第四章時(shí)變電磁場(chǎng)

1、第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波1第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波2 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 4.1 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 4.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)電磁場(chǎng)的位函數(shù) 4.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 4.4 惟一性定理惟一性定理 4.5 時(shí)諧電磁場(chǎng)時(shí)諧電磁場(chǎng)第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波34.1 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 在無(wú)源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無(wú)損耗的均勻媒在無(wú)源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性且無(wú)損耗的均勻媒質(zhì)，則有質(zhì)，則有 無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程無(wú)源區(qū)的波動(dòng)方程 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 二二階矢量微分方程，階矢量微分方程，揭示電磁場(chǎng)的波動(dòng)性。揭示電磁場(chǎng)的波動(dòng)性。 麥克斯

2、韋方程麥克斯韋方程 一階矢量微分方程組，描述電場(chǎng)與磁場(chǎng)一階矢量微分方程組，描述電場(chǎng)與磁場(chǎng) 間的相互作用關(guān)系。間的相互作用關(guān)系。 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 波動(dòng)方程。波動(dòng)方程。 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出0222tHH0222tEE電磁波動(dòng)方程電磁波動(dòng)方程第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波40222tHH0222tEE22)(tHHH2)(tEH00HtHtH同理可得同理可得 推證推證 問(wèn)題問(wèn)題 若為有源空間，結(jié)果如何？若為有源空間，結(jié)果如何？ 若為導(dǎo)電媒質(zhì)，結(jié)果如何？若為導(dǎo)電媒質(zhì)，結(jié)果如何？第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波54.2 電磁場(chǎng)的位函數(shù)電磁場(chǎng)的位函數(shù) 討論內(nèi)容討論內(nèi)容

3、 位函數(shù)的性質(zhì)位函數(shù)的性質(zhì) 位函數(shù)的定義位函數(shù)的定義 位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的規(guī)范條件 位函數(shù)的微分方程位函數(shù)的微分方程第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波6引入位函數(shù)來(lái)描述時(shí)變電磁場(chǎng)，使一些問(wèn)題的分析得到簡(jiǎn)化。引入位函數(shù)來(lái)描述時(shí)變電磁場(chǎng)，使一些問(wèn)題的分析得到簡(jiǎn)化。 引入位函數(shù)的意義引入位函數(shù)的意義 位函數(shù)的定義位函數(shù)的定義0)(tA0 BABtBtAE第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波7 位函數(shù)的不確定性位函數(shù)的不確定性()()()AAAAAAtttt ）、（A 滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù) 和和 能描述同能描述同一個(gè)電磁場(chǎng)問(wèn)題。一個(gè)電磁場(chǎng)問(wèn)題。）、

4、（AAAt 即即也就是說(shuō)，對(duì)一給定的電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來(lái)描述。也就是說(shuō)，對(duì)一給定的電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來(lái)描述。 不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換。不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換。A 原因原因：未規(guī)定：未規(guī)定 的散度。的散度。為任意可微函數(shù)為任意可微函數(shù)第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波8除了利用洛侖茲條件外，另一種常用的是庫(kù)侖條件，即除了利用洛侖茲條件外，另一種常用的是庫(kù)侖條件，即 在電磁理論中，通常采用洛侖茲條件，即在電磁理論中，通常采用洛侖茲條件，即 位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的規(guī)范條件0 A0tA 造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒(méi)有規(guī)定造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒(méi)

5、有規(guī)定 的散度。利用的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過(guò)規(guī)定位函數(shù)的不確定性，可通過(guò)規(guī)定 的散度使位函數(shù)滿足的方程得的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡(jiǎn)化。以簡(jiǎn)化。AA第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波9tDJH)(tAtJA)(222tAJtAAtEJBJtAA222 位函數(shù)的微分方程位函數(shù)的微分方程BHEDtAEABAAA2)(0tA第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波10 D)(tA222t同樣同樣tAEED、0tA第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波11222t 說(shuō)明說(shuō)明JtAA222 若應(yīng)用庫(kù)侖條件，位函數(shù)滿足什么樣的方程若應(yīng)用庫(kù)侖條件，位函數(shù)滿足什么樣的方程? 具有什

6、么特點(diǎn)具有什么特點(diǎn)? 問(wèn)題問(wèn)題 應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)：應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)： 位函數(shù)滿足的方程在形式上是對(duì)稱位函數(shù)滿足的方程在形式上是對(duì)稱 的，且比較簡(jiǎn)單，易求解；的，且比較簡(jiǎn)單，易求解； 解的物理意義非常清楚，明確地解的物理意義非常清楚，明確地 反映出電磁場(chǎng)具有有限的傳遞速度；反映出電磁場(chǎng)具有有限的傳遞速度； 矢量位只決定于矢量位只決定于J，標(biāo)，標(biāo) 量位只決定于量位只決定于，這對(duì)求解方程特別有利。只需解出這對(duì)求解方程特別有利。只需解出A，無(wú)需，無(wú)需 解出解出 就可得到待求的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。就可得到待求的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。 電磁位函數(shù)只是簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)電磁位函數(shù)只是簡(jiǎn)化時(shí)變電磁

7、場(chǎng)分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng) 用不同的規(guī)范條件，矢量位用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位和標(biāo)量位 的解也不相同，但最終的解也不相同，但最終 得到的電磁場(chǎng)矢量是相同的。得到的電磁場(chǎng)矢量是相同的。第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波124.3 電磁能量守恒定律電磁能量守恒定律 討論內(nèi)容討論內(nèi)容 坡印廷定理坡印廷定理 電磁能量及守恒關(guān)系電磁能量及守恒關(guān)系 坡印廷矢量坡印廷矢量第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波13 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V的能量體積的能量體積V內(nèi)增加的能量體積內(nèi)增加的能量體積V內(nèi)損耗的能量?jī)?nèi)損耗的能量電場(chǎng)能量密度電場(chǎng)能量密度：e12w E D磁場(chǎng)能量密度磁場(chǎng)能量密度：m12w

8、 H B電磁能量密度電磁能量密度：em1122wwwE DH B 空間區(qū)域空間區(qū)域V中的電磁能量中的電磁能量：11d()d22VVWw VE DH BV 特點(diǎn)特點(diǎn)：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨：當(dāng)場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場(chǎng)能量密度也要隨 時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng)。時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng)。 電磁能量守恒關(guān)系：電磁能量守恒關(guān)系： 電磁能量及守恒關(guān)系電磁能量及守恒關(guān)系ddWtVS第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波14其中其中： 單位時(shí)間內(nèi)體積單位時(shí)間內(nèi)體積V 中所增加中所增加 的電磁能量。的電磁能量。 單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)對(duì)體積V中的電流

9、所做的功；中的電流所做的功； 在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率。內(nèi)總的損耗功率。 通過(guò)曲面通過(guò)曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V 的電磁功率。的電磁功率。 表征電磁能量守恒關(guān)系的定理表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式積分形式：VVSVJEVBHDEtSHEdd)2121(ddd)(VVJEdVVBHDEtd)2121(ddSSHEd)(JEBHDEtHE)2121()( 坡坡印廷定理印廷定理微分形式微分形式：第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波15在線性和各向同性的媒質(zhì)中，當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí)，則有在線性和各向同性的媒質(zhì)中，當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí)，則有將以上兩式相減

10、，得到將以上兩式相減，得到由由tBtDJHtBHHtDJHtBHtDJHH)21()(21DttttD)21()(21BHttHHtHHtBH 推證推證第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波16即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式：)(HHHJBHDtH)2121()(在任意閉曲面在任意閉曲面S 所包圍的體積所包圍的體積V上，對(duì)上式兩端積分，并應(yīng)用散上，對(duì)上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式VVSVJEVBHDEtSHEdd)2121(ddd)( 物理意義：物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，通

11、過(guò)曲面單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)曲面S 進(jìn)入體積進(jìn)入體積V的電磁能量等于的電磁能量等于 體積體積V 中所增加的電磁場(chǎng)能量與損耗的能量之和。中所增加的電磁場(chǎng)能量與損耗的能量之和。第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波17 定義：定義： ( W/m2 )HS 物理意義物理意義： 的方向的方向 電磁能量傳輸?shù)姆较螂姶拍芰總鬏數(shù)姆较騍 的大小的大小 通過(guò)垂直于能量傳輸方通過(guò)垂直于能量傳輸方 向的單位面積的電磁功率向的單位面積的電磁功率S 描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量 坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）坡印廷矢量（電磁能流密度矢量） H S 能能流流密密

12、度度矢矢量量 E O第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波18 例例4.3.1 同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a 、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U ，導(dǎo)體中流過(guò)的電，導(dǎo)體中流過(guò)的電流為流為I 。（。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)模┰趯?dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)墓β?；（功率；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)體表面為有限值時(shí)，計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線同軸線第第 4 章章

13、電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波19 解：解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場(chǎng)無(wú)切向分在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場(chǎng)無(wú)切向分量，只有電場(chǎng)的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易量，只有電場(chǎng)的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為,ln()UEeb a()ab2IHe2 ()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量?jī)?nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢

14、量第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波20電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng)，即由電源流向電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng)，即由電源流向負(fù)載，如圖所示。負(fù)載，如圖所示。2d2 d2ln()bzSaUIPS eSUIb a 穿過(guò)任意橫截面的功率為穿過(guò)任意橫截面的功率為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）（理想導(dǎo)體情況）第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波21 （2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場(chǎng)向的電場(chǎng)內(nèi)內(nèi)2zJIEea根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)

15、的切向分量連續(xù)，即根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場(chǎng)為因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場(chǎng)為zzEE外 內(nèi)2ln()zaUIEeeab aa外2aIHea外磁場(chǎng)則仍為磁場(chǎng)則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波2222122320()d2 d2SaIIPSSa zRIaa e外21Ra式中式中 是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見(jiàn)，進(jìn)入內(nèi)

16、導(dǎo)是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見(jiàn)，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。由此可見(jiàn)，內(nèi)導(dǎo)體表面外由此可見(jiàn)，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如分量，也有徑向分量，如圖所示。圖所示。進(jìn)入每單位長(zhǎng)度進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率為內(nèi)導(dǎo)體的功率為 以上分析表明電磁能量是由電磁場(chǎng)傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向以上分析表明電磁能量是由電磁場(chǎng)傳輸?shù)?，?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時(shí)，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。的功率全部

17、被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）（非理想導(dǎo)體情況）第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波234. 4 惟一性定理惟一性定理 在以閉曲面在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域?yàn)檫吔绲挠薪鐓^(qū)域V 內(nèi)，內(nèi)，如果給定如果給定t0 時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的初始值，并且在的初始值，并且在 t 0 時(shí)，給定邊界面時(shí)，給定邊界面S上的電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量，那么，在上的電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量或磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量，那么，在 t 0 時(shí)，區(qū)域時(shí)，區(qū)域V 內(nèi)的電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程惟一地確定。內(nèi)

18、的電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程惟一地確定。 惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界區(qū)域的時(shí)變電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，常常需要在給定的初在分析有界區(qū)域的時(shí)變電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問(wèn)題?？怂鬼f方程的解的惟一問(wèn)題。 惟一性問(wèn)題惟一性問(wèn)題VS第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波24 惟一性定理的證明惟一性定理的證明 利用反證法對(duì)惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域利

19、用反證法對(duì)惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域內(nèi)的解不是惟內(nèi)的解不是惟一的，那么至少存在兩組解一的，那么至少存在兩組解 、 和和 、 滿足同樣的麥克斯韋滿足同樣的麥克斯韋方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。1E2H2E1H000EHEt00HEt0()0H0()0E則在區(qū)域則在區(qū)域V 內(nèi)內(nèi) 和和 的初始值為零；在邊界面的初始值為零；在邊界面S 上電場(chǎng)強(qiáng)度上電場(chǎng)強(qiáng)度 的的切向分量為零或磁場(chǎng)強(qiáng)度切向分量為零或磁場(chǎng)強(qiáng)度 的切向分量為零，且的切向分量為零，且 和和 滿足麥滿足麥克斯韋方程克斯韋方程0E0H0E0H0E0H012EEE012HHH令令第第 4 章章電磁場(chǎng)與

20、電磁波電磁場(chǎng)與電磁波25根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有222000d11()dd0d22VVHEVEVt所以所以由于場(chǎng)的初始值為零，將上式兩邊對(duì)由于場(chǎng)的初始值為零，將上式兩邊對(duì) t 積分，可得積分，可得222000011()d(d)d022tVVHEVEVt 00nn000n0()()()0SSSEHeeEHHeE根據(jù)根據(jù) 和和 的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為0E0HVVSVEVEHtSeHEdd)2121(ddd)(202020n00第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波2600,E 00H 12,EE12HH上式中兩項(xiàng)積分的被積函數(shù)均為非負(fù)的

21、，要使得積分為零，必有上式中兩項(xiàng)積分的被積函數(shù)均為非負(fù)的，要使得積分為零，必有（證畢）（證畢）即即 惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場(chǎng)惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場(chǎng) 問(wèn)題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的問(wèn)題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的 應(yīng)用。應(yīng)用。 第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波274. 5 時(shí)諧電磁場(chǎng)時(shí)諧電磁場(chǎng) 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù) 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 平均能流密度矢量平

22、均能流密度矢量第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波28 時(shí)諧電磁場(chǎng)的概念時(shí)諧電磁場(chǎng)的概念 如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦）變化，如果場(chǎng)源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一則所產(chǎn)生電磁場(chǎng)也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng)，稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦電磁場(chǎng)。定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場(chǎng)，稱為時(shí)諧電磁場(chǎng)或正弦電磁場(chǎng)。 研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義研究時(shí)諧電磁場(chǎng)具有重要意義 在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)。廣播、電視和通信廣播、電視和通信 的載波等都

23、是時(shí)諧電磁場(chǎng)。的載波等都是時(shí)諧電磁場(chǎng)。 任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過(guò)傅里葉分析方法展開(kāi)為不任意的時(shí)變場(chǎng)在一定的條件下可通過(guò)傅里葉分析方法展開(kāi)為不 同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。同頻率的時(shí)諧場(chǎng)的疊加。4.5.1 時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波29 時(shí)諧電磁場(chǎng)可用復(fù)數(shù)方法來(lái)表示，使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)時(shí)諧電磁場(chǎng)可用復(fù)數(shù)方法來(lái)表示，使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場(chǎng)問(wèn)題的分析得以簡(jiǎn)化。題的分析得以簡(jiǎn)化。 設(shè)設(shè) 是一個(gè)以角頻率是一個(gè)以角頻率 隨時(shí)間隨時(shí)間t t 作正弦變化的場(chǎng)量，它作正弦變化的場(chǎng)量，它可以是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，可以是電場(chǎng)

24、和磁場(chǎng)的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成( , )A r t 0( , )cos( )A r tAtrj( )j0( , )ReeRe ( )etrtA r tAA r其中其中j ( )0( )erA rA時(shí)間因子時(shí)間因子空間相位因子空間相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的式中的A0為振幅、為振幅、 為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。( )r 實(shí)數(shù)表示法或?qū)崝?shù)表示法或瞬時(shí)表示法瞬時(shí)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅復(fù)振幅 時(shí)諧電磁場(chǎng)的時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)表示第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波30 復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)

25、表示方式，不代表真實(shí)的場(chǎng)。復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場(chǎng)。照此法，矢量場(chǎng)的各分量照此法，矢量場(chǎng)的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示成）可表示成 j( )jm( , )Re( )eReeitrtiiiE r tE rEjm( , )Re( )etE r tErj( )j( )j( )mmmm( )( )e( )e( )eyxzrrrxxyyzzEre Ere Ere Er各分量合成以后，電場(chǎng)強(qiáng)度為各分量合成以后，電場(chǎng)強(qiáng)度為 有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說(shuō)明有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說(shuō)明復(fù)矢量復(fù)矢量 真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式。真實(shí)場(chǎng)是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式。 由于時(shí)間因子是默

26、認(rèn)的，有時(shí)它不用寫(xiě)出來(lái)，只用與坐標(biāo)有由于時(shí)間因子是默認(rèn)的，有時(shí)它不用寫(xiě)出來(lái)，只用與坐標(biāo)有 關(guān)的部分就可表示復(fù)矢量。關(guān)的部分就可表示復(fù)矢量。第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波31 例例4.5.1 將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫(xiě)為復(fù)數(shù)形式將下列場(chǎng)矢量的瞬時(shí)值形式寫(xiě)為復(fù)數(shù)形式mm( , )cos()sin()xxxyyyE z te Etkze Etkz（2）mm( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta解：解：（1）由于）由于mm( , )cos()cos()2xxxyyyE z te Etkze Etkzj(/2)j()

27、mmReeeyxt kzt kzxxyye Ee Ej(/2)j()mmm( )eeyxkzkzxxyyEze Ee Ejjjmm(eje)eyxkzxxyye Ee E（1）所以所以第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波32（2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?cos()cos()kzttkzsin()cos()cos()22kztkzttkzjj 2jmmm( , )( )sin()ecos()ekzkzxzaxxHx ze H ke Haa故故 mm( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta所以所以 mm()sin()cos()2c

28、os()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波33 例例4.5.2 已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量mm( )jcos()xxzEze Ek z解解jmj()2m( , )Rejcos()eRecos()etxxztxxzE z te Ek ze Ek zmcos()cos()2xxze Ek zt其中其中kz和和Exm為實(shí)常數(shù)。寫(xiě)出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量為實(shí)常數(shù)。寫(xiě)出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量mcos()sin()xxze Ek zt 第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波34以電場(chǎng)旋度方程以電場(chǎng)旋度方程 為例，代入相應(yīng)場(chǎng)量的矢量，可得為例

29、，代入相應(yīng)場(chǎng)量的矢量，可得tBEjjmmRe(e)Re(e)ttEBt jjjmmmRe(e)Re(e)RejetttEBBt mmjEB t Re 將將 、 與與 交換次序，得交換次序，得上式對(duì)任意上式對(duì)任意 t 均成立。令均成立。令 t0 ，得，得4.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程復(fù)矢量的麥克斯韋方程mmReRejEB 令令t/2 ，得，得mmRejRej(j)EB mmImIm(j)EB 即即第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波35 例題例題：已知正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為：已知正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)瞬時(shí)值為),(),(),(21tzEtzEtzE8182( , )0.03sin(10 )(

30、 , )0.04 cos(10 / 3)xxEz tetkzEz tetkz式中式中888888j(10 /2)j(10 /3)j(/2)j(/3)j( , )0.03sin(10 )0.04cos(10 /3)0.03cos(10 )0.04cos(10 /3)2Re0.03eRe0.04eRe0.03e0.04eexxxxt kzt kzxxkzkzxxE z tetkzetkzetkzetkzeeee810 t 解解：（1）因?yàn)椋┮驗(yàn)閖/2j/3j( )0.03e0.04eekzxE ze故電場(chǎng)的復(fù)矢量為故電場(chǎng)的復(fù)矢量為試求：（試求：（1）電場(chǎng)的復(fù)矢量）電場(chǎng)的復(fù)矢量;（2）磁場(chǎng)的復(fù)矢量和

31、瞬時(shí)值。）磁場(chǎng)的復(fù)矢量和瞬時(shí)值。第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波36mmmmmmmmjj0HJDEBBD 0tt DHJBEBDjj0HJDEBDB 從形式上講，只要把微分算子從形式上講，只要把微分算子 用用 代替，就可以把時(shí)諧電磁代替，就可以把時(shí)諧電磁場(chǎng)的場(chǎng)量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量場(chǎng)的場(chǎng)量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程的麥克斯韋方程jtjt 略去略去“.”和下標(biāo)和下標(biāo)m第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波37（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場(chǎng)的復(fù)矢量）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場(chǎng)的復(fù)矢量00jjj32054

32、321j( )( )j0.03e0.04ee7.6 10 e1.01 10 eexykzyjjjkzyEH zE zezkee k j58( , )Re( )e7.6 10sin(10 )tyH z tH ze ktkz481.01 10cos(10 )3tkz磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波38實(shí)際的介質(zhì)都存在損耗：實(shí)際的介質(zhì)都存在損耗： 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)當(dāng)電導(dǎo)率有限時(shí)，存在歐姆損耗。當(dāng)電導(dǎo)率有限時(shí)，存在歐姆損耗。 電介質(zhì)電介質(zhì)受到極化時(shí)，存在電極化損耗。受到極化時(shí)，存在電極化損耗。 磁介質(zhì)磁介質(zhì)受到磁化時(shí)，存在磁化損耗。受到磁化時(shí)，存在磁化損耗。 損耗

33、的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時(shí)間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時(shí)間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì) 的損耗在低頻時(shí)可以忽略，但在高頻時(shí)就不能忽略。的損耗在低頻時(shí)可以忽略，但在高頻時(shí)就不能忽略。4.5.3 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 cjj(j)j HEEEE 導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)其中其中 c= j/、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。 對(duì)于介電常數(shù)為對(duì)于介電常數(shù)為 、電導(dǎo)率為、電導(dǎo)率為 的導(dǎo)電媒質(zhì)，有的導(dǎo)電媒質(zhì)，有第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波39 電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù) 同時(shí)存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)同時(shí)

34、存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)c j(+) 磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率c j 對(duì)于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有對(duì)于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有 ，稱為復(fù)介電，稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。耗。在高頻情況下，實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。 對(duì)于同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)對(duì)于同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為為c j 對(duì)于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為對(duì)于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為 ，其虛部為大于零，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。

35、的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波40 損耗角正切損耗角正切 導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對(duì)性導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對(duì)性tantan，電介質(zhì)電介質(zhì)tan，導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)磁介質(zhì)磁介質(zhì)1 弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體1 一般導(dǎo)電媒質(zhì)一般導(dǎo)電媒質(zhì)1 良導(dǎo)體良導(dǎo)體 工程上通常用損耗角正切來(lái)表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為工程上通常用損耗角正切來(lái)表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實(shí)部之比，即有復(fù)介電常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實(shí)部之比，即有 導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對(duì)性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對(duì)性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有

36、不同的導(dǎo)電性能。媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波41導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)理想介質(zhì)理想介質(zhì)4.5.4 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程 在時(shí)諧時(shí)情況下，將在時(shí)諧時(shí)情況下，將 、 ，即可得到復(fù)即可得到復(fù)矢量的波動(dòng)方程，稱為亥姆霍茲方程。矢量的波動(dòng)方程，稱為亥姆霍茲方程。222t tj 瞬時(shí)矢量瞬時(shí)矢量復(fù)矢量復(fù)矢量22222200ttEEHH222200kkEEHH()k 22222200ttttEEEHHHkcc() 22c22c00kkEEHH第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波424.5.5 時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù)時(shí)諧場(chǎng)的位函數(shù) 在時(shí)諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方

37、程都可以在時(shí)諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。表示成復(fù)數(shù)形式。t BAAE洛侖茲條件洛侖茲條件達(dá)朗貝爾方程達(dá)朗貝爾方程瞬時(shí)矢量瞬時(shí)矢量復(fù)矢量復(fù)矢量j BAEAt Aj A222222tt AAJ2222kk AAJ第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波434.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場(chǎng)量必須是實(shí)數(shù)二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場(chǎng)量必須是實(shí)數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量直接代入。形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量直接代入。00( , )cos( )( , )cos( )ttttE rE

38、rH rHr 設(shè)某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為設(shè)某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為 電磁場(chǎng)能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場(chǎng)量的平方電磁場(chǎng)能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場(chǎng)量的平方 關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。 時(shí)諧場(chǎng)中時(shí)諧場(chǎng)中二次式的表示方法二次式的表示方法第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波44則能流密度為則能流密度為 200cos( )trSEHEH如把電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示，即有如把電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示，即有j ( )0( )erE rEj ( )0( )erH rHj( )j( )jj00j2(0000Re( ee)

39、ReeeRe ecos 22 ( )trtrtttr)trSEHEHEHEHj( )j( )00200ReeReecos( )trtrtrSEHEH先取實(shí)部，再代入先取實(shí)部，再代入 第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波45使用二次式時(shí)需要注意的問(wèn)題使用二次式時(shí)需要注意的問(wèn)題 二次式只有實(shí)數(shù)的形式，沒(méi)有復(fù)數(shù)形式。二次式只有實(shí)數(shù)的形式，沒(méi)有復(fù)數(shù)形式。 場(chǎng)量是實(shí)數(shù)式時(shí)，直接代入二次式即可。場(chǎng)量是實(shí)數(shù)式時(shí)，直接代入二次式即可。 場(chǎng)量是復(fù)數(shù)式時(shí)，應(yīng)先取實(shí)部再代入，即場(chǎng)量是復(fù)數(shù)式時(shí)，應(yīng)先取實(shí)部再代入，即“先取實(shí)后相乘先取實(shí)后相乘”。 如復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量中沒(méi)有時(shí)間因子，取實(shí)前先補(bǔ)充時(shí)間因如復(fù)數(shù)形式的場(chǎng)量

40、中沒(méi)有時(shí)間因子，取實(shí)前先補(bǔ)充時(shí)間因 子。子。第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波46 二次式的時(shí)間平均值二次式的時(shí)間平均值 在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，常常要在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，常常要關(guān)心關(guān)心二次式二次式在一個(gè)時(shí)間周期在一個(gè)時(shí)間周期 T 中的中的 平均值，即平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢量av0011d()dTTtEHtTTSS平均電場(chǎng)能量密度平均電場(chǎng)能量密度eave00111dd2TTwwtE D tTT平均磁場(chǎng)能量密度平均磁場(chǎng)能量密度mavm00111dd2TTwwtH B tTT 在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，二次式在時(shí)諧電磁場(chǎng)中，二次式的時(shí)間平均值可以直接由復(fù)矢量計(jì)的時(shí)間平均值可以直接由復(fù)矢量計(jì) 算

41、，有算，有av1Re() ,2EHSmav1Re()4wH Beav1Re() ,4wE D第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波47則平均能流密度矢量為則平均能流密度矢量為 2av000000111()dcos ( )d2TTttrtTTSEHEHEH如果電場(chǎng)和磁場(chǎng)都用復(fù)數(shù)形式給出，即有如果電場(chǎng)和磁場(chǎng)都用復(fù)數(shù)形式給出，即有 j ( )0j ( )0( )e( )errE rEH rHjjavav001Re( e) Re(e)2ttSEHEH*av1Re()2SEHj ( )j ( )000011Reee22rrEHEH時(shí)間平均值與時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí)間平均值與時(shí)間無(wú)關(guān)00( , )cos( ),(

42、 , )cos( )ttttE rErH rHr 例如某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度例如某正弦電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度都用實(shí)數(shù)形式給出都用實(shí)數(shù)形式給出第第 4 章章電磁場(chǎng)與電磁波電磁場(chǎng)與電磁波48 具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場(chǎng)，也適用于其他具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場(chǎng)，也適用于其他 時(shí)變電磁場(chǎng)；而時(shí)變電磁場(chǎng)；而 只適用于時(shí)諧電磁場(chǎng)。只適用于時(shí)諧電磁場(chǎng)。 ( , ) tS rav( )Sr 在在 中，中， 和和 都是實(shí)數(shù)形式且是都是實(shí)數(shù)形式且是 時(shí)間的函數(shù)，所以時(shí)間的函數(shù)，所以 也是時(shí)間的函數(shù)，反映的是能流密度也是時(shí)間的函數(shù)，反映的是能流密度 在某一個(gè)瞬時(shí)的取值；而在某一個(gè)瞬時(shí)的

43、取值；而 中的中的 和和 都是復(fù)矢量，與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以都是復(fù)矢量，與時(shí)間無(wú)關(guān)，所以 也與時(shí)間無(wú)也與時(shí)間無(wú) 關(guān)，反映的是能流密度在一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)的平均取值。關(guān)，反映的是能流密度在一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)的平均取值。( , )( , )( , )tttS rE rH r( , ) tH r( , ) tE r( , ) tS rav1( )Re( )( )2SrE rHr( )E r( )H rav( )Srav01( )( , )dTttTSrS r 利用利用 ，可由，可由 計(jì)算計(jì)算 ，但不能直，但不能直 接由接由 計(jì)算計(jì)算 ，也就是說(shuō)，也就是說(shuō)( , ) tS rav( )Srav( )Sr( , ) tS rjav( , )Re( )ettS rSr( , ) tS rav( )Sr 關(guān)于關(guān)于 和和 的幾點(diǎn)說(shuō)明的幾點(diǎn)說(shuō)