李慶揚-數(shù)值分析第五版第5章與第7章習題答案

1、第5章復(fù)習與思考題1、用高斯消去法為什么要選主元？哪些方程組可以不選主元？答：使用高斯消去法時，在消元過程中可能出現(xiàn) 的情況，這時消去法無法進行；即時主元素，但相對很小時，用其做除數(shù)，會導(dǎo)致其它元素數(shù)量級的嚴重增長和舍入誤差的擴散，最后也使得計算不準確。因此高斯消去法需要選主元，以保證計算的進行和計算的準確性。當主對角元素明顯占優(yōu)（遠大于同行或同列的元素）時，可以不用選擇主元。計算時一般選擇列主元消去法。2、高斯消去法與LU分解有什么關(guān)系？用它們解線性方程組Ax = b有何不同？A要滿足什么條件？答：高斯消去法實質(zhì)上產(chǎn)生了一個將分解為兩個三角形矩陣相乘的因式分解，其中一個為上三角矩陣U，一個為

2、下三角矩陣L。用LU分解解線性方程組可以簡化計算，減少計算量，提高計算精度。A需要滿足的條件是，順序主子式（1,2，n-1）不為零。3、楚列斯基分解與LU分解相比，有什么優(yōu)點？楚列斯基分解是LU分解的一種，當限定下三角矩陣L的對角元素為正時，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說平方根法計算穩(wěn)定？具有對稱正定系數(shù)矩陣的線性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解過程中元素的數(shù)量級不會增長，切對角元素恒為正數(shù)，因此，是一個穩(wěn)定的算法。5、什么樣的線性方程組可用追趕法求解并能保證計算穩(wěn)定？對角占優(yōu)的三對角方程組6、何謂向量范數(shù)？給出三種常用的向量范數(shù)。向量范數(shù)定義見p

3、53，符合3個運算法則。正定性齊次性三角不等式設(shè) 為向量，則三種常用的向量范數(shù)為：（第3章p53,第5章p165）7、何謂矩陣范數(shù)？何謂矩陣的算子范數(shù)？給出矩陣A = (ai j )的三種范數(shù)| A|1，| A|2，| A|，| A|1與| A|2哪個更容易計算？為什么？向量范數(shù)定義見p162，需要滿足四個條件。正定條件齊次條件三角不等式相容條件矩陣的算子范數(shù)有從定義可知，更容易計算。8、什么是矩陣的條件數(shù)？如何判斷線性方程組是病態(tài)的？答：設(shè)為非奇異陣，稱數(shù) （）為矩陣A的條件數(shù)當時，方程是病態(tài)的。9、滿足下面哪個條件可判定矩陣接近奇異？（1）矩陣行列式的值很小。（2）矩陣的范數(shù)小。（3）矩陣

4、的范數(shù)大。（4）矩陣的條件數(shù)小。（5）矩陣的元素絕對值小。接近奇異陣的有（1）、（2）注：矩陣的條件數(shù)小說明A是良態(tài)矩陣。矩陣的元素絕對值小，不能說明行列式的值小等。10、判斷下列命題是否正確：（1）只要矩陣A非奇異，則用順序消去法或直接LU分解可求得線性方程組Ax = b的解。 答：錯誤，主元位置可能為0，導(dǎo)致無法計算結(jié)果。（2）對稱正定的線性方程組總是良態(tài)的。 答：正確。（3）一個單位下三角矩陣的逆仍為單位下三角矩陣。 答：正確。（4）如果A非奇異，則Ax = b的解的個數(shù)是由右端向量b的決定的。 答：正確。解釋：若A|b與A的秩相同，則A有唯一解。若不同，則A無解。（5）如果三對角矩陣的

5、主對角元素上有零元素，則矩陣必奇異。 （6）范數(shù)為零的矩陣一定是零矩陣。 答：正確。（7）奇異矩陣的范數(shù)一定是零。 答：錯誤， 可以不為0。（8）如果矩陣對稱，則| A|1 = | A| 。 答：根據(jù)范數(shù)的定義，正確。（9）如果線性方程組是良態(tài)的，則高斯消去法可以不選主元。 答：錯誤，不選主元時，可能除數(shù)為0。（10）在求解非奇異性線性方程組時，即使系數(shù)矩陣病態(tài)，用列主元消去法產(chǎn)生的誤差也很小。 答：錯誤。對于病態(tài)方程組，選主元對誤差的降低沒有影響。（11）| A |1 = | AT | 。答：根據(jù)范數(shù)的定義，正確。（12）若A是n ´ n的非奇異矩陣，則。答：正確。A是n 

6、0; n的非奇異矩陣，則A存在逆矩陣。根據(jù)條件數(shù)的定義有：習題1、設(shè)A是對稱陣且，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為，證明是對稱矩陣。證明：設(shè)對稱矩陣 ，則經(jīng)過1次高斯校區(qū)法后，有所以 所以A2為對稱矩陣。2、設(shè)A是對稱正定矩陣，經(jīng)過高斯消去法一步后，A約化為，其中，；證明：（1）A的對角元素；（2）是對稱正定矩陣；（1）依次取，則因為A是對稱正定矩陣，所以有。（2）中的元素滿足，又因為A是對稱正定矩陣，滿足，所以，即是對稱矩陣。3、設(shè)為指標為的初等下三角矩陣（除第列對角元以下元素外，和單位陣 相同），即 求證當時， 也是一個指標為k的初等下三角矩陣，其中為初等置換矩陣。4、試推導(dǎo)矩陣 的Crou

7、t分解A=LU的計算公式，其中L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣。本題不推導(dǎo)。參見書上例題。P147頁。5、設(shè) ，其中為三角矩陣。（1）就U為上及下三角矩陣推導(dǎo)一般的求解公式，并寫出算法（2）計算解三角方程組的乘除法次數(shù)（3）設(shè)為非奇異矩陣，試推導(dǎo)求的計算公式本題考查求解公式的一般方法，可從第n個元素開始，逐步計算n-1,1時對應(yīng)的求解公式。解法，略。6、證明：（1）如果是對稱正定矩陣，則也是對稱正定矩陣（2）如果是對稱正定矩陣，則可以唯一地寫成，其中是具有正對角元的下三角矩陣均是對稱正定矩陣的性質(zhì)。應(yīng)予以記住。7、用列主元消去法解線性方程組 并求出系數(shù)矩陣A的行列式的值 使用列主元消去法，有

8、A的行列式為-66方程組的解為X1=1,x2=2,x3=38、用直接三角分解（Doolittle分解）求線性方程組的解本題考查LU分解。解：9、用追趕法解三對角方程組，其中，。解：追趕法實際為LU分解的特殊形式。設(shè)U為、單位上三角矩陣。有（1）計算的遞推公式（2）解Ly=f（3）解UX=y10、用改進的平方根法解方程組。本題明確要求使用平方根法進行求解。實際考查的LDU分解。見P157。11、下列矩陣能否分解為（其中L為單位下三角陣，U為上三角陣）？若能分解，那么分解是否唯一。，。LU分解存在的條件一個可逆矩陣可以進行LU分解當且僅當它的所有子式都非零。如果要求其中的L矩陣（或U矩陣）為單位三

9、角矩陣，那么分解是唯一的。同理可知，矩陣的LDU可分解條件也相同，并且總是唯一的。即使矩陣不可逆，LU仍然可能存在。實際上，如果一個秩為k的矩陣的前k個順序主子式不為零，那么它就可以進行LU分解，但反之則不然。解：因為A的一、二、三階順序主子式分別為1，0，-10，所以A不能直接分解為三角陣的乘積，但換行后可以。因為B的一、二、三階順序主子式分別為1，0，0，所以B不能分解為三角陣的乘積。因為C的一、二、三階順序主子式分別為1，5，1，所以C能夠分解為三角陣的乘積，并且分解是唯一的。12、設(shè)，計算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2-范數(shù)及F-范數(shù)。本題考查的是矩陣范數(shù)的定義及求法行范數(shù)0.6+0.5=1.

10、1列范數(shù)0.5+0.3=0.82-范數(shù)的計算需要用到特征值，特征值的計算可以使用冪法進行計算，也可以直接求。的最大特征值為0.3690所以2-范數(shù)為0.6074F-范數(shù)0.842613、求證：（a）；（b）。根據(jù)定義求證。14、設(shè)且非奇異，又設(shè)為上一向量范數(shù)，定義。試證明是上向量的一種范數(shù)。根據(jù)向量范數(shù)的定義來證明：要求就有正定性，齊次性，三角不等式等性質(zhì)。顯然，、，從而是上向量的一種范數(shù)。15、設(shè)為對稱正定，定義，試證明是上向量的一種范數(shù)。根據(jù)向量范數(shù)的定義來證明：要求就有正定性，齊次性，三角不等式等性質(zhì)。顯然，16、設(shè)A為非奇異矩陣，求證。因為，所以得證17、矩陣第一行乘以一數(shù)，成為，證明

11、當時，有最小值。本題考查條件數(shù)的計算首先計算A的逆陣，當，取得最小值為2，當取值越大，則最小值為2從而，又當時，。當時，。綜上所述，時最小，這時，即。18、設(shè)，計算A的條件數(shù)由可知，從而，由，由，可得，從而。，從而。19、證明：如果是正交矩陣，則 若A是正交陣，則，從而，故，。20、設(shè)，且為上矩陣的算子范數(shù)，證明： 21、設(shè)，其中為非奇異矩陣，證明：（1）為對稱正定矩陣；（2），所以為對稱正定矩陣。由于為對稱正定矩陣，所以則第7章復(fù)習與思考題1.什么是方程的有根區(qū)間？它與求根有何關(guān)系？P213，若 且，根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知在內(nèi)至少有一個實根，這時稱為的有根區(qū)間。2.什么是二分法？用二分法求 的

12、根，要滿足什么條件？P213一般地，對于函數(shù)如果存在實數(shù)c,當x=c時，若,那么把x=c叫做函數(shù)的零點。解方程即要求的所有零點。假定在區(qū)間（x，y）上連續(xù)，先找到a、b屬于區(qū)間（x，y），使，說明在區(qū)間(a,b)內(nèi)一定有零點，然后求,現(xiàn)在假設(shè) 果，該點就是零點，如果,則在區(qū)間內(nèi)有零點，從開始繼續(xù)使用中點函數(shù)值判斷。 如果，則在區(qū)間內(nèi)有零點，從開始繼續(xù)使用中點函數(shù)值判斷。 這樣就可以不斷接近零點。通過每次把f(x)的零點所在小區(qū)間收縮一半的方法，使區(qū)間的兩個端點逐步迫近函數(shù)的零點，以求得零點的近似值，這種方法叫做二分法。 從以上可以看出，每次運算后，區(qū)間長度減少一半，是線形收斂。3.什么是函數(shù)

13、的不動點？如何確定使它的不動點等價于的零點P215.將方程改寫成等價的形式，若要求滿足，則；反之亦然，稱為函數(shù)的一個不動點。4.什么是不動點迭代法？滿足什么條件才能保證不動點存在和不動點迭代序列收斂于的不動點P215求的零點就等價于求的不動點，選擇一個初始近似值，將它代入的右端，可求得，如此反復(fù)迭代有，稱為迭代函數(shù)，如果對任何，由得到的序列有極限 ，則稱迭代方程收斂，且為的不動點，故稱為不動點迭代法。5.什么是迭代法的收斂階？如何衡量迭代法收斂的快慢？如何確定 的收斂階P219設(shè)迭代過程收斂于的根，如果當 時，迭代誤差 滿足漸近關(guān)系式 則稱該迭代過程是p階收斂的，特別點，當p=1時稱為線性收斂

14、，P>1時稱為超線性收斂，p=2時稱為平方收斂。以收斂階的大小衡量收斂速度的快慢。6.什么是求解的牛頓法？它是否總是收斂的？若，是單根，是光滑，證明牛頓法是局部二階收斂的。牛頓法：當時收斂。7.什么是弦截法？試從收斂階及每步迭代計算量與牛頓法比較其差別。在牛頓法的基礎(chǔ)上使用2點的的斜率代替一點的倒數(shù)求法。就是弦截法。收斂階弦截法1.618小于牛頓法2計算量弦截法<牛頓法（減少了倒數(shù)的計算量）8.什么是解方程的拋物線法？在求多項式全部零點中是否優(yōu)于牛頓法？P229設(shè)已知方程的三個近似根， ，以這三點為節(jié)點構(gòu)造二次插值多項式p（x），并適當選取p2（x）的一個零點作為新近似根，這樣確定

15、的迭代過程稱為拋物線法。拋物線法的收斂階1.840大于弦截法1.618，小于牛頓法2可用于所想是的實根和復(fù)根的求解。9.什么是方程的重根？重根對牛頓法收斂階有何影響？試給出具有二階收斂的計算重根方法。10.什么是求解n維非線性方程組的牛頓法？它每步迭代要調(diào)用多少次標量函數(shù)（計算偏導(dǎo)數(shù)與計算函數(shù)值相當）11.判斷下列命題是否正確：（1）非線性方程（或方程組）的解通常不唯一（正確）（2）牛頓法是不動點迭代的一個特例（正確）（3）不動點迭代法總是線性收斂的（錯誤）（4）任何迭代法的收斂階都不可能高于牛頓法（正確）（5）求多項式 的零點問題一定是病態(tài)的問題（錯誤）（7）二分法與牛頓法一樣都可推廣到多維

16、方程組求解（錯誤）（8）牛頓法有可能不收斂（正確）（9）不動點迭代法，其中，若 則對任意處置x0迭代都收斂。（對）（10）弦截法也是不動點迭代法的特例（正確）習題1、用二分法求方程的正根，要求誤差。解令，則，所以有根區(qū)間為；又因為，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；，所以有根區(qū)間為；取，這時它與精確解的距離。2. 為求方程在附近的一個根，設(shè)將方程改寫成下列等價形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：1），迭代公式；2），迭代公式；3），迭代公式；試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似值。解1）設(shè)，則，從而，所以迭代方法局部收斂。2）設(shè)，則，

17、從而，所以迭代方法局部收斂。3）設(shè)，則，從而，所以迭代方法發(fā)散。4）設(shè)，則，從而，所以迭代方法發(fā)散。3. 比較求的根到三位小數(shù)所需的計算量：1）在區(qū)間內(nèi)用二分法； 2）用迭代法，取初值。解1）使用二分法，令，則，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；，有根區(qū)間為；從而，共二分10次。2）使用迭代法，則，即，共迭代4次。4. 給定函數(shù)，設(shè)對一切x，存在且，證明對于范圍內(nèi)的任意定數(shù)，迭代過程均收斂于的根。證明由可知，令，則，又因為，所以，即，從而迭代格式收斂。5.用斯特芬森迭代法計算第2題中（2）和

18、（3）的近似根，精確到。斯特芬森迭代法是一種加速的方法。是埃特金加速方法與不動點迭代結(jié)合。6.設(shè) ，試確定函數(shù)和，使求解且以為迭代函數(shù)的迭代法至少三階收斂。7. 用下列方法求在附近的根。根的準確值，要求計算結(jié)果準確到四位有效數(shù)字。（1）牛頓法（2）弦截法，?。?）拋物線法，取解1），迭代停止。2），迭代停止。3），其中，故，下略。8. 分別用二分法和牛頓法求的最小正根。解：0是函數(shù)的一個根，0時，x單調(diào)遞增，tanx單調(diào)遞減，趨于負無窮。在此區(qū)間內(nèi)，函數(shù)沒有根。所以，最小正根大于.當x接近且大于時，函數(shù)值為正，當x接近且大于時，函數(shù)值為負。因此，最小正根區(qū)間為（,）,選擇x1=2,函數(shù)值為-0.185<0,選擇x2=4.6，函數(shù)值為4.260>0按二分法計算，略，。按牛頓迭代法，其迭代公式為，取初始值x=4.6，得9. 研究求的牛頓公式，證明對一切，且序列是遞減的。證：顯然，又因為，所以，又，所以序列是遞減的。10. 對于的牛頓公式，證明收斂到，這里為的根。證：11. 用牛頓法（4.13）和求重根迭代法（4.14）計算方程 的一個近似根，準確到 ，初始值 。牛頓法（4.13），m=2。需要計算到，取。求重根迭代