第九章 線性電路動態(tài)過程

1、第九章第九章 線性電路動態(tài)過程線性電路動態(tài)過程的復(fù)頻域分析的復(fù)頻域分析本章要求 一、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的拉普拉斯變換定義，性質(zhì)和求反變換的方法。 二、研究運(yùn)算形式的電路定律和運(yùn)算電路圖 三、掌握用拉氏變換法求解動態(tài)電路的計算方法。9-1 9-1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換 一、概述 1. 拉氏變換 是工程數(shù)學(xué)中的一個分支微分積分變換。 是電路理論中求解二階動態(tài)電路的重要工具。 2. 動態(tài)電路的復(fù)頻域分析法 用拉氏變換求解動態(tài)電路的方法，稱為復(fù)頻域分析法，又稱算子法或運(yùn)算法。復(fù)頻域分析法的基本思路：將含有換路條件的電路拉氏變換運(yùn)算電路計算復(fù)頻域響應(yīng)反變換時域響應(yīng)等效于下面的說法：時域激勵和參數(shù)拉氏變換F(

2、s)反變換f(t)用代數(shù)方程進(jìn)行復(fù)頻域計算 時域響應(yīng)二、拉普拉斯變換 1. 定義 設(shè)f(t)在0t時有定義，且滿足狄里克雷條件，則積分稱為 f(t) 的拉普拉斯變換。ttfsFstde)()(0 - - -= = 復(fù)變量、復(fù)頻率、算子“HZ”w ws sj+ += =s ste- 衰減因子 f(t)原函數(shù)F(s)象函數(shù)正變換： )(tf)(sF記作 F(s)=L f(t)反變換： )(sF)(tf記作 f(t)=L F(s)- -1tsFtfstde )(j 21)(jj + +- -= =s ss sww 2 2. 幾點說明(1) 在電路理論中，所遇到的時域函數(shù)皆滿足狄里克雷條件。 (2)

3、在數(shù)學(xué)中，拉氏變換積分下限為0，在電路理論中，將其下限取為0- - 更有實際應(yīng)用意義。 (3) 拉氏變換及其反變換通常直接查表(P281 表9-1)。需要記憶的常用拉氏變換如下。f(t) F(s)11sts12e- -a a ts+a a1a a 為常數(shù)f(t) F(s)e- -a a t1- -s(s+a a)a aAAsA A 為常數(shù)例題求下列函數(shù)的象函數(shù) （1）ttfe)(=（為常量 ） （2）)()(ttf= （3）Atf=)(a-=ssF1)(ssF1)(=sAsF=)(（4）tetf-=)( +=ssF1)(9-2 9-2 拉普拉斯變換的基本性質(zhì)拉普拉斯變換的基本性質(zhì)一、一、 線性

4、性質(zhì)若 L f(t) = F(s), L f(t) = F(s)12211則 L af(t) +b f(t) = aF(s)+ b F(s)221例題用線性性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù) （1）ttfa-=e1)( （2）ttfwsin)(=a+-=sssF11)(22)(ww+=ssF二、二、 微分性質(zhì)若 L f(t) = F(s), f(0)為t = 0- 時的初始值 -=0fssFdttdfL則 例題用微分性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù) （1）ttfwcos)(=（2）)()(ttf= 22w+=sssF 1=sF求uC(t) 。實例 已知0- -U0 ，uC= =）（R 和C 參數(shù)。SuCC+- -i

5、CR解： 微分方程0dd=+ +uCtuCRC 將方程兩邊拉變有0)()(0= =+ +- -sUUssURCCC則RCsU10+ +=0RCs+1RCUsUC)(=查表得反變換RCs11+ +L - -1RCt- -=e最后得RCt- -uC(t)=U0e三、三、 積分性質(zhì)若 L f(t) = F(s), 則 sFsdttfLt10=四、終值定理 若 L f(t) = F(s), 且 存在, tftlim則 ssFtfst0limlim=例題用積分性質(zhì)函數(shù)f(t)=t 的象函數(shù) ssF1)(=2 五、初值定理則 ssFtfst= limlim0例題已知象函數(shù) ssssF101000200)(

6、2+-= 求其相應(yīng)的原函數(shù) 的終值和初值 tf若 L f(t) = F(s), 且 存在, ssFslim 100-=f 2000 =f六六、延遲定理)()()(000tfLettttfLst-=-0=t)(tf0tt =)0(0t)()(00ttttf- 設(shè)有一個在瞬時出現(xiàn)的時間函數(shù)推遲到出現(xiàn)后者的函數(shù)變?yōu)椋瑒t其象函數(shù)為 ， t9-3 9-3 部分分式展開法求原函數(shù)部分分式展開法求原函數(shù)1. 用反變換公式 此公式涉及復(fù)合函數(shù)積分，計算較繁，在電路理論中不用。對簡單函數(shù)直接查表。 對復(fù)雜函數(shù)式采用部分分式展開法。 一、求反變換的方法tsFtfstde )(j 21)(jj + +- -= =s

7、 ss sww2. 2. 部分分式展開法012211012211)()()(bsbsbsbsbasasasasasDsNsFnnnnnnmmmmmm+ + + + + + + + + + +=- - - - - - - - -LLLL含復(fù)變量 s 的有理真分式F(s)可寫成設(shè)m n ) )(sF)()()()()(sDsRsQsDsN+= 例題=)(sF12+ss求象函數(shù) 的原函數(shù) tetttf-+-=，)(sF有共軛復(fù)根的情況時域解是正弦或余弦函數(shù)例題=)(sF800401002+ss求象函數(shù) 的原函數(shù) tetetftt20sin59020cos52020-=-=9-4 9-4 復(fù)頻域形式的

8、電路定律和電路圖復(fù)頻域形式的電路定律和電路圖一、KCL、KVL 的運(yùn)算形式設(shè)： ， )()(sItiLkk=0)(=tik由線性性質(zhì) 設(shè)： )()(sUtuLkk=， = 0)(tuk由線性性質(zhì) = 0)(sIk= 0)(sUk二、電路元件的運(yùn)算電路模型 電阻R R、L、C 三元件的運(yùn)算電路形式 Riu =)()(sRIsU=取拉氏變換電感L 設(shè)0)0(-i取拉氏變換dtdiLu =)0()()(-=LissLIsU其中： sL運(yùn)算阻抗，)0( -i：初始值， )0( -Li:附加電源(內(nèi)電源）電容C 0)0(-Cu設(shè) dtduCi =)0()()(-=CusCsUsIsusIsCsU)0()

9、(1)(-+=取拉氏變換其中：sC1:運(yùn)算阻抗， )0( -Cu:初值， su)0( -：附加電源（內(nèi)電源） 三、RLC 串聯(lián)電路的運(yùn)算模型 0)0(-i0)0(-Cu)()1()(sIsCsLRsU+=)0( -LisuC)0(-+)(sZ運(yùn)算阻抗 附加電源)()()(sIsZsU=0)0(=-i0)0(=-Cu 當(dāng)，時， 運(yùn)算形式的歐姆定律 四、獨立電源的運(yùn)算模型直流交流五、受控源的運(yùn)算模型VCVSsUsU)()(12 = =+CCCSsIsI)()(12 = =電容C電感LsC1 suc0和 的串聯(lián) sL 0LLi和 的串聯(lián) 六、運(yùn)算電路圖運(yùn)算電路圖中， 電壓、電流和激勵源用對應(yīng)的象函數(shù)

10、表示電阻R不變例題求下圖所示電路的運(yùn)算電路 +-uC0.05F0.5H18V+-4325SiLAiL20=-Vuc100=-+- - -U2(s)U1(s)I2s)I1(s)(2* *MsL1sL s七、含互感電路的運(yùn)算電路- -+L1 i1(0- -)- -+L2 i2(0- -)+- -復(fù)頻域電路模型- -+MsI2(s)+- -MsI1(s)M i2(0- -)+- -M i1(0- -) 復(fù)頻域自感和互感參數(shù)復(fù)頻域互感電壓 復(fù)頻域自感附加電壓源 復(fù)頻域互感附加電壓源供出電流與本支路電流一致供出電流與產(chǎn)生此電壓的另一支路電流保持同名端一致同名端一致原則+- - -U2(s)U1(s)I2

11、s)I1(s)(2* *MsL1sL s- -+L1 i1(0- -)- -+L2 i2(0- -)+- - -+MsI2(s)+- -MsI1(s)M i2(0- -)+- -M i1(0- -)時域電路模型* *MLL12i12i+- -+- - -+- -uuuM1212uM219-5 9-5 復(fù)頻域分析法解動態(tài)電路的動態(tài)過程復(fù)頻域分析法解動態(tài)電路的動態(tài)過程一、解題思路時域電路模型 復(fù)頻域 電路模型(運(yùn)算電路)拉氏變換各種解題方法復(fù)頻域 響應(yīng) 反變換時域響應(yīng) 各種解題方法包括： (1)(1)支路電流法，回路電流法和節(jié)點電壓法； (2)(2)疊加，互易，戴維南和諾頓等電路定理； (3)(3

12、)各種等效變換關(guān)系和分壓、分流公式等。 總之，變量用復(fù)頻域變量，參數(shù)用復(fù)頻域參數(shù)，列寫復(fù)頻域代數(shù)方程，求解復(fù)頻域響應(yīng)后，反變換得時域響應(yīng)。 )0( -Cu)0( -Li求初始值、； 換路前電路畫運(yùn)算電路圖； 換路后電路內(nèi)電源方向求頻域解； 由運(yùn)算電路求待求量的象函數(shù) 反變換求時域解 求根 分成部分分式 求系數(shù) 拉氏反變換二、解題步驟例題解解: :uC(0-)=20V(已知) 。iL(0-)=US/R=40/40=1A。(1)(1)求初值(2)(2)畫運(yùn)算電路圖u uC C(0(0- -)=20V)=20V。求：uC(t) 。已知：R R=40=40W W，L L=0.5H=0.5H，C C=5

13、0=50m mF F，U US S=40V=40V，RC+- -L+- -USuCSiLRCsLs+- -1sUS(3)(3)選變量、列方程、求響應(yīng)式選UC(s)變量、列節(jié)點法方程有1sCsLR+ + +1CssuC+ +- -)0(sU= =)C(LssULiL+ +- -1)0(SsCsLRCuLsUs iCL+ + + + += =- - -11)0()0(2S分項suC(0- -)+- -LiL(0- -)+- -+- -UC (s)IL(s)RCs+- -Ls+- -LiL(0- -)UC (s)1suC(0- -)+- -+- -sUSsCsLRCuLsUs iCL+ + + +

14、+=- - -11)0()0(2SUC(s)通分化簡降冪排列RsLsRLCsRUsRLisRLCuLC+ + + + +=- - -23S2)0()0(4)化成真分式代入數(shù)據(jù) UC(s)ssss405 . 010505 . 04040401s5 . 0402010505 . 04023626+ + + + +=- - -化bn=1sssss423542104500101610220+ + + + +=RLsLsRLsUsLisCLuLC+ + + + +=- - -2S2)0()0(CRLs2uC(0- -)=20V。求：uC(t) 。 R=40W W，L=0.5H，C=50mF， US=40

15、V，uC(0-)=20ViL(0-)=1AIL(s)各項10310- -3已知：R=40W W，L=0.5H，C=50 F，US=40V，uC(0- -)=20V。求：uC(t) 。RC+- -L+- -USuCSiLsssss423542104500101610220+ + + + +=UC(s)選用初值定理或終值定理校驗S45V401041016U=lims 0 sUC(s)limt uC(t)=終值定理lims sUC(s)limt 0 0 uC(t)=V20uC(0- -)=初值定理符合題意(5)因式分解，寫部分分式得s1=0, ,s3=- -400s2=- -100, ,sss423

16、104500+ + +=0令則=UC(s)sA1+ + s+100A2+ +s+400A3(6)求常數(shù)得復(fù)頻域響應(yīng)用極限法ss542101610220+ + +=A1(s+100) (s+400)s=0=40A2ss542101610220+ + +=s(s+400)s=- -100=6.67A3ss542101610220+ + +=s(s+100)s=- -400=- -26.7得復(fù)頻域響應(yīng)UC(s)=s40+ + s+1006.67+ + s+400- -26.7)()lim(sFs sAkk- -=s sk已知：R=40W W，L=0.5H，C=50 F，US=40V，uC(0- -)=20V。求：uC(t) 。RC+- -L+- -US