已知已知：A、Iz、Iy、Izy、。 求求：Iz1、Iy1、Iz1y1。45cossin2sincos dcossin2 dsindcos2222221zyyzAAAzIIIAzyAzAyI 利用二倍角函數(shù)代入上式，得利用二倍角函數(shù)代入上式，得 轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式 ：2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII 的符號為：從的符號為：從 z 軸至軸至 z1 軸軸 逆時針逆時針為正，順時針為負。為正，順時針為負。AyIAzd211zyOzyzy11ABCDEd

26、Azy1146yzyzIIII11 上式表明，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直上式表明，截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標軸的慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標原的坐標軸的慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標原點的極慣性矩點的極慣性矩將前兩式相加得將前兩式相加得2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIIIzyOzyzy11ABCDEdAzy11472cos2sin22sin2cos222sin2cos221111zyyzyzzyyzyzyzyyzyzzIIIIIIIIIIIIIIII

27、1112)2cos2sin2(22cos22sin22yzzyyzzyyzzIIIIIIIddI001ddIz令0-5 -5 主慣性軸、主慣性矩、形心主慣性矩主慣性軸、主慣性矩、形心主慣性矩482200minmax)2(2zyyzyzyzIIIIIIIyzzyIIItg22001ddIz022cos22sin220000yzzyyzIIII可求得可求得 和和 兩個角度，從而確定兩根軸兩個角度，從而確定兩根軸y0,，z0。0900由yzzyIIItg220求出 代入轉(zhuǎn)軸公式可得：002cos,2sin000yzI且492 2、主慣性矩（主矩）：、主慣性矩（主矩）： 圖形對主軸的慣性矩圖形對主軸的慣性矩Iz0、Iy0 稱稱為主慣性矩為主慣性矩，主慣性矩為圖形對，主慣性矩為圖形對過該點的所有軸的慣性矩中的最大和最小值。過該點的所有軸的慣性矩中的最大和最小值。3 3、形心主慣性軸（形心主軸）：、形心主慣性軸（形心主軸）： 如果圖形的兩個主軸為圖形的形心軸，則此兩軸為形心主如果圖形的兩個主軸為圖形的形心軸，則此兩軸為形心主慣性軸。（慣性軸。（Izcyc= 0=