高考數(shù)學(xué)《向量》專題復(fù)習(xí)(專題訓(xùn)練)

1、. . . . . . 高考 向量 專題復(fù)習(xí)1.向量的有關(guān)概念：（ 1）向量的定義 ：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。（ 2）零向量 ：長度為 0 的向量叫零向量， 記作 ：0. （ 3）單位向量 ：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量。任意向量的單位化：與ab共線的單位向量是abab. （ 4）相等向量 ：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量。（ 5）平行向量又叫共線向量， 記作 ：ab. 向量)0(aa與b共線 ， 則有且僅有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)， 使ab； 規(guī)定 ：零向量和任何向量平行； 兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線， 但兩條直線平行不包含兩條直線重合； 平行向量無傳遞性?。?因?yàn)橛?

2、)； 相等向量一定是共線向量， 但共線向量不一定相等；（ 6）向量的加法和減法滿足平行四邊形法則或三角形法則；2.平面向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算：（ 1）設(shè)),(11yxa，),(22yxb， 則),(2121yyxxba；（ 2）設(shè)),(11yxa，),(22yxb， 則),(2121yyxxba；（ 3）設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為11,x y，22,xy， 則ab=),(1212yyxx；（ 4）設(shè)),(11yxa，),(22yxb， 向量平行ba/1221yxyx；（ 5）設(shè)兩個(gè)非零向量),(11yxa，),(22yxb， 則2121yyxxba，所以002121yyxxbaba；（ 6）若),(

3、yxa， 則22yxa；（ 7）定比分點(diǎn) ：設(shè)點(diǎn)p是直線21, pp上異于21, pp的任意一點(diǎn) ， 若存在一個(gè)實(shí)數(shù)， 使21pppp， 則叫做點(diǎn)p分有向線段21pp所成的比 ，p點(diǎn)叫做有向線段21pp的以定比為的定比分點(diǎn) ；當(dāng)p分有向線段21pp所成的比為，則點(diǎn)p分有向線段21pp所成的比為. . . . . . 1. 注 意 ： 設(shè)111(,)p xy、222(,)p xy，( , )p x y分 有 向 線 段21pp所 成 的 比 為，則121211xxxyyy，在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng) 明確( , )x y，11(,)xy、22(,)xy的意義 ，即分別為分點(diǎn) ， 起點(diǎn) ， 終

4、點(diǎn)的坐標(biāo) 。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件， 靈活地確定起點(diǎn)， 分點(diǎn)和終點(diǎn) ，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比.當(dāng)1時(shí)， 就得到線段12p p的中點(diǎn)公式121222xxxyyy. 的符號與分點(diǎn)p的位置之間的關(guān)系：當(dāng)p點(diǎn)在線段21pp上時(shí)0；當(dāng)p點(diǎn)在線段21pp的延長線上時(shí)1；當(dāng)p點(diǎn)在線段21pp的反向延長線上時(shí)10；3.平面向量的數(shù)量積：（ 1 ） 兩 個(gè) 向 量 的 夾 角 ： 對 于 非 零 向 量a、b，作aoa，bob，aob0稱為向量a、b的夾角 。（ 2） 平面向量的數(shù)量積： 如果兩個(gè)非零向量a、b，它們的夾角為，我們把數(shù)量cosba叫做a與b的數(shù)量積 （或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作 ：ba， 即c

5、osbaba. 零向量與任一向量的數(shù)量積是0， 注意 ：向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)， 不再是一個(gè)向量。（ 3）b在a上的投影為cosb， 投影是一個(gè)實(shí)數(shù)， 不一定大于0.（ 5）向量數(shù)量積的應(yīng)用：設(shè)兩個(gè)非零向量a、b， 其夾角為， 則babacos，當(dāng)0baba時(shí)，為直角 ；. . . . . . 當(dāng)0ba時(shí)，為銳角或ba,同向 ；注意 ：0ba是為銳角的 _條件 ；當(dāng)0ba時(shí)，為鈍角或ba,反向 ；注意 ：0ba是為鈍角的 _條件 ；（ 6）向量三角不等式：bababa當(dāng)ba,同向baba，baba；當(dāng)ba,反向baba，baba；當(dāng)ba,不共線bababa；（ 4）ba的幾何意義 ： 數(shù)量積b

6、a等于a與b在a上的投影的乘積。. . . . . . 4.平面向量的分解定理（ 1）平面向量分解定理：如果1e、2e是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量， 那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a， 有且只有一對實(shí)數(shù)1、2， 使2211eea成立 ， 我們把 不共線的向量1e、2e叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。（ 2 ） o為 平 面 任 意 一 點(diǎn) ，a 、 b、 c為 平 面 另 外 三 點(diǎn) ，則a 、 b、 c 三 點(diǎn) 共 線ocoboa21且121. 5.空間向量空間向量是由平面向量拓展而來的， 它是三維空間里具有大小和方向的量， 它的坐標(biāo)表示有x， y， z.空間向量的性質(zhì)與平面向量的性質(zhì)相同或

7、相似， 故在學(xué)習(xí)空間向量時(shí)， 可進(jìn)行類比學(xué)習(xí) 。如 ，若 mp、 ma、 mb三個(gè)向量共面，則mbymaxmp.同時(shí) ，對于空間任意一點(diǎn)o， 存在oboanommmbymaxomop， 其中nm_例 1.下列命題 ： 若 a 與 b 共線 ， 則存在唯一的實(shí)數(shù)， 使 b= a； 若向量 a、b 所在的直線為異面直線， 則向量 a、b 一定不共面 ； 向量 a、b、c 共面 ， 則它們所在直線也共面； 若a、b、c三點(diǎn)不共線 ，o是平面abc外一點(diǎn) ， 若 om=13oa+13ob+13oc， 則點(diǎn)m一定在平面abc上， 且在abc內(nèi)部 ； 若ba/， 且cb/， 則ca/；若0ba， 則它們的

8、夾角為銳角；其中正確的命題有_（ 填序號 ）例 2.已知向量a， b 夾角為 3， |b|=2 ， 對任意xr， 有|b+xa| |a-b| ， 則|tb-a|+|tb-a2|（tr）的最小值是 _ . . . . . . 例 3.如圖 ， 在等腰三角形abc中， 已知 |ab|=|ac|=1 ， a=120 ，e、f分別是ab、ac上的點(diǎn) ， 且 ae= ab， af= ac， 且 ， （0， 1），且 +4 =1 ，若線段ef、bc的中點(diǎn)分別為m、n， 則 mn 的最小值為_例 4.已知平面向量a， b， c 滿足 |a|=2 ， |b|=1 ， a?b=-1 ， 且 a-c 與 b-c

9、的夾角為 4，則 |c|的最大值為 _ 變式訓(xùn)練 ：1.已知向量a= （-1， -2），b= （1， ）， 若 a， b 的夾角為鈍角， 則 的取值范圍是_ 2.在abc中， |ab|=5 ， |ac|=6 ， 若b=2c， 則向量 bc 在 ba 上的投影是 _ 3.如圖 ， 在abc中， 已知 bac= 3， |ab|=2 ， |ac|=3 ， 點(diǎn)d為邊bc上一點(diǎn) ， 滿足ac+2ab=3ad， 點(diǎn)e是ad上一點(diǎn) ， 滿足 ae=2ed ， 則|be|=_ 4.在平面四邊形abcd中，點(diǎn)e，f分別是邊ad，bc的中點(diǎn) ， 且ab=1 ， ef=2，cd=3 若 ad ?bc=15 ， 則

10、ac? bd 的值為_. . . . . . 5.向量 a， b 的夾角為120 ，|a|=|b|=2 ， |c|=4 ， 則|a+b-c| 的最大值為 _ . . . . . . 6.已知 o 是面 上一定點(diǎn) ，a，b，c是平面 上abc的三個(gè)頂點(diǎn) ， b、c分別是邊ac、ab的對角 。以下命題正確的是_（ 填序號 ） 動(dòng)點(diǎn)p滿足 op=oa+pb+pc ， 則abc的外心一定在滿足條件的p點(diǎn)集合中 ； 動(dòng)點(diǎn)p滿足 op=oa +（ab|ab|+ac|ac| ）（0），則abc的內(nèi)心一定在滿足條件的p點(diǎn)集合中 ； 動(dòng)點(diǎn)p滿足op=oa +（ ab|ab|sinb+ac|ac|sinc ）（0

11、），則abc的重心一定在滿足條件的p點(diǎn)集合中 ； 動(dòng)點(diǎn)p滿足 op=oa +（ab|ab|cosb+ac|ac|cosc ）（0），則abc的垂心一定在滿足條件的p點(diǎn)集合中 ； 動(dòng)點(diǎn)p滿足op=ob+oc2 +（ab|ab|cosb+ac|ac|cosc）（0），則abc的外心一定在滿足條件的p點(diǎn)集合中 ；7. 已 知o是 銳 角 三 角 形 abc的 外 接 圓 的 圓 心 ，且 a=6，若cosbsincab+coscsinbac=2mao，則m=_ 8.（2017 全國 ）已知 abc是邊長為 2 的等邊三角形，p為平面abc內(nèi)一點(diǎn) ， 則 pa?（ pb+pc）的最小值是 _ 9.在o

12、mn中 ，點(diǎn)a在om上 ，點(diǎn)b在on上 ，且ab/mn，2oa=om，若op=xoa+yob， 則終點(diǎn)p落在四邊形abnm內(nèi)（含邊界 ）時(shí)， y+x+2x+1的取值范圍為_ 10.如圖 ，在直角坐標(biāo)系中， abc 是以 （2，1）為圓心 ， 1 為半徑的圓的內(nèi)接正三角形 ， abc 可繞圓心旋轉(zhuǎn)，m 、 n分別是邊ac、 ab 的中點(diǎn) ，onom的取值范圍是_ . . . . . . . . . . . . 11.如圖 ， 已知點(diǎn)p（ 2， 0）， 且正方形abcd內(nèi)接于 o：x2+y2=1，m、n分別為邊ab、bc的中點(diǎn) 當(dāng)正方形abcd繞圓心o旋轉(zhuǎn)時(shí) ， pm ?on 的取值范圍為_ 12

13、.如圖 ， 矩形ortm內(nèi)放置 5 個(gè)邊長均為3 的小正方形 ， 其中a，b，c，d在矩形的邊上 ， 且e為ad的中點(diǎn) ， 則（ ae-bc）?bd= _ 13.（2017 浙江 ）如圖 ， 已知平面四邊形abcd， abbc， ab=bc=ad=2， cd=3 ， ac與 bd 交于點(diǎn) o， 記 i1=oboa， i2=ocob， i3=odoc， 則（）a.i1i2i3b.i1i3i2c.i3i1i2d.i2i1i314.在坐標(biāo)系xoy中， o 點(diǎn)坐標(biāo)為 （ 0， 0）， 點(diǎn) a（3， 4），點(diǎn) b（-4， 3），點(diǎn) p 在aob 的角平分線上 ， 且 op 長度為25， 則點(diǎn) p 坐標(biāo)為 _ 15. （ 2017浙江 ） 已知 向量a，b滿足1a，2b，則abab的最小值是， 最大值是16.如圖 ， 三個(gè)邊長為2 的等邊三角形有一條邊在同一條直線上， 邊 b3c3上有 10 個(gè)不同的點(diǎn)p1，p2，p10，記im=)10, 3, 2, 1(2iapabi，則m1+m2+ +m10的 值 為. . . . . . _ 17.已知向量0、0滿足 |0|=1 ，|0|=2 ， 若對任意單位向量0，均有 |0?0|+|0?0|0， 則當(dāng)0 0取最小值時(shí) ， 向量0與0的夾角為 _（ 用反三角表示 ）18.正十二邊形a1a2a12內(nèi)