立體幾何解題技巧例說(shuō)

1、.立體幾何中的解題技巧(一)有關(guān)點(diǎn)共線、點(diǎn)共面、面共線問(wèn)題【例1】已知D、E、F分別是三棱錐SABC的側(cè)棱SA、SB、SC上的點(diǎn)，且直線FD與CA交于M，F(xiàn)E與CB交于N，DE與AB交于P，求證：M、N、P三點(diǎn)必共線點(diǎn)撥：證明若干個(gè)點(diǎn)共線的重要方法之一，是證明這些點(diǎn)分別是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)證明：由已知，顯然M、N、P在由D、E、F所在的平面，又M、N、P分別在直線CA、CB和AB上，故M、N、P必然在A、B、C所在的平面內(nèi)，即M、N、P是平面DEF與平面ABC的公共點(diǎn)，它們必在這兩個(gè)平面的交線上，故M、N、P三點(diǎn)共線點(diǎn)評(píng)：證明點(diǎn)共面、線共面的基本途徑是先由滿足確定平面條件的幾個(gè)點(diǎn)或幾條直線作出

2、平面，再證明其余元素在該平面內(nèi)(二)有關(guān)空間角問(wèn)題【例2】在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，E、F分別為棱BC和AD的中點(diǎn)(如下圖)(1)求AE與CF所成的角；(2)求CF與面BCD所成的角點(diǎn)撥：(1)欲求兩條異面直線所成的角，需將其中一條平移到與另一條相交的位置，而平移時(shí)，常在某一平面內(nèi)進(jìn)行(2)欲求直線與平面所成的角，需過(guò)該直線上的某一點(diǎn)(異于與平面的交點(diǎn))作該平面的垂線通常是在與該平面垂直的平面內(nèi)作出這條垂線，而后便可作出線面角解：(1)在平面AED內(nèi)，過(guò)F作FKAE，交ED于K，則CFK是異面直線AE與CK所成角(或是其補(bǔ)角)該棱長(zhǎng)為a，通過(guò)計(jì)算，可(2)各棱長(zhǎng)均相等，E為BC中點(diǎn)，BC

3、AE，BCDEBC面AED面AED面ABC，過(guò)F作FHED于H，則FH面BCD，F(xiàn)CH是CF與面BCD所成的角【例3】已知D、E分別是正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱AA1和BB1上的點(diǎn)，且A1D=2B1E=B1C1(如圖)求過(guò)D、E、C1的平面與棱柱的下底面A1B1C1所成二面角的大小點(diǎn)撥：在圖上，過(guò)D、E、C1的面與棱柱底面只給出一個(gè)公共點(diǎn)C1，而沒(méi)有畫出它與棱柱底面所成二面角的棱，因此還需找出它與底面的另一個(gè)公共點(diǎn)，進(jìn)而再求二面角的大小解：在平面AA1B1B內(nèi)延長(zhǎng)DE和A1B1交于F，則F是面DEC1與面A1B1C1的公共點(diǎn)，C1F為這兩個(gè)平面的交線，所求的二面角就是DC1FA1的平面角

4、A1DB1E，且A1D=2B1EE、B1分別為DF和A1F的中點(diǎn)，A1B1=B1C1=A1C1，F(xiàn)C1A1C1，又面AA1C1C面A1B1C1，F(xiàn)C1在面A1B1C1內(nèi)FC1面AA1C1C，而DC1在面AA1C1C內(nèi)，PC1DC1，DC1A1是二面角DFC1A1的平面角點(diǎn)評(píng)：當(dāng)所求的二面角沒(méi)有給出它的棱時(shí)，可通過(guò)公理1和公理2，找出二面角的兩個(gè)面的兩個(gè)公共點(diǎn)，從而找出它的棱，進(jìn)而求其平面角作為解答題，高考中是要扣分的，因?yàn)樗皇嵌ɡ?三)有關(guān)空間距離問(wèn)題【例4】如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，GC面ABCD且CG=2求點(diǎn)B到平面GEF的距離點(diǎn)撥：因點(diǎn)B在面GEF

5、的射影不好確定，所以不宜直接求其距離，由已知容易得出BDGEF，故可將求B到面GEF的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線BD與面GEF的距離來(lái)解決解法1：連接BD，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，EFBD，又EF在面GEF內(nèi)，而B(niǎo)D不在面GEF內(nèi)，BD面GEFB到面GEF的距離等于直線BD到面的距離，連接AC，分別交EF和BD于K，O，連GK，EFAC，EFGC，EF面GCK又在EF在面GEF內(nèi)，面GEF面GCK過(guò)O在面GCK內(nèi)作OHGK于H，則OH面GEF，OH即為BD平面GEF的距離解法2：用體積法BDEF，且EF在面GEF內(nèi)，BD不在面GEF內(nèi)，BD面GEF，BD與AC交于O，則B到面GEF的距離=BD

6、到面GEF的距離=O到面GEF的距離VB-GEF=VO-GEF設(shè)O、C到面GEF的距離分別為h1，h2，KOKC=13，h1h2=13，(四)立體幾何最值問(wèn)題【例5】已知如圖等腰ABC中AB=AC=13、BC=12，DEBC分別交AB和AC于DE將ADE沿DE折起使得A到A，且ADEB為60°二面角求A到直線BC的最小距離點(diǎn)撥：首先應(yīng)作出A到BC的距離顯然A到BC的距離的大小與DE的位置有關(guān)，而DE的位置又可由A點(diǎn)到DE的距離表示，由此，A到BC的距離可表示為A到DE的距離的函數(shù)，進(jìn)而可解決問(wèn)題解：取BC的中點(diǎn)O，連AO交DE于OAB=AC，AOBC，AODE，連AO，則AODE，D

7、E面AOO，DEBC，BC面AOO，BCAO，故AO為A到BC的距離，且AOO為二面角ADEB的平面角，AOO=60°設(shè)AO=AO=x，AB=AC=13，BC=10，AO=12，OO=12當(dāng)x=6時(shí)，AO取得最小值6即當(dāng)DE恰為ABC的中位線時(shí)，A到BC的距離最小，其值為6 (五)立體幾何綜合問(wèn)題【例6】已知如圖，ABCA1B1C1是正三棱柱，D是AC的中點(diǎn)，(1)求證AB1面DBC1；(2)若AB1BC1，求以BC1為棱DBC1與CBC1為面的二面角的度數(shù)點(diǎn)撥：(1)欲證AB1平面DBC1，只需在平面DBC1內(nèi)找出一條與AB1平行的直線即可由于D是AC的中點(diǎn)，就自然要考慮取BC1的

8、中點(diǎn)E，顯然DEAB1，問(wèn)題即可解決(2)欲求二面角DBC1C即二面角的度數(shù)，則需找出它的平面角，由已知，平面ABC面B1BCC1，則過(guò)D作DFBC，則DF面B1BCC1，連接EF，由條件AB1BC1，可證明DEBC，再利用三垂線定理(或內(nèi)定理)可證出BC1CF，即可得二面角的平面角DEF通過(guò)計(jì)算，問(wèn)題可解決解：(1)A1B1C1ABC是正三棱柱，四邊形B1BCC1是矩形連接B1C交BC1于E，則B1E=EC，連結(jié)DE在AB1C中，AD=DC，DBC1(2)在面ABC內(nèi)，過(guò)D作DFBC于F，則DF平面B1BCC1，連接EF，則EF是ED在平面B1BCC1內(nèi)的射影AB1BC1，由(1)知AB1D

9、E，DEBC1，由三垂線逆定理可知BC1EFDEF是二面角的平面角，設(shè)為，設(shè)AC=a，取BC的中點(diǎn)G，EB=ECGEBC故二面角為45°點(diǎn)評(píng)：要善于從不同角度觀察某一幾何體，這是考查空間想象能力的重要方面，把一個(gè)正三棱柱放倒之后，其性質(zhì)是不改變的，如B1BCC1是矩形，面ABC面B1BCC1等，應(yīng)正確識(shí)別(1)的證明，體現(xiàn)了將證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行的轉(zhuǎn)化思想；(2)的解答，是通過(guò)作出二面角的平面角，將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題來(lái)解決的(六)解立體幾何計(jì)算題的一般方法1幾何計(jì)算題的結(jié)構(gòu)是根據(jù)已知的若干幾何量或位置關(guān)系推求另一些幾何量而已知的位置關(guān)系通常也要轉(zhuǎn)化為幾何量

10、最基本的幾何量有兩個(gè)：線段和角其他幾何量或者用線段和角來(lái)定義，或者可表示成線段和角例如，兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到平面的距離其本身就是線段的長(zhǎng)；異面直線所成的角，直線與平面所成的角，是直接用角來(lái)表述的概念；而求積公式也都可以用線段或角來(lái)表示由上述可知，幾何計(jì)算題的結(jié)構(gòu)實(shí)為根據(jù)已知的線段和角推算未知的線段和角為此，解幾何計(jì)算題必須了解和運(yùn)用由線段和角構(gòu)成的關(guān)系式(即以線段和角為未知量而構(gòu)成的多元方程)滿足這個(gè)需要的基本知識(shí)多是三角形的邊角關(guān)系(銳角或鈍角的三角函數(shù)，正弦定理，余弦定理等)所以，解幾何計(jì)算題的一般方法是，把題中的線段和角(已知的和未知的)看成三角形的元素，而后借助于三角形的解法推算出所求的

11、結(jié)果所以，解幾何計(jì)算題的過(guò)程大多是一連串的解三角形的過(guò)程，而解三角形的過(guò)程又是解方程(組)的過(guò)程解幾何計(jì)算題的一般方法與解幾何證明題的一般方法一樣，也是從題目自身的特點(diǎn)得出的由于計(jì)算過(guò)程就是推算過(guò)程，當(dāng)我們尋求計(jì)算題的已知條件與未知量的聯(lián)系時(shí)，也要使用綜合法及分析法2已知條件與圖形的形狀和大小這里所說(shuō)的“形狀”不是通常指的某個(gè)三角形是直角三角形還是等腰三角形等意思，而是與相似相聯(lián)系的，就是說(shuō)形狀相同的兩個(gè)圖形是相似的這里所說(shuō)的“大小”指的是面積及體積解一個(gè)幾何計(jì)算題，在下手計(jì)算之前如能弄清圖形的形狀大小，就會(huì)有助于對(duì)問(wèn)題進(jìn)行總體的分析所給圖形的形狀大小決定于所給的條件，由此，幾何計(jì)算題可分為以

12、下四種基本類型：(1)形狀和大小都確定；(2)形狀確定，大小不定；(3)大小確定，形狀不定；(4)形狀和大小都不確定，對(duì)第(1)種類型來(lái)說(shuō)，若依照已知條件分別畫出兩個(gè)圖形F和F，則FF，即F與F重合，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，本節(jié)以下將稱這種類型的圖形是確定的圖形對(duì)第(2)種類型來(lái)說(shuō)，若依照已知條件畫出兩個(gè)圖形F和F，則FF，本節(jié)今后將稱這種類型的圖形的形狀是確定的第(1)，(2)兩種類型的計(jì)算題是常見(jiàn)的，也是比較重要的，下面通過(guò)例題加以說(shuō)明【例7】如圖1，P是二面角AB棱AB上的一點(diǎn)，分別在，上引射線PM，PN，如果BPM=BPN=45°，MPN=60°，那么二面角AB的大小是多少？

13、點(diǎn)撥：圖1，是一個(gè)形狀確定的圖形，這是因?yàn)锽PM=45°，所以射線PM在內(nèi)的位置是確定的，同理PN在內(nèi)的位置也是確定的若角MPN的大小不定，即PM與PN的相互位置關(guān)系不定，則由AB，PM所決定的平面和由AB，PN所決定的平面的相互位置關(guān)系不可能確定，從而二面角AB的大小也就不能確定了，但在已知條件有MPN=60°，即PM與PN的相互位置關(guān)系確定，從而二面角AB的大小確定可見(jiàn)，由已知條件是可以推算出二面角AB的大小在PM上取一點(diǎn)M，作MCAB交AB于點(diǎn)C，在內(nèi)再作CNAB交AN于點(diǎn)N(圖2)，MCN就是二面角的平面角，連接MN則圖2就可以變成一個(gè)形狀確定的四面體PMNC四面體

14、共有六條棱，設(shè)四面體PMNC的任一條棱長(zhǎng)為a，則其他5條棱都可以用a來(lái)表示，這樣，我們就可以把四面體PMNC(暫時(shí))變成一個(gè)大小也確定的圖形，從而借助三角形解法就可推算出MCN的大小在PMN中，由于MPN=60°，所以PMN是一個(gè)等邊三角形MCN是一個(gè)等腰直角三角形，MCN=90°二面角AB=90°【例8】如圖1，在三棱錐SABC中，SA底面ABC，ABBCDE垂直平分SC，且分別交AC，SC于D，E又SA=AB，SB=BC，求以BD為棱，以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù)點(diǎn)撥：先來(lái)考慮三棱錐SABC的形狀大小問(wèn)題根據(jù)SA底面ABC，SA=AB，可知SAB是等腰直

15、角三角形，其形狀確定，現(xiàn)在不防假設(shè)這個(gè)等腰直角三角形的位置也固定由于ABBC，并且SB=BC，則線段BC的位置也是固定的，從而點(diǎn)C的位置以及線段SC和線段AC的位置也確定這就是說(shuō)，當(dāng)任意一個(gè)等腰直角三角形的位置確定以后，點(diǎn)C的位置就隨之而定事實(shí)上，SBC也是一個(gè)等腰直角三角形，當(dāng)?shù)妊苯侨切蜸AB的位置確定以后，等腰直角三角形SBC的位置也隨之確定可見(jiàn)，三棱錐SABC是一個(gè)形狀確定大小不定的幾何體又，由于E是SC中點(diǎn)，且EDSC交AC于D，所以點(diǎn)D的位置也是確定的根據(jù)以上分析，可以斷定，從已知條件可以推算出圖1中任意兩條線段所成的角以及任意兩條線段所成比解法1：連接DE(圖2)EB是RtSBC斜邊SC上的中線，EB=1，連結(jié)SD，則SD平分ASC，ASD=DSE=30°設(shè)BD=x(圖3)在BDC中有CDB=90°，從而CDBD在BDE中，有BDE=90°