2014年高考數(shù)學一輪復習 熱點難點精講精析 2.1函數(shù)及其表示

1、 2014年高考一輪復習熱點難點精講精析：2.1函數(shù)及其表示一、求函數(shù)的定義域、值域1、確定函數(shù)的定義域的原則（1）當函數(shù)y=f(x)用列表法給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實數(shù)x的集合;（2）當函數(shù)y=f(x)用圖象法給出時，函數(shù)的定義域是指圖象在x軸上的投影所覆蓋的實數(shù)的集合；（3）當函數(shù)y=f(x)用解析式給出時，函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實數(shù)的集合；（4）當函數(shù)y=f(x)由實際問題給出時，函數(shù)的定義域由實際問題的意義確定。2、確定函數(shù)定義域的依據(jù)（1）若f(x)是整式，則定義域為全體實數(shù)；（2）若f(x)是分式，則定義域為使分式的分母不為零的x取值的集合；（3）當f(x)是偶次根

2、式時，定義域是使被開方式取非負的x取值的集合；（4）當f(x)是非正數(shù)指數(shù)冪時，定義域是使冪的底數(shù)不為0的x取值的集合；（5）若已知函數(shù)f(x)的定義域為a,b，其復合函數(shù)f(g(x)定義域由不等式ag(x)b解出;(6)若已知函數(shù)f(g(x)的定義域為a,b，則f(x)的定義域為g(x)在xa,b時的值域。3、求簡單函數(shù)值域的方法(1)觀察法；(2)圖象觀察法；(3)單調(diào)性法；(4)分離常數(shù)法；(5)均值不等式法；(6)換元法.4、例題解析例1(2012·大連模擬)求函數(shù)的定義域;(2)已知函數(shù)f(2x)的定義域是-1,1，求f(x)的定義域；(3)求下列函數(shù)的值域.y=x2+2x

3、,x0,3,y=log3x+logx3-1,分析：(1)根據(jù)解析式，構(gòu)建使解析式有意義的不等式組求解即可；2 / 23(2)要明確2x與f(x)中x的含義，從而構(gòu)建不等式求解;(3)根據(jù)解析式的特點，分別選用圖象觀察法；均值不等式法；單調(diào)性法求值域.解答：(1)要使該函數(shù)有意義，需要則有：解得:-3x0或2x3,所以所求函數(shù)的定義域為 (-3,0)(2,3).(2)f(2x)的定義域為-1，1，即-1x1,故f(x)的定義域為.(3)y=(x+1)2-1在0,3上的圖象如圖所示,由圖象知：0y32+2×3=15,所以函數(shù)y=x2+2x，x0,3的值域為0,15.,定義域為(0,1)(

4、1,+)，當0x1時，當x1時，綜上可知，其值域為(-,-31,+).因為x2-1-1，又y=2x在R上為增函數(shù),2-1=.故值域為,+).【規(guī)律方法】求函數(shù)定義域的方法(1) 求具體函數(shù)y=f(x)的定義域：(2)(2)求抽象函數(shù)的定義域：若已知函數(shù)f(x)的定義域為a,b，其復合函數(shù)f(g(x)的定義域由不等式ag(x)b求出.若已知函數(shù)f(g(x)的定義域為a,b，則f(x)的定義域為g(x)在xa,b時的值域.提醒：定義域必須寫成集合或區(qū)間的形式.例2設函數(shù)則不等式的解集是（ A ）. B. C. D.解析 由已知，函數(shù)先增后減再增當，令解得。當，故 ，解得【考點定位】本試題考查分段函

5、數(shù)的單調(diào)性問題的運用以及一元二次不等式的求解例3試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)；（2）由于函數(shù)f（x）=的定義域為（，0）（0，+），而g（x）=的定義域為R，所以它們不是同一函數(shù)；（3）由于當nN*時，2n±1為奇數(shù)，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所

6、以它們是同一函數(shù)；（4）由于函數(shù)f（x）=的定義域為x|x0，而g（x）=的定義域為x|x1或x0，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)；（5）函數(shù)的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數(shù)注：對于兩個函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當且僅當它們的定義域、值域、對應法則都相同時，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù)若兩個函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然。例4求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）解：（1）（配方法），的值域為改題：求函數(shù)，的值域解：（利用函數(shù)的單調(diào)性）函數(shù)在上單調(diào)增當時，原函數(shù)有最小值為；當時，原函

7、數(shù)有最大值為函數(shù)，的值域為（2）求復合函數(shù)的值域：設（），則原函數(shù)可化為又，故，的值域為（3）（法一）反函數(shù)法：的反函數(shù)為，其定義域為，原函數(shù)的值域為（法二）分離變量法：，函數(shù)的值域為（4）換元法（代數(shù)換元法）：設，則，原函數(shù)可化為，原函數(shù)值域為注：總結(jié)型值域，變形：或（5）三角換元法：，設，則，原函數(shù)的值域為（6）數(shù)形結(jié)合法：，函數(shù)值域為（7）判別式法：恒成立，函數(shù)的定義域為由得： 當即時，即，當即時，時方程恒有實根，且，原函數(shù)的值域為（8），當且僅當時，即時等號成立，原函數(shù)的值域為（9）（法一）方程法：原函數(shù)可化為：，（其中），原函數(shù)的值域為注：上面討論的是用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類

8、型與方法，掌握這些方法對于以后的復習中求解綜合性的題目時是非常有用的。二、分段函數(shù)及實際應用題1、相關(guān)鏈接（1）解決分段函數(shù)的基本原則是分段進行，即自變量的取值屬于哪一段范圍，就用這一段的解析式來解決；（2）對于實際應用題應根據(jù)題意確定好分段點，在每一段上分析出其解析式，然后再寫成分段函數(shù)；（3）對于分段函數(shù)的最值問題，一般是將每一段上的最值分別求出，其中的最大者就是整個函數(shù)的最大值，其中的最小者就是整個函數(shù)的最小值。2例題解析例1我國是水資源相對匱乏的國家，為鼓勵節(jié)約用水，某市打算制定一項水費措施，規(guī)定每季度每人用水不超過5噸時，每噸水費的價格(基本消費價)為1.3元，若超過5噸而不超過6噸

9、時，超過部分的水費加收200%，若超過6噸而不超過7噸時，超過部分的水費加收400%，如果某人本季度實際用水量為x(x7)噸，試計算本季度他應繳納的水費.思路分析：計算本季度他應繳納的水費，應看他的用水量x在何范圍內(nèi)，不同的范圍，繳納的水費不同；可采用分段函數(shù)來表示.解答：設y表示本季度應繳納的水費(元)，當0x5時，y=1.3x；當5x6時，應將x分成兩部分：5與(x-5)分別計算，第一部分為基本消費1.3×5，第二部分由基本消費與加價消費組成,即1.3×(x-5)+1.3(x-5)×200%=3.9x-19.5，此時y=1.3×5+3.9x-19.5

10、=3.9x-13，當6x7時，同理y=6.5x-28.6綜上可知：.例2某出版公司為一本暢銷書定價如下：這里的nN*表示購書的數(shù)量，C(n)是訂購n本書所付的錢數(shù)(單位：元).若一本書的成本價是5元，現(xiàn)有甲、乙兩人來買書，每人至少買1本，兩人共買60本，問出版公司最少能賺多少錢？最多能賺多少錢？思路分析：分析題意知，先弄清分段點是解題的關(guān)鍵；列出買書的費用函數(shù)，在每一段上求最值，比較大小再求出整個函數(shù)的最值.解析：設甲買n本書，則乙買(60-n)本書(不妨設甲買的書少于乙買的書)，則n30,nN*當1n11且nN*時，4960-n59，出版公司賺的錢數(shù)f(n)=12n+10(60-n)-5&#

11、215;60=2n+300；當12n24且nN*時，3660-n48，出版公司賺的錢數(shù)f(n)=12n+11(60-n)-5×60=n+360;當25n30且nN*時，3060-n35，出版公司賺的錢數(shù)f(n)=11×60-5×60=360；當1n11且nN*時，302f(n)322；當12n24且nN*時，372f(n)384；當25n30且nN*時，f(n)=360.故出版公司最少能賺302元，最多能賺384元.三、求函數(shù)的解析式1、函數(shù)的解析式的求法函數(shù)解析式的求法(1)湊配法：由已知條件f(g(x)=F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以

12、x替代g(x)，便得f(x)的表達式,此時要注意g(x)的范圍;(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法； (3)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與f()或f(-x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).2、例題解析（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函數(shù)，且滿足，求；（4）已知滿足，求；解：（1）配湊法：，（或）；（2）換元法：令（），則，；（3）待定系數(shù)法：設，則，；（4）方程組法： 把中的換成，得 ，得。提醒：因為函數(shù)的解

13、析式相同，定義域不同，則為不相同函數(shù)，因此求函數(shù)的解析式時，如果定義域不是使表達式有意義的x的取值，一定要注明函數(shù)的定義域，否則會導致錯誤.四、函數(shù)的綜合應用例1 已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且對于一切實數(shù)x滿足f(x+2)=f(2x),f(x+7)=f(7x)（1）若f(5)=9,求：f(5);（2）已知x 2,7時，f(x)=(x2)2，求當x16,20時，函數(shù)g(x)=2xf(x)的表達式，并求出g(x)的最大值和最小值；（3）若f(x)=0的一根是0，記f(x)=0在區(qū)間1000,1000上的根數(shù)為N，求N的最小值。解 （1）由f(x+2)=f(2x)及f(x+7)=f(7x)得:f

14、(x)的圖像關(guān)于直線x=2,x=7對稱。 f(x)=f(x2)+2 =f2(x2)=f(4x) =f7(3+x)=f(7+(3+x) =f(x+10)f(x)是以10為周期的周期函數(shù)。f(5)=f(5+10)=f(5)=9（2）當x16,17,x106,7f(x)=f(x10)=(x102)2=(x12)2當x(17,20,x20(3,0,4(x20)4,7f(x)=f(x20)=f4(x20) =f(24x)=(x22)2g(x)= x 16,17時，g(x)最大值為16，最小值為9；x（17，20，g(x)>g(17)=9,g(x)g(20)=36g(x)的最大值為36，最小值為9。

15、（3）由f(0)=0，及f(0)=f(4)=0，知f(0)在上至少有兩個解。而在1000，1000上有200個周期，至少有400個解。又f(1000)=0所以最少有401個解。且這401個解的和為200。注 題中（2）可根據(jù)函數(shù)圖像的對稱性、函數(shù)的周期性，通過作圖得到f(x)= 一般地：當x3，2時，4x2,7f(x)=f(4x)=(x2)2當x3,7,f(x)=(x2)2故當x3+10k,7+10k,x10k3,7f(x)= (x10k2)2(kz)f(x)= (x10k2)2 x3+10k,7+10k,（kZ）例2 設a是正數(shù)，ax+y=2(x0,y0)，記y+3xx2的最大值是M(a)，

16、試求（1）M(a)的表達式；（2）M(a)的最小值。解 將代數(shù)式y(tǒng)+3xx2表示為一個字母，由ax+y=2解出y后代入消元，建立關(guān)于x的二次函數(shù)，逐步進行分類求M(a)。（1）設S(x)=y+3xx2,將y=2ax代入消去y，得：S(x)=2ax+3xx2 =x2+(3a)x+2 =x(3a)2+(3a)2+2(x0)y0 2ax0而a>0 0x下面分三種情況求M(a)(i)當0<3a<(a>0)，即時解得 0<a<1或2<a<3時M(a)=S(3a)= (3a)2+2(ii)當3a(a>0)即時，解得：1a2，這時M(a)=S()=2a·+3·· =+(iii)當3a0；即a3時M(a)=S(0)=