043初等函數(shù)連續(xù)性

1、§3初等函數(shù)連續(xù)性（一）教學(xué)目的：了解指數(shù)函數(shù)的定義，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性.（二）教學(xué)內(nèi)容：指數(shù)函數(shù)的定義；初等函數(shù)的連續(xù)性.基本要求：（1）掌握初等函數(shù)的連續(xù)性.（2）掌握指數(shù)函數(shù)的嚴(yán)格定義.（三）教學(xué)建議：（1）本節(jié)的重點是初等函數(shù)的連續(xù)性.要求學(xué)生會用初等函數(shù)的連續(xù)性計算極限.（2）本節(jié)的難點是理解和掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).從前面兩節(jié)知道基本初等函數(shù)中：常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)，以及有理指數(shù)哥函數(shù)，都是定義域上的連續(xù)函數(shù).本節(jié)將討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與實指數(shù)哥函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性，以及初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性。一指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性在第一章中，我們已定義了實指數(shù)的乘哥，并證

2、明了指數(shù)函數(shù)y=ax(0<a#1)在R上是嚴(yán)格單調(diào)的.下面先把關(guān)于有理指數(shù)哥的一個重要性質(zhì)推廣到指數(shù)哥，然后證明指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性。先回憶一下指數(shù)的定義和相應(yīng)的結(jié)論：在中學(xué)講過ar,r=9為有理數(shù)情況的定義：ar=aq/p=?aqP和指數(shù)的運算性質(zhì)：ri2ri12/A2rir2a-a=a,(a)=a(1)第一章給出了ax,x為無理數(shù)時的定義，這樣，對任意實數(shù)x,ax,a>0都有了定義：ax=supar|r為有理數(shù)r:：x卜面的定理就自然要問：對于指數(shù)為一般實數(shù)的情況，運算性質(zhì)（1）是否還成立呢?回答了這個問題。定理4.10設(shè)a>0,口，P為任意實數(shù)，則有_ot_P_orfz_o

3、txP_aa=a（a）=a證明定理之前先回顧一下，第一章講過的幾個結(jié)論：1） ax,a>1時是嚴(yán)格遞增的；ax,a<1是嚴(yán)格遞減的。2）確界的定義：a=supA：i） Vx=A,x<a（是上界）；ii） VwA0,三XwA,使得X>a（是最小上界）定理的證明不妨設(shè)a>1,先證a%P<ar4s由指數(shù)的定義a-二supar|r為有理數(shù)r：?Supar|r為有理數(shù)由上確界的定義，V&>0,3r<a,使得三s<B，使得a'：,aPa-：a:二a二'a(a).：、rs):aa二（a"名）（a°町<a,

4、as=ar4s,（r,s有理數(shù)，ar，as=a,'）因為r+s<a+P,由剛才回顧的結(jié)論：ax,aa1時是嚴(yán)格遞增的二由名的任意性;a0a<ar4s再相反的不等式:.rsaa-a2*=supap|p為有理數(shù)p=3p<a+P,使得aa#:二ap記d=u+B-p,由有理數(shù)的稠密性，存在有理數(shù)r,s,使得re(a-d/2,a),sw(P-d/2,P)rs卜-d/2+：-d/2=：-d=pp.plsrs-(a-；)二aa-a:二aa二a-a由名的任意性naa4<aa4定理4.11指數(shù)函數(shù)ax(a>0)在r上是連續(xù)的.證明先設(shè)a>1.有第三章§2例4

5、知limax=1=a0,x0這表明ax在x=0連續(xù).現(xiàn)任取x0wR.由定理4.10得ax=ax01)=a'x-x0a0令t=x-X0,則當(dāng)XTX0時有tT0,從而有l(wèi)imax=limaX）a（X0）=axlimat=a".XJX0XJX0t10這證明了aX在任一點x0處連續(xù).1V1VV當(dāng)0<a<1時，令b=一,則有bA1,而aX=（-）X=bab可看作函數(shù)bu與u=-x的復(fù)合，所以此時aX亦在R上連續(xù)?？诶弥笖?shù)函數(shù)aX的連續(xù)性，以及第三章§5例4中已證明的XXlima=0,lima=0（a>1）,X.-：.X）二.可知aX的值域為（0,+8）（0

6、<a<1時也是如此）.于是aX的反函數(shù)一對數(shù)函數(shù)logaX在其定義域（0,十瓷）內(nèi)也連續(xù).例1設(shè)limu(x)=a,limv(x)=b.證明limu(x)v(x)=ab.Xx0xx0x%證明補充定義u(x0)=a,v(x0)=b，則u(x),v(x)在點x0連續(xù)，從而知v(x)ln(u(x)在x0連續(xù)，所以u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)在x0連續(xù).由此得v(x)v(x)lnu(x)blnablimu(x)=limeeax一汽x%二初等函數(shù)的連續(xù)性y=x在其定.因此我由于哥函數(shù)x"（口為實數(shù)）可表為xa=eanx,它是函數(shù)eu與u=口lnx的復(fù)合,故有指數(shù)函數(shù)與對

7、數(shù)函數(shù)的連續(xù)性以及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，推得哥函數(shù)義域（0,8）上連續(xù)。前面已經(jīng)指出，常函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)都是定義域上的連續(xù)函數(shù)們有下述定定理4.12一切基本初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù)由于任何初等函數(shù)都是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算與復(fù)合運算所得到所以有定理4.13任何初等函數(shù)都是定義域上的連續(xù)性函數(shù).ln(1x)例1求lim-xQx解lim1n(1.x)=limln(1+x)1/x利用對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，x0xx0limln(1x)1/x=lnlim(1x)1/x=lne=1小生ln(1x2)例2求lim-x)0cosx2、解由于x=0是初等函數(shù)1n(1.x)定義域內(nèi)的點,利用初等函數(shù)連續(xù)性,cosxlim1nXKJnLU。x0cosxcos0解=吧(°+tgx產(chǎn)xsecx=(吧(I+tgx產(chǎn)x*secx=e1=