高中數(shù)學(xué)必修一集合與函數(shù)的概念-復(fù)習(xí)資料全

1、- 1 - / 21 必修 1 第一章集合與函數(shù)概念1.1 集合【1.1.1 】集合的含義與表示 1集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性. 2常用數(shù)集與其記法n表示自然數(shù)集，n或n表示正整數(shù)集，z表示整數(shù)集，q表示有理數(shù)集，r表示實數(shù)集 . 3集合與元素間的關(guān)系對象a與集合m的關(guān)系是am，或者am，兩者必居其一. 4集合的表示法自然語言法：用文字表達(dá)的形式來描述集合. 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號表示集合. 描述法： x|x具有的性質(zhì) ，其中x為集合的代表元素. 圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合. 5集合的分類含有有限個元素的集合叫做有限集. 含有無限個元素的集合

2、叫做無限集. 不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.2 】集合間的根本關(guān)系6子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集ba或)aba 中的任一元 素 都 屬于 b (1)aa (2)a(3)假 設(shè)ba且bc，那么ac(4)假 設(shè)ba且ba，那么ab或真子集ab 或 baba，且b 中至少有一 元 素 不屬于 a 1aa為非空子集(2)假 設(shè)ab且bc，那么ac集合相等aba 中的任一元 素 都 屬于 b ，b 中的 任 一 元(1)ab (2)ba - 2 - / 21 素都屬于a 7集合a有(1)n n個元素，那么它有2n個子集，它有21n個真子集，它有21n個非空子集，它有2

3、2n非空真子集 . 【1.1.3 】集合的根本運算8交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集ab|,x xa且xb1aaa2a3abaabb并集ab|,x xa或xb1aaa2aa3abaabb補集ua|,x xuxa且1()uaa2()uaau3()()()uuuabab4()()()uuuabab【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法1含絕對值的不等式的解法不等式解集|(0)xa a|xaxa|(0)xa a|x xa或xa|,|(0)axbc axbc c把axb看 成 一 個 整 體 ， 化 成|xa，|(0)xa a型不等式來求解2一元二次不等式的解法判別式24bac0

4、00- 3 - / 21 二次函數(shù)2(0)yaxbxc a的圖象o一元二次方程20(0)axbxca的根21,242bbacxa其中12)xx122bxxa無實根20(0)axbxca的解集1|x xx或2xx|x2bxar20(0)axbxca的解集12|x xxx1.2 函數(shù)與其表示【1.2.1 】函數(shù)的概念1函數(shù)的概念設(shè)a、b是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法那么f，對于集合a中任何一個數(shù)x，在集合b中都有唯一確定的數(shù)( )f x和它對應(yīng)， 那么這樣的對應(yīng) 包括集合a，b以與a到b的對應(yīng)法那么f叫做集合a到b的一個函數(shù)，記作:fab函數(shù)的三要素: 定義域、值域和對應(yīng)法那么只有定義域一樣

5、，且對應(yīng)法那么也一樣的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)2區(qū)間的概念與表示法設(shè),a b是兩個實數(shù)， 且ab， 滿足axb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間， 記做 , a b； 滿足axb的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做( , )a b；滿足axb，或axb的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū) 間 ， 分 別 記 做 , )a b，( , a b； 滿 足,xa xa xb xb的 實 數(shù)x的 集 合 分 別 記 做 ,),(,),(, ,(, )aabb注意： 對于集合|x axb與區(qū)間( , )a b，前者a可以大于或等于b，而后者必須ab3求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原那么：( )f x是整式時，定義域是全體實數(shù)- 4

6、 - / 21 ( )f x是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)( )f x是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1tanyx中，()2xkkz零負(fù)指數(shù)冪的底數(shù)不能為零假設(shè)( )fx是由有限個根本初等函數(shù)的四那么運算而合成的函數(shù)時，那么其定義域一般是各根本初等函數(shù)的定義域的交集對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：假設(shè)( )fx的定義域為 , a b，其復(fù)合函數(shù)( )f g x的定義域應(yīng)由不等式( )ag xb解出對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)展分類討論由實際問

7、題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義4求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法根本上是一樣的事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小大數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小大值因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是一樣的，只是提問的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法：觀察法：對于比擬簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值圍確定函數(shù)的值域或最值判別式法：假設(shè)函數(shù)( )yf x可以化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程2( )( )( )0a y xb y xc y，那么在( )0a y時，由于,x

8、y為實數(shù)，故必須有2( )4 ( )( )0bya yc y，從而確定函數(shù)的值域或最值不等式法：利用根本不等式確定函數(shù)的值域或最值換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值函數(shù)的單調(diào)性法【1.2.2 】函數(shù)的表示法5函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種- 5 - / 21 解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系圖象法：就

9、是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系6映射的概念設(shè)a、b是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法那么f，對于集合a中任何一個元素，在集合b中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng) 包括集合a，b以與a到b的對應(yīng)法那么f叫做集合a到b的映射，記作:fab給定一個集合a到集合b的映射， 且,aa bb如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象1.3 函數(shù)的根本性質(zhì)【1.3.1 】單調(diào)性與最大小值1函數(shù)的單調(diào)性定義與判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對于屬于定義域i 某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2, 當(dāng) x1 x 2時，都有f(x 1)f(x 2)，

10、那么就說f(x)在這個區(qū)間上是 增函數(shù)x1x2y=f(x)xyf(x )1f(x )2o1利用定義2利用函數(shù)的單調(diào)性3利用函數(shù)圖象在某個區(qū)間圖象上升為增4 利用復(fù)合函數(shù)如果對于屬于定義域i 某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、 x2，當(dāng) x1f(x 2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是 減函數(shù)y=f(x)yxoxx2f(x )f(x )2111利用定義2利用函數(shù)的單調(diào)性3利用函數(shù)圖象在某個區(qū)間圖象下降為減4 利用復(fù)合函數(shù)在公共定義域，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)對于復(fù)合函數(shù)( )yf g x，令( )ug x，假設(shè)(

11、 )yf u為增，( )ug x為增，那么 ( )yf g x為增；假設(shè)( )yf u為減，( )ug x為減，那么( )yf g x為增；假設(shè)( )yf u為增，( )ug x為減，那么( )yf g x為減；假設(shè)( )yf u為減，( )ug x為增，那么( )yf g x為減2打“函數(shù)( )(0)af xxax的圖象與性質(zhì)- 6 - / 21 ( )fx分別在(,a、,)a上為增函數(shù)，分別在,0)a、(0,a上為減函數(shù)3最大小值定義一般地， 設(shè)函數(shù)( )yf x的定義域為i，如果存在實數(shù)m滿足： 1對于任意的xi，都有( )f xm；2存在0 xi，使得0()f xm那么，我們稱m是函數(shù)

12、( )f x的最大值，記作max( )fxm一般地，設(shè)函數(shù)( )yf x的定義域為i，如果存在實數(shù)m滿足：1對于任意的xi，都有( )fxm； 2存在0 xi，使得0()f xm那么，我們稱m是函數(shù)( )f x的最小值，記作max( )fxm【1.3.2 】奇偶性4函數(shù)的奇偶性定義與判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域任意一個x，都有 f( x)= f(x) , 那 么 函 數(shù)f(x) 叫做 奇函數(shù)1利用定義要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱 2利用圖象圖象關(guān)于原點對稱如果對于函數(shù)f(x)定義域任意一個x，都有 f( x)= f(x) , 那么函數(shù)f(x)叫做

13、偶函數(shù)1利用定義要先判斷定義域是否關(guān)于原點對稱2利用圖象圖象關(guān)于 y 軸對稱假設(shè)函數(shù)( )f x為奇函數(shù)，且在0 x處有定義，那么(0)0f奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性一樣，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反在公共定義域，兩個偶函數(shù)或奇函數(shù)的和或差仍是偶函數(shù)或奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)或奇函數(shù)的積或商是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積或商是奇函數(shù)yxo- 7 - / 21 補充知識函數(shù)的圖象1作圖利用描點法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)奇偶性、單調(diào)性；畫出函數(shù)的圖象利用根本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角

14、函數(shù)等各種根本初等函數(shù)的圖象平移變換0,0,|( )()hhhhyf xyf xh左移 個單位右移 |個單位0,0,|( )( )kkkkyf xyfxk上移 個單位下移|個單位伸縮變換01,1,( )()yf xyfx伸縮01,1,( )( )aayf xyafx縮伸對稱變換( )( )xyf xyf x軸( )()yyf xyfx軸( )()yf xyfx原點1( )( )y xyf xyfx直線( )(|)yyyyf xyfx去掉 軸左邊圖象保留 軸右邊圖象，并作其關(guān)于軸對稱圖象( )|( )|xxyf xyf x保留 軸上方圖象將 軸下方圖象翻折上去2識圖對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象

15、的左右、上下分別圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系3用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法- 8 - / 21 第一章集合與函數(shù)概念第一講集合熱點考點題型探析考點一：集合的定義與其關(guān)系題型 1：集合元素的根本特征 例 1 2008 年理定義集合運算：|,a bz zxy xa yb設(shè)1,2 ,0,2ab，那么集合ab的所有元素之和為a0；b2；c 3；d6 解題思路 根據(jù)ab的定義，讓x在a中逐一取值，讓y在b中逐一取值，xy在

16、值就是ab的元素 解析 ：正確解答此題 , 必需清楚集合ab中的元素， 顯然，根據(jù)題中定義的集合運算知ab=4,2 ,0，故應(yīng)選擇d 【名師指引】這類將新定義的運算引入集合的問題因為背景公平，所以成為高考的一個熱點，這時要充分理解所定義的運算即可，但要特別注意集合元素的互異性。題型 2：集合間的根本關(guān)系 例 2 數(shù)集znnx,)12(與zkky,)14(之的關(guān)系是ax y；by x； cyx；dyx 解題思路 可有兩種思路：一是將x和y的元素列舉出來，然后進(jìn)展判斷；也可依選擇支之間的關(guān)系進(jìn)展判斷。 解析 從題意看，數(shù)集x與y之間必然有關(guān)系，如果a成立，那么d就成立，這不可能；同樣， b也不能成

17、立；而如果d成立，那么a、b中必有一個成立，這也不可能，所以只能是c 【名師指引】新定義問題是高考的一個熱點，解決這類問題的方法就是嚴(yán)格根據(jù)題中的定義，逐個進(jìn)展檢驗，不方便進(jìn)展檢驗的，就設(shè)法舉反例?？键c二：集合的根本運算 例 3 設(shè)集合0232xxxa，0)5() 1(222axaxxb（1）假設(shè)2ba，數(shù)a的值；2假設(shè)aba，數(shù)a的取值圍假設(shè)2ba， 解題思路 對于含參數(shù)的集合的運算，首先解出不含參數(shù)的集合，然后根據(jù)條件求參數(shù)。 解析 因為2, 10232xxxa，1由2ba知，b2，從而得0)5() 1(4222aa，即0342aa，解得1a或3a當(dāng)1a時，2,2042xxb，滿足條件；-

18、 9 - / 21 當(dāng)3a時，20442xxxb，滿足條件所以1a或3a2對于集合b，由)3(8)5(4)1(422aaa因為aba，所以ab當(dāng)0，即3a時，b，滿足條件；當(dāng)0，即3a時，2b，滿足條件；當(dāng)0，即3a時，2 , 1ab才能滿足條件，由根與系數(shù)的關(guān)系得725521)1(22122aaaa，矛盾故實數(shù)a的取值圍是3a【名師指引】對于比擬抽象的集合，在探究它們的關(guān)系時，要先對它們進(jìn)展化簡。同時，要注意集合的子集要考慮空與不空,不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況. 第 2 講函數(shù)與映射的概念求值域的幾種常用方法1配方法：對于可化為“二次函數(shù)型的函數(shù)常用配方法，如求函數(shù)4cos2sin

19、2xxy，可變?yōu)?)1(cos4cos2sin22xxxy解決 2 根 本 函 數(shù) 法 ： 一 些 由 根 本 函 數(shù) 復(fù) 合 而 成 的 函 數(shù) 可 以 利 用 根 本 函 數(shù) 的 值 域 來 求 ， 如 函 數(shù)) 32(log221xxy就是利用函數(shù)uy21log和322xxu的值域來求。3判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數(shù)22122xxxy的值域由22122xxxy得012) 1(22yxyyx，假設(shè)0y，那么得21x，所以0y是函數(shù)值域中的一個值； 假設(shè)0y， 那么由0)12(4)1(22yyy得021332133yy且，故所求值域是2133,21334別離常數(shù)法：常

20、用來求“分式型函數(shù)的值域。如求函數(shù)1cos3cos2xxy的值域，因為1cos521cos3cos2xxxy，而2,0(1cosx，所以25,(1cos5x，故21,(y- 10 - / 21 5利用根本不等式求值域：如求函數(shù)432xxy的值域當(dāng)0 x時，0y；當(dāng)0 x時，xxy43，假設(shè)0 x，那么4424xxxx假設(shè)0 x，那么4)4()(2)4(4xxxxxx，從而得所求值域是43,436利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù))2 , 1(2224xxxy的值域因) 14(22823xxxxy，故函數(shù))2, 1(2224xxxy在)21, 1(上遞減、 在)0,21(上遞增、在)21,0(上

21、遞減、在)2 ,21(上遞增，從而可得所求值域為30,815 7圖象法：如果函數(shù)的圖象比擬容易作出，那么可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域求某些分段函數(shù)的值域常用此法 。熱點考點題型探析考點一：判斷兩函數(shù)是否為同一個函數(shù) 例 1 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？12)(xxf，33)(xxg；2xxxf)(，; 01,01)(xxxg31212)(nnxxf，1212)()(nnxxgnn* ；4xxf)(1x，xxxg2)(；512)(2xxxf，12)(2tttg 解題思路 要判斷兩個函數(shù)是否表示同一個函數(shù)，就要考查函數(shù)的三要素。 解析 1由于xxxf2)(，xxxg33)(，故它們的值域

22、與對應(yīng)法那么都不一樣，所以它們不是同一函數(shù). 2由于函數(shù)xxxf)(的定義域為),0()0,(，而; 01, 01)(xxxg的定義域為r，所以它們不是同一函數(shù). 3由于當(dāng)n n*時， 2n1 為奇數(shù)，xxxfnn1212)(，xxxgnn1212)()(，它們的定義域、值域與對應(yīng)法那么都一樣，所以它們是同一函數(shù). 4 由 于 函 數(shù)xxf)(1x的 定 義 域 為0 xx， 而xxxg2)(的 定 義 域 為- 11 - / 21 10 xxx或，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù). 5函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法那么都一樣，所以它們是同一函數(shù). 答案 1 、 2 、 4不是；3 、 5是

23、同一函數(shù)【名師指引】構(gòu)成函數(shù)的三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系確定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)為同一函數(shù)。第5小題易錯判斷成它們是不同的函數(shù)。 原因是對函數(shù)的概念理解不透，在函數(shù)的定義域與對應(yīng)法那么f不變的條件下， 自變量變換字母對于函數(shù)本身并無影響，比如1)(2xxf，1)(2ttf，1) 1()1(2uuf都可視為同一函數(shù) . 考點二：求函數(shù)的定義域、值域題型 1：求有解析式的函數(shù)的定義域 例 2. 08 年函數(shù))(xf)4323ln(122xxxxx的定義域為 ( ) a.),2)4,(;b.)1 ,0()0 ,4(；c.

24、1 ,0()0,4,;d. )1 ,0()0, 4, 解題思路 函數(shù)的定義域應(yīng)是使得函數(shù)表達(dá)式的各個局部都有意義的自變量的取值圍。 解析 欲使函數(shù))(xf有意義，必須并且只需0043230430232222xxxxxxxxx)1 ,0()0 ,4x，故應(yīng)選擇d【名師指引】如沒有標(biāo)明定義域，那么認(rèn)為定義域為使得函數(shù)解析式有意義的x的取值圍，實際操作時要注意：分母不能為0； 對數(shù)的真數(shù)必須為正；偶次根式中被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)；零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于0； 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，底數(shù)應(yīng)大于0；假設(shè)解析式由幾個局部組成，那么定義域為各個局部相應(yīng)集合的交集；如果涉與實際問題，還應(yīng)使得實際問題有意義，而且注意：研究

25、函數(shù)的有關(guān)問題一定要注意定義域優(yōu)先原那么，實際問題的定義域不要漏寫。題型 2：求抽象函數(shù)的定義域 例 3 2006 設(shè)xxxf22lg，那么xfxf22的定義域為a. 4, 00, 4；b. 4, 11,4；c. 2 , 11,2；d. 4, 22,4 解題思路 要求復(fù)合函數(shù)xfxf22的定義域，應(yīng)先求)( xf的定義域。 解析 由202xx得，( )f x的定義域為22x，故22,2222.xx解得4, 11,4x。故xfxf22的定義域為4, 11,4. 選 b. 【名師指引】求復(fù)合函數(shù)定義域, 即函數(shù)( )fx的定義為 , a b，那么函數(shù)( )f g x的定義域是滿足不等式- 12 -

26、 / 21 ( )ag xb的x的取值圍；一般地，假設(shè)函數(shù)( )f g x的定義域是 , a b，指的是 , xa b，要求( )f x的定義域就是 , xa b時( )g x的值域。題型 3；求函數(shù)的值域 例 4 函數(shù))(6242raaaxxy，假設(shè)0y恒成立，求32)(aaaf的值域 解題思路 應(yīng)先由條件確定a取值圍，然后再將)(af中的絕對值化去之后求值域 解析 依題意，0y恒成立，那么0)62(4162aa，解得231a，所以417)23()3(2)(2aaaaf，從而4) 1()(maxfaf，419)23()(minfaf，所以)(af的值域是4,419【名師指引】求函數(shù)的值域也是

27、高考熱點，往往都要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值?？键c三：映射的概念 例 5 06為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文密文加密 ，接收方由密文明文解密，加密規(guī)那么為：明文, , ,a b c d對應(yīng)密文2 ,2,23 ,4 .abbccdd例如，明文1,2,3, 4對應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時，那么解密得到的明文為a7,6,1, 4；b6,4,1,7；c4,6,1,7；d1,6, 4,7 解題思路 密文與明文之間是有對應(yīng)規(guī)那么的，只要按照對應(yīng)規(guī)那么進(jìn)展對應(yīng)即可。 解析 當(dāng)接收方收到密文14，9， 23，28 時，有214292323428abbccd

28、d，解得6417abcd，解密得到的明文為c【名師指引】理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點：1集合a、b與對應(yīng)法那么f是確定的，是一個整體系統(tǒng)；2對應(yīng)法那么有“方向性，即強調(diào)從集合a到集合b的對應(yīng)，它與從集合b到集合a的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；3集合a中每一個元素，在集合b中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對應(yīng)的本質(zhì)特征；4集合a中不同元素，在集合b中對應(yīng)的象可以是同一個；5不要求集合b中的每一個元素在集合a中都有原象 . 第 3 講函數(shù)的表示方法熱點考點題型探析考點 1：用圖像法表示函數(shù) 例 109 年南海中學(xué) 一水池有2個進(jìn)水口 ,1個出水口 , 一個口的進(jìn)、 出水的速度如圖甲、 乙所

29、示 . 某天0點到6點, 該水池的蓄水量如圖丙所示給出以下3個論斷：- 13 - / 21 進(jìn)水量出水量蓄水量甲乙丙10點到3點只進(jìn)水不出水； 23點到4點不進(jìn)水只出水； 34點到6點不進(jìn)水不出水那么一定不正確的論斷是 ( 把你認(rèn)為是符合題意的論斷序號都填上) . 解題思路 根據(jù)題意和所給出的圖象，對三個論斷進(jìn)展確認(rèn)即可。 解析 由圖甲知，每個進(jìn)水口進(jìn)水速度為每小時1 個單位，兩個進(jìn)水口1 個小時共進(jìn)水2 個單位， 3 個小時共進(jìn)水6 個單位，由圖丙知正確；而由圖丙知，3 點到 4 點應(yīng)該是有一個進(jìn)水口進(jìn)水，出水口出水，故錯誤；由圖丙知，4 點到 6 點可能是不進(jìn)水不出水，也可能是兩個進(jìn)水口都

30、進(jìn)水，同時出水口也出水，故不一定正確。從而一定不正確的論斷是 2【名師指引】象這類給出函數(shù)圖象讓考生從圖象獲取信息的問題是目前高考的一個熱點，它要求考生熟悉根本的函數(shù)圖象特征，善于從圖象中發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)。高考中的熱點題型是“知式選圖和“知圖選式?？键c 2：用列表法表示函數(shù) 例 2 07 年函數(shù)( )f x，( )g x分別由下表給出(1)f g的那么值為；滿足 ( )( )f g xg f x的x的值是 解題思路 這是用列表的方法給出函數(shù)，就依照表中的對應(yīng)關(guān)系解決問題。 解析 由表中對應(yīng)值知(1)f g=(3)1f；當(dāng)1x時，(1)1, (1)(1)3f gg fg，不滿足條件當(dāng)2x時， (2)(

31、2)3, (2)(3)1f gfg fg，滿足條件，當(dāng)3x時，(3)(1)1, (3)(1)3f gfg fg，不滿足條件，滿足( )( )f g xg f x的x的值是2x【名師指引】用列表法表示函數(shù)具有明顯的對應(yīng)關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是從表格發(fā)現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系，用好對應(yīng)關(guān)系即可?？键c 3：用解析法表示函數(shù)x1 2 3 ( )f x1 3 1 x1 2 3 ( )g x3 2 1 時間011時間021時間034665- 14 - / 21 題型 1：由復(fù)合函數(shù)的解析式求原來函數(shù)的解析式 例 3 04 改編)11(xxf=2211xx，那么)(xf的解析式可取為 解題思路 這是復(fù)合函數(shù)的解析式求原來函

32、數(shù)的解析式，應(yīng)該首選換元法 解析 令txx11，那么11ttx， 12)(2tttf. 12)(2xxxf. 故應(yīng)填212xx【名師指引】求函數(shù)解析式的常用方法有： 換元法注意新元的取值圍 ； 待定系數(shù)法函數(shù)類型如： 一次、二次函數(shù)、 反比例函數(shù)等 ；整體代換 配湊法；構(gòu)造方程組 如自變量互為倒數(shù)、)(xf為奇函數(shù)且)(xg為偶函數(shù)等 。題型 2：求二次函數(shù)的解析式 例 4 普寧市城東中學(xué)09 屆高三第二次月考 二次函數(shù))(xf滿足xxfxf2)()1(，且1)0(f。求)(xf的解析式；在區(qū)間1 , 1上，)(xfy的圖象恒在mxy2的圖象上方，試確定實數(shù)m的圍。 解題思路 1 由于)(xf

33、是二次函數(shù)， 故可應(yīng)用待定系數(shù)法求解； 2 用數(shù)表示形， 可得求)(2xfmx對于1 , 1x恒成立，從而通過別離參數(shù)，求函數(shù)的最值即可。 解析 設(shè)2( )(0)f xaxbxc a，那么22(1)( ) (1)(1)()2f xf xa xb xcaxbxcaxab與條件比擬得：22,0aab解之得，1,1ab又(0)1fc，2( )1f xxx由題意得：212xxxm即231mxx對1,1x恒成立，易得2min(31)1mxx【名師指引】如果函數(shù)的類型，那么可利用待定系數(shù)法求解；通過別離參數(shù)求函數(shù)的最值來獲得參數(shù)的取值圍是一種常用方法?？键c 4：分段函數(shù)題型 1：根據(jù)分段函數(shù)的圖象寫解析式

34、 例 5 (07年 ) 為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥物消毒法進(jìn)展消毒。藥物釋放過程中，室每立方米空氣中含藥量y毫克與時間t小時成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)- 15 - / 21 系式為ay1161a為常數(shù)，如下圖，根據(jù)圖中提供的信息，回答以下問題：從藥物釋放開媽，每立方米空氣中的含藥量y毫克與時間t小時之間的函數(shù)關(guān)系式為；據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時后，學(xué)生才能回到教室。 思路點撥 根據(jù)題意，藥物釋放過程的含藥量y毫克與時間t是一次函數(shù)，藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系是的，由特殊點的坐標(biāo)確定其中的參

35、數(shù)，然后再由所得的表達(dá)式解決 解析 觀察圖象，當(dāng)1 .00t時是直線，故ty10；當(dāng)1.0t時，圖象過)1 ,1 .0(所以a1. 01611，即1.0a，所以1.0,)161(1 .00,101 .0tttyt6.016116125.01615.01 .01. 0taa，所以至少需要經(jīng)過6.0小時【名師指引】分段函數(shù)的每一段一般都是由根本初等函數(shù)組成的，解決方法是分段處理。題型 2：由分段函數(shù)的解析式畫出它的圖象例 6 (2006 ) 設(shè)函數(shù)54)(2xxxf，在區(qū)間6,2上畫出函數(shù))(xf的圖像。 思路點撥 需將來絕對值符號打開，即先解0542xx，然后依分界點將函數(shù)分段表示，再畫出圖象。

36、 解析 222452156( )45(45)15xxxxf xxxxxx或, 如右上圖 . 【名師指引】分段函數(shù)的解決方法是分段處理，要注意分段函數(shù)的表示方法，它是用聯(lián)立符號將函數(shù)在定義域的各個局部的表達(dá)式依次表示出來，同時附上自變量的各取值圍。第 4 講函數(shù)的單調(diào)性與最值熱點考點題型探析考點 1 函數(shù)的單調(diào)性題型 1：討論函數(shù)的單調(diào)性 例 1 (2008)設(shè)rk,函數(shù)1,1, 1,11)(xxxxxfrxkxxfxf,)()(. - 16 - / 21 試討論函數(shù))(xf的單調(diào)性 . 解題思路 分段函數(shù)要分段處理，由于每一段都是根本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，所以應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)來研究。 解析 : 因為1

37、,1, 1,11)(xxxxxf, 所以rxkxxkxxkxxfxf,111)()(. (1) 當(dāng) x0 ，)1( ,)1(1)(2xkxxf當(dāng)0k時，0)(xf在)1 ,(上恒成立，故f(x) 在區(qū)間)1 ,(上單調(diào)遞增；當(dāng)0k時，令)1( ,0)1(1)(2xkxxf，解得kkx1，且當(dāng)kkx1時，0)(xf；當(dāng)11xkk時，0)(xf故 f(x) 在區(qū)間)1 ,(kk上單調(diào)遞減 , 在區(qū)間)1 ,1 (kk上單調(diào)遞增；(2) 當(dāng) x1 時， x-10 ，)1(,121)(xkxxf當(dāng)0k時，0)(xf在), 1(上恒成立，故f(x) 在區(qū)間), 1(上單調(diào)遞減；當(dāng)0k時，令) 1( ,0

38、121)(xkxxf，解得2411kx，且當(dāng)24111kx時，0)(xf；當(dāng)2411kx時，0)(xf故 f(x) 在區(qū)間)411 , 1(2k上單調(diào)遞減 , 在區(qū)間),411(2k上單調(diào)遞增；綜上得，當(dāng)k=0 時， f(x) 在區(qū)間)1 ,(上單調(diào)遞增， f(x) 在區(qū)間), 1(上單調(diào)遞減；當(dāng) k0 時， f(x) 在區(qū)間)1 ,(上單調(diào)遞增，在區(qū)間)411 , 1(2k上單調(diào)遞減 , 在區(qū)間),411 (2k上單調(diào)遞增；當(dāng)0k時， f(x) 在區(qū)間)1 ,(kk上單調(diào)遞減 , 在區(qū)間)1 ,1(kk上單調(diào)遞增 , 在區(qū)間), 1(上單調(diào)遞減 . 【名師指引】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或研究函數(shù)的單

39、調(diào)性是高考的一個熱點，分段落函數(shù)用注意分段處理. 題型 2：研究抽象函數(shù)的單調(diào)性 例 2 定義在 r上的函數(shù))(xfy，0)0(f，當(dāng)x 0 時，1)(xf，且對任意的a、br，有fa+b=fafb. 1求證：f0=1；2求證：對任意的x r，恒有fx 0；3求證：fx是 r上的增函數(shù)；4假設(shè)fxf2xx2 1，求x的取值圍 . 解題思路 抽象函數(shù)問題要充分利用“恒成立進(jìn)展“賦值，從關(guān)鍵等式和不等式的特點入手。 解析 1證明：令a=b=0，那么f0=f 20. 又f00，f 0=1. 2證明：當(dāng)x0 時，x0，f0 =fxfx=1. - 17 - / 21 fx=)(1xf0. 又x0 時fx

40、1 0，xr時，恒有fx 0. 3證明：設(shè)x1x2，那么x2x10. fx2=fx2x1+x1 =fx2x1fx1. x2x10，fx2x1 1. 又fx1 0，fx2x1fx1fx1. fx2fx1. fx是 r上的增函數(shù) . 4解：由fxf 2xx21，f0=1 得f 3xx2f0. 又fx是 r上的增函數(shù)，3xx20. 0 x3. 【名師指引】解此題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件，尤其是3中“fx2=f x2x1+x1是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，這里表達(dá)了向條件化歸的策略. 考點 2 函數(shù)的值域最值的求法題型 1：求分式函數(shù)的最值 例 3 2000 年函數(shù)xaxxxf2)(2)., 1 , x當(dāng)21a

41、時，求函數(shù))(xf的最小值； 解題思路 當(dāng)21a時，221)(xxxf，這是典型的“對鉤函數(shù)，欲求其最小值，可以考慮均值不等式或?qū)?shù)； 解析 當(dāng)21a時，2211)( , 221)(xxfxxxf1x，0)(xf。)(xf在區(qū)間), 1上為增函數(shù)。)(xf在區(qū)間), 1上的最小值為27)1 (f?！久麕熤敢繉τ诤瘮?shù),221)(xxxf假設(shè)0 x，那么優(yōu)先考慮用均值不等式求最小值，但要注意等號是否成立，否那么會得到2222122)21()(xxxxxf而認(rèn)為其最小值為22，但實際上，要取得等號，必須使得xx21，這時),21x所以，用均值不等式來求最值時，必須注意：一正、二定、三相等，缺一不可

42、。其次, 不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。此題考查求函數(shù)的最小值的三種通法：利用均值不等式，利用函數(shù)單調(diào)性，二次函數(shù)的配方法，考查不等式恒成立問題以與轉(zhuǎn)化化歸思想；題型 2：利用函數(shù)的最值求參數(shù)的取值圍 例 4 2000 年函數(shù)xaxxxf2)(2)., 1 , x假設(shè)對任意1,),( )0 xf x恒成立 , 試數(shù)a的取值圍。- 18 - / 21 解題思路 欲求參數(shù)a的取值圍，應(yīng)從1,),( )0 xf x恒成立的具體情況開始。 解析 02)(2xaxxxf在區(qū)間), 1上恒成立；022axx在區(qū)間), 1 上恒成立；axx22在區(qū)間), 1上恒成立；函數(shù)xxy22在區(qū)間), 1上的

43、最小值為3，3a即3a【名師指引】這里利用了別離參數(shù)的方法，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值。題型 3：求三次多項式函數(shù)的最值 例 5 09 年高州中學(xué)a為實數(shù)，函數(shù))(1()(2axxxf，假設(shè)0)1(f，求函數(shù))(xfy在3,12上的最大值和最小值。 解題思路 求三次多項式函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，應(yīng)該用導(dǎo)數(shù)作為工具來研究其單調(diào)性。 解析 123)(,)(0)1(223axxxfaxaxxxff，由，,2,0123aa3分143)(2xxxf4分)1)(31(3)(xxxf由得：當(dāng)3110)(xxxf或時，5分當(dāng)3110)(xxf時，6分因此，)(xf在區(qū)間 1 ,311,23和單調(diào)遞減，而在31,

44、1單調(diào)遞減，且2750)31()(,2)1()(fxffxf極小值極大值又813)23(f8132750, 6) 1(且f，813)23(,6) 1( 1 ,23)(ffxf最小值上的最大值在，10 分【名師指引】用導(dǎo)數(shù)來研究其單調(diào)性和最值是高考考查的重點和熱點，同時也是難點，要求考生熟練掌握用導(dǎo)數(shù)來研究其單調(diào)性和最值的方法和步驟。第 5 講函數(shù)的奇偶性和周期性熱點考點題型探析- 19 - / 21 考點 1 判斷函數(shù)的奇偶性與其應(yīng)用題型 1：判斷有解析式的函數(shù)的奇偶性 例 1 判斷以下函數(shù)的奇偶性：1fx=|x+1| |x1| ； 2fx=x 1xx11；32|2|1)(2xxxf； 4).

45、0()1(),0()1()(xxxxxxxf 思路點撥 判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)依照定義解決，但都要先考查函數(shù)的定義域。 解析 1函數(shù)的定義域x， +，對稱于原點 . fx=| x+1| | x1|=|x1| |x+1|= |x+1| |x1| =fx ，fx =|x+1| |x1| 是奇函數(shù) . 2先確定函數(shù)的定義域. 由xx110，得 1x 1，其定義域不對稱于原點，所以fx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 3去掉絕對值符號，根據(jù)定義判斷. 由, 02|2|, 012xx得.40, 11xxx且故fx的定義域為 1，0 0，1 ，關(guān)于原點對稱，且有x+20. 從而有fx=2212xx=xx21，fx=

46、xx2)(1=xx21=fx故fx為奇函數(shù) . 4函數(shù)fx的定義域是，0 0，+ ，并且當(dāng)x0 時，x0，fx=x 1x =x1+x=fx x 0. 當(dāng)x0 時，x0，fx=x1x=fx x 0. 故函數(shù)fx為奇函數(shù) . 【名師指引】1 函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個整體性質(zhì), 定義域具有對稱性 ( 即假設(shè)奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域為 d, 那么dx時dx) 是一個函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件2分段函數(shù)的奇偶性一般要分段證明. 判斷函數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡函數(shù)解析式. 題型 2：證明抽象函數(shù)的奇偶性 例 2 09 年梁山定義在區(qū)間)1 , 1(上的函數(shù)f (x) 滿足：對任意的) 1 , 1(, yx，