直線的參數(shù)方程兩種形式學案

1、學案7直線的標準參數(shù)方程及一般參數(shù)方程互化及應(yīng)用 教學目標：1. 掌握直線參數(shù)方程的標準形式和一般形式，理解參數(shù)的兒何意義；2. 熟悉直線的參數(shù)方程與普通方程之間的互化；3. 利用直線的參數(shù)方程求線段的長，求距離、求軌跡、與中點有關(guān)等問題; 教學重點：熟悉直線的參數(shù)方程與普通方程之間的互化 教學難點：理解參數(shù)的兒何意義教學過程1、參數(shù)方程與普通方程的互化例1:化直線人的普通方程X + 3y-= 0為參數(shù)方程，并說明參數(shù)的兒何意 義，說明丨11的兒何意義.解：令y二0,得x=l, A直線/過定點(1, 0). k=丄二-V3=亠 COSQ 二一竺, 6 2設(shè)傾斜角為tga=211, a3亠邑9r

2、厶的參數(shù)方程為卜(t為參數(shù))V3V1sina = -2I t |是定點Mo (1, 0)到動點M(x ?)的有向線段的長.點撥：(1)求直線的參數(shù)方程先確定定點，再求傾斜角，注意參數(shù)的幾何意義. (2)你還能寫出其他的參數(shù)方程嗎？例2：化直線厶的參數(shù)方程x=3! (t為參數(shù))為普通方程，并求傾斜角, y = 1 + J3 t說明111的幾何意義.解：原方程組變形為.x + 3 = tv 1 = V3 t;)代入消去參數(shù)t,得y亠皿+ 3)(點斜式)可見"，如"，傾斜角咗普通方程為、/女-，+ 3亦+ 1 = 0t的幾何意義是有向線段的數(shù)量的一半.I t |是定點Mo (3,

3、 1)到t對應(yīng)的點M(x,y)的有向線段師7的長的一半. 提問;你能直接寫出直線斜率嗎？例3:將直線的參數(shù)方程=3 + V3 t(t為參數(shù))化為標準形式變式:v = 3 + V3 t如何化為標準形式例4：直線"3 + fsin2（T飪?yōu)閰?shù)）的傾斜角 例5：已知直細過點P （2,。），斜率呻直細和拋物線y2=2x相交于A、B兩點, 設(shè)線段AB的中點為M,求：P、M兩點間的距離PM ；（2）M點的坐標；丫、線段AB的長| AB I解：（1） V直線/過點P （2, 0）,斜率為匕設(shè)直線的傾斜角為cos a =2, sina = i A直線/的標準參數(shù)方程為卜沁+卻（t為參數(shù)）*直線/和

4、拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程r =2%中，整理得 8r-15t-50 = 0A=15:+4X8X50>0,設(shè)這個二次方程的兩個根為tx. t2,由韋達定理得tx+t2=, t&=-蘭,由M為線段AB的中點， 84根據(jù)t的兒何意義，得| PM =|竺| =匕中點M所對應(yīng)的參數(shù)為t尸蘭，將此值代入直線的標準參數(shù)方程*，M點的坐標為"例6：已知直線/經(jīng)過點P （1,-3a/3 ），傾斜角為冬,（1）求直線/與直線廠：y = x_2羽的交點Q與P點的距離PQI；（2）求直線/和圓F +于=16的兩個交點A, B與P點的距離之積.解：（1）直線/經(jīng)過點P（1,-3&

5、gt;/3），傾斜角為巴，直線/的標準參數(shù)方3程為.v=i+/cos| ,即（t為參數(shù)）代入直線r：v = -3>Z5 + /sinfv =+1/3 i2y = x-2>f3 得（1 + 丄/）一（一3巧 +總。一2>/5 = O 整理，解得 t二4+2巧2 2t二4+2巧即為直線/與直線/'的交點Q所對應(yīng)的參數(shù)值，根據(jù)參數(shù)t的兒 何意義可知:|t| = | PQ|, A I PQ| =4+2V3 （2）把直線/的標準參數(shù)方程為I（t為參數(shù)）代入圓的方程v = -3-73+ rI21 行x2 +y2=169 得（l + -r）2 +（-3>/3+O2 =16,整

6、理得：t2-8t+12=0,2 2A=8:-4X12>0,設(shè)此二次方程的兩個根為匚、t3則二12 根據(jù)參數(shù)t的兒何意義，t、t2分別為直線和圓，+于=16的兩個交點 A, B所對應(yīng)的參數(shù)值，則tj = | PAi, it2 = PB ,所以 I PA| | PB =|tx tj二 12點撥：利用直線標準參數(shù)方程中的參數(shù)t的幾何意義解決距離問題、距離的乘 積（或商）的問題，比使用直線的普通方程，與另一曲線方程聯(lián)立先求得交點 坐標再利用兩點間的距離公式簡便.課下作業(yè)1、求過點（6, 7）,傾斜角的余弦值是迪的直線/的標準參數(shù)方程.22、3、4、X = 1 一/sin25°, “ 土

7、好、（t為參數(shù)）,y = 2 + rcos25°B 25°x= - -!=/壯 （t為參數(shù)）x = x（） + aty =兒+切直線/的方程：那么直線/的傾斜角（A 65°C 155°D 115°的斜率是（直線/的方程:（t為參數(shù)）A、B是直線/上的兩個點，分別對應(yīng)參數(shù)值口、s那么IAB等于（）A | t i12 I B y/a2 +h2 I t i 12 |5、已知直線/：Y 1 I t" l （t為參數(shù)）與直線m： xy 2JJ = 0交于P點，求點 y = 一5 + J3 tM（l, -5）到點P的距離.6、直線Y 1 I f“一 （t為參數(shù)）與橢圓x2+2/ =8交于A、B兩點，則AB等于（y = 2 +1A 224a/3B C 2 37、過點P（6,丄）的直線2x = 6 + 2r7. （t為參數(shù)）與拋物線y-2x相交于A、B兩點,>?=2 + t則點P到A, B距離之積為8、直線/V = X（>+ZCOSa （t為參數(shù)）與二次曲線A、B兩點，則