(完整word)高考數(shù)學大題經(jīng)典習題

1、1. 對于函數(shù)f x132(a 2)x3 bx2 (a 2)x。1 )若 f x 在 x 1和 x 3處取得極值，且f x 的圖像上每一點的切線的斜率均不超過2sin t cost 2 3cos2t 3試求實數(shù) t 的取值范圍；2) 若 f x 為實數(shù)集R上的單調(diào)函數(shù)，設點P的坐標為a,b ， 試求出點P的軌跡所形成S。11. ( 1)由 f x (a2)x3bx2(a 2)x，則3f ' x (a2)x22bx (a2)因為 f x 在 x 1和 x 3處取得極值，所以x 1和 x 3是 f ' x 0的兩個根x2 4x 32 3cos2t3(a2)122b 1(a2)0a1

2、f '(a2)322b 3(a2)0b2因為f x 的圖像上每一點的切線的斜率不超過2sin t cost所以f ' x2sin t cost 2 3cos2t3對 x R恒成立，2而 f ' x x 21 ，其最大值為1故 2sin tcost 2 3 cos2 t 3 12sin 2t 1 k t k 7 ,k Z3412( 2)當a 2 時，由 f x 在 R上單調(diào)，知b 0a 2 時，由 f x 在 R 上單調(diào)f ' x 0 恒成立，或者f ' x 0 恒成立 f ' x(a 2)x22bx(a2)，4b24(a2 4)0 可得a2b24

3、從而知滿足條件的點P a,b 在直角坐標平面aob 上形成的軌跡所圍成的圖形的面積為2. 函數(shù) f (x) ax 3S4bx2cx( a 0) 的圖象關于原點對稱，A( , f ( ) 、 B( , f ( )分別為函數(shù)f (x) 的極大值點和極小值點，且|AB| 2， f ( ) f ( )b 的值；f (x) 的解析式；x 2,1, f(x)6恒成立，求實數(shù) mm 的取值范圍.2. ()b=0f(x) f'(x)3 ax2 3axcx0的兩實根是|AB| 2c3a)2( f(f()24()2c3aQf(f(a( 2c)a()2ca(c)acf(x)又a2,1 時，求 f (x) 的

4、最小值是-55m(m 6)(m 1) 0 m6或 0 m 13. 已知 f xax3 bx2cx d 是定義在R 上的函數(shù)，其圖象交x 軸于A， B， C 三點，若點 B的坐標為(2，0) ，且 f x 在 1, 0和 4， 5 上有相同的單調(diào)性，在0 ， 2 和 4 ，5 上有相反的單調(diào)性（ 1 ）求 c 的值；（ 2） 在函數(shù) f x 的圖象上是否存在一點M（ x0， y0） ， 使得 f x 在點 M的切線斜率為若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；3. f x 在 1, 0 和 0,2 上有相反單調(diào)性， x=0 是 f x 的一個極值點，故f ' x 0，即 3ax2 2

5、bx c 0有一個解為x=0，c=0 f x 交 x軸于點B（ 2， 0）3b？8a 4b d 0 ,即 d 4 b 2a令f ' x0 ，則3ax2 2bx0 , x10, x2f x 在0 ,2和 4 ,5 上有相反的單調(diào)性2b3a假設存在點2b3a4，M（ x0，b6ay0） ，使得3f x 在點 M 的切線斜率為3b，則f ' x03b即3ax02 2bx0 3b 02b= 2b 2 4 3a3b 4b2 36ab 4ab 9a又6 b 3 ， <0a不存在點M( x0， y0) ，使得 f x 在點M的切線斜率為4. 已知函數(shù)f (x) ln x1 ）求函數(shù)g（

6、x）f （x 1） x的最大值；2)當0 a b時，求證f (b) f(a)2a(b a)b21)5. ( 1) f (x) ln x,g(x) f (xg(x) ln(x 1)x (x 1)g (x)令 g (x) 0, 得 x 01 x 0 時， g(x)0當x0時 g(x)0 ，又g(0) 00 時，g（x） 取得最大值2) f(b) f(a)ln blna ln b aln1)知 ln(1 x)f (b) f(a)ln(1又 0 a b, a2b21 2abb2a22abbbbba b)baba 2b(b a)22 abf(b) f(a)2a(b a)22ab16. 已知 f(x)是定

7、義在 1 ， 0) (0， 1 上的奇函數(shù)，當 x 1 ， 0 時， f (x) 2ax 12x( a 為實數(shù)) ( 1)當x (0， 1時，求 f (x) 的解析式；2)若a 1 ，試判斷f (x) 在 0 ， 1 上的單調(diào)性，并證明你的結論；( 3)是否存在a，使得當x (0， 1時， f (x) 有最大值617. ( 1)設 x (0， 1 ，則 x 1 ， 0) ， f ( x) 2ax 2 ， f(x) 是奇函數(shù)，則x1f(x)2ax 2， x(0，1；x2111(2) f'(x) 2a32(a3 ) ，因為 a 1 ， x (0 ， 1 ，3 1， a 3 0 ，xxxx即

8、 f' (x) 0 ，所以 f (x) 在 0 ， 1 上是單調(diào)遞增的5( 3)當a 1 時， f (x) 在 (0， 1 上單調(diào)遞增，f (x)maxf (1) a a 5 (不含題意，舍去)，當 a 1 ，則 f' (x) 0， x ，如下表f(x)maxf ()aa6 a 2 2 x (01，2x31(x)a31a31( a，)f (x)0-f (x)最大值所以存在a 2 2 使 f (x) 在 (0， 1 上有最大值66. 已知 f(x) kx3 x2 x 5在 R 上單調(diào)遞增，記ABC的三內(nèi)角A,B,C 的對應邊分別為 a,b, c ，若 a2 c2 b2 ac時，不

9、等式f m sin2 B cos(A C) f(2 m 33)恒成4立()求實數(shù)k 的取值范圍；()求角cosB的取值范圍；()求實數(shù)m 的取值范圍32219. (1) 由 f(x) kx x x 5知 f (x) 3kx 2x 1 ， f (x) 在 R 上 單 調(diào) 遞 增 ，1f (x) 0恒成立，3k 0且 0，即 k 0且 4 12k 0， k ，30 ，即 kx 1 時 f (x)122時， f (x) 3kx2 2x 1 (x 1)2，10， x 1 時， f (x) 0， 即當 k 31 時， 能使 f(x) 在 R上單調(diào)遞增，(2)22 b21a2 c2 b2 ac，由余弦定理

10、：cosB a c b ac 12ac 2ac 20 B ， 53分(3) f(x) 在 R上單調(diào)遞增，且f m sin2 B cos(A C)233m sin B cos(A C) 2 m4f (2 m 33)，所以2sin B cosA( C)3342332291 2sin B cosB cosB cosB (cosB ) 7 8， -10442故 m 2 m 8，即( m 1)2 9，3 m 1 3 ，即0 m 4，即0 m 167. 已知函數(shù)f (x)ax33(a 2)x2 6x 32I )當 a 2 時，求函數(shù)f (x) 的極小值II )試討論曲線y f (x) 與 x 軸的公共點的

11、個數(shù)。227. ( I ) f (x)3ax2 3(a 2)x 6 3a(x )(x 1)a222a2f (x) 在 (, ) ， ( 1 ，a故 f (x) 的極小值為f (1)a 2,1 當 x 或 x 1時， f (x) 0；當x 1 時， f (x) 0aa2) 內(nèi)單調(diào)遞增，在( ,1)內(nèi)單調(diào)遞減aa2II )若 a 0,則 f(x) 3(x 1)2 f (x) 的圖象與x軸只有一個交點。6 分f (x)222若 a 0,則 1 ， 當 x 或 x 1 時， f (x) 0， 當 x 1時， aaaaf (x) 的極大值為f (1) 2a 0f (x) 的極小值為f (2) 0 f (

12、x) 的圖象與x 軸有三個公共點。a2若 0 a 2 ，則 2 1 。ax 1或 x2時， f (x) a20 ，當x 1 時， f (x) 0af (x) 的圖象與x 軸只有一個交點若 a 2，則 f (x) 6(x 1)20 f (x)的圖象與x軸只有一個交點2133當 a 2，由( I )知 f (x) 的極大值為f(2)4(13)2 3 0aa44綜上所述，若a 0, f (x) 的圖象與x軸只有一個公共點；若 a 0，f(x)的圖象與 x軸有三個公共點。第二組：解析幾何1. 已知點C( -3 ， 0) ，點P 在 y 軸上，點Q在 x軸的正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足1CP PM

13、 0,PM MQ2( 1 )當點 P 在 y 軸上運動時，求點M的軌跡C的方程；( 2)是否存在一個點H，使得以過H點的動直線L 被軌跡 C截得的線段AB為直徑的圓始終過原點O。若存在，求出這個點的坐標，若不存在說明理由。6. ( 1 )設 M(x,y), P(0, t), Q(s, 0)則 CP (3,t),PQ (s, t)由 CP PQ 0得 3s t2=011又由 PM MQ 得 (x, y t) (s x, y)22s 3x32y1x (s x)2，1y t ( y)2把代入得9x (3 y)2 =0，即y2=4x，又x 02點M的軌跡方程為：y2=4x( x 0)( 2)如圖示，假

14、設存在點H，滿足題意，則OA OB即 OA OB 022設 A(y1 ,y1),B(y2 ,y2)，則由OA OB 0可得4422y1 y2y1y2 0解得y1y21616又 kABy22 y124y2 y1y1 y244則直線 AB的方程為：y y14 (x y1 )y1 y2422即(y1y2)yy1y1y24xy1把y1y216代入，化簡得(4x 16) (y1y)y 0令 y=0 代入得x=4，動直線AB過定點(4， 0)答，存在點H( 4， 0) ，滿足題意。2. 設 x, y R, i , j 為直角坐標平面內(nèi)x,y 軸正方向上的單位向量，若向量a xi (y 2) j ,b xi

15、 (y 2)j ,且 a b8.(1) 求點M( x,y )的軌跡C的方程；(2) 過點 (0,3) 作直線 l 與曲線 C 的交于A、 B兩點，設OP OA OB ，是否存在這樣的直線 l ，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線l 的方程；若不存在，說明理由2. (1) a (x, y 2),b (x,y 2),且 a b 8即點 M(x,y) 到兩個定點F1(0,-2) 、 F2(0,2) 的距離之和為8,22yx點M( x,y )的軌跡C為以F1(0,-2) 、 F2(0,2) 為焦點的橢圓，其方程為1.1612(2) 由題意可設直線l 方程為 y kx 3, A(x1 , y1

16、), B(x2, y2) ，y kx 32由 y2x2消去 y 得： (4+3k)x 2 +18kx-21=0.118k4 3k2214 3k21612x1x2此時，=(18k) 2-4(4+3k 2 (-21)>0 恒成立，且由 OP OA OB 知：四邊形OAPB為平行四邊形假設存在直線l ，使得四邊形OAPB為矩形，則OA OB,即 OA 0B 0 .因為 OA (x1 , y2),OB (x2 ,y2) ，所以x1x2 y1 y2 0 ，而 y1 y2 (kx1 3) (kx2 3) k2x1 x2 3k(x1 x2) 9 ，故 (1 k2)(21 2 ) 3k(18k 2) 9

17、 0，即 k25 ,得 k 5 .4 3k24 3k21845所以，存在直線l ： y x 3 ，使得四邊形OAPB為矩形.43. 一束光線從點F1 ( 1, 0)出發(fā)，經(jīng)直線l : 2x y 3 0上一點 P 反射后，恰好穿過點F2 (1, 0) ()求點F1 關于直線l 的對稱點F1 的坐標；()求以F1、 F2為焦點且過點P 的橢圓 C 的方程；()設直線l 與橢圓 C 的兩條準線分別交于A、 B 兩點，點Q為線段 AB 上的動點，求點 Q 到 F2的距離與到橢圓C 右準線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點Q的坐標12. ()設F1 的坐標為(m,n)，則 n 1 且 2 m 1 n

18、 3 01 m1 2229292解得 m , n ， 因此，點F1 的坐標為(, ) 5555()PF1PF1 ，根據(jù)橢圓定義，得 2a |PF1 | |PF2| |F1F2 |( 9 1)2 (2 0)2 2 2，55a 2， b 2 1 12所求橢圓方程為xy2 1 2a2()a 2 ， 橢圓的準線方程為x 2 c設點 Q的坐標為(t , 2t 3) ( 2 t 2), d1表示點Q 到 F2的距離，d2 表示點Q到橢圓的右準線的距離則 d1(t 1)2 (2t3)25t2 10t 10，d2t 2d1d25t2 10t 10令 f(t)t22t2 2t 2 (t 2)2t 2 2t 22

19、， (t 2)22t2) ，則2 f (t) (2t 2) (t 2)2(t2(t 2)42t 2) 2(t 2)(6t 8)(t 2)32tf(t)在 t43, f (t) 0，4時取得最小值343t 2,(t) 0，43， f (t) 0因此， d1 最小值5 f ( 4)d23注： f (t)的最小值還可以用判別式法、換元法等其它方法求得2，此時點Q 的坐標為241, ) 33說明： 求得的點Q ( 4 , 1 ) 即為切點P ， d1 的最小值即為橢圓的離心3 3d24. 已知橢圓的一個焦點F1(0, 2 2) ，對應的準線方程為y 9 2 ，且離心率e滿足 2 ，143e ， 4 成

20、等比數(shù)列.3(1) 求橢圓的方程；(2) 試問是否存在直線l ， 使 l 與橢圓交于不同的兩點M 、 N ， 且線段 MN 恰被直線x平分？若存在，求出l 的傾斜角的取值范圍；若不存在，請說明理由e223242244. ( 1 ), e, 成等比數(shù)列 e3333設 p(x, y)是橢圓上任意一點，依橢圓的定義得x2 (y 2 2)22 2,化簡得9x2 y2 9 即 x232y 1 為所求的橢圓方程912)假設l 存在，因l 與直線 x 相交，不可能垂直x 軸2l 的方程為：y kx m 由22 消去 y, 得 9x2 (kx m)2 9整理得9x2 y2 9(k2 9)x2 2kmx (m2

21、 9) 0方程有兩個不等的實數(shù)根 4k2m2 4(k2 9)(m2 9) 0即 m2 k2 9 0 設兩個交點MN 的坐標分別為(x1, y1 )(x2 , y2)2kmx1 x22k9MN 恰被直線xk0mk2 9 0k2 9 2k k2 9 4k21 1x1 x22km平分 x1 x2 即2 m2 22 k2 92k9 把代入得()2 (k 2 9)2k1 0 k23解得 k 3或 k 32l 的傾斜角范圍為( , ) ( , 2 )3223rrr rrr5. 已知向量a (x, 3y),b (1,0),且 (a 3b) (a 3b).()求點Q(x, y) 的軌跡C的方程；() 設曲線C

22、與直線y kx m 相交于不同的兩點M、 N， 又點 A(0, 1) ， 當 AM AN時，求實數(shù)m 的取值范圍。5. 由題意得：II )由y kx mx22 得 (3k2y1321)x 6mkx3(m2 1) 0,0 ，即m2 3k2 1xp3mkkxp mmkyp 12m 3k2 12yp2kAP3mk3k21p3k21xpAPMN ,則m3k2 11即 2m 3k2 1.3mkk1)當k 0時，設弦MN的中點為P(xp, yp),xM 、 xN分別為點M、 N的橫坐標，則xM xN2又 AM AN ,22 2m 11將代入得2m m2，解得0 m 2, 由得k2m 0,解得 m ,32故

23、所求的m 取值范圍是( 1 ,2)( 2)當k 0時， AM AN , AP MN,m2 3k2 1,解得1 m 16. 設 直 線 l : y k(x 1) 與 橢 圓22x 3y2a (a0)相交于A、 B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點.2I )證明：a23k 21 3k2( II )若 AC 2CB,求 OAB 的面積取得最大值時的橢圓方程.16. 依題意，直線l 顯然不平行于坐標軸，故y k(x 1)可化為x y 1.k1將 x y 1代入x 3y a ,消去 x，得k1222（ 2 3）y2 y 1 a20.kk由直線 l 與橢圓相交于兩個不同的點，得4k24(即 a

24、23k123)(1 a2)0, 整理得 ( 12kk223)a3，II ）解：設其中，上式取等號的條件是1 3k 2A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ). 由，得y1AC 2CB, 得 y12y2，代入上式，得OAB的面積Sy2y22k3k 22k1 3k2 .y2將k2k1 3k233 , y2, 可得y2所以，OAB的面積取得最大值的橢圓方程是12 |OC | | y1 y2 |3|k|3|k|1 3k 22 3 | k |3k2 1,即 k3 及k33.333 ,y2| y2 |3這兩組值分別代入，均可解出3x2 3y25.5.7. 如圖， 已知 O ： x 2 2 y2 8

25、及點 A 2,0 ， 在 O 上任取一點A，連 AA并作AA的中垂線l ，設 l 與直線 OA交于點P，若點（ 1）求點 P 的軌跡 C 的方程；（ 2） 若過點 O 的直線 m 與曲線 C 交于 M 、 求直線 m 的斜率 k 的取值范圍.A取遍O 上的點 .uuuurN 兩點 , 且 O NuuuuurO M , 則當 6,)時 ,7. (1) l 是線段 AA 的中垂線，PA |PA| |P O |=|P A | |P O |=|為焦距，以2 2 為實軸長的雙曲線上，故軌跡PA ,A |= 2 2 . 即點2C 的方程為x2P 在以 O 、 A 為焦點，以(2) 設M (x1, y1),

26、 N (x2, y2) , 則直線y22 uuuurx2(x1 2) 2 , y2y1 .y1y24k2 , y1 y2 ky2y1 , y1y2m 的方程為yy k(xk(x2), 22) , 則由 O NuuuuurOM,得(122 k2)y224ky 2k2 0 . 消去y1, y2 , 得82 1k22k2, 1k4k2, 1k2(1)16k2 8k2(1y1 y222k2, k2.k2)8k2(1k2)0.6 , 函數(shù) g(2 在 6,） 上單調(diào)遞增 . 8 2 6 1 21k 6496故斜率 k 的取值范圍為121 k2 1 ，所以49111, 1U1,1).111 k 1或 1

27、k1.8. 如圖， 已知 O ： x276 m3722 4mm 0 及點 M0, 6m在 O 上任取一點 M ， 連 M M ，并作 O 上的點 .M 的中垂線l ，設 l 與 OP，若點 M 取遍( 1)求點 P 的軌跡 C 的方程；( 2)設直線l : y k(x 1)(k 0) 與軌跡 C相交于A、點D. 若 uAuDur 2uDuBur, 求 OAB 的面積取得最大值時的橢圓方程8. (1) l 是線段 MM 的中垂線，PMPM , |PM|+|P O |=|P M |+|P O |=| O M |=2m m 0 .即點 P在以 O 、 M為焦點，以2 6 m為焦距，以2m為長3軸長的

28、橢圓上，故軌跡C 的方程為2 y2 m2x21 ，即m33x22m.2)由k(x1)(k0)得 x1 ky1.將x3 (k21)y21 ky6 ky1代l 與橢圓相交于兩個不同的點，得3632 4( 2k2k2入 3x2a2 0.m2 消去 x，B 兩個不同的點，與x 軸相交于1)(3 m2) 0, 整理得 ( 32 1)mk3 ，即3k23 k2.設 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2). 由，得y1uuur uuur AD 2DB,而點 D( 1,0), ( 6k代入上式，得y26k2 .2 3 k26ky223 k21 x1, y1 )2(x21,y2) ，所以y12y2，1O

29、AB的面積S | OD | | y1其中，上式取等號的條件是y2將k6k2 . 可得 y23 k223, y23 及 kk2 3,即 k3.3y2 | 2 | y2 |3.3, y23 這兩組值分別代入，均可解出9|k|9|k|3 k2 2 3|k|332a2 15.OAB的面積取得最大值的橢圓方程是3x2 y2 15.第三組：數(shù)列不等式一先求和后放縮例 1正數(shù)數(shù)列an 的前 n 項的和 Sn ，滿足 2 Snan 1 ，試求：1 ）數(shù)列 a n 的通項公式；2）設bn11，數(shù)列 bn 的前 n 項的和為Bn，求證：Bnanan 12解 ：（1已 知 得4Sn(an 1)2 ， n 2 時 ，

30、 4Sn 1(an 1 1)2 ， 作 差 得 ：4ana n 2an an 1 2an 1 ， 所以(an a n 1 )(a nan 12）0 ， 又因為 an 為正數(shù)數(shù)列，所以an an 12，即an 是公差為2 的等差數(shù)列，由2 S1a11，得a11 ，所an 2n 12) bn1anan 1111111 ( 11 ) ，所以(2n 1)(2n 1)2 2n 1 2n 1Bn111111111(1)23 3 5 2n 1 2n 12 2(2n 1)2注：一般先分析數(shù)列的通項公式如果此數(shù)列的前n 項和能直接求和或者通過變形后求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式求和的方式一般要用到等

31、差、等比、 差比數(shù)列 （這里所謂的差比數(shù)列，即指數(shù)列 an 滿足條件an 1anf n ）求和或者利用分組、裂項、倒序相加等方法來求和二先放縮再求和1 放縮后成等差數(shù)列，再求和2例已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an 的前n 項和為Sn ,且 an2 an 2Sn .（1） 求證：Sn22anan 1(2) 求證： nS1S2解：1 ）在條件中，令n 1 ，得a1 a1 2S1 2a1 ，a10a11 ，又由條件an 1Sn 1Sn得22a n2a n2 Sn 有an2 1 an 12Sn 1 ，上述兩式相減，注意到(an 1 an)(anan1) 0an 0an 1anan 1an 1所以， an 1

32、 1(n1)n ，Snn(n 1)2所以Snn(n 1)22n2 (n 1)222 anan42放縮后成等比數(shù)列，再求和2）因為S1S2n2 3n22n(n 1) n 1 ，所以32Snn 1； S1 S2例 （ 1 ）設a， n N*， a 2，證明：2）等比數(shù)列an中，a11，前 2n(n 1)22n(n 1)2Sn12222nna ( a) (a 1)n 項的和為An，且n(nA 7， A9，A8 成n121)22Sn等差數(shù)列設bnan1，數(shù)列bn前n 項的和為Bn，證明：an1Bn<3解： （ 1 ）當 n 為奇數(shù)時，2n a(a)nan(an 1)(a1) an2)Bnb1當 n 為偶數(shù)時，2n aA9b23放縮后為差比數(shù)列，再求和a 1 1 ，且an a 2，于是n( a)A7 a8nna (a 1)(a2 1)(a 1)(a 1)(a1)A8A9a9，a8a9，公比a9a8bn14n12)n4n1( 2) n12nbn31213 2213 2n12(1212)1 1213(121n)例4已知數(shù)列 an 滿足：a1(12n )an (n1,2,3） 求證：n1an 1an2n 1證明：