立體幾何解題技巧例說

1、.立體幾何中的解題技巧(一)有關(guān)點共線、點共面、面共線問題【例1】已知D、E、F分別是三棱錐SABC的側(cè)棱SA、SB、SC上的點，且直線FD與CA交于M，F(xiàn)E與CB交于N，DE與AB交于P，求證：M、N、P三點必共線點撥：證明若干個點共線的重要方法之一，是證明這些點分別是某兩個平面的公共點證明：由已知，顯然M、N、P在由D、E、F所在的平面，又M、N、P分別在直線CA、CB和AB上，故M、N、P必然在A、B、C所在的平面內(nèi)，即M、N、P是平面DEF與平面ABC的公共點，它們必在這兩個平面的交線上，故M、N、P三點共線點評：證明點共面、線共面的基本途徑是先由滿足確定平面條件的幾個點或幾條直線作出

2、平面，再證明其余元素在該平面內(nèi)(二)有關(guān)空間角問題【例2】在棱長都相等的四面體ABCD中，E、F分別為棱BC和AD的中點(如下圖)(1)求AE與CF所成的角；(2)求CF與面BCD所成的角點撥：(1)欲求兩條異面直線所成的角，需將其中一條平移到與另一條相交的位置，而平移時，常在某一平面內(nèi)進(jìn)行(2)欲求直線與平面所成的角，需過該直線上的某一點(異于與平面的交點)作該平面的垂線通常是在與該平面垂直的平面內(nèi)作出這條垂線，而后便可作出線面角解：(1)在平面AED內(nèi)，過F作FKAE，交ED于K，則CFK是異面直線AE與CK所成角(或是其補角)該棱長為a，通過計算，可(2)各棱長均相等，E為BC中點，BC

3、AE，BCDEBC面AED面AED面ABC，過F作FHED于H，則FH面BCD，F(xiàn)CH是CF與面BCD所成的角【例3】已知D、E分別是正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱AA1和BB1上的點，且A1D=2B1E=B1C1(如圖)求過D、E、C1的平面與棱柱的下底面A1B1C1所成二面角的大小點撥：在圖上，過D、E、C1的面與棱柱底面只給出一個公共點C1，而沒有畫出它與棱柱底面所成二面角的棱，因此還需找出它與底面的另一個公共點，進(jìn)而再求二面角的大小解：在平面AA1B1B內(nèi)延長DE和A1B1交于F，則F是面DEC1與面A1B1C1的公共點，C1F為這兩個平面的交線，所求的二面角就是DC1FA1的平面角

4、A1DB1E，且A1D=2B1EE、B1分別為DF和A1F的中點，A1B1=B1C1=A1C1，F(xiàn)C1A1C1，又面AA1C1C面A1B1C1，F(xiàn)C1在面A1B1C1內(nèi)FC1面AA1C1C，而DC1在面AA1C1C內(nèi)，PC1DC1，DC1A1是二面角DFC1A1的平面角點評：當(dāng)所求的二面角沒有給出它的棱時，可通過公理1和公理2，找出二面角的兩個面的兩個公共點，從而找出它的棱，進(jìn)而求其平面角作為解答題，高考中是要扣分的，因為它不是定理(三)有關(guān)空間距離問題【例4】如圖，ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別為AB、AD的中點，GC面ABCD且CG=2求點B到平面GEF的距離點撥：因點B在面GEF

5、的射影不好確定，所以不宜直接求其距離，由已知容易得出BDGEF，故可將求B到面GEF的距離問題轉(zhuǎn)化為求直線BD與面GEF的距離來解決解法1：連接BD，E、F分別為AB、AD的中點，EFBD，又EF在面GEF內(nèi)，而BD不在面GEF內(nèi)，BD面GEFB到面GEF的距離等于直線BD到面的距離，連接AC，分別交EF和BD于K，O，連GK，EFAC，EFGC，EF面GCK又在EF在面GEF內(nèi)，面GEF面GCK過O在面GCK內(nèi)作OHGK于H，則OH面GEF，OH即為BD平面GEF的距離解法2：用體積法BDEF，且EF在面GEF內(nèi)，BD不在面GEF內(nèi)，BD面GEF，BD與AC交于O，則B到面GEF的距離=BD

6、到面GEF的距離=O到面GEF的距離VB-GEF=VO-GEF設(shè)O、C到面GEF的距離分別為h1，h2，KOKC=13，h1h2=13，(四)立體幾何最值問題【例5】已知如圖等腰ABC中AB=AC=13、BC=12，DEBC分別交AB和AC于DE將ADE沿DE折起使得A到A，且ADEB為60°二面角求A到直線BC的最小距離點撥：首先應(yīng)作出A到BC的距離顯然A到BC的距離的大小與DE的位置有關(guān)，而DE的位置又可由A點到DE的距離表示，由此，A到BC的距離可表示為A到DE的距離的函數(shù)，進(jìn)而可解決問題解：取BC的中點O，連AO交DE于OAB=AC，AOBC，AODE，連AO，則AODE，D

7、E面AOO，DEBC，BC面AOO，BCAO，故AO為A到BC的距離，且AOO為二面角ADEB的平面角，AOO=60°設(shè)AO=AO=x，AB=AC=13，BC=10，AO=12，OO=12當(dāng)x=6時，AO取得最小值6即當(dāng)DE恰為ABC的中位線時，A到BC的距離最小，其值為6 (五)立體幾何綜合問題【例6】已知如圖，ABCA1B1C1是正三棱柱，D是AC的中點，(1)求證AB1面DBC1；(2)若AB1BC1，求以BC1為棱DBC1與CBC1為面的二面角的度數(shù)點撥：(1)欲證AB1平面DBC1，只需在平面DBC1內(nèi)找出一條與AB1平行的直線即可由于D是AC的中點，就自然要考慮取BC1的

8、中點E，顯然DEAB1，問題即可解決(2)欲求二面角DBC1C即二面角的度數(shù)，則需找出它的平面角，由已知，平面ABC面B1BCC1，則過D作DFBC，則DF面B1BCC1，連接EF，由條件AB1BC1，可證明DEBC，再利用三垂線定理(或內(nèi)定理)可證出BC1CF，即可得二面角的平面角DEF通過計算，問題可解決解：(1)A1B1C1ABC是正三棱柱，四邊形B1BCC1是矩形連接B1C交BC1于E，則B1E=EC，連結(jié)DE在AB1C中，AD=DC，DBC1(2)在面ABC內(nèi)，過D作DFBC于F，則DF平面B1BCC1，連接EF，則EF是ED在平面B1BCC1內(nèi)的射影AB1BC1，由(1)知AB1D

9、E，DEBC1，由三垂線逆定理可知BC1EFDEF是二面角的平面角，設(shè)為，設(shè)AC=a，取BC的中點G，EB=ECGEBC故二面角為45°點評：要善于從不同角度觀察某一幾何體，這是考查空間想象能力的重要方面，把一個正三棱柱放倒之后，其性質(zhì)是不改變的，如B1BCC1是矩形，面ABC面B1BCC1等，應(yīng)正確識別(1)的證明，體現(xiàn)了將證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行的轉(zhuǎn)化思想；(2)的解答，是通過作出二面角的平面角，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的有關(guān)計算問題來解決的(六)解立體幾何計算題的一般方法1幾何計算題的結(jié)構(gòu)是根據(jù)已知的若干幾何量或位置關(guān)系推求另一些幾何量而已知的位置關(guān)系通常也要轉(zhuǎn)化為幾何量

10、最基本的幾何量有兩個：線段和角其他幾何量或者用線段和角來定義，或者可表示成線段和角例如，兩點間的距離，點到平面的距離其本身就是線段的長；異面直線所成的角，直線與平面所成的角，是直接用角來表述的概念；而求積公式也都可以用線段或角來表示由上述可知，幾何計算題的結(jié)構(gòu)實為根據(jù)已知的線段和角推算未知的線段和角為此，解幾何計算題必須了解和運用由線段和角構(gòu)成的關(guān)系式(即以線段和角為未知量而構(gòu)成的多元方程)滿足這個需要的基本知識多是三角形的邊角關(guān)系(銳角或鈍角的三角函數(shù)，正弦定理，余弦定理等)所以，解幾何計算題的一般方法是，把題中的線段和角(已知的和未知的)看成三角形的元素，而后借助于三角形的解法推算出所求的

11、結(jié)果所以，解幾何計算題的過程大多是一連串的解三角形的過程，而解三角形的過程又是解方程(組)的過程解幾何計算題的一般方法與解幾何證明題的一般方法一樣，也是從題目自身的特點得出的由于計算過程就是推算過程，當(dāng)我們尋求計算題的已知條件與未知量的聯(lián)系時，也要使用綜合法及分析法2已知條件與圖形的形狀和大小這里所說的“形狀”不是通常指的某個三角形是直角三角形還是等腰三角形等意思，而是與相似相聯(lián)系的，就是說形狀相同的兩個圖形是相似的這里所說的“大小”指的是面積及體積解一個幾何計算題，在下手計算之前如能弄清圖形的形狀大小，就會有助于對問題進(jìn)行總體的分析所給圖形的形狀大小決定于所給的條件，由此，幾何計算題可分為以

12、下四種基本類型：(1)形狀和大小都確定；(2)形狀確定，大小不定；(3)大小確定，形狀不定；(4)形狀和大小都不確定，對第(1)種類型來說，若依照已知條件分別畫出兩個圖形F和F，則FF，即F與F重合，為了簡便起見，本節(jié)以下將稱這種類型的圖形是確定的圖形對第(2)種類型來說，若依照已知條件畫出兩個圖形F和F，則FF，本節(jié)今后將稱這種類型的圖形的形狀是確定的第(1)，(2)兩種類型的計算題是常見的，也是比較重要的，下面通過例題加以說明【例7】如圖1，P是二面角AB棱AB上的一點，分別在，上引射線PM，PN，如果BPM=BPN=45°，MPN=60°，那么二面角AB的大小是多少？

13、點撥：圖1，是一個形狀確定的圖形，這是因為BPM=45°，所以射線PM在內(nèi)的位置是確定的，同理PN在內(nèi)的位置也是確定的若角MPN的大小不定，即PM與PN的相互位置關(guān)系不定，則由AB，PM所決定的平面和由AB，PN所決定的平面的相互位置關(guān)系不可能確定，從而二面角AB的大小也就不能確定了，但在已知條件有MPN=60°，即PM與PN的相互位置關(guān)系確定，從而二面角AB的大小確定可見，由已知條件是可以推算出二面角AB的大小在PM上取一點M，作MCAB交AB于點C，在內(nèi)再作CNAB交AN于點N(圖2)，MCN就是二面角的平面角，連接MN則圖2就可以變成一個形狀確定的四面體PMNC四面體

14、共有六條棱，設(shè)四面體PMNC的任一條棱長為a，則其他5條棱都可以用a來表示，這樣，我們就可以把四面體PMNC(暫時)變成一個大小也確定的圖形，從而借助三角形解法就可推算出MCN的大小在PMN中，由于MPN=60°，所以PMN是一個等邊三角形MCN是一個等腰直角三角形，MCN=90°二面角AB=90°【例8】如圖1，在三棱錐SABC中，SA底面ABC，ABBCDE垂直平分SC，且分別交AC，SC于D，E又SA=AB，SB=BC，求以BD為棱，以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù)點撥：先來考慮三棱錐SABC的形狀大小問題根據(jù)SA底面ABC，SA=AB，可知SAB是等腰直

15、角三角形，其形狀確定，現(xiàn)在不防假設(shè)這個等腰直角三角形的位置也固定由于ABBC，并且SB=BC，則線段BC的位置也是固定的，從而點C的位置以及線段SC和線段AC的位置也確定這就是說，當(dāng)任意一個等腰直角三角形的位置確定以后，點C的位置就隨之而定事實上，SBC也是一個等腰直角三角形，當(dāng)?shù)妊苯侨切蜸AB的位置確定以后，等腰直角三角形SBC的位置也隨之確定可見，三棱錐SABC是一個形狀確定大小不定的幾何體又，由于E是SC中點，且EDSC交AC于D，所以點D的位置也是確定的根據(jù)以上分析，可以斷定，從已知條件可以推算出圖1中任意兩條線段所成的角以及任意兩條線段所成比解法1：連接DE(圖2)EB是RtSBC斜邊SC上的中線，EB=1，連結(jié)SD，則SD平分ASC，ASD=DSE=30°設(shè)BD=x(圖3)在BDC中有CDB=90°，從而CDBD在BDE中，有BDE=90°