點(diǎn)差法整理版

1、“點(diǎn)差法”巧解橢圓中點(diǎn)弦題型一、重要結(jié)論及證明過程在橢圓4 + 4 = 1 (">方>0)中，若直線/與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P(ao0'o) cr r是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線/的斜率為褊”，貝仏肪也.1兀0力證明：設(shè)M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(九”)、(x2,y2)7 疔_卜)丁 a2 b2=1,=1.(1)-(2)，得匚芝+色二2二=0.314 x2 -X x2 + Xb2兒一 H刀+兒x2 一 X X + x22y =z2x x同理可證,在橢圓£ + $ = 1 (5>0)中，若直線，與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)Pg,兒)是弦MN的中點(diǎn)，

2、弦MN所在的直線/的斜率為心他，則二、典型例題1、設(shè)橢圓方程為宀才I,過點(diǎn)WU)的直線/交橢圓于點(diǎn)A、B, 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OP = -(OA + OB)2點(diǎn)N的坐標(biāo)為丄丄.當(dāng)/繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求:I <2 2 )(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;I麗I的最大值和最小值.2、在直角坐標(biāo)系，中，經(jīng)過點(diǎn)(0,血)且斜率為斤的直線/與橢圓y+y2 =1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B,是否存在常 數(shù)使得向量麗+況與帀共線如果存在，求的取值范圍；如果不存在， 請說明理由.3、已知橢圓4+4 = 1(4>b>0)的左、右焦點(diǎn)分

3、別為仟、幾,離心率C =芋,cr2右準(zhǔn)線方程為x = 2.(I )求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(II)過點(diǎn)仟的直線/與該橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，且遲財(cái)+可幣1=斗，求 直線/的方程.4、已知橢圓C：4 + 4 = ("0)的離心率為竺，過右焦點(diǎn)F的直線/與£ lr3C相交于A、B兩點(diǎn).當(dāng)/的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)0到/的距離為芋.(1)求2a,b的值；(2) C上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)/繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有OP=OA+OB成立若 存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)與/的方程；若不存在，說明理由.5. 橢圓C的中心在原點(diǎn)，并以雙曲線丄-蘭=1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線2A-2 =一6品y的準(zhǔn)線為其中一條

4、準(zhǔn)線.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線l-.y = kx+2伙HO)與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于 直線/ : y = mx + l（w工0）對稱，求k的值.“點(diǎn)差法”巧解雙曲線中點(diǎn)弦題型 二、重要結(jié)論及證明過程在雙曲線二二=1 （t/>0, b>0）中，若直線/與雙曲線相交于M、N cr 兩點(diǎn)，點(diǎn)P（2）是張MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線/的斜率為心，則褊曠衛(wèi)=竹.證明過程和橢圓證法相同（略）同理可證，在雙曲線4- = 1（">o, b>o）中，若直線/與雙曲線相 cr lr交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x。,兒）是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線/的斜率

5、為心炳，則 k '（）_ cr久 I kmntv 二、典型例題1.已知雙曲線x2-21 = i,過點(diǎn)p（-l,_2）作直線/交雙曲線于A、B兩點(diǎn).322（1）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡；（2）若點(diǎn)P恰好是弦AB的中點(diǎn)，求直線/的方程和弦AB的長.2 設(shè)A、B是雙曲線X2- = i_E兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1,2）是線段AB的中點(diǎn).2(1) 求直線AB的方程；(2) 如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓，為什么3、雙曲線C的中心在原點(diǎn)，并以橢圓* +匚=1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線y2 = -2V3a-的準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線.(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)直線Z：y

6、= H + 3伙HO)與雙曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線I :y = mx + 6(m工0)対稱，求的值.“點(diǎn)差法”巧解拋物線中點(diǎn)弦題型三、重要結(jié)論及證明過程(略)在拋物線y2 = 2nvc(m 0)中，若直線/與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)卩(心,兒) 是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線/的斜率為褊.“，貝仏站兒=加同理可證，在拋物線x2 = 2my(m # 0)中，若直線/與拋物線相交于M、N兩點(diǎn), 點(diǎn)Pg，兒)是弦MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線/的斜率為褊”，則丄.氐=加注意：能用這個(gè)公式的條件：(1)直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2) 直線的斜率存在，且不等于零.二、典型例題1、設(shè)A(x,y,),B(x2,y2)兩點(diǎn)在拋物線y = 2P上，/是AB的垂直平分線.(I )當(dāng)且僅當(dāng)坷+心取何值時(shí)，直線/經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F證明你的結(jié)論.(II)當(dāng)“=1宀=-3時(shí)，求直線/的方程.(理)當(dāng)直線/的斜率為2時(shí)，求/ 在y軸上的截距的取值范圍.2. 已知拋物線C： y = 2x2,直線y =也+