數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)ppt課件

1、第第4 章章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的根底知識(shí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的根底知識(shí) 從第從第4章開(kāi)場(chǎng)，將研討數(shù)理統(tǒng)計(jì)章開(kāi)場(chǎng)，將研討數(shù)理統(tǒng)計(jì)的根本內(nèi)容。的根本內(nèi)容。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論的根本概念與數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論的根本概念與方法有著親密的聯(lián)絡(luò)。概率論是數(shù)理方法有著親密的聯(lián)絡(luò)。概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的實(shí)際根底和工具，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)的實(shí)際根底和工具，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)那么是概率論的運(yùn)用。那么是概率論的運(yùn)用。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)也是研討隨機(jī)景象的學(xué)科。數(shù)理統(tǒng)計(jì)也是研討隨機(jī)景象的學(xué)科。當(dāng)我們用一個(gè)隨機(jī)變量去描畫一種隨當(dāng)我們用一個(gè)隨機(jī)變量去描畫一種隨機(jī)景象時(shí)，通常我們對(duì)這個(gè)隨機(jī)變量機(jī)景象時(shí)，通常我們對(duì)這個(gè)隨機(jī)變量所服從的分布類型能夠一無(wú)所知，或所服從的分布類型能

2、夠一無(wú)所知，或者根據(jù)該隨機(jī)景象的某些特征、以及者根據(jù)該隨機(jī)景象的某些特征、以及人們的閱歷而知道隨機(jī)變量分布的類人們的閱歷而知道隨機(jī)變量分布的類型，但不知道其分布中所含參數(shù)的值。型，但不知道其分布中所含參數(shù)的值。 例如，某燈泡廠每年消費(fèi)上萬(wàn)只燈泡，這些燈泡中的每一例如，某燈泡廠每年消費(fèi)上萬(wàn)只燈泡，這些燈泡中的每一個(gè)都具有這樣的特征：個(gè)都具有這樣的特征：“ 不是合格品，就是次品不是合格品，就是次品 。因此，。因此，隨機(jī)檢查一個(gè)燈泡時(shí)，它或者是合格品，或者是次品。這是一隨機(jī)檢查一個(gè)燈泡時(shí)，它或者是合格品，或者是次品。這是一個(gè)隨機(jī)景象。個(gè)隨機(jī)景象。 當(dāng)用隨機(jī)變量當(dāng)用隨機(jī)變量 X X 去描畫這個(gè)隨機(jī)景象

3、時(shí)，去描畫這個(gè)隨機(jī)景象時(shí)， 記記 X X 任取一件產(chǎn)品中的次品數(shù)，任取一件產(chǎn)品中的次品數(shù)，那么那么 ，隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p p 的的 0 1 0 1 分布分布 b( 1 , p ) b( 1 , p ) ，其概率分布列，其概率分布列為為 ，其中，其中 p p 是是次品率，是隨機(jī)變量次品率，是隨機(jī)變量 X X 的分布中所含的未知參數(shù)。的分布中所含的未知參數(shù)。當(dāng)取到合格品時(shí)當(dāng)取到次品時(shí),0,1Xpp110 要想了解當(dāng)天所消費(fèi)的燈泡的質(zhì)量即次品率，一個(gè)可要想了解當(dāng)天所消費(fèi)的燈泡的質(zhì)量即次品率，一個(gè)可行的方法就是，抽取一定量的燈泡如行的方法就是，抽取一定量的燈泡如 20

4、個(gè)進(jìn)展質(zhì)量檢查，個(gè)進(jìn)展質(zhì)量檢查，并根據(jù)這一部分燈泡的質(zhì)量情況對(duì)整批燈泡的質(zhì)量進(jìn)展估計(jì)或并根據(jù)這一部分燈泡的質(zhì)量情況對(duì)整批燈泡的質(zhì)量進(jìn)展估計(jì)或做出某種判別。做出某種判別。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)就是以概率論為實(shí)際根底，研討如何獲取有用的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)就是以概率論為實(shí)際根底，研討如何獲取有用的察看資料，如何根據(jù)所得到的有限資料對(duì)整個(gè)隨機(jī)景象所具有察看資料，如何根據(jù)所得到的有限資料對(duì)整個(gè)隨機(jī)景象所具有的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)展科學(xué)的分析，從而做出盡能夠準(zhǔn)確可靠的推的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)展科學(xué)的分析，從而做出盡能夠準(zhǔn)確可靠的推斷這類問(wèn)題的數(shù)學(xué)分支。斷這類問(wèn)題的數(shù)學(xué)分支。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的中心義務(wù)是：從部分的觀測(cè)資料的統(tǒng)計(jì)特性出數(shù)理統(tǒng)計(jì)的中心

5、義務(wù)是：從部分的觀測(cè)資料的統(tǒng)計(jì)特性出發(fā)，利用科學(xué)的方法，來(lái)推斷事物整體的統(tǒng)計(jì)特性。發(fā)，利用科學(xué)的方法，來(lái)推斷事物整體的統(tǒng)計(jì)特性。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)通常由兩個(gè)主要部分組成。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)通常由兩個(gè)主要部分組成。 一個(gè)是抽樣實(shí)際和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，研討如何更合理地獲取察看一個(gè)是抽樣實(shí)際和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，研討如何更合理地獲取察看資料，如何進(jìn)展抽樣、抽多少等問(wèn)題。資料，如何進(jìn)展抽樣、抽多少等問(wèn)題。 由于數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)所涉及研討的對(duì)象普通為數(shù)很大，而限于由于數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)所涉及研討的對(duì)象普通為數(shù)很大，而限于時(shí)間和經(jīng)濟(jì)上的思索，人們只能夠搜集一部分?jǐn)?shù)據(jù)。時(shí)間和經(jīng)濟(jì)上的思索，人們只能夠搜集一部分?jǐn)?shù)據(jù)。 例如，在搜集某批電器產(chǎn)品的運(yùn)用壽命的

6、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，往例如，在搜集某批電器產(chǎn)品的運(yùn)用壽命的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，往往需求對(duì)產(chǎn)品進(jìn)展破壞性的檢驗(yàn)，因此只能檢驗(yàn)其中的一小部往需求對(duì)產(chǎn)品進(jìn)展破壞性的檢驗(yàn)，因此只能檢驗(yàn)其中的一小部分產(chǎn)品，察看其運(yùn)用壽命，并依此推斷整批產(chǎn)品的運(yùn)用壽命。分產(chǎn)品，察看其運(yùn)用壽命，并依此推斷整批產(chǎn)品的運(yùn)用壽命。 這就要求人們研討有效地搜集數(shù)據(jù)的方式，精心設(shè)計(jì)搜集這就要求人們研討有效地搜集數(shù)據(jù)的方式，精心設(shè)計(jì)搜集數(shù)據(jù)的方法，以保證所搜集到的一小部分?jǐn)?shù)據(jù)可以盡能夠多地?cái)?shù)據(jù)的方法，以保證所搜集到的一小部分?jǐn)?shù)據(jù)可以盡能夠多地提供與所研討的整個(gè)問(wèn)題有關(guān)的真實(shí)的信息。提供與所研討的整個(gè)問(wèn)題有關(guān)的真實(shí)的信息。 另一個(gè)是統(tǒng)計(jì)推斷，研討如何對(duì)

7、所獲取的有限的資料進(jìn)展另一個(gè)是統(tǒng)計(jì)推斷，研討如何對(duì)所獲取的有限的資料進(jìn)展科學(xué)地分析，用科學(xué)的方法提取和分析寓于所搜集到的有限數(shù)科學(xué)地分析，用科學(xué)的方法提取和分析寓于所搜集到的有限數(shù)據(jù)中的信息，并運(yùn)用統(tǒng)計(jì)推斷的方法，在更大的范圍內(nèi)對(duì)所研據(jù)中的信息，并運(yùn)用統(tǒng)計(jì)推斷的方法，在更大的范圍內(nèi)對(duì)所研討的問(wèn)題做出盡能夠準(zhǔn)確、可靠的推斷，得出某種合理的結(jié)論。討的問(wèn)題做出盡能夠準(zhǔn)確、可靠的推斷，得出某種合理的結(jié)論。 統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的根本問(wèn)題之一，在此主要引見(jiàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的根本問(wèn)題之一，在此主要引見(jiàn)統(tǒng)計(jì)推斷的一些根本知識(shí)。計(jì)推斷的一些根本知識(shí)。 非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)

8、估計(jì)理論統(tǒng)計(jì)推斷 由于統(tǒng)計(jì)推斷是由部分來(lái)推斷整體，是借助在小范圍內(nèi)由于統(tǒng)計(jì)推斷是由部分來(lái)推斷整體，是借助在小范圍內(nèi)所提取的信息來(lái)推斷整體的規(guī)律性，這就不可防止地會(huì)使這所提取的信息來(lái)推斷整體的規(guī)律性，這就不可防止地會(huì)使這種推斷帶有某種不確定性，也就是說(shuō)，人們不能保證所推斷種推斷帶有某種不確定性，也就是說(shuō)，人們不能保證所推斷的結(jié)果是百分之百正確的。的結(jié)果是百分之百正確的。 因此，在進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷的同時(shí)，還必需尋求一些有意義因此，在進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷的同時(shí)，還必需尋求一些有意義的目的來(lái)衡量推斷的正確程度，評(píng)價(jià)推斷過(guò)程中所含有的不的目的來(lái)衡量推斷的正確程度，評(píng)價(jià)推斷過(guò)程中所含有的不確定性。確定性。 下面給出數(shù)

9、理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一些根本概念。下面給出數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一些根本概念。 4.1 總體與樣本總體與樣本 一、總體與總體分布一、總體與總體分布 總體是具有一定共同屬性的研討對(duì)象的全體。一旦總體確總體是具有一定共同屬性的研討對(duì)象的全體。一旦總體確定了，便稱組成總體的每一個(gè)個(gè)別的成員為個(gè)體?？傮w與個(gè)體定了，便稱組成總體的每一個(gè)個(gè)別的成員為個(gè)體?？傮w與個(gè)體的關(guān)系，即集合論中集合與元素之間的關(guān)系。的關(guān)系，即集合論中集合與元素之間的關(guān)系。 例如，為研討燈泡廠一天中所消費(fèi)的燈泡的質(zhì)量，該廠在一例如，為研討燈泡廠一天中所消費(fèi)的燈泡的質(zhì)量，該廠在一天中所消費(fèi)的一切燈泡就是待研討的總體，每一個(gè)燈泡就是一天中所消費(fèi)的一切燈泡就是

10、待研討的總體，每一個(gè)燈泡就是一個(gè)個(gè)體。個(gè)個(gè)體。 在統(tǒng)計(jì)學(xué)的研討過(guò)程中，人們關(guān)懷的并不是所研討對(duì)象在統(tǒng)計(jì)學(xué)的研討過(guò)程中，人們關(guān)懷的并不是所研討對(duì)象總體的一切特征，而僅僅是關(guān)懷反映所研討對(duì)象某一特征總體的一切特征，而僅僅是關(guān)懷反映所研討對(duì)象某一特征的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)數(shù)量目的。的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)數(shù)量目的。 例如，反映學(xué)生例如，反映學(xué)生“ 概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì) 課程的學(xué)習(xí)情況的數(shù)量目的，課程的學(xué)習(xí)情況的數(shù)量目的，就是學(xué)生這門課程的考核成果并不需求思索學(xué)生的身高、體就是學(xué)生這門課程的考核成果并不需求思索學(xué)生的身高、體重等目的重等目的 。 對(duì)于所選定的數(shù)量目的對(duì)于所選定的數(shù)量目的 X 可以是向量而言，由于每個(gè)可以

11、是向量而言，由于每個(gè)個(gè)體的取值是不同的，且每個(gè)個(gè)體的取值在測(cè)試終了之前是不個(gè)體的取值是不同的，且每個(gè)個(gè)體的取值在測(cè)試終了之前是不能確定的，因此數(shù)量目的能確定的，因此數(shù)量目的 X 是一個(gè)隨機(jī)變量或隨機(jī)向量。是一個(gè)隨機(jī)變量或隨機(jī)向量。 為了研討方便，通常把總體具有一定共同屬性的研討對(duì)為了研討方便，通常把總體具有一定共同屬性的研討對(duì)象的全體與數(shù)量目的象的全體與數(shù)量目的 X 等同起來(lái)，并把數(shù)量目的等同起來(lái)，并把數(shù)量目的 X 的分布的分布稱為總體的分布。即稱為總體的分布。即 定義定義 4.1P.124 統(tǒng)計(jì)學(xué)中，稱隨機(jī)變量或隨機(jī)向量統(tǒng)計(jì)學(xué)中，稱隨機(jī)變量或隨機(jī)向量X 為總體，并把隨機(jī)變量或隨機(jī)向量為總體，

12、并把隨機(jī)變量或隨機(jī)向量X 的分布稱為總體分的分布稱為總體分布。布。 注注P.124： 總體總體 X 的分布普通是未知的。有時(shí)雖然知的分布普通是未知的。有時(shí)雖然知總體分布的類型如正態(tài)分布、伯努利分布等，但這些分布總體分布的類型如正態(tài)分布、伯努利分布等，但這些分布中所含的參數(shù)如中所含的參數(shù)如 、 2 ，p 等也是未知的。統(tǒng)計(jì)學(xué)的主等也是未知的。統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要義務(wù)，就是對(duì)總體的未知的分布或參數(shù)進(jìn)展推斷。要義務(wù)，就是對(duì)總體的未知的分布或參數(shù)進(jìn)展推斷。 對(duì)于所研討對(duì)象的定性目的，也可以轉(zhuǎn)化為定量目的對(duì)于所研討對(duì)象的定性目的，也可以轉(zhuǎn)化為定量目的即數(shù)量目的來(lái)研討，進(jìn)而可以設(shè)定一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)表示所即數(shù)量目的來(lái)

13、研討，進(jìn)而可以設(shè)定一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)表示所研討的總體。研討的總體。 例如，例如，“ 調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)成果是優(yōu)秀、合格還是不合格調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)成果是優(yōu)秀、合格還是不合格 時(shí)，依然可以用一個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，依然可以用一個(gè)隨機(jī)變量 X 來(lái)描畫：來(lái)描畫： 令令 。成績(jī)不合格時(shí)成績(jī)合格時(shí)成績(jī)優(yōu)秀時(shí)101X 二、樣本與樣本分布二、樣本與樣本分布 由于總體的分布普通是未知或部分未知的，為了由于總體的分布普通是未知或部分未知的，為了獲取對(duì)總體分布的知識(shí)，就需求對(duì)總體進(jìn)展察看，搜獲取對(duì)總體分布的知識(shí)，就需求對(duì)總體進(jìn)展察看，搜集有關(guān)總體的信息和資料。集有關(guān)總體的信息和資料。 在實(shí)踐研討過(guò)程中，由于遭到人力、時(shí)間和財(cái)力方在實(shí)

14、踐研討過(guò)程中，由于遭到人力、時(shí)間和財(cái)力方面的限制，人們往往不能搜集到有關(guān)總體的全部信息；面的限制，人們往往不能搜集到有關(guān)總體的全部信息；而且在有些情況下，根本就不允許人們?nèi)カ@取有關(guān)總而且在有些情況下，根本就不允許人們?nèi)カ@取有關(guān)總體的全部數(shù)據(jù)如在測(cè)試燈泡的運(yùn)用壽命時(shí)，測(cè)試本體的全部數(shù)據(jù)如在測(cè)試燈泡的運(yùn)用壽命時(shí)，測(cè)試本身具有破壞性。身具有破壞性。 因此，通?？偸菑目傮w中抽取一部分個(gè)體來(lái)進(jìn)展察因此，通?？偸菑目傮w中抽取一部分個(gè)體來(lái)進(jìn)展察看，這種做法稱之為看，這種做法稱之為“ 抽樣抽樣 。 假設(shè)從總體假設(shè)從總體 X X 中抽取了中抽取了 n n 個(gè)個(gè)體個(gè)個(gè)體 X1 X1 ，X2 X2 ，X n X n

15、 來(lái)對(duì)總體來(lái)對(duì)總體 X X 進(jìn)展抽樣察看，由于在察看測(cè)試終了之前，這進(jìn)展抽樣察看，由于在察看測(cè)試終了之前，這 n n 個(gè)個(gè)體的觀測(cè)值是不確定的，而且反復(fù)抽樣所得到個(gè)個(gè)體的觀測(cè)值是不確定的，而且反復(fù)抽樣所得到 n n 個(gè)個(gè)體個(gè)個(gè)體的觀測(cè)結(jié)果也是不一樣的。的觀測(cè)結(jié)果也是不一樣的。 因此，所抽取的因此，所抽取的 n n 個(gè)個(gè)體個(gè)個(gè)體 X1 X1 ，X2 X2 ，X n X n 實(shí)實(shí)踐上就是一個(gè)隨機(jī)向量踐上就是一個(gè)隨機(jī)向量X1 X1 ，X2 X2 ，X n X n ，稱之為一個(gè)，稱之為一個(gè)“ 樣本樣本 ，每一個(gè)個(gè)體，每一個(gè)個(gè)體 X i X i 稱之為一個(gè)樣品；稱之為一個(gè)樣品； 對(duì)樣本對(duì)樣本X1 , X

16、2 , , X n X1 , X2 , , X n 的一次觀測(cè)值的一次觀測(cè)值x1 x1 ，x2 x2 ，x n x n ，就是樣本的一個(gè)，就是樣本的一個(gè)“ 實(shí)現(xiàn)值樣本值實(shí)現(xiàn)值樣本值 。 統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要義務(wù)，就是提供科學(xué)的方法，借助樣本統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要義務(wù)，就是提供科學(xué)的方法，借助樣本值值x1 x1 ，x2 x2 ，x n x n ，對(duì)未知的總體進(jìn)展合理的推斷。，對(duì)未知的總體進(jìn)展合理的推斷。 為了更準(zhǔn)確地對(duì)總體分布進(jìn)展分析和推斷，就要求所抽為了更準(zhǔn)確地對(duì)總體分布進(jìn)展分析和推斷，就要求所抽取的樣本可以很好地反映總體的特性。下面的定義給出了一取的樣本可以很好地反映總體的特性。下面的定義給出了一個(gè)好的樣本應(yīng)

17、該具備的條件。個(gè)好的樣本應(yīng)該具備的條件。 定義定義4.24.2P.125P.125 稱稱X1 X1 ，X2 X2 ，X n X n 為為總體總體 X X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，假設(shè)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，假設(shè) X1 X1 ，X2 X2 ，X n X n 是相互是相互獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量，而且它們都與總體獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量，而且它們都與總體 X X 同分布。樣同分布。樣本中所含分量的個(gè)數(shù)本中所含分量的個(gè)數(shù) n n ，稱為該樣本的容量。，稱為該樣本的容量。 1) 1)人們要求樣本中的每一個(gè)分量人們要求樣本中的每一個(gè)分量 X i X i i =1i =1，2 2，n n 都與總體都與總體 X X 同分布，闡

18、明抽樣察看的每一個(gè)個(gè)體都是從同分布，闡明抽樣察看的每一個(gè)個(gè)體都是從總體中抽取的，因此它們對(duì)總體具有很好的代表性；總體中抽取的，因此它們對(duì)總體具有很好的代表性； 2) 2)人們要求樣本中的各分量人們要求樣本中的各分量 X1 X1 ，X2 X2 ，X n X n 相互獨(dú)立，那么闡明所得到的每一個(gè)察看結(jié)果既不影響其它相互獨(dú)立，那么闡明所得到的每一個(gè)察看結(jié)果既不影響其它察看結(jié)果，也不受其它察看結(jié)果的影響。察看結(jié)果，也不受其它察看結(jié)果的影響。 定義定義P.125 獲取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的方法，稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)獲取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的方法，稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。并稱樣本抽樣。并稱樣本X1 ，X2 ，X n 的一組詳細(xì)的察看值

19、的一組詳細(xì)的察看值x1 ，x2 ，x n 為樣本值，全體樣本值組成的集合為樣為樣本值，全體樣本值組成的集合為樣本空間。本空間。 容量為容量為 n 的樣本空間是的樣本空間是 n 維向量空間維向量空間 Rn 的一個(gè)子集。的一個(gè)子集。 這里假定所思索的樣本都是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱為樣本。這里假定所思索的樣本都是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱為樣本。 商定：以大寫的英文字母商定：以大寫的英文字母 X i 表示隨機(jī)變量，而以相應(yīng)的表示隨機(jī)變量，而以相應(yīng)的小寫英文字母小寫英文字母 xi 表示隨機(jī)變量表示隨機(jī)變量 X i 的察看值。的察看值。 設(shè)總體設(shè)總體 X X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F ( x ) F ( x )

20、，那么由定義，那么由定義 4.2 4.2P.125P.125知，樣本知，樣本X1 X1 ，X2 X2 ，Xn Xn 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ，并稱之為樣本分布。，并稱之為樣本分布。 特別地，假設(shè)總體特別地，假設(shè)總體 X X 為延續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為延續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為為f ( x )f ( x )，那么樣本，那么樣本X1 X1 ，X2 X2 ，Xn Xn 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 ，并分別稱，并分別稱 f ( x ) f ( x ) 和和 f ( x1 , x2 , , xn ) f ( x1 , x2 , , xn ) 為總體密度和樣本密度為總體密度和樣本密度 。 假設(shè)總體假

21、設(shè)總體 X X 為離散型隨機(jī)變量，為離散型隨機(jī)變量，.niiniiinxFxFxxxF1121)()(),(niinxfxxxf121)(),( 假設(shè)總體假設(shè)總體 X X 為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為 p ( x ) = P ( X = x ) p ( x ) = P ( X = x )，x x 取遍取遍 X X 一切能夠的取值，那么一切能夠的取值，那么樣本樣本X1 X1 ，X2 X2 ，Xn Xn 的概率分布為的概率分布為 ，并分別稱并分別稱 p ( x ) p ( x ) 和和 p ( x1 , x2 , , x n ) p ( x1 , x2 , , x

22、n ) 為總體概為總體概率分布和樣本概率分布。率分布和樣本概率分布。 niiniinnnxpxXPxXxXxXPxxxp11221121)()(),(),( 例例 4.1 4.1P.126P.126 稱總體稱總體 X X 為正態(tài)總體，假設(shè)為正態(tài)總體，假設(shè) X X 服服從正態(tài)分布。正態(tài)總體是統(tǒng)計(jì)運(yùn)用中最常見(jiàn)的總體。從正態(tài)分布。正態(tài)總體是統(tǒng)計(jì)運(yùn)用中最常見(jiàn)的總體。 現(xiàn)假設(shè)總體現(xiàn)假設(shè)總體 X N( X N( ， 2 ) 2 ) ，總體密度總體密度 那么其樣本那么其樣本X1 X1 ，X2 X2 ，Xn Xn 的密度為的密度為 )(21exp)21()(21exp21)(),(12212121niinni

23、iniinxxxxxxf2)(exp21)(22xx 例例 4.2P.126 稱總體稱總體 X 為伯努利總體，假設(shè)它服從以為伯努利總體，假設(shè)它服從以 p0 p 1為參數(shù)的伯努利分布，即為參數(shù)的伯努利分布，即 X b ( 1，p ) 。 從而有從而有 P ( X = 1 ) = p，P ( X = 0 ) = 1 p ，即，即 p ( i ) = P ( X = i ) = pi ( 1p )1 i ，i = 0，1。 于是，其樣本于是，其樣本X1 ，X2 ，Xn 的概率分布為的概率分布為其中其中 xi i = 1，2，n 取值取值 1 或或 0， ，它恰好等于，它恰好等于樣本中取值為樣本中取值

24、為 1 的分量之總和。的分量之總和。 nnniiniiiiSnSxxnixxniinppppppxpxxxp)1 ()1 ()1 ()(),()1(1112111niinxS1 例例 4.3 設(shè)總體設(shè)總體 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的幾何分布，的幾何分布，X1 , X2 , , Xn 為其樣本，求樣本的概率分布。為其樣本，求樣本的概率分布。 解解 p ( k ) = P ( X = k ) = p ( 1 p ) k 1 ，k = 1，2， ;X1 ，X2 ，Xn 是來(lái)自總體是來(lái)自總體 X 的樣本，的樣本， 樣本的概率分布為樣本的概率分布為 其中其中 xi i = 1，2，n 取值正整數(shù)。

25、取值正整數(shù)。 ninxnxniinniiippppxpxxxp111211)1 ()1 ()(),( 例例 4.4 4.4 設(shè)總體設(shè)總體 X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，X1 X1 ，X2 ,X2 ,，Xn Xn 為其樣本，求樣本密度為其樣本，求樣本密度 。 解解 總體總體 X e ( X e ( ) )， ；X1 X1 ，X2 X2 ，Xn Xn 是來(lái)自總體是來(lái)自總體 X X 的樣本，的樣本， 樣本密度為樣本密度為 000)(xxexfx其它，其它，nixenixexfxxxfixninixniinniii21002100)()(),(11121對(duì)樣本概率分布和樣本密度

26、的了解：對(duì)樣本概率分布和樣本密度的了解： 在例在例 4.3 4.3 和例和例 4.4 4.4 中，算得樣本概率分布和樣本密度分中，算得樣本概率分布和樣本密度分別為別為 ， xi xi 取值正整數(shù)，取值正整數(shù)，i = 1i = 1，2 2，n n ；和和 ，xi xi 0 0，i = 1i = 1，2 2，n n 。 在概率論的研討中，人們通常假定隨機(jī)變量即總體的在概率論的研討中，人們通常假定隨機(jī)變量即總體的分布及其參數(shù)如：分布及其參數(shù)如：p p、 等都是知的，因此把等都是知的，因此把p ( x1 , x2 , , xn ) p ( x1 , x2 , , xn ) 和和 f ( x1 , x2

27、 , , xn ) f ( x1 , x2 , , xn ) 了解了解為關(guān)于未知量為關(guān)于未知量 x1 x1 ，x2 x2 ，xn xn 的的 n n 元函數(shù)。元函數(shù)。 nxnnniippxxxp1)1 (),(21niixnnexxxf1),(21例 設(shè)總體X服從參數(shù)為 的泊松分布，那么樣本的概率分布為ninnniXPiXiXiXP12211,.,nnsnkkieiiieink!.!211., 10)1 (21nnkiiisnki而或取值其中 在統(tǒng)計(jì)學(xué)的實(shí)踐運(yùn)用中，根據(jù)知識(shí)與閱歷，人們往往可以在統(tǒng)計(jì)學(xué)的實(shí)踐運(yùn)用中，根據(jù)知識(shí)與閱歷，人們往往可以確定總體分布所屬的類型，例如，確定總體分布所屬的類型

28、，例如， 以為學(xué)生的考試成果服以為學(xué)生的考試成果服從正態(tài)分布；從正態(tài)分布； 描畫一件產(chǎn)品能否為廢品的隨機(jī)變量服從伯描畫一件產(chǎn)品能否為廢品的隨機(jī)變量服從伯努利分布努利分布0 1 0 1 分布；分布； 記錄呼叫次數(shù)的隨機(jī)變量服從記錄呼叫次數(shù)的隨機(jī)變量服從泊松分布；泊松分布； 電子元件的壽命服從指數(shù)分布等等。電子元件的壽命服從指數(shù)分布等等。 因此，在總體分布中，往往只是其中的參數(shù)是未知的。因此，在總體分布中，往往只是其中的參數(shù)是未知的。 從這個(gè)意義上來(lái)講，可以從另一個(gè)角度來(lái)了解例從這個(gè)意義上來(lái)講，可以從另一個(gè)角度來(lái)了解例 4.3 4.3 和例和例 4.4 4.4 中的樣本概率分布和樣本密度：中的樣本

29、概率分布和樣本密度： 把式中的把式中的 ( x1 , x2 , , x n ) ( x1 , x2 , , x n ) 看作是一個(gè)樣本值，看作是一個(gè)樣本值，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)察看就可以確定下來(lái)，因此它們是一組知量或可知經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)察看就可以確定下來(lái)，因此它們是一組知量或可知量，而各總體的參數(shù)如量，而各總體的參數(shù)如 p p、 等是未知量，即分別把等是未知量，即分別把p ( x1 , x2 , , xn ) p ( x1 , x2 , , xn ) 和和 f ( x1 , x2 , , xn ) f ( x1 , x2 , , xn ) 了了解為關(guān)于未知參數(shù)解為關(guān)于未知參數(shù) p p 和和 的一元函數(shù)：的一元函數(shù)

30、： ，0 p 1 0 p 0 0 。 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，就是要由樣本值在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，就是要由樣本值 ( x1 , x2 , , x ( x1 , x2 , , x n ) n ) 出發(fā)，來(lái)推斷總體中未知的參數(shù)。因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)中又把例出發(fā)，來(lái)推斷總體中未知的參數(shù)。因此，統(tǒng)計(jì)學(xué)中又把例 4.3 4.3 和例和例 4.4 4.4 中的樣本概率分布和樣本密度函數(shù)稱為未知參數(shù)中的樣本概率分布和樣本密度函數(shù)稱為未知參數(shù)的似然函數(shù)。關(guān)于似然函數(shù)的概念，將在的似然函數(shù)。關(guān)于似然函數(shù)的概念，將在5.2 5.2 中做詳細(xì)的引中做詳細(xì)的引見(jiàn)。見(jiàn)。nxnnniipppxxxp1)1 ();,(21niixnnexxxf1);,

31、(21 三、統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題簡(jiǎn)述三、統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題簡(jiǎn)述P.122 統(tǒng)計(jì)學(xué)要處理的主要問(wèn)題，就是借助總體統(tǒng)計(jì)學(xué)要處理的主要問(wèn)題，就是借助總體 X 的一個(gè)樣本的一個(gè)樣本X1 ，X2 ，Xn ，利用其樣本值，利用其樣本值x1 ，x2 ，xn ,對(duì)總體對(duì)總體 X 的未知分布或參數(shù)進(jìn)展科學(xué)地、合理地推斷。的未知分布或參數(shù)進(jìn)展科學(xué)地、合理地推斷。人們將這類問(wèn)題統(tǒng)稱為統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題。人們將這類問(wèn)題統(tǒng)稱為統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題。 在進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷的過(guò)程中，為了保證推斷的科學(xué)性與合理性，在進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷的過(guò)程中，為了保證推斷的科學(xué)性與合理性，需求借助樣本構(gòu)造一些適宜的統(tǒng)計(jì)量即樣本的函數(shù)，它是一需求借助樣本構(gòu)造一些適宜的統(tǒng)計(jì)量即樣本的

32、函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量，然后再利用所構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量的個(gè)隨機(jī)變量，然后再利用所構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量的 “良好良好 性質(zhì)，性質(zhì)，對(duì)總體分布所屬的類型以及總體分布中所含的未知參數(shù)進(jìn)展統(tǒng)對(duì)總體分布所屬的類型以及總體分布中所含的未知參數(shù)進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷。計(jì)推斷。 作業(yè)P127: 4, 6 4.2 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 一、統(tǒng)計(jì)量的定義一、統(tǒng)計(jì)量的定義 定義定義 4. 3P.127 設(shè)設(shè)X1 ，X2 ，Xn 為總體為總體 X 的一個(gè)樣本，稱此樣本的任一不含總的一個(gè)樣本，稱此樣本的任一不含總體分布未知參數(shù)的函數(shù)為該樣本的統(tǒng)計(jì)量。體分布未知參數(shù)的函數(shù)為該樣本的統(tǒng)計(jì)量。 例例 4.4P.127 設(shè)總體設(shè)總體 X 服從正態(tài)分布，服從正

33、態(tài)分布，EX = 5，DX = 2 2 未知，未知，X1 ，X2 ，Xn 為總體為總體 X 的一個(gè)樣本。的一個(gè)樣本。 1令令 Sn = X1 + X2 + + Xn ， ，那么，那么 Sn 與與 X 都是樣本都是樣本X1 ，X2 ，Xn 的統(tǒng)計(jì)量，且具有下面的統(tǒng)計(jì)量，且具有下面的性質(zhì)的性質(zhì): E Sn = E ( X1 + X2 + + Xn ) = EX1 + EX2 + + EXn = n EX = 5 n， D Sn = D ( X1 + X2 + + Xn ) = DX1 + DX2 + + DXn = n DX = n 2 ； ， 。 2令令 ，那么，那么 U 不是該樣本的統(tǒng)計(jì)量。由

34、于不是該樣本的統(tǒng)計(jì)量。由于 U 的表達(dá)式中含有總體分布的未知參數(shù)的表達(dá)式中含有總體分布的未知參數(shù) 。 nSXnEXnnESnnSEXEnn5511DXnnnnDSnnSDXDnn11112222)5(XnU 對(duì)于一個(gè)給定的樣本，根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的定義，可以構(gòu)造出很對(duì)于一個(gè)給定的樣本，根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的定義，可以構(gòu)造出很多統(tǒng)計(jì)量來(lái)，但常用的、具有多統(tǒng)計(jì)量來(lái)，但常用的、具有 “ 良好良好 性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量并不多性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)量并不多 .下面引見(jiàn)一些在統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的統(tǒng)計(jì)量。下面引見(jiàn)一些在統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的統(tǒng)計(jì)量。 二、常用的統(tǒng)計(jì)量二、常用的統(tǒng)計(jì)量P.128 設(shè)設(shè)X1 ，X2 ，Xn 為來(lái)自總體為來(lái)自總體 X 的一個(gè)容量為的

35、一個(gè)容量為 n 的樣本。的樣本。 1、樣本均值、樣本均值稱樣本中各分量的算術(shù)平均值為樣本均值，記做稱樣本中各分量的算術(shù)平均值為樣本均值，記做X，即，即 隨機(jī)變量。隨機(jī)變量。 注：注： 其實(shí)現(xiàn)值為：其實(shí)現(xiàn)值為： 。niinXnXXXnX1211)(1niixnx11 留意區(qū)分符號(hào)留意區(qū)分符號(hào) E X E X 與與X ! X ! EX EX 是總體期望總體均值，是總體期望總體均值， ，是一個(gè)常數(shù)；，是一個(gè)常數(shù)； X X 是樣本均值，是樣本均值， ，是隨機(jī)，是隨機(jī)向量樣本向量樣本X 1 X 1 ，X 2 X 2 ， ，X n X n 的函數(shù)，是一個(gè)隨機(jī)變量。的函數(shù)，是一個(gè)隨機(jī)變量。 因此，因此，E

36、X E X X ! X ! niiXnX11是連續(xù)型時(shí)當(dāng)是離散型時(shí)當(dāng)XdxxxfXpxEXiii)( 2、樣本方差、樣本方差 樣本方差和樣本規(guī)范差都是用來(lái)描畫樣本中各分量與樣本樣本方差和樣本規(guī)范差都是用來(lái)描畫樣本中各分量與樣本均值的均方差別的統(tǒng)計(jì)量。樣本方差有兩種定義方式：均值的均方差別的統(tǒng)計(jì)量。樣本方差有兩種定義方式： 一種是一種是 ，并稱，并稱 S02 是樣本的未修正的是樣本的未修正的樣本方差。樣本方差。 3、 樣本規(guī)范差樣本規(guī)范差 更常用的是樣本方差的另一種定義，更常用的是樣本方差的另一種定義， ，并稱，并稱 S2 是修正的樣本方差。是修正的樣本方差。 S2 比比 S02 有更好的統(tǒng)計(jì)性

37、質(zhì)。今后運(yùn)用的主要是修正的樣本有更好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。今后運(yùn)用的主要是修正的樣本方差，簡(jiǎn)稱為樣本方差方差，簡(jiǎn)稱為樣本方差.前者的數(shù)學(xué)期望是正好是方差前者的數(shù)學(xué)期望是正好是方差. 同總體的方差與其規(guī)范差之間的關(guān)系一樣，樣本規(guī)范差同總體的方差與其規(guī)范差之間的關(guān)系一樣，樣本規(guī)范差 S 定定義為樣本方差義為樣本方差 S2 的算術(shù)平方根，即的算術(shù)平方根，即 。 niiXXnS1220)(1niiXXnSnnS12202)(111niiXXnS12)(11 例例4.5 樣本方差的簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題。樣本方差的簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題。其中其中 。 )(11)2(11)12(11)2(11)2(11)(11122122121212

38、12122122niiniininiiininiiiniiiniiXnXnXnXnXXnXnXnnXXnXnXXXnXXXXnXXnSniiXnX11 例例 4.6 4.6 設(shè)設(shè)x1 x1 ，x2 x2 ，x6 x6 是來(lái)自總體是來(lái)自總體 X X 的樣的樣本值，本值，知知 ， 。求。求1 1樣本均值樣本均值x x ；2 2樣本方差樣本方差 s2 s2 ，以及樣本規(guī)范差，以及樣本規(guī)范差 s s 。 解解 1 1 ； 2 2 。 1261iix961612iix21261611611iiniixxnx6s6)2696(51)6(51)(11226122122xxxnxnsiinii 例例4.7 設(shè)

39、設(shè)X1 ，X2 ，Xn 是來(lái)自總體是來(lái)自總體 X 的樣本，的樣本，EX = ，DX = 2 ， ，求，求 EX，DX 。 解解 X1 ，X2 ，Xn 是來(lái)自總體是來(lái)自總體 X 的樣本，的樣本，EX = ，DX = 2 ， E Xi = ，D Xi = 2 ，i = 1，2，n；且；且 X1 ，X2 ，Xn 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立， ； 。 進(jìn)而有，假設(shè)總體進(jìn)而有，假設(shè)總體 X N ( ， 2 ) 即即 X 是正態(tài)總體，是正態(tài)總體，那么那么 。 niiXnX11)(11)1(11EXnnEXnXnEXEniinii)1(111)1(222121DXnnnnDXnXnDXDniinii),(121nN

40、XnXnii注：注： 樣本方差的統(tǒng)計(jì)意義樣本方差的統(tǒng)計(jì)意義 就樣本的某一組察看值就樣本的某一組察看值x1 x1 ，x2 x2 ，xn xn 而言，與總而言，與總體體方差類似，樣本方差方差類似，樣本方差 描寫了樣本值對(duì)其描寫了樣本值對(duì)其樣本均值的平均偏離程度：樣本方差越小，樣本數(shù)據(jù)就圍繞著樣本均值的平均偏離程度：樣本方差越小，樣本數(shù)據(jù)就圍繞著其樣本均值分布得越集中；樣本方差越大，樣本數(shù)據(jù)就圍繞著其樣本均值分布得越集中；樣本方差越大，樣本數(shù)據(jù)就圍繞著其樣本均值分布得越分散。其樣本均值分布得越分散。 4 4、樣本原點(diǎn)矩、樣本原點(diǎn)矩P.129P.129 記記 ，k k 1 1。并稱。并稱 Ak Ak

41、為樣為樣本的本的 k k 階原點(diǎn)矩。階原點(diǎn)矩。 當(dāng)當(dāng) k = 1 k = 1 時(shí)，一階樣本原點(diǎn)矩時(shí)，一階樣本原點(diǎn)矩 就是樣本均值就是樣本均值X X ?？梢?jiàn)，樣本原點(diǎn)矩是樣本均值概念的推行?？梢?jiàn)，樣本原點(diǎn)矩是樣本均值概念的推行。 nikikXnA11niiXnA111niixxns122)(11 5、樣本中心矩、樣本中心矩P.129 記記 ，k 1。并稱。并稱 Bk 為樣本的為樣本的 k 階中心階中心矩。矩。 當(dāng)當(dāng) k = 2 時(shí)，二階樣本中心矩時(shí)，二階樣本中心矩 就是就是未修正的樣本方差未修正的樣本方差 ?？梢?jiàn)，樣本中心矩是未修正的樣本方?？梢?jiàn)，樣本中心矩是未修正的樣本方差概念的推行。差概念的

42、推行。 以上各統(tǒng)計(jì)量樣本均值、樣本方差、樣本規(guī)范差、樣以上各統(tǒng)計(jì)量樣本均值、樣本方差、樣本規(guī)范差、樣本原點(diǎn)矩、樣本中心矩統(tǒng)稱為樣本的矩統(tǒng)計(jì)量，或簡(jiǎn)稱為本原點(diǎn)矩、樣本中心矩統(tǒng)稱為樣本的矩統(tǒng)計(jì)量，或簡(jiǎn)稱為樣本矩。它們都可以表示成樣本的顯示函數(shù)。樣本矩。它們都可以表示成樣本的顯示函數(shù)。 除樣本矩以外，還可以定義不能表為樣本的顯示函數(shù)的統(tǒng)除樣本矩以外，還可以定義不能表為樣本的顯示函數(shù)的統(tǒng)計(jì)量。計(jì)量。nikikXXnB1)(1niiXXnB122)(120S 6、順序統(tǒng)計(jì)量、順序統(tǒng)計(jì)量 設(shè)設(shè)X1 ，X2 ，Xn 為總體為總體 X 的一個(gè)樣本，將樣本中的的一個(gè)樣本，將樣本中的各分量按由小到大的順序陳列成各

43、分量按由小到大的順序陳列成 X (1) X (2) X ( n ) ，那么稱那么稱X (1) ，X (2) ， ，X ( n ) 為樣本的一組順序統(tǒng)計(jì)為樣本的一組順序統(tǒng)計(jì)量，稱量，稱X (i) 為樣本的第為樣本的第 i 個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量。個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量。 特別地，稱特別地，稱 X (1) 與與 X ( n ) 分別為樣本的極小值與極大值，分別為樣本的極小值與極大值，并稱并稱 X (n) X (1) 為樣本的極差。為樣本的極差。 為樣本極小值。),.,min(21)1(nXXXX( )12max(,.,)nnXXXX為樣本極大值 三、樞軸量三、樞軸量 在樣本的統(tǒng)計(jì)量中不應(yīng)該包含總體分布的任在樣本的統(tǒng)計(jì)

44、量中不應(yīng)該包含總體分布的任何未知參數(shù)。但是在統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題中，又經(jīng)常需求利何未知參數(shù)。但是在統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題中，又經(jīng)常需求利用樣本資料對(duì)總體分布中的某一個(gè)未知參數(shù)用樣本資料對(duì)總體分布中的某一個(gè)未知參數(shù) 進(jìn)展進(jìn)展推斷。推斷。 為此，需求構(gòu)造一個(gè)樣本的僅含有待推斷的為此，需求構(gòu)造一個(gè)樣本的僅含有待推斷的未知參數(shù)未知參數(shù) ，而不含有其它未知參數(shù)的函數(shù)，而不含有其它未知參數(shù)的函數(shù) U U ( X1 , X2 , , Xn ; ( X1 , X2 , , Xn ; ) ) ，同時(shí)要求如此構(gòu)造的，同時(shí)要求如此構(gòu)造的樣本函數(shù)樣本函數(shù) U ( X1 , X2 , , Xn ; U ( X1 , X2 , , Xn

45、; ) ) 的分布知。的分布知。 將這種只含有一個(gè)未知參數(shù)、且分布知的樣本函將這種只含有一個(gè)未知參數(shù)、且分布知的樣本函數(shù)，稱為樞軸量。人們利用樞軸量的知分布，就可以數(shù)，稱為樞軸量。人們利用樞軸量的知分布，就可以對(duì)總體分布中的未知參數(shù)對(duì)總體分布中的未知參數(shù) 進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷。進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷。 由此可見(jiàn)，樞軸量應(yīng)該滿足三點(diǎn)要求：首先，它由此可見(jiàn)，樞軸量應(yīng)該滿足三點(diǎn)要求：首先，它必需是一個(gè)樣本的函數(shù)；其次，在這個(gè)樣本的函數(shù)中必需是一個(gè)樣本的函數(shù)；其次，在這個(gè)樣本的函數(shù)中僅含有一個(gè)未知參數(shù)；最后，此樣本函數(shù)的分布是知僅含有一個(gè)未知參數(shù)；最后，此樣本函數(shù)的分布是知的。的。 例例4.84.8P.129 P.12

46、9 例例 4.5 4.5 設(shè)總體設(shè)總體 X X ，其中，其中 知，知， 未知，未知，X1 X1 ，X2 X2 ，Xn Xn 為總體為總體 X X 的的一個(gè)樣一個(gè)樣本，令本，令 ，那么，那么 U N( 0 , 1 ) U N( 0 , 1 ) 。 證證 X1 X1 ，X2 X2 ，Xn Xn 是來(lái)自正態(tài)總體是來(lái)自正態(tài)總體 的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本， X1 X1 ，X2 X2 ，Xn Xn 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，且且 ，i = 1i = 1，2 2，n n。 ，于是，于是， 。),(20N20nXU/0),(20N),(20NXi)1,(1201nNXnXnii) 1 , 0(/0NnXU 另外，由于

47、另外，由于 U U 是樣本是樣本X1 X1 ，X2 X2 ，Xn Xn 的的函數(shù)，且僅含有一個(gè)未知參函數(shù)，且僅含有一個(gè)未知參數(shù)數(shù) ，同時(shí)，同時(shí) U U 的分布知，的分布知，所以所以 U U 是一個(gè)樞軸量。是一個(gè)樞軸量。 4.3 4.3 常用的統(tǒng)計(jì)分布常用的統(tǒng)計(jì)分布 統(tǒng)計(jì)推斷的根本做法是：在獲得總體統(tǒng)計(jì)推斷的根本做法是：在獲得總體 X X 的樣本的樣本X1 X1 ，X2 X2 ，Xn Xn 之后，借助樣本統(tǒng)計(jì)量或樞軸量來(lái)對(duì)未之后，借助樣本統(tǒng)計(jì)量或樞軸量來(lái)對(duì)未知的總體分布進(jìn)展推斷。知的總體分布進(jìn)展推斷。 為了實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)推斷的目的，普通需求確定相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量為了實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)推斷的目的，普通需求確定相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)

48、量或樞軸量所服從的分布。本節(jié)將引見(jiàn)一些統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用或樞軸量所服從的分布。本節(jié)將引見(jiàn)一些統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的統(tǒng)計(jì)分布。的統(tǒng)計(jì)分布。 一、分位數(shù)一、分位數(shù) 分位數(shù)是統(tǒng)計(jì)分布的數(shù)字特征。分位數(shù)是統(tǒng)計(jì)分布的數(shù)字特征。 定義定義 4.4P.130 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F(x)，對(duì)給定，對(duì)給定的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù) 0 F ) = ，或，或 F( F ) = 1 。那么稱。那么稱 F 為隨機(jī)為隨機(jī)變量變量 X 的分布的程度的分布的程度 的上側(cè)分位數(shù)?；蛑苯臃Q為分布函數(shù)的上側(cè)分位數(shù)。或直接稱為分布函數(shù) F(x) 的程度的程度 的上側(cè)分位數(shù)。的上側(cè)分位數(shù)。 特別地，假設(shè)特別地，假設(shè) F(x) 是嚴(yán)

49、厲單調(diào)增的，那么其在程度是嚴(yán)厲單調(diào)增的，那么其在程度 的的上側(cè)分位數(shù)上側(cè)分位數(shù) F 為為 F = F 1 ( 1 ) 。 當(dāng)當(dāng) X X 是延續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其密度函數(shù)為是延續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其密度函數(shù)為 f (x) f (x)：X f (x) X f (x) ，那么其在程度，那么其在程度 的上側(cè)分位數(shù)的上側(cè)分位數(shù) F F 應(yīng)滿足應(yīng)滿足 P ( X F P ( X F ) = ) = ： ，其中其中 F F 也稱為程度也稱為程度 的右側(cè)分位數(shù)；的右側(cè)分位數(shù)； 為圖中陰影部分為圖中陰影部分的面積，通常表示一個(gè)小概率事件的面積，通常表示一個(gè)小概率事件的概率，也稱為右側(cè)尾部的概率，也稱為右側(cè)尾部概率

50、，常取值為概率，常取值為 0.01 0.01、0.05 0.05 和和 0.10 0.10 ，普通要求，普通要求 0.20 F1 ) = 1 ，或 F( F1 ) = 。 注：當(dāng)密度函數(shù)為 f (x) 為偶函數(shù)時(shí)，成立 F1 = F 如圖 2。 圖 1 圖 2f (x)1 0 F1 xxf (x) F1 = F 0 F 如：規(guī)范正態(tài)分布如：規(guī)范正態(tài)分布 N( 0 , 1 ) N( 0 , 1 ) 在程度在程度 的上側(cè)分位的上側(cè)分位數(shù)通常記為數(shù)通常記為 u u ，且，且 u u 應(yīng)滿足應(yīng)滿足 0 ( u0 ( u ) = 1 ) = 1 。 于是，經(jīng)過(guò)查規(guī)范正態(tài)分布的分布函數(shù)表附表于是，經(jīng)過(guò)查規(guī)

51、范正態(tài)分布的分布函數(shù)表附表 2 2，即可以得到分位數(shù)即可以得到分位數(shù) u u 的值。例如，的值。例如， 當(dāng)當(dāng) = 0.05 = 0.05 時(shí)，時(shí)，0 ( u 0.05 ) = 0.950 ( u 0.05 ) = 0.95，查表得，查表得 u u 0.05 = 1.6450.05 = 1.645，由對(duì)稱性，得，由對(duì)稱性，得 u 0.95 = u 0.95 = 1.6451.645； 當(dāng)當(dāng) = 0.10 = 0.10 時(shí)，時(shí)，0 ( u 0.10 ) = 0.900 ( u 0.10 ) = 0.90，查表得，查表得 u u 0.10 = 1.280.10 = 1.28，由對(duì)稱性，得，由對(duì)稱性，

52、得 u 0.90 = u 0.90 = 1.281.28。 總注：F1分布函數(shù)的圖像在 左側(cè)的面積為.12假設(shè)F(x)是嚴(yán)厲單調(diào)遞增的，那么).1 (1FF3 規(guī)范正態(tài)分布N(0,1)程度 的上側(cè)分位數(shù)通常記為.1)(,0uu即它滿足4 根據(jù)圖形的關(guān)系，可以得到.1,2211FXFPFXP5對(duì)于具有對(duì)稱分布的分布函數(shù)的上側(cè)分位數(shù).1FF 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，還要用到另一種分位數(shù)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，還要用到另一種分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù)。雙側(cè)分位數(shù)。 定義定義 4.5 4.5P.131P.131 設(shè)設(shè) X X 是對(duì)稱分布的隨機(jī)變量，其是對(duì)稱分布的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為分布函數(shù)為 F(x) F(x)，對(duì)給定的實(shí)數(shù)，對(duì)給定

53、的實(shí)數(shù) 0 0 1 T T ) = ) = ，即，即 P( X T P( X T ) + ) + P( X P( X T ) = ，得，得 P( X T ) + P( X T ) = / 2 且且 P( X F ) = ，知：，知： T = F / 2 ， 即程度即程度 的雙側(cè)分的雙側(cè)分位數(shù)位數(shù) T ,就是程度就是程度 / 2 的上側(cè)分位數(shù)的上側(cè)分位數(shù) F / 2 通常不運(yùn)用通常不運(yùn)用符號(hào)符號(hào) T ，而運(yùn)用符號(hào)，而運(yùn)用符號(hào) F / 2 來(lái)表示雙側(cè)分位數(shù)來(lái)表示雙側(cè)分位數(shù) 。 當(dāng)當(dāng)X 是延續(xù)型隨機(jī)變量是延續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其密度函數(shù)為時(shí)，設(shè)其密度函數(shù)為 f (x)，T 的意義如右圖所示。的意義如右

54、圖所示。 可見(jiàn)，可見(jiàn)，T = F / 2 ，且有，且有 P ( X F / 2 ) = / 2 或或 F ( F / 2 ) = 1 / 2，以及，以及 P ( F / 2 X F1P( X F1 / 2 ) = 1 / 2 ) = 1 / 2 / 2，或或 F ( F1 F ( F1 / 2 ) = / 2 ) = / 2; F / 2; F / 2 / 2 滿足：滿足： P( X P( X FF / 2 ) = / 2 ) = / 2 / 2，或，或 F ( F F ( F / 2 ) = 1 / 2 ) = 1 / 2 / 2。且有且有 P( F1 P( F1 / 2 X F / 2 X

55、 F / 2 ) = 1 / 2 ) = 1 。 當(dāng)當(dāng) X X 是延續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，且是延續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，且 X f (x) X f (x) 時(shí)，有以下時(shí)，有以下圖。圖。 x/2f (x)1 0 F1 / 2 F / 2/2 例例 4.9 4.9 當(dāng)當(dāng) = 0.05 = 0.05 時(shí)，求規(guī)范正態(tài)分布的程度時(shí)，求規(guī)范正態(tài)分布的程度 的雙側(cè)分位數(shù)。的雙側(cè)分位數(shù)。 解解 當(dāng)當(dāng) = 0.05 = 0.05 時(shí)，時(shí)，0 ( u 0.025 ) = 0.9750 ( u 0.025 ) = 0.975，查表得查表得 u 0.025 = 1.96 u 0.025 = 1.96；且有；且有 P( P( 1.9

56、6 X 1.96 ) = 1 1.96 X 1.96 ) = 1 0.05 = 0.95 0.05 = 0.95 。0 x)(xu1u 二、二、2 2 分布分布 命題命題 4.1 4.1 設(shè)設(shè) X1 X1 ，X2 X2 ，Xn Xn 是是 n n 個(gè)相互獨(dú)個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且立的隨機(jī)變量，且 Xi N(0,1) Xi N(0,1)，i = 1, 2, , n i = 1, 2, , n 。那么那么 X = X12 + X22 + + Xn2 X = X12 + X22 + + Xn2 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 ，其中，其中 是是 伽馬函數(shù)。伽馬函數(shù)。 定義定義 4.6 4.6P.128P.

57、128 一個(gè)隨機(jī)變量一個(gè)隨機(jī)變量 X X 稱為服稱為服從以從以 n n 為自在度的為自在度的 2 2 分布，假設(shè)其密度函數(shù)為分布，假設(shè)其密度函數(shù)為 。記作。記作 X X 2( n ) 2( n ) 。 可見(jiàn)，服從可見(jiàn)，服從 2 2 分布的隨機(jī)變量一定是非負(fù)隨分布的隨機(jī)變量一定是非負(fù)隨機(jī)變量。機(jī)變量。0,)2(21);(211222xexnnxxnn)0()(01dxexx0,)2(21);()(211222xexnnxxfxnnX 定理定理:設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量量,且且XiN(0,1),那么統(tǒng)計(jì)量那么統(tǒng)計(jì)量222212.( )nXXXXn2,( ),.Xn

58、Xn反之 若則 可分解為 個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的平方和 2 分布的密度函數(shù)的圖形見(jiàn)分布的密度函數(shù)的圖形見(jiàn) P.128 圖圖 4-4。當(dāng)自在度。當(dāng)自在度 n 取不同的值時(shí)，取不同的值時(shí)， 2 分布的密度函數(shù)的圖形具有不同的外形。分布的密度函數(shù)的圖形具有不同的外形。 當(dāng)當(dāng) n 3 時(shí)，時(shí)， 2 分布的密度函數(shù)的曲線都為單峰曲線，曲線分布的密度函數(shù)的曲線都為單峰曲線，曲線從原點(diǎn)開(kāi)場(chǎng)遞增，在從原點(diǎn)開(kāi)場(chǎng)遞增，在 x = n 2 處到達(dá)最大值，然后遞減，并以處到達(dá)最大值，然后遞減，并以 x 軸為漸進(jìn)線。函數(shù)的圖形關(guān)于直線軸為漸進(jìn)線。函數(shù)的圖形關(guān)于直線 x = n 2 不對(duì)稱，但隨著不對(duì)稱，但隨著自

59、在度自在度 n 的增大，曲線的峰值向右挪動(dòng)，圖形變得比較平緩，的增大，曲線的峰值向右挪動(dòng)，圖形變得比較平緩，并且趨于對(duì)稱。因此，當(dāng)自在度并且趨于對(duì)稱。因此，當(dāng)自在度 n 充分大以后，充分大以后， 2 分布可以分布可以用正態(tài)分布來(lái)近似。用正態(tài)分布來(lái)近似。 2分布的的密度函數(shù)的表示圖 當(dāng)當(dāng) n = 2 時(shí)，時(shí)， 是參數(shù)是參數(shù) 的指數(shù)分的指數(shù)分布布 的密度函數(shù)，即自在度為的密度函數(shù)，即自在度為 2 的的 2 分布分布 2( 2 ) 就是參數(shù)就是參數(shù) 的指數(shù)分布的指數(shù)分布 。其密度函數(shù)的曲線在。其密度函數(shù)的曲線在 x = 0 處取到最大值，然處取到最大值，然后遞減，并以后遞減，并以 x 軸為漸進(jìn)線。軸

60、為漸進(jìn)線。 當(dāng)當(dāng) n = 1 時(shí)，時(shí)， 2 分布的密度函數(shù)的曲線在分布的密度函數(shù)的曲線在 x = 0 處取無(wú)窮大值處取無(wú)窮大值并以并以 x 軸和軸和 y 軸分別為其程度漸進(jìn)線和垂直漸進(jìn)線。軸分別為其程度漸進(jìn)線和垂直漸進(jìn)線。 根據(jù)定義根據(jù)定義 4.6 和正態(tài)分布的性質(zhì)，可以得到下面的命題。和正態(tài)分布的性質(zhì)，可以得到下面的命題。 命題命題 4.21假設(shè)假設(shè) X 2( m )，Y 2( n )，且隨機(jī)變量，且隨機(jī)變量 X 與與 Y 相互獨(dú)立，那么相互獨(dú)立，那么 X + Y 2( m+n ) 。也稱之為獨(dú)立。也稱之為獨(dú)立 2 變變量的可加性。量的可加性。2假設(shè)假設(shè) X 2( n )，那么，那么 EX