《中考課件初中數(shù)學總復習資料》專題18：全等三角線中的輔助線做法及常見題型之互補型旋轉(zhuǎn)-備戰(zhàn)2021中考數(shù)學解題方法系統(tǒng)訓練（全國通用）

1、專題18：第三章 全等三角形中的輔助線的做法及常見題型之互補型旋轉(zhuǎn)一、單選題1rtabc中，ab=ac，點d為bc中點mdn=90°，mdn繞點d旋轉(zhuǎn)，dm、dn分別與邊ab、ac交于e、f兩點下列結(jié)論(be+cf)=bc，ad·ef，adef，ad與ef可能互相平分，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）a1個b2個c3個d4個二、填空題2如圖，p是等邊三角形abc內(nèi)一點，將線段bp繞點b逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段bq，連接aq若pa=4，pb=5，pc=3，則四邊形apbq的面積為_3如圖，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，o1，o2是其中兩個正方形的中心，則陰影部分的面積

2、是_4如圖，在平面直角坐標系xoy中，a,b兩點分別在x軸，y軸的正半軸上，且oa=ob，點c在第一象限，oc=3，連接bc，ac，若bca=90°，則bc+ac的值為_三、解答題5如圖，在中，點在上，點在上，連接，垂足為證明：6在中，于點,（1）如圖1，點，分別在，上，且，當，時，求線段的長；（2）如圖2，點，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點在的延長線上，點在上，且，求證：;7探究問題：(1)方法感悟：如圖，在正方形abcd中，點e，f分別為dc，bc邊上的點，且滿足baf45°，連接ef，求證debfef感悟解題方法，并完成下列填空：將ade繞點a順時針旋轉(zhuǎn)90

3、°得到abg，此時ab與ad重合，由旋轉(zhuǎn)可得：abad，bgde，12，abgd90°， abgabf90°90°180°，因此，點g，b，f在同一條直線上 eaf45° 23badeaf90°45°45° 12，1345°即gaf_又agae，afae gaf_ _ef，故debfef(2)方法遷移：如圖，將rtabc沿斜邊翻折得到adc，點e，f分別為dc，bc邊上的點，且eaf12dab試猜想de，bf，ef之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想8如圖，abc是邊長為4的等邊三角形，點d是線段b

4、c的中點，edf=120°，把edf繞點d旋轉(zhuǎn)，使edf的兩邊分別與線段ab、ac交于點e、f（1）當dfac時，求證：be=cf；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，be+cf是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由9如圖所示，中，把一塊含角的直角三角板的直角頂點放在的中點上（直角三角板的短直角邊為，長直角邊為），將三角板繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn).（1）在如圖所見中，交于，交于，證明；（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖所見，延長交于，延長交于，證明.10如圖1，四邊形abcd中，bdad，e為bd上一點，aebc，cebd，ceed（1）已知ab10，ad6，求cd；（2）如圖2，f為ad上一點，afde

5、，連接bf，交bf交ae于g，過g作ghab于h，bgh75°求證：bf2gh+eg11一位同學拿了兩塊三角尺，做了一個探究活動：將的直角頂點放在的斜邊的中點處，設.（1）如圖1所示，兩三角尺的重疊部分為，則重疊部分的面積為_，周長為_.（2）將如圖1所示中的繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到如圖2所示，此時重疊部分的面積為_，周長為_.（3）如果將繞旋轉(zhuǎn)到不同于如圖1所示和如圖2所示的圖形，如圖3所示，請你猜想此時重疊部分的面積為_.（4）在如圖3所示情況下，若，求出重疊部分圖形的周長.12閱讀下面材料：小炎遇到這樣一個問題：如圖1，點e、f分別在正方形abcd的邊bc，cd上，eaf=45&

6、#176;，連結(jié)ef，則ef=be+df，試說明理由小炎是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法將這些分散的線段相對集中她先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，最后發(fā)現(xiàn)線段ab，ad是共點并且相等的，于是找到解決問題的方法她的方法是將abe繞著點a逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到adg，再利用全等的知識解決了這個問題（如圖2）參考小炎同學思考問題的方法，解決下列問題：（1）如圖3，四邊形abcd中，ab=ad，bad=90°點e，f分別在邊bc，cd上，eaf=45°若b，d都不是直角，則當b與d滿足_ 關(guān)系時，仍有ef=be+df；（2）如圖4，在abc中，bac=90&#

7、176;，ab=ac，點d、e均在邊bc上，且dae=45°，若bd=1， ec=2，求de的長參考答案1c【解析】【分析】【詳解】解:rtabc中，ab=ac，點d為bc中點mdn=90°，ad =dc，ead=c=45°，eda=mdnadn =90°adn=fdcedafdc（asa）ae=cfbe+cf= be+ ae=ab在rtabc中，根據(jù)勾股定理，得ab=bc(be+cf)=bc結(jié)論正確設ab=ac=a，ae=b，則af=be= ab結(jié)論正確如圖，過點e作eiad于點i，過點f作fgad于點g，過點f作fhbc于點h，adef相交于點o四邊

8、形gdhf是矩形，aei和agf是等腰直角三角形，eoei（efad時取等于）=fh=gd，ofgh（efad時取等于）=agef=eoofgdag=ad結(jié)論錯誤edafdc，結(jié)論錯誤又當ef是rtabc中位線時，根據(jù)三角形中位線定理知ad與ef互相平分結(jié)論正確綜上所述，結(jié)論正確故選c2【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得bpq是等邊三角形，由全等三角形的判定可得abqcbp(sas)，由勾股定理的逆定理可得apq是直角三角形，求四邊形的面積轉(zhuǎn)化為求兩個特殊三角形的面積即可【詳解】解：連接pq，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，bp=bq，又pbq=60°，bpq是等邊三角形，pq=bp，在等邊三角形a

9、bc中，cba=60°，ab=bc，abq=60°-abpcbp=60°-abpabq=cbp在abq與cbp中 ，abqcbp(sas)，aq=pc，又pa=4，pb=5，pc=3，pq=bp=5，pc=aq=3，在apq中，因為，25=16+9，由勾股定理的逆定理可知apq是直角三角形，故答案為：【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面積，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，轉(zhuǎn)化為特殊三角形進行求解32【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，連接，可得，那么可得陰影部分的面積與正方形面積的關(guān)系，同理得出另兩個正方形的陰影部分面積與正方形面

10、積的關(guān)系，從而得出答案【詳解】解：連接、，如圖：，四邊形是正方形，在和中，、兩個正方形陰影部分的面積是，同理另外兩個正方形陰影部分的面積也是，故答案為：2【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的證明，把陰影部分進行合理轉(zhuǎn)移是解決本題的難點，難度適中4【解析】【分析】可將obc繞著o點順時針旋轉(zhuǎn)90°，所得的圖形與oac正好拼成等腰直角三角形bc+ac等于等腰三角形的斜邊cd.【詳解】解：將obc繞o點旋轉(zhuǎn)90°，ob=oa點b落在a處，點c落在d處且有od=oc=3，cod=90°，oad=obc，在四邊形oacb中boa=bca=90°，obc

11、+oac=180°，oad+oac=180°c、a、d三點在同一條直線上，ocd為等要直角三角形，根據(jù)勾股定理cd2=oc2+od2即cd2=32+32=18解得cd= 即bc+ac=.【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對應邊相等，對應角相等.要求兩條線段的長，可利用作圖的方法將兩條線段化成一條線段，再求這條線段的長度即可，本題就是利用旋轉(zhuǎn)的方法做到的，但做本題時需注意，一定要證明c、a、d三點在同一條直線上.本題還有一種化一般為特殊的方法，因為答案一定可考慮cby軸的情況，此時四邊形oacb剛好是正方形，在做選擇或填空題時，也可以起到事半功倍的效果.5見解析【解析

12、】【分析】如圖，延長到點，使，連接、，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補角互補可得，進而可根據(jù)sas證明，可得，進一步即可求得，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識即可證得結(jié)論【詳解】證明：如圖，延長到點，使，連接、，【點睛】本題考查了四邊形的內(nèi)角和、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形等知識，正確添加輔助線、靈活應用上述知識是解題的關(guān)鍵6(1) ；(2)見解析；(3)見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到 adbddc ，求出 mbd30°，根據(jù)勾股定理計算即可； （2）證明bdeadf，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明； （3）過點 m作

13、 mebc交 ab的延長線于 e，證明bmeamn，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 bean，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理證明結(jié)論【詳解】（1）解：，由勾股定理得，即，解得，；（2）證明：，在和中，；（3）證明：過點作交的延長線于，則，在和中，【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形 的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵7(1)eaf、eaf、gf；(2)debfef.【解析】【分析】（1）利用角之間的等量代換得出gaf=fae，再利用sas得出gafeaf，得出答案；（2）將ade順時針旋轉(zhuǎn)90°得到abg，再證明agfaef，

14、即可得出答案；【詳解】解：（1）如圖所示；根據(jù)等量代換得出gaf=fae，利用sas得出gafeaf，gf=ef，故答案為：fae；eaf；gf； (2)debfef，理由如下：假設bad的度數(shù)為m，將ade繞點a順時針旋轉(zhuǎn)，m°得到abg，如圖，此時ab與ad重合，由旋轉(zhuǎn)可得： abad，bgde，12，abgd90°， abgabf90°90°180°， 因此，點g，b，f在同一條直線上 eaf=12m°， 2+3=bad-eaf=m°-12m°=12m° 12， 1312m° 即gafea

15、f在agf和aef中，agaegafeafafaf， gafeaf（sas） gfef又 gfbgbfdebf， debfef【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、以及折疊的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)等知識，證得gafeaf是解題的關(guān)鍵8（1）證明見解析；（2）是，2.【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，可求dea=90°，根據(jù)“aas”可判定bdecdf，即可證be=cf；（2）過點d作dmab于m，作dnac于n，如圖2，易證mbdncd，則有bm=cn，dm=dn，進而可證到emdfnd，則有em=fn，就可得到be+cf=bm+em+cf=bm+fn+

16、cf=bm+cn=2bm=2bd×cos60°=bd=bc=2.【詳解】（1）abc是邊長為4的等邊三角形，點d是線段bc的中點，b=c=60°，bd=cd，dfac，dfa=90°，a+edf+afd+aed=180°，aed=90°，deb=dfc，且b=c=60°，bd=dc，bdecdf（aas）（2）過點d作dmab于m，作dnac于n，則有amd=bmd=and=cnd=90°a=60°，mdn=360°-60°-90°-90°=120°edf

17、=120°，mde=ndf在mbd和ncd中，mbdncd（aas）bm=cn，dm=dn在emd和fnd中，emdfnd（asa）em=fn，be+cf=bm+em+cf=bm+fn+cf=bm+cn=2bm=2bd×cos60°=bd=bc=2.【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，通過證明三角形全等得到bm=cn，dm=dn，em=fn是解決本題的關(guān)鍵9(1)見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）連接bd，證明dmbdnc根據(jù)已知，全等條件已具備兩個，再證出mdb=ndc，用asa證明全等，四邊

18、形dmbn的面積不發(fā)生變化，因為它的面積始終等于abc面積的一半；（2）同樣利用（1）中的證明方法可以證出dmbdnc；（3）方法同（1）【詳解】證明：（1）連接bd,ab=bc，abc=90°，點d為ac的中點bdac，a=c=45°bd=ad=cdabd=a=45°mbd=c=45°mdb+bdn=90°ndc+bdn=90°mdb=ndc在mdb和ndc中 mdbndc（asa）dm=dn（5分）（2）dm=dn仍然成立理由如下：連接bd，由（1）知bdac，bd=cdabd=acb=45°abd+mbd=180

19、76;acb+ncd=180° mbd=ncdbdacmdb+mdc=90°又ndc+mdc=90°mdb=ndc在mdb和ndc中 mdbndc（asa） dm=dn.【點睛】本題主要考查學生的推理能力，題目比較典型，利用asa求三角形全等（手拉手模型），還運用了全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，及等腰三角形三線合一定理等知識10（1）2；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得出bd8，由hl證得rtadertbec，得出bead，則ceedbdbebdad2，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果；（2）連接cf，易證afce，adce

20、，得出四邊形aecf是平行四邊形，則aecf，aecf，得出cfdead，cfbagf，由rtadertbec，得出cbeead，推出cbecfd，證得bcf是等腰直角三角形，則bfbccfae，fbcbfc45°，推出agf45°，agh60°，gah30°，則ag2gh，得出bfae（ag+eg），即可得出結(jié)論【詳解】（1）解：bdad，bd8，cebd，cebeda90°，在rtade和rtbec中，rtadertbec（hl），bead，ceedbdbebdad862，cdce2；（2）解：連接cf，如圖2所示：afde，dece，af

21、ce，bdad，cebd，adce，四邊形aecf是平行四邊形，aecf，aecf，cfdead，cfbagf，由（1）得：rtadertbec，cbeead，cbecfd，fbd+bfc+cfd90°，fbd+bfc+cbe90°，bcf90°，aebc，bccf，bcf是等腰直角三角形，bfbccfae，fbcbfc45°，agf45°，bgh75°，agh180°45°75°60°，ghab，gah30°，ag2gh，bfae（ag+eg），bf2gh+eg【點睛】本題考查了等腰

22、直角三角形的判定與性質(zhì)、含30°角直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)、作輔助線構(gòu)建平行四邊形是解題的關(guān)鍵11（1）4，；（2）4，8；（3）4；（4）【解析】【分析】根據(jù)，得出ab的值，再根據(jù)m是ab的中點，得出，求出重疊部分的面積，再根據(jù)am，mc，ac的值即可求出周長；  易得重疊部分是正方形，邊長為，面積為，周長為  過點m分別作ac、bc的垂線mh、me，垂足為h、求得，則陰影部分的面積等于正方形cemh的面積  先過點m作于點e，于點h，根據(jù)，得出，從而得出，最后根據(jù)ad和df的值，算出，即可得出答案【詳解】解：，是ab的中點，重疊部分的面積是，周長為：；故答案為4，；重疊部分是正方形，邊長為，面積為，周長為故答案為4，8過點m分別作ac、bc的垂線mh、me，垂足為h、e，是斜邊ab的中點，又，在和中，陰影部分的面積等于正方形cemh的面積，正方形cemh的面積是；