第五章 測量誤差基礎知識

1、第五章第五章 測量誤差基礎知識測量誤差基礎知識昆明理工大學土木工程系昆明理工大學土木工程系 土土 木木 工工 程程 測測 量量通過前幾章的學習，我們掌握了角度、距離和高差通過前幾章的學習，我們掌握了角度、距離和高差的測量方法，對測量過程和結果含有誤差也有了一定的的測量方法，對測量過程和結果含有誤差也有了一定的感性認識。本章集中講述有關測量誤差的基本知識，包感性認識。本章集中講述有關測量誤差的基本知識，包括衡量精度的標準、誤差傳播定律和直接觀測平差。括衡量精度的標準、誤差傳播定律和直接觀測平差。對未知量進行測量的過程，稱為對未知量進行測量的過程，稱為觀測觀測。測量所獲得的數(shù)值稱為。測量所獲得的數(shù)

2、值稱為觀測值觀測值。進行多次測量時，觀測值之間往往存在差異。這種差異實。進行多次測量時，觀測值之間往往存在差異。這種差異實質(zhì)上表現(xiàn)為質(zhì)上表現(xiàn)為觀測值觀測值與其與其真實值真實值( (簡稱為簡稱為真值真值) )之間的差異，稱為之間的差異，稱為測量測量誤差誤差 或或 觀測誤差觀測誤差。5.1.1 5.1.1 觀測及觀測誤差觀測及觀測誤差用用L Li i代表觀測值，代表觀測值，X X代表真值，則有代表真值，則有i i=L=Li i-X-X(5-1)(5-1)式中式中i i就是就是觀測誤差觀測誤差，通常稱為，通常稱為 真誤差真誤差，簡稱誤差。，簡稱誤差。一般情況下，只要是觀測值必然含有誤差。一般情況下，

3、只要是觀測值必然含有誤差。觀測誤差來源于三個方面：觀測誤差來源于三個方面：觀測者視覺鑒別能力和技術水平；觀測者視覺鑒別能力和技術水平；儀器、工具的精密程度；儀器、工具的精密程度；觀測時外界條件的好壞。觀測時外界條件的好壞。三個方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件將影響觀測成果三個方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件將影響觀測成果的精度。觀測條件相同的各次觀測稱為的精度。觀測條件相同的各次觀測稱為等精度觀測等精度觀測；觀測條件不相；觀測條件不相同的各次觀測，稱為同的各次觀測，稱為非等精度觀測非等精度觀測。5.1.2 5.1.2 觀測誤差的來源觀測誤差的來源觀測條件觀測條件一般認為，在測量中人們總

4、希望測量誤差越小越好，甚至一般認為，在測量中人們總希望測量誤差越小越好，甚至趨近于零。趨近于零。在實際生產(chǎn)中，據(jù)不同的測量目的，允許含有一定程度的在實際生產(chǎn)中，據(jù)不同的測量目的，允許含有一定程度的誤差誤差-容許誤差容許誤差。根據(jù)性質(zhì)不同，觀測誤差可分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三根據(jù)性質(zhì)不同，觀測誤差可分為粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差三種，即種，即=1 1+2 2+3 3 (5-2)(5-2)5.1.3 5.1.3 觀測誤差的分類及其處理方法觀測誤差的分類及其處理方法粗差粗差是一種大級別的觀測誤差，例如超限的觀測值中往是一種大級別的觀測誤差，例如超限的觀測值中往往含有粗差。粗差也包括測量過程中各種失

5、誤引起的誤差。往含有粗差。粗差也包括測量過程中各種失誤引起的誤差。產(chǎn)生的原因產(chǎn)生的原因：疏忽大意、失職；儀器自身或受外界干擾發(fā)生故：疏忽大意、失職；儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障等。障等。含有粗差的觀測值都不能使用含有粗差的觀測值都不能使用。在觀測中應盡量避免出現(xiàn)粗差。在觀測中應盡量避免出現(xiàn)粗差，發(fā)現(xiàn)粗差的有效方法是，進行必要的，發(fā)現(xiàn)粗差的有效方法是，進行必要的重復重復觀測，通過多余觀測條觀測，通過多余觀測條件，采用必要而又嚴密的件，采用必要而又嚴密的檢核檢核、驗算驗算等。等。系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差在一定的觀測條件下進行一系列觀測時，符號在一定的觀測條件下進行一系列觀測時，符號和大小保持不變或按一定規(guī)

6、律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。和大小保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有積累性，對測量結果影響很大系統(tǒng)誤差具有積累性，對測量結果影響很大。5.1.3 5.1.3 觀測誤差的分類及其處理方法觀測誤差的分類及其處理方法在測量工作中，應盡量設法消除和減小系統(tǒng)誤差。方法有：在測量工作中，應盡量設法消除和減小系統(tǒng)誤差。方法有：在觀測方法和觀測程度上采用必要的措施，限制或削弱系統(tǒng)在觀測方法和觀測程度上采用必要的措施，限制或削弱系統(tǒng)誤差的影響誤差的影響。如角度測量中盤左、盤右觀測，水準測量中限制前后。如角度測量中盤左、盤右觀測，水準測量中限制前后視距差等。視距差等。5.1.3 5.1.3

7、 觀測誤差的分類及其處理方法觀測誤差的分類及其處理方法找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因和規(guī)律，對觀測值進行系統(tǒng)誤差的找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因和規(guī)律，對觀測值進行系統(tǒng)誤差的改正改正。如對距離觀測值進行尺長改正、溫度改正和傾斜改正，對豎。如對距離觀測值進行尺長改正、溫度改正和傾斜改正，對豎直角進行指標差改正等。直角進行指標差改正等。將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內(nèi)將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內(nèi)。有的系統(tǒng)誤差既不便計算改。有的系統(tǒng)誤差既不便計算改正，又不能采用一定的觀測方法加以消除，例如，經(jīng)緯儀照準部正，又不能采用一定的觀測方法加以消除，例如，經(jīng)緯儀照準部管管水準器軸水準器軸不垂直于不垂直于儀器豎軸儀器豎軸的誤差對水平角

8、的影響，對于這類系統(tǒng)的誤差對水平角的影響，對于這類系統(tǒng)誤差，則只能按規(guī)定的要求對儀器進行精確檢校，并在觀測中仔細誤差，則只能按規(guī)定的要求對儀器進行精確檢校，并在觀測中仔細整平將其影響減小到允許范圍內(nèi)。整平將其影響減小到允許范圍內(nèi)。偶然誤差偶然誤差在一定的觀測條件下，對某量進行一系列觀測在一定的觀測條件下，對某量進行一系列觀測時，符號和大小均不一定，有偶然性，這種誤差稱為偶然誤差。時，符號和大小均不一定，有偶然性，這種誤差稱為偶然誤差。5.1 觀測誤差概述觀測誤差概述5.1.3 5.1.3 觀測誤差的分類及其處理方法觀測誤差的分類及其處理方法產(chǎn)生偶然誤差的原因往往是產(chǎn)生偶然誤差的原因往往是不固定

9、的不固定的和和難以控制難以控制的，如觀測者的，如觀測者的估讀誤差、照準誤差等。不斷變化著的溫度、風力等外界環(huán)境也的估讀誤差、照準誤差等。不斷變化著的溫度、風力等外界環(huán)境也會產(chǎn)生偶然誤差。會產(chǎn)生偶然誤差。粗差粗差可以發(fā)現(xiàn)并被剔除，可以發(fā)現(xiàn)并被剔除，系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差能夠加以改正，而能夠加以改正，而偶然誤差偶然誤差是不可避免是不可避免的，的，并且是消除不了的并且是消除不了的。它在消除了粗差和系統(tǒng)誤差的。它在消除了粗差和系統(tǒng)誤差的觀測值中占主導地位。觀測值中占主導地位。從單個偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號和大小沒有一定的規(guī)律性從單個偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號和大小沒有一定的規(guī)律性，但對大量的偶然誤差進行大

10、量統(tǒng)計分析，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且，但對大量的偶然誤差進行大量統(tǒng)計分析，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且誤差個數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。誤差個數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。例如某一測區(qū)在相同觀測條件下觀測了例如某一測區(qū)在相同觀測條件下觀測了358358個三角形的全部內(nèi)個三角形的全部內(nèi)角。由于觀測值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角之和不一定等于角。由于觀測值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角之和不一定等于真值真值180180( (表表5-1)5-1)負 誤 差 正 誤 差 合 計 誤 差 區(qū) 間 d 個 數(shù)k 頻 率k/n 個 數(shù)k 頻 率k/n 個 數(shù)k 頻 率k/n 0 3 3 6 6 9 9 12 12 15 18 21

11、 21 24 24 45 40 33 23 17 13 6 4 0 0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011 0 46 41 33 21 16 13 5 2 0 0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0 91 81 66 44 33 26 11 6 0 0.254 0.227 0.184 0.123 0.092 0.072 0.031 0.017 0 181 0.505 177 0.495 358 1.00 偶然誤差處理原則偶然誤差處理原則 多余觀測，制定限差多余觀測，制定限差, ,

12、評定精度。評定精度。偶然誤差的特性分析偶然誤差的特性分析對某一三角形的三個內(nèi)角進行觀測，其和對某一三角形的三個內(nèi)角進行觀測，其和不等于不等于180180，說明觀測存在誤差說明觀測存在誤差。 B C B CA偶然誤差的特性分析偶然誤差的特性分析例如：例如： 對對358358個三角形在相同的觀測條件下觀個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內(nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差測了全部內(nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差 i=i=三角形內(nèi)角三角形內(nèi)角( (測量值測量值-180-180） 其結果其結果如表如表5-15-1，圖，圖5-2, 5-2, 分析三角形內(nèi)角和分析三角形內(nèi)角和的誤差的誤差 i i的規(guī)律。的規(guī)律。偶然誤差的特

13、性分析偶然誤差的特性分析在許多實際問題中，遇到的隨機變量受到為數(shù)眾多在許多實際問題中，遇到的隨機變量受到為數(shù)眾多的相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的的相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響是可以疊加的，具有影響都是微小的，且這些影響是可以疊加的，具有這些特點的隨機變量一般可以認為屬于正態(tài)分布函這些特點的隨機變量一般可以認為屬于正態(tài)分布函數(shù)數(shù)N(, )N(, )。22122( )fe 214 誤差區(qū)間誤差區(qū)間 負誤差負誤差 正誤差正誤差 誤差絕對值誤差絕對值d d “ K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n K K/n 0303 45 4

14、50.1260.126 46 46 0.128 91 0.254 0.128 91 0.254 36 36 40 400.1120.112 41 0.115 81 0.226 41 0.115 81 0.226 69 33 69 330.0920.092 33 0.092 66 0.184 33 0.092 66 0.184 912 23 912 230.064 21 0.0590.064 21 0.05944440.123 0.123 1215 121517170.0470.047 16 0.045 16 0.04533330.092 0.092 1518 151813130.0360.03

15、6 13 13 0.036 0.03626260.073 0.073 1821 1821 6 60.017 5 0.014 0.017 5 0.014 11110.031 0.031 2124 4 2124 40.011 20.011 2 0.006 0.0066 60.017 0.017 24 24以上以上 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.000181 0.505 177 0.495 358 1.000 偶然誤差的統(tǒng)計偶然誤差的統(tǒng)計 表表5-15-1 K：觀測個數(shù)，：觀測個數(shù)，K/n：頻率：頻率15 -24 -21 -18-

16、15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X= y=f( ) k/d 正態(tài)分布正態(tài)分布22122( )fe 圖圖5-25-2偶然誤差的特性偶然誤差的特性: :1.1.有限性：在有限次觀測中，偶然誤差應小于限值。有限性：在有限次觀測中，偶然誤差應小于限值。 2. 2.漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大 3.3.對稱性：絕對值相等的正負誤差概率相等對稱性：絕對值相等的正負誤差概率相等 4.4.抵償性：當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均數(shù)趨近抵償性：當觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零，數(shù)學期望值（加權平均值）于零，數(shù)學期望值（

17、加權平均值）E(E(）0 0。5 5-2 評定精度的標準評定精度的標準1.1.觀測觀測精度精度: :是指觀測誤差分布的密集或離散程度. .2.2.精密度精密度: :表示測量結果中的偶然誤差大小的程度. .3.3.準確度準確度: :是測量結果中系統(tǒng)誤差與偶然誤差的綜 合,表示測量結果與真值的一致程度. .4.4.多余觀測多余觀測: :即觀測值的個數(shù)多于確定未知量所必 需觀測的個數(shù).5.5.閉合差閉合差: :有了多余觀測值,在觀測值間出現(xiàn)的矛盾. .6.6.測量平差測量平差: :對這些帶有偶然誤差的觀測值進行處 理,消除閉合差,求出未知量的最可靠值.平差分為 直接平差、間接平差、條件平差。7.7.

18、中誤差中誤差: :指誤差的概率密度函數(shù)的標準差的估值. .誤差的概率密度函數(shù)為誤差的概率密度函數(shù)為： 22122( )fe 式中式中 是誤差分布的方差，由方差的定義知：是誤差分布的方差，由方差的定義知： 22222222( )()(2()() )( )( )( )DEEEEEEEfd 而而 就是標準差（均方差）就是標準差（均方差）： 2()E中誤差：中誤差： 222121()lim()limNkknkNkknkfdfdnn 12211lim(,)limNkkknkNknknnnnnnn為誤差 出現(xiàn)的次數(shù)2limnn 即limnn 故 不同標準差不同標準差 對應著不同形狀的分布曲線，對應著不同形

19、狀的分布曲線， 越小，曲線越陡越小，曲線越陡峭，峭， 越大，曲線越平緩。越大，曲線越平緩。 的大小反映了精度的高低，故的大小反映了精度的高低，故用標準差用標準差 作為衡量精度的指標。作為衡量精度的指標。標準差標準差 標準差與觀測條件有關。標準差與觀測條件有關。iilX nm一、中誤差一、中誤差 若被觀測對象的真值已知為若被觀測對象的真值已知為X.X.則真誤差則真誤差標準差常用標準差常用mm表示，在測量上稱為中誤差表示，在測量上稱為中誤差. . 觀測值觀測值真誤差總個數(shù)真誤差總個數(shù)22 按觀測值的真誤差計算中誤差按觀測值的真誤差計算中誤差 第一組觀測第二組觀測次序觀測值 l2觀測值 l21180

20、0003-3918000000021800002-241595959+1131795958+241800007-74941795956+4161800002-2451800001-111800001-1161800000001795959+1171800004-4161795952+86481795957+3918000000091795958+241795957+39101800003-391800001-11|247224130中誤差 7.221nm 6.322nm二、相對誤差二、相對誤差 在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不

21、能正確反映出測還不能正確反映出測 量的質(zhì)量。例如，用鋼卷尺丈量量的質(zhì)量。例如，用鋼卷尺丈量200m200m和和40m40m兩段距離，量距的中誤差都是兩段距離，量距的中誤差都是2cm2cm，但不能認為兩，但不能認為兩者的精度是相同的，因為量距的誤差與其長度有關，為此，者的精度是相同的，因為量距的誤差與其長度有關，為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式（稱為用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式（稱為“ “相對中誤差相對中誤差” ”）描述觀測的質(zhì)量，上述例子中，前者的相對中誤差為描述觀測的質(zhì)量，上述例子中，前者的相對中誤差為0 00202200 200 1 11000010000，而后者則為，而后者

22、則為0 002024040l l20002000，前，前者的量距精度高于后者。者的量距精度高于后者。 三三 容許誤差容許誤差mm32允允 在大量同精度測量的一組誤差中，偶然誤差的概率分布為在大量同精度測量的一組誤差中，偶然誤差的概率分布為： P（-m +m）68.3 P（-2m +2m）95.5 P（-3m +3m）99.7可見，絕對值大于可見，絕對值大于3m的偶然誤差出現(xiàn)的概率僅為的偶然誤差出現(xiàn)的概率僅為0.3，屬于不可能事件。因此，以，屬于不可能事件。因此，以2m或或3m的偶的偶然誤差作為極限誤差或容許誤差。然誤差作為極限誤差或容許誤差。容許誤差容許誤差 但大多數(shù)被觀測對象的真值不知，如何

23、評但大多數(shù)被觀測對象的真值不知，如何評定觀測值的精度定觀測值的精度?即即： =？ m=？ 尋找最接近真值的尋找最接近真值的最或然值最或然值x ? 對同一個量進行多次直接觀測，根據(jù)最小二乘法原對同一個量進行多次直接觀測，根據(jù)最小二乘法原理，求其最或然值。理，求其最或然值。 據(jù)此進行平差，稱為直接平差法，它分為等精度直據(jù)此進行平差，稱為直接平差法，它分為等精度直接平差和非等精度直接平差。接平差和非等精度直接平差。5 5-3 等精度測量的最或然值等精度測量的最或然值 -算術平均值算術平均值xnlniil 1滿足最小二乘原則的最優(yōu)解滿足最小二乘原則的最優(yōu)解 算術平均值算術平均值：觀測條件：儀器、觀測者

24、水平、外界環(huán)境等綜合條件。觀測條件：儀器、觀測者水平、外界環(huán)境等綜合條件。觀測條件相同的測量稱為等精度測量。觀測條件相同的測量稱為等精度測量。觀測條件不相同的測量稱為非等精度測量。觀測條件不相同的測量稱為非等精度測量。27 證明（證明（x是最或然值是最或然值）nnlXlXlX2211XnlnnnnlXnlim0lim4）特性根據(jù)偶然誤差第（xnl28 5 5-4 測測量量值的精度評定值的精度評定若被觀測對象的真值不知，則取平均數(shù)若被觀測對象的真值不知，則取平均數(shù) 為最優(yōu)解為最優(yōu)解x （最或然值）（最或然值）改正值：改正值： 標準差可按下式計算標準差可按下式計算 iiilxllv112nvmni

25、i1122nvniil白塞爾公式白塞爾公式29 證明證明： 將上列左右兩式將上列左右兩式兩邊兩邊相減，得相減，得 nnlXlXlX2211111111lxvlxvlxv)()()(2211xXvxXvxXvnn， x X設iiV則將上式兩邊平方并求和，得將上式兩邊平方并求和，得： 2n2VVV 0nLn.xn.:iiiLLV由于 nn,iiVV所以因為 22n,n所以1nnVV所以1nmVV中誤差32 計算標準差計算標準差（中誤差）算（中誤差）算例例 次序觀測值 l改正數(shù) vvv1123.457-5252123.450+243123.453-114123.449+395123.451+11S1

26、23.452040毫米16. 3232. 61540452.1230mll33 小小 結結一、已知真值一、已知真值X，則真誤差，則真誤差 二、中誤差二、中誤差 一、一、真值不知，則真值不知，則 二、中誤差二、中誤差 iilXnmilxivnlx1nvvm34 5 5-5 誤差傳誤差傳播播定律定律 已知：已知：mx1,mx2,-mxn , 求：求：my=? y=? dy y .),(21xxfy 設有觀測值函數(shù)式：nmyyy誤差傳播定律：函數(shù)誤差傳播定律：函數(shù) f 的中誤差與觀測值的中的中誤差與觀測值的中誤差之誤差之 間的函數(shù)關系。間的函數(shù)關系。誤差傳播定律誤差傳播定律: : 函數(shù)的中誤差與觀測

27、值的中誤差之間的關系。函數(shù)的中誤差與觀測值的中誤差之間的關系。nn332211dxxdxxdxxdxxdFFFFZ下面以一般函數(shù)關系來推導誤差傳播定律。下面以一般函數(shù)關系來推導誤差傳播定律。設有一般函數(shù)為：設有一般函數(shù)為： Z=F(xZ=F(x1 1,x,x2 2, ,x,xn n) ) （5 51 1） 式中式中x x1 1,x,x2 2, ,x,xn n為可直接觀測的未知量；為可直接觀測的未知量；Z Z為不便于直接觀測的未知量。為不便于直接觀測的未知量。設設x xi i(i=1(i=1、2 2、n)n)的獨立觀測值為的獨立觀測值為l li i，其相應的真，其相應的真誤差為誤差為x xi i

28、。由于。由于x xi i的存在，使函數(shù)的存在，使函數(shù)Z Z亦產(chǎn)生相應的真亦產(chǎn)生相應的真誤差誤差Z Z。將式（。將式（5-15-1）取全微分）取全微分 因誤差因誤差x xi i及及Z Z都很小，故在上式中，可近似用都很小，故在上式中，可近似用x xi i及及Z Z代替代替dxdxi i及及dz,dz,于是有于是有: : (5-2) (5-2)nn2211xxxxxxFFFZixF 式中式中 為函數(shù)為函數(shù)F F對各自變量的偏導數(shù)。將對各自變量的偏導數(shù)。將x xi il li i代代入各偏導數(shù)中，即為確定的常數(shù)，入各偏導數(shù)中，即為確定的常數(shù)， 設設 ilxifxiiFnn2211xfxfxfZ 則式

29、（則式（5-25-2）可寫成：）可寫成： 為了求得函數(shù)與觀測值之間的中誤差關系式，設想對為了求得函數(shù)與觀測值之間的中誤差關系式，設想對各各x xi i進行進行k k次觀測，則可寫出次觀測，則可寫出k k個類似上式的關系式。個類似上式的關系式。 將以上各式等號兩邊平方后，再相加，得：將以上各式等號兩邊平方后，再相加，得：(1)(1)(1)(1)1122( 2 )( 2 )( 2 )( 2 )1122( k )()()()1122ZZZnnnnkkknnfxfxfxfxfxfxfxfxfx 22222221122,1nnnijiji ji jZfxfxfxf fx x 22222221212, 1

30、 nijnni ji ji jx xxxxZfffffkkkkk （ 5-4）上式兩端除上式兩端除K,K,得得: :設設 對變量的觀測值對變量的觀測值 為彼此獨立的觀測，則為彼此獨立的觀測，則 當當 時，亦為偶然誤差。根據(jù)偶然誤差的第四個特性可知，或理解為時，亦為偶然誤差。根據(jù)偶然誤差的第四個特性可知，或理解為獨獨立觀測的協(xié)方差為立觀測的協(xié)方差為0 0, ,故（故（5-45-4）式的末項當）式的末項當 時趨近于時趨近于0，即：，即： ixilijxx ijk lim0ijkxxk 故（故（5-45-4）式可寫為：）式可寫為： 22222221212limlim()nnkkxxxZfffkkkk

31、根據(jù)中誤差的定義，上式可寫為根據(jù)中誤差的定義，上式可寫為： 22222221122znnfff上式即為誤差傳播定律上式即為誤差傳播定律 上式即為計算函數(shù)中誤差的一般形式。應用上式時，必須注意：上式即為計算函數(shù)中誤差的一般形式。應用上式時，必須注意：各觀測值必須是相互獨立的變量；各觀測值必須是相互獨立的變量；iliixl為未知量 的直接觀測值時，可認為各 之間滿足相互獨立的條件。當當k為有限值時，可寫為當當222222211222221212()()()znnznnmf mf mf mFFFmmmmxxx即41 中誤差關系式中誤差關系式： 小結小結 第一步：寫出函數(shù)式第一步：寫出函數(shù)式 第二步：

32、寫出全微分式第二步：寫出全微分式 第三步：寫出中誤差關系式第三步：寫出中誤差關系式 注意：注意：只有自變量微分之間相互獨立才可以進一只有自變量微分之間相互獨立才可以進一步寫出中誤差關系式步寫出中誤差關系式。2222222121.nnymfmfmfm42 誤差傳播定律誤差傳播定律應用舉例應用舉例1 觀測值：斜距觀測值：斜距S和豎直角和豎直角v 待定值：水平距離待定值：水平距離D 222222222222sincossincos. 3sincos. 2cos. 1vSDvSDmvSmvmmvSmvmdvvSdsvdDvSD或，43 誤差傳播定律誤差傳播定律應用舉例應用舉例2 觀測值：斜距觀測值：斜

33、距S和豎直角和豎直角v 待定值：高差待定值：高差h 22222222222sincossin. 3cossin. 2sin. 1vShvShmDmvmmvSmvmdvvSdsvdhvSh或， 設在三角網(wǎng)中同精度觀測各內(nèi)角，其測角中誤差均為設在三角網(wǎng)中同精度觀測各內(nèi)角，其測角中誤差均為m m，設，設三角形閉合差為三角形閉合差為f f11、f f22、f fnn（真誤差），按中誤差定義，（真誤差），按中誤差定義，得三角形內(nèi)角和的中誤差得三角形內(nèi)角和的中誤差m m為：為： 333f fmnmmf fmmn 又因為內(nèi)角和 是每個三角形各觀測角之和即 + +故測角中誤差 該公式稱為菲列羅公式，常用來評定

34、測角的精度。誤差傳播定律誤差傳播定律應用舉例應用舉例3 45 用三角形閉合差求測角中誤差用三角形閉合差求測角中誤差（菲列羅公式菲列羅公式 ）：）： 次序觀測值 l 1180-00-10.3-10.3106.12179-59-57.2+2.87.83179-59-49.0+11.01214180-00-01.5-1.52.65180-00-02.6-2.66.8S-1.6244.3秒0 .753 .244mCBA223mmmm3秒0 . 43/mm 水準測量的高差中誤差水準測量的高差中誤差: : 設水準測量測定設水準測量測定A,B兩點間高差，中間共設兩點間高差，中間共設n站，則站，則A,B間高差

35、等于各測站高差之和，間高差等于各測站高差之和， 即：即：hAB=h1+h2+h3+hn 設每測站高差中誤差均為設每測站高差中誤差均為m站站，則有則有: : mAB m站站 即水準測量高差的中誤差與距離平方根成正比。即水準測量高差的中誤差與距離平方根成正比。 一般水準測量的中誤差一般水準測量的中誤差m站站 4mm。 故水準測量容許閉合差故水準測量容許閉合差f容容3 mAB 12 （mm） nn誤差傳播定律誤差傳播定律應用舉例應用舉例4 47 誤差傳播定律誤差傳播定律應用舉例應用舉例5: 算術平均值算術平均值的中誤差的中誤差已知：已知：m1 =m2 =.=mn=m 求：求：mx nlllxn21m

36、nmnmnmnmdlndlndlndxnxn1)1()1()1(111222222122148 在直接觀測值在直接觀測值l li i之前乘某一系數(shù)（不一定之前乘某一系數(shù)（不一定如上式一樣是相同的系數(shù)），并取其代數(shù)和。如上式一樣是相同的系數(shù)），并取其代數(shù)和。 因此，可以把算術平均值看成是各個觀測值的因此，可以把算術平均值看成是各個觀測值的線性函救。線性函救。2222222121nnxmkmkmkm 如下圖的水準網(wǎng)如下圖的水準網(wǎng), ,由水準點由水準點A,B,C(A,B,C(無誤差無誤差) )向待定點向待定點D D進進行水準測量行水準測量, ,以測定以測定D D點高程點高程, ,各水準路線的長度為各

37、水準路線的長度為:S:S1 1=2km,S=2km,S2 2=S=S3 3=4km,S=4km,S4 4=1km,=1km,設以設以2km2km路線觀測為單位權觀路線觀測為單位權觀測值測值, ,其中誤差其中誤差m=m=2mm,2mm,試求試求D D點高程最或然值點高程最或然值? ?5 5-7 非等精度測量的最或然值非等精度測量的最或然值-加權平均加權平均值值50 又如又如:現(xiàn)有三組觀測值，計算其最或然值現(xiàn)有三組觀測值，計算其最或然值 A組：組： 123.34, 123.39, 123.35 B組：組： 123.31, 123.30, 123.39, 123.32 C組：組： 123.34, 123.38, 123.35, 123